湖北省黃岡市陶斯中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

湖北省黃岡市陶斯中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱(chēng)軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，，P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則的面積為()（A）18

（B）24

（C）

36

（D）

48參考答案：C2.由直線及曲線圍成的封閉圖形的面積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略3.已知集合，，則A．[1,2)

B．(－∞,1)∪[2,+∞)

C．[0,1]

D．(－∞,0)∪[2,+∞)參考答案：B由題意，，，所以，故選B．

4.當(dāng)a＞l時(shí)，函數(shù)f（x）=logax和g（x）=（l﹣a）x的圖象的交點(diǎn)在(

) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：D考點(diǎn)：函數(shù)的圖象與圖象變化．專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可判斷解答： 解：∵a＞l時(shí)，f（x）=logax的圖象經(jīng)過(guò)第一四象限，g（x）=（l﹣a）x的圖象經(jīng)過(guò)第二四象限，∴f（x）=logax和g（x）=（l﹣a）x的圖象的交點(diǎn)在第四象限故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題5.已知函數(shù)的周期為2,當(dāng)時(shí),,如果，則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（）A．2

B．4

C．6

D．8參考答案：

D

略6.已知a∈（-，0），cosa=，則tan(a+)等于

A．-

B．

C．-7

D．7參考答案：A略7.復(fù)數(shù)，，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

▲

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：A略8.在的展開(kāi)式中，若第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)之比為56：3，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是（）A．第2項(xiàng) B．第3項(xiàng) C．第4項(xiàng) D．第5項(xiàng)參考答案：B【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．【專(zhuān)題】計(jì)算題；二項(xiàng)式定理．【分析】在展開(kāi)式的通項(xiàng)中，令x=1得出第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)表達(dá)式，由已知，求出n，再在通項(xiàng)中令x得指數(shù)為0，確定常數(shù)項(xiàng)．【解答】解：展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=第5項(xiàng)的系數(shù)為?24，第3項(xiàng)的系數(shù)為?22，由已知，得出?24：?22=56：3，解得n=10令10﹣5r=0，可得r=2時(shí)，取到常數(shù)項(xiàng)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用：求指定的項(xiàng)．牢記公式是基礎(chǔ)，方程思想是關(guān)鍵．9.正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n和為Sn，已知，則=（

）A.35 B.36 C.45 D.54參考答案：C【分析】由等差數(shù)列{an}通項(xiàng)公式得，求出，再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式能求出.【詳解】正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前項(xiàng)和，，，解得或（舍），，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式，屬于中檔題.解等差數(shù)列問(wèn)題要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)（）與前項(xiàng)和的關(guān)系.10.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（

）A．4π B．8π C．10π D．12π參考答案：D由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)俯視圖為直角三角形的三棱錐，其外接球相當(dāng)于一個(gè)長(zhǎng)為2，寬為2，高為2的長(zhǎng)方體的外接球∴外接球的直徑為∴該幾何體的外接球的表面積為故選D

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】零點(diǎn)與方程函數(shù)圖象【試題解析】因?yàn)樵}等價(jià)于函數(shù)與圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，a為直線在x軸上的截距，有圖像可得。

故答案為：

12.已知，，且，則與夾角的余弦值為_(kāi)__________.參考答案：，，．13.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

.參考答案：14.已知函數(shù)f（x）=|cosx|sinx，給出下列五個(gè)說(shuō)法：①f（π）=﹣；②若|f（x1）|=|f（x2）|，則x1=x2+kπ（k∈Z）；③f（x）在區(qū)間[﹣，]上單調(diào)遞增；④函數(shù)f（x）的周期為π．⑤f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）成中心對(duì)稱(chēng)．其中正確說(shuō)法的序號(hào)是．參考答案：①③【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，依次對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：由題意函數(shù)f（x）=|cosx|sinx=（k∈Z）；對(duì)于①：f（π）=|cos|sin=）=|cos（）|sin（27π）==﹣；所以①對(duì)對(duì)于②：若|f（x1）|=|f（x2）|，當(dāng)x2=，x1=時(shí)，成立，則x1=x2+，所以②不對(duì)對(duì)于③f（x）在區(qū)間[﹣，]上時(shí)，f（x）=sin2x，可得2x∈[，]，x∈[﹣，]上是單調(diào)遞增；所以③對(duì)．對(duì)于④：函數(shù)f（x）=|cosx|sinx，則f（x+π）=|cos（x+π）|sin（x+π）=﹣（|cosx|sinx）=﹣f（x），可得函數(shù)f（x）的周期不是π．所以④不對(duì)．對(duì)于⑤：由于f（）=|cos（x+）|sin（x+）=cosx?|sinx|，f（）=|cos（﹣x+）|sin（﹣x+）=cosx?|sinx|則：f（）=f（）圖象關(guān)于x=對(duì)稱(chēng)．所以⑤不對(duì)．綜上所得：①③正確，②④⑤不對(duì)．故答案為：①③．15.下圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是

。參考答案：16.已知正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)_______________.參考答案：略17.有3個(gè)男生和3個(gè)女生參加某公司招聘，按隨機(jī)順序逐個(gè)進(jìn)行面試，那么任何時(shí)候等待面試的女生人數(shù)都不少于男生人數(shù)的概率是

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知橢圓的離心率為，且橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，求面積的最大值.參考答案：略19.（本小題滿(mǎn)分12分）已知橢圓：左、右焦點(diǎn)為、，、、、是它的四個(gè)頂點(diǎn)(其相應(yīng)位置如圖所示)．且，．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過(guò)且與兩坐標(biāo)軸均不平行的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，求的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ）設(shè)，則由

①由

②

由①、②兩式得．故橢圓的方程為．

……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得橢圓的方程為，的坐標(biāo)為依題意，設(shè)的方程為由設(shè)，則有……8分則，又點(diǎn)到直線的距離，即③又，即④由③、④得由．故的取值范圍是．

……12分

（注：本題有其它解法，請(qǐng)根據(jù)不同解法進(jìn)行判分）20.已知是底面邊長(zhǎng)正四棱柱，為與的交點(diǎn)。

（1）設(shè)與底面所成的角為，求該棱柱的側(cè)面積;

（2）(理)若點(diǎn)到平面的距離為，求四棱柱的體積。

(文)設(shè)高,求四面體的體積。參考答案：(1)連，底面于，

∴與底面所成的角為，

即,則,

則.

⑵建立如圖空間直角坐標(biāo)系，有

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

∵，取得

∴

點(diǎn)到平面的距離為，

則。則.

(文)連，則所求四面體的體積

21.如圖，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E是線段AB中點(diǎn)．（1）證明：D1E⊥CE；（2）求二面角D1﹣EC﹣D的大小的余弦值；（3）求A點(diǎn)到平面CD1E的距離．參考答案：【考點(diǎn)】MK：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；MT：二面角的平面角及求法．【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，證明CE⊥面D1DE即可證明：D1E⊥CE；（2）建立坐標(biāo)系，利用向量法即可求二面角D1﹣EC﹣D的大小的余弦值；（3）根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式，即可求A點(diǎn)到平面CD1E的距離．【解答】解：（1）證明：DD1⊥面ABCD，CE?面ABCD所以，DD1⊥CE，Rt△DAE中，AD=1，AE=1，DE==，同理：CE=，又CD=2，CD2=CE2+DE2，DE⊥CE，DE∩CE=E，所以，CE⊥面D1DE，又D1E?面D1EC，所以，D1E⊥CE．（2）設(shè)平面CD1E的法向量為=（x，y，z），由（1）得=（1，1，﹣1），=（1，﹣1，0）?=x+y﹣1=0，?=x﹣y=0解得：x=y=，即=（，，1）；又平面CDE的法向量為=（0，0，1），∴cos＜，＞===，所以，二面角D1﹣EC﹣D的余弦值為，（3））由（1）（2）知=（0，1，0），平面CD1E的法向量為=（，，1）故，A點(diǎn)到平面CD1E的距離為d===．22.某種植園在芒果臨近成熟時(shí)，隨機(jī)從一些芒果樹(shù)上摘下100個(gè)芒果，其質(zhì)量分別在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400)（單位：克）中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得頻率分布直方圖如圖所示.

(1)現(xiàn)按分層抽樣從質(zhì)量為[250,300)，[300,350)的芒果中隨機(jī)抽取9個(gè)，再?gòu)倪@9個(gè)中隨機(jī)抽取3個(gè)，記隨機(jī)變量X表示質(zhì)量在[300,350)內(nèi)的芒果個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.(2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的平均值，將頻率視為概率，某經(jīng)銷(xiāo)商來(lái)收購(gòu)芒果，該種植園中還未摘下的芒果大約還有10000個(gè)，經(jīng)銷(xiāo)商提出如下兩種收購(gòu)方案：A：所