《高中數(shù)學(xué)思想方法與解題方法全解》素材

目錄

前言....................................................................................2

第一章高中數(shù)學(xué)解題基本方法..................................................................3

-、配方法..................................................................................3

二、換元法..................................................................................7

三、待定系數(shù)法..............................................................................15

四、定義法.................................................................................20

五、數(shù)學(xué)歸納法.............................................................................24

六、參數(shù)法.................................................................................30

七、反證法.................................................................................34

第二章高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想...............................................................38

一、數(shù)形結(jié)合思想方法.......................................................................38

二、分類討論思想方法.......................................................................45

三、函數(shù)與方程的思想方法...................................................................52

四、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法.......................................................................60

第三章高考熱點(diǎn)問(wèn)題和解題策略...............................................................66

一、應(yīng)用問(wèn)題...............................................................................67

二、探索性問(wèn)題.............................................................................74

三、選擇題解答策略.........................................................................80

四、填空題解答策略.........................................................................86

一j

前

美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)過(guò)，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。而當(dāng)我們解題時(shí)遇到一個(gè)新問(wèn)題，

總想用熟悉的題型去“套，這只是滿足于解出來(lái)，只有對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解透徹及融會(huì)貫通時(shí)，

才能提出新看法、巧解法。高考試題十分重視對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其

解答過(guò)程都蘊(yùn)含著重要的教學(xué)思想方法。我們要有意識(shí)地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問(wèn)題解決問(wèn)題，形成能

力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，使自己具有數(shù)學(xué)頭腦和眼光。

高考試題主要從以下幾個(gè)方面對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行考查：

①常用數(shù)學(xué)方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法等；

②數(shù)學(xué)邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；

③數(shù)學(xué)思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與?般、類比、歸納和演繹等；

④常用數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想等。

數(shù)學(xué)思想方法與教學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)相比較，它有較高的地位和層次。數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可以用文字和

符號(hào)來(lái)記錄和描述，隨著時(shí)間的推移，記憶力的減退，將來(lái)可能忘記。而數(shù)學(xué)思想方法則是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，

只能夠領(lǐng)會(huì)和運(yùn)用，屬于思維的范疇，用以對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)、處理和解決，掌握數(shù)學(xué)思想方法，不是受

用一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學(xué)知識(shí)忘記了，數(shù)學(xué)思想方法也還是對(duì)你起作用。

數(shù)學(xué)思想方法中，數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的行為，具有模式化與可操作性的特征，

可以選用作為解題的具體手段。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它與數(shù)學(xué)基本方法常常在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的

同時(shí)獲得。

可以說(shuō)，“知識(shí)”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對(duì)數(shù)

學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”。

為了幫助學(xué)生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想方法，本書先是介紹高考中常用的數(shù)學(xué)基本方法：

配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法、反證法、分析與綜合法、特殊與一般法、

類比與歸納法、觀察與實(shí)驗(yàn)法，再介紹高考中常用的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討

論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想。最后談?wù)劷忸}中的有關(guān)策略和高考中的幾個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，并在附錄部分提供了

近幾年的高考試卷。

在每節(jié)的內(nèi)容中，先是對(duì)方法或者問(wèn)題進(jìn)行綜合性的敘述，再以三種題組的形式出現(xiàn)。再現(xiàn)性題組是

一組簡(jiǎn)單的選擇填空題進(jìn)行方法的再現(xiàn)，示范性題組進(jìn)行詳細(xì)的解答和分析，對(duì)方法和問(wèn)題進(jìn)行示范。鞏

固性題組旨在檢查學(xué)習(xí)的效果，起到鞏固的作用。每個(gè)題組中習(xí)題的選取，又盡量綜合到代數(shù)、三角、幾

何幾個(gè)部分重要章節(jié)的數(shù)學(xué)知識(shí)。

第一章高中數(shù)學(xué)解題基本方法

一、配方法

配方法是對(duì)數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形(配成“完全平方”)的技巧，通過(guò)配方找到已知和未知的聯(lián)系,

從而化繁為筒。何時(shí)配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測(cè)，并且合理運(yùn)用“裂項(xiàng)”與“添項(xiàng)”、“配”與“湊”的技巧,

從而完成配方。有時(shí)也將其稱為“湊配法”。

最常見的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次

方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項(xiàng)的二次曲線的平移變換等問(wèn)題。

配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項(xiàng)完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b?,將這個(gè)公式靈活運(yùn)用，

可得到各種基本配方形式，如：

a'+b'—(a+b)—2ab—(a—b)2+2ab；

b

a2+ab+b2=(a+b)2—ab=(a—b)2+3ab=(aH—)2+(---b)2；

22

a2+b2+c2+ab+bc+ca=—[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2]

2

a2+b2+c2=(a+b+c)2—2(ab+bc+ca)=(a+b—c)2—2(ab—be—ca)=???

結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識(shí)和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：

1+sin2a=l+2sinacosa=(sina+cosa)2；

x2H—7=(x4—尸—2—(x---)2+2；....等等。

X"XX

I、再現(xiàn)性題組：

1.在正項(xiàng)等比數(shù)列｛a“｝中，a?%5+2a?%5+a§=25,則a?+a$=。

2.方程x2+y2—4kx—2y+5k=0表示圓的充要條件是。

A.*k<lB.k〈｝或k>lC.k￡RD.k=彌或k=l

3.已知sin"a+cos4a=1,則sina+cosa的值為。

A.1B.-1C.1或一1D.0

4.函數(shù)y=log4(-2x2+5x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間是。

A.(-°°,IB.[-4,+°°)C.(―2,4]D.[/,3)

222

5.已知方程x+(a-2)x+a-l=0的兩根x1、x2,則點(diǎn)P(x]，x2)在圓x+y=4±,則實(shí)數(shù)a=。

【簡(jiǎn)解】1小題：利用等比數(shù)列性質(zhì)將已知等式左邊后配方(a3+a5)2易求。

答案是：5。

2小題：配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式(x-a)2+(y—b)2=”，解「2>0即可，選B。

3小題：已知等式經(jīng)配方成(sin2a+COS?a)2—'Zsin?acos2a=1,求出sinacosa,然后求出所

求式的平方值，再開方求解。選C。

4小題：配方后得到對(duì)稱軸，結(jié)合定義域和對(duì)數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解。選D。

5小題：答案3一而。

II、示范性題組：

例L已知長(zhǎng)方體的全面積為11,其12條棱的長(zhǎng)度之和為24,則這個(gè)長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)為。

A.273B.V14C.5D.6

[2(xy+yz+xz)=11

【分析】先轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為x,y,z,則，、，而欲

[4(x+y+z)=24

求對(duì)角線長(zhǎng)/'y'z?，將其配湊成兩已知式的組合形式可得。

【解】設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為x,y,z,由已知“長(zhǎng)方體的全面積為11,其12條棱的長(zhǎng)度之和為24”

k汨f2(xy+yz+xz)=11

而得：。

[4(x+y+z)=24

長(zhǎng)方體所求對(duì)角線長(zhǎng)為：yjx2+y2+z2=J(x+y+z)2-2(xy+yz+xz)=A/62-11=5

所以選B。

【注】本題解答關(guān)鍵是在于將兩個(gè)已知和一個(gè)未知轉(zhuǎn)換為三個(gè)數(shù)學(xué)表示式，觀察和分析三個(gè)數(shù)學(xué)式，

容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個(gè)數(shù)學(xué)式進(jìn)行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解。這也是我們使用配方法的

一種解題模式。

例2.設(shè)方程x2+kx+2=0的兩實(shí)根為p、q,若（￡）2+（9）2^7成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

qp

【解】方程x*+kx+2=0的兩實(shí)根為p、q,由韋達(dá)定理得：p+q=-k,pq=2,

（P（p2+r）22p2q2[（p+q）2—2pq]2-2p、2（攵24）28

qP（pq）2（pq￥（pq）24

7,解得kW一歷或k'M。

又Vpsq為方程x?+kx+2=0的兩實(shí)根，，△=!i?-820即k22JI或k<-2J5

綜合起來(lái)，k的取值范圍是：一Ji0WkW-2五或者2&WkWji。。

【注】關(guān)于實(shí)系數(shù)一元二次方程問(wèn)題，總是先考慮根的判別式“△”；已知方程有兩根時(shí)，可以恰當(dāng)

運(yùn)用韋達(dá)定理。本題由韋達(dá)定理得到p+q、pq后，觀察已知不等式，從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到先通分后配方,

表示成p+q與pq的組合式。假如本題不對(duì)“△”討論，結(jié)果將出錯(cuò)，即使有些題目可能結(jié)果相同，去掉

對(duì)的討論，但解答是不嚴(yán)密、不完整的，這一點(diǎn)我們要尤為注意和重視。

例3.設(shè)非零復(fù)數(shù)a、b滿足a?+ab+b2=0,求（上:）師8+（一叨8。

a+ba+b

araa

【分析】對(duì)已知式可以聯(lián)想：變形為（7）2+（7）+1=0,則7=3（3為1的立方虛根）；或配

bbb

方為（a+b）2=ab。則代入所求式即得。

cra、a

【解】由a+ab+b=0變形得：（?。﹡+（7）+1=0,

bb

ci°_1/?o—

設(shè)3=—,則3~+3+1=0,可知3為1的立方虛根，所以：———，W'=CD'=1o

bcoa

又由a?+ab+b2=0變形得：（a+b）2=ab,

所以（一^-”須+（上）1998=（Q）999+（4）999=（q）999+（2）999=3999+石999=2。

a+ba+bababba

【注】本題通過(guò)配方，簡(jiǎn)化了所求的表達(dá)式；巧用1的立方虛根，活用3的性質(zhì)，計(jì)算表達(dá)式中的高

次轅。一系列的變換過(guò)程，有較大的靈活性，要求我們善于聯(lián)想和展開。

【另解】由a2+ab+b2=0變形得：(￡)2+(/)+i=o,解出2=二1^1_后，化成三角形式，

bba2

11I/o?

代入所求表達(dá)式的變形式(f)999+(一)"9后，完成后面的運(yùn)算。此方法用于只是未一二‘聯(lián)想到3

ba2

時(shí)進(jìn)行解題。

_1+5

假如本題沒有想到以上一系列變換過(guò)程時(shí)，還可由a2+ab+b2=0解出：a=—1一b,直接代入

所求表達(dá)式，進(jìn)行分式化簡(jiǎn)后，化成復(fù)數(shù)的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的計(jì)算。

m、鞏固性題組：

1.函數(shù)y=(x—a)2+(x—b)2(a、b為常數(shù))的最小值為。

A.8B.區(qū)-4C.?+.〃.D.最小值不存在

22

2.a、B是方程x2—2ax+a+6=0的兩實(shí)根，則(a-l)2+(。-1)2的最小值是。

A.一疊B.8C.18D.不存在

3.已知x、yeR+,且滿足x+3y—1=0,則函數(shù)t=2"+8■'有。

A.最大值2拒B.最大值也C.最小值2啦B.最小值也

22

4.橢圓x?—2ax+3y*+a?—6=0的一個(gè)焦點(diǎn)在直線x+y+4=0上，貝ija=。

A.2B.-6C.-2或一6D.2或6

5.化簡(jiǎn)：2Vl-sin8+J2+2cos8的結(jié)果是。

A.2sin4B.2sin4—4cos4C.—2sin4D.4cos4—2sin4

6.設(shè)F]和F2為雙曲線二一y2=l的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足/F]PF2=90°,則△'PF’的

4

面積是o

7.若x〉一l,則￡&)=乂2+2乂+」_的最小值為o

x+\

8.已知工<0<a<9冗，cos(a-p)=!Z,sin(a+0)=-2,求sin2a的值。(92年高考題)

24135

9.設(shè)二次函數(shù)f(x)=Ax?+Bx+C,給定m、n(m<n)，且滿足A?[(m+n)?+m2n?]+2A[B(m+n)—Coin]

22

+B+C=0O

①解不等式f(x)〉0；

②是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)t,使當(dāng)te(m+t,n-t)時(shí)，f(x)<0?若不存在，說(shuō)出理由；若存在，指出t的

取值范圍。

4422

10.設(shè)s>l,t>l,meR,x=logit+log,s,y=logJt+logrs+m(logJt+log,s),

①將y表示為x的函數(shù)y=f(x),并求出f(x)的定義域；

②若關(guān)于x的方程f(x)=0有且僅有一個(gè)實(shí)根，求m的取值范圍。

二、換元法

解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。

換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)

象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。

換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過(guò)引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件

顯露出來(lái)，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)。或者變?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化。

它可以化高次為低次、化分式為整式、化無(wú)理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、

函數(shù)、數(shù)列、三角等問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用。

換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，

某個(gè)代數(shù)式兒次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不

等式：4*+2,—220,先變形為設(shè)2*=t(t>0),而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問(wèn)題。

三角換元，應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識(shí)中有某點(diǎn)

聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)y=J7+J匚嚏的值域時(shí);易發(fā)現(xiàn)xe[0,1],設(shè)乂=$行2a,aG[0,

問(wèn)題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會(huì)想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號(hào)

的需要。如變量x、y適合條件x?+y2=r2(r>0)時(shí)，則可作三角代換x=rcos()、y=rsin()化為三角

問(wèn)題。

Ss

均值換元，如遇到乂+丫=$形式時(shí)，設(shè)X=]+t,y=^—t等等。

我們使用換元法時(shí)，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一

7C

定要使新變量范圍對(duì)應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大。如上幾例中的t>0和ae[0,y]o

I、再現(xiàn)性題組：

1.y=sinx,cosx+sinx+cosx的最大值是。

2.設(shè)f(x?+1)=log“(4一x4)(a>l),則f(x)的值域是。

3.已知數(shù)列｛a“｝中，a1=-1,a,,”?a“=a“M—a”，則數(shù)列通項(xiàng)a“=。

4.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足x2+2xy—l=0,則x+y的取值范圍是。

1+3-

5.方程二寸=3的解是_____o

1+3,

x+,

6.不等式log2(2'-l).log2(2-2)〈2的解集是。

產(chǎn)1

【簡(jiǎn)解】1小題：設(shè)sinx+cosx=te[―y[2,V2],貝ijy=萬(wàn)+t——,對(duì),稱軸t=-1,當(dāng)t=V2,

yma*=萬(wàn)+后；

2小題：設(shè)x?+l=t(t2l),則f(t)=log”[-(tT)2+4],所以值域?yàn)?-8,kg”]；

3小題：已知變形為」-----L=-1,設(shè)b“=」-,則b|=-1,b“=-1+(n—1)(T)=-n,所以

-%a.

1

a」/

4小題：設(shè)x+y=k,則x?—2kx+l=0,△=41?—420,所以k21或kW-l；

1

5小題：設(shè)3*=y,則3y?~+2y—1=0,解得y=g,所以x=-1；

6小題：設(shè)log2(2'—1)=y,則y(y+l)<2,解得一2<y〈l,所以x￡(log21,log??)。

II、示范性題組:

11

例1.實(shí)數(shù)X、y滿足4x?-5xy+4y2=5（①式）設(shè)S=x2+y2,求不一+不一的值。（93

°inax°min

年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）

,,,，[x=Vscosa

【分析】由S=x?+y2聯(lián)想到cos2a+sin2a=1,于是進(jìn)行三角換元，設(shè)（代入①式

y=JSsinQ

求Smax和Smin的值。

x=Vscosa

【解】設(shè)彳r-代入①式得：4S—5S?sinacosa=5

y=JSsinQ

10

解得S=

8-5sin2a

101010

丁—lWsin2aWl3W8-5sin2aW13—W-----w—

138-5sina3

*--1--_|_---1--——3—|_—13.——16——8

?,5叫MJI。10-10-5

OC_inoc_1Q

此種解法后面求S最大值和最小值，還可由sin2a=-=—的有界性而求，即解不等式：|—，

JJ

W1。這種方法是求函數(shù)值域時(shí)經(jīng)常用到的“有界法”。

252sS

[另解]由S=X?+y2設(shè)x2=]+t,y2=--t,tG[--）

S2,仁

則xy=±代入①式得：4S+5彳一廠=5,

移項(xiàng)平方整理得100t2+39S2-160S+100=0。

21010

39s2-160S+100W0解z得：一WSW一

133

11313168

I---=--1--=

jmaxJmin1010105

【注】此題第一種解法屬于“三角換元法”，主要是利用已知條件S=x?+y2與三角公式cos?a+sin2

a=l的聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)用三角換元，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問(wèn)題。第二種解法屬于“均值換

元法”，主要是由等式S=x?+y2而按照均值換元的思路，設(shè)x2=E+t、y2=l-t,減少了元的個(gè)數(shù)，

22

問(wèn)題且容易求解。另外，還用到了求值域的幾種方法：有界法、不等式性質(zhì)法、分離參數(shù)法。

和“均值換元法”類似，我們還有一種換元法，即在題中有兩個(gè)變量X、y時(shí)，可以設(shè)*=@+ky=a

-b,這稱為“和差換元法”，換元后有可能簡(jiǎn)化代數(shù)式。本題設(shè)x=a+b,y=a—b,代入①式整理得3a?

,,5,,,,1020,1010

+13b-=5,求得所以S=(a—b)-+(a+b)-=2(a-+b-)=-+-a-G［一,二］,

31313133

再求『一+J的值。

"max"min

11V2A-C

例2.4ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足：A+C=2B,--------+——-=------------,求cos一^的值。

cosAcosCcosB2

（96年全國(guó)理）

A+C=]20。

【分析】由已知"A+C=2B"和''三角形內(nèi)角和等于180°”的性質(zhì)，可得\。；由“A

8=60。

A=60+aA-。

+C=120?！边M(jìn)行均值換元，則設(shè)《，再代入可求cosa即cos一^

C=60°-a2

A+C=120°

【解】由aABC中已知A+C=2B,可得\

5=60°

A=60°+a

由A+C=120。，設(shè)《，代入已知等式得:

C=60°-a

----------------I—_______1_______

cosAcosCcos(600+a)------COS(60°-6Z)-------1V3

cosa-sina1coscr+rs.ina

2222

cosacosa

13cos2”3

—cos2a--sin2a

444

V2A-CV2

解得:cosa=--,即:COS-------------=-------O

22

11V2

【另解】由A+C=2B,得A+C=120。,B=60°。所以----+——二=--------

cosAcosCcosB

=-2V2,設(shè)-----=-V2+m,--------=-V2--m，

cosAcosC

所以cosA=----尸----，cosC=------j=----,兩式分別相加、相減得:

-A/2+根—72-m

A+CA-CA-C2V2

cosA+cosC=2cos--------cos---------=cos---------=-z-------，

222m2-2

4+CA—Cf—A—C2機(jī)

cosA—cosC=—2sin--------sin----------=-v3sin----------=-i------，

222病.

A—C2m2V22A—C2A

即：sin---=----7=--------，=------o——,代入sin?------Feos2—

2V3(m2-2)"-22

,,,,、A-C2y/2V2

-12=0,解出m2=6,代入cos---=—z--=--o

2tn-22

【注】本題兩種解法由“A+C=120。"、“一二十—=—20”分別進(jìn)行均值換元，隨后結(jié)合

cosAcosC

三角形角的關(guān)系與三角公式進(jìn)行運(yùn)算，除由已知想到均值換元外，還要求對(duì)三角公式的運(yùn)用相當(dāng)熟練。假

如未想到進(jìn)行均值換元，也可由三角運(yùn)算直接解出：由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°。所以——-

cosA

H----------=-----——~=—2,即cosA+cosC=—2V2cosAcosC,和積互化得：

cosCcosB

A+CA-CA-C后后,、后

2cos---cos---------=-V2[COS(A+C)+cos(A-C)，即cos---=--------v2cos(A-C)=------

22222

I-0A—CI-,A—CA—C1-

J2(2cos2------------1),整理得：4J2cos2---------+2cos-------------3丁2=0,

222

“,A-CV2

解得：COS---

V

例3.設(shè)a〉0,求f(x)=2a(sinx+cosx)—sinx?cosx—2a2的最大值

和最小值。今

【解】設(shè)sinx+cosx=t,貝lj[-],由(sinx+cosx)?=

/t2~1

l+2sinx?cosx得：sinx?cosx=--------

2

/.f(x)=g(t)=------(t-2a)2H—(a>0),t[~V2,V2]

22

時(shí)，取最小值：一2「一2j^a一萬(wàn)

當(dāng)時(shí)、t=&，取最大值：-2a2+2Jia-g

當(dāng)0<2aW/時(shí)，t=2a,取最大值：g。

f(x)的最小值為一2a?—2J^a—彳，最大值為“

2

—2a*+2y[2a——(a>—)

22

【注】此題屬于局部換元法，設(shè)sinx+cosx=t后，抓住sinx+cosx與sinx?cosx的內(nèi)在聯(lián)系，將

三角函數(shù)的值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問(wèn)題，使得容易求解。換元過(guò)程中一定要注意新的

參數(shù)的范圍(te[-V2,V2])與sinx+cosx對(duì)應(yīng)，否則將會(huì)出錯(cuò)。本題解法中還包含了含參問(wèn)題時(shí)分

類討論的數(shù)學(xué)思想方法，即由對(duì)稱軸與閉區(qū)間的位置關(guān)系而確定參數(shù)分兩種情況進(jìn)行討論。

?般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與cosx的和、差、積等而求三角式的最大值和最小值的

題型時(shí)，即函數(shù)為f(sinx土cosx,sinxcsox),經(jīng)常用到這樣設(shè)元的換元法，轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間上的二次函

數(shù)或?次函數(shù)的研究。

例4.設(shè)對(duì)所于有實(shí)數(shù)x,不等式x?log2*"[I'+2xlog?”2"；+log,>0恒成立,求a

aa+1'4a~

的取值范圍。(87年全國(guó)理)

4(fl+1

【分析】不等式中l(wèi)og2\log2-^->log,"：?三項(xiàng)有何聯(lián)系?進(jìn)行對(duì)數(shù)式的有關(guān)變

aa+\4a~

形后不難發(fā)現(xiàn)，再實(shí)施換元法。

“.la,4(a+l)8(a+l)a+1la

[解]設(shè)log----=t,貝ijlog,-------=log----=3+log——=3—log-----=3—t,

2a+la22a22a2a+l

(a+1)-a+l

log:2=21og——=—2t，

24a-22a

代入后原不等式簡(jiǎn)化為(3-t)x2+2tx-2t>0,它對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，所以：

[3->0t<32a

：.t<0即log,----<0

t<0或，>6xX.I1

2a

0<----<1,解得0<aG。

a+1

【注】應(yīng)用局部換元法，起到了化繁為簡(jiǎn)、化難為易的作用。為什么會(huì)想到換元及如何設(shè)元，關(guān)鍵是

發(fā)現(xiàn)已知不等式中l(wèi)og2-1)、log23'10§2三項(xiàng)之間的聯(lián)系。在解決不等式恒成立問(wèn)

題時(shí)，使用了“判別式法”。另外，本題還要求對(duì)數(shù)運(yùn)算十分熟練。?般地，解指數(shù)與對(duì)數(shù)的不等式、方

程，有可能使用局部換元法，換元時(shí)也可能要對(duì)所給的已知條件進(jìn)行適當(dāng)變形，發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系而實(shí)施換

元，這是我們思考解法時(shí)要注意的一點(diǎn)。

,sin9cos0cos20sin2。10

（②式），求一的值。

例5.已知-----f_EL2

xyXy3(/+y2)y

sin0cos9

【解】設(shè)=k,則sine=kx,cos6=ky,且sin?e+COS2。=k2(x?+y?)=1,

Xy

72

k2y2k2x210IO%?yx10

代入②式得:即：H----2

9/-3(/+/)—3T

Xxy

x則t+l=W,解得：t=3或??于士6或#

設(shè)F=t，

yt33

?02g

【另解】由±=*7=tg9,將等式②兩邊同時(shí)除以C°S2，再表示成含tg。的式子：l+tg4

ycosx

10102,幾2.2

0=(1+tg20}x---------1—=一tg0,設(shè)tg2°=t,貝lj3t—10t+3=0,

35

，或xV3

t=31,解得一=±V3或土--。

y3

sin6cos0

【注】第一種解法由-----------而進(jìn)行等量代換，進(jìn)行換元，減少了變量的個(gè)數(shù)。第二種解法

xy

Xsin9

將已知變形為一=,不難發(fā)現(xiàn)進(jìn)行結(jié)果為tgO,再進(jìn)行換元和變形。兩種解法要求代數(shù)變形比較

yCOS0

熟練。在解高次方程時(shí)，都使用了換元法使方程次數(shù)降低。

(x-1)21(y+1)2

例6.實(shí)數(shù)x、y滿足一=1,若x+y—k>0恒成立，求k的范圍。

916

(1)2?(y+1)2

【分析】由已知條件-=1,可以發(fā)現(xiàn)它與a?+b2=l有相似之處，于是實(shí)施三角換

916

兀O

(1)2?(y+l)2x—1^-^-=sine,

【解】由=1,設(shè)一^-=cose,

9164

x=1+3cos。

即：\代入不等式x+y—k>0得:

y=-1+4sin。

3cos0+4sin0—k>0,即k<3cos0+4sin0=5sin(6+w)

所以k<-5時(shí)不等式恒成立。

【注】本題進(jìn)行三角換元，將代數(shù)問(wèn)題(或者是解析幾何問(wèn)題)化為了含參三角不等式恒成立的問(wèn)題,

再運(yùn)用“分離參數(shù)法”轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問(wèn)題，從而求出參數(shù)范圍。一般地，在遇到與圓、橢圓、雙

曲線的方程相似的代數(shù)式時(shí)，或者在解決圓、橢圓、雙曲線等有關(guān)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常使用“三角換元法”。

本題另一種解題思路是使用數(shù)形結(jié)合法的思想方法：在平面直角坐標(biāo)系,不等式ax+by+c>0(a>0)

所表示的區(qū)域?yàn)橹本€ax+by+c=O所分平面成兩部分中含x軸正方向的

一部分。此題不等式恒成立問(wèn)題化為圖形問(wèn)題：橢圓上的點(diǎn)始終位于平面

上x+y-k>0的區(qū)域。即當(dāng)直線x+y—k=0在與橢圓下部相切的切線之

[16(x-l)2+9(y+l)2=144

下時(shí)。當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，方程組有相

+y一女=0

等的一組實(shí)數(shù)解，消元后由△=()可求得k=-3,所以k<-3時(shí)原不等式恒

成立。

皿、鞏固性題組:

1.已知f(x')=lgx(x>0),則f(4)的值為。

A.21g2B.Ilg2C.21g2D.21g4

333

2.函數(shù)y=(x+l)4+2的單調(diào)增區(qū)間是。

A.[-2,+°°)B.[-1,+°°)D.(-8,+8)c.(-°°,-1]

3.設(shè)等差數(shù)列｛3｝的公差d=；,且5.=145,則a]+a3+as+……+晅9的值為_

A.85B.72.5C.60D.52.5

4.已知x?+4y2=4x,則x+y的范圍是。

5.已知a20,bNO,a+b=l,則J