河南省商丘市趙樓中學高三數(shù)學文期末試卷含解析

河南省商丘市趙樓中學高三數(shù)學文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在中，“”是“”的（

）A．充要條件

B．充分不必要條件

C．必要不充分條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A2.祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.意思是說：兩個同高的幾何體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等.設A、B為兩個同高的幾何體，p:A、B的體積不相等，q:A、B在等高處的截面積不恒相等.根據(jù)祖暅原理可知，p是q的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：A【分析】由題意分別判斷命題的充分性與必要性，可得答案.【詳解】解：由題意，若A、B的體積不相等，則A、B在等高處的截面積不恒相等，充分性成立；反之，A、B在等高處的截面積不恒相等，但A、B的體積可能相等，例如是一個正放的正四面體，B一個倒放的正四面體，必要性不成立，所以是的充分不必要條件，故選：A.【點睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判定，意在考查學生的邏輯推理能力.3.若，（其中都是實數(shù)，是虛數(shù)單位），則=

A．

B．

C．

D．1參考答案：A4.設集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，則M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}參考答案：D考點： 交集及其運算．

專題： 集合．分析： 求出集合N的元素，利用集合的基本運算即可得到結論．解答： 解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故選：D．點評： 本題主要考查集合的基本運算，比較基礎．5.在△ABC中，a，b，c為角A，B，C的對邊，若，則△ABC是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形參考答案：C【考點】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可得sinA=cosA，sinB=cosB，利用兩角差的正弦函數(shù)公式，角的范圍，正弦函數(shù)的圖象和性質可求A=B，即可得解．【解答】解：∵，又∵由正弦定理可得：，∴sinA=cosA，sinB=cosB，∴sin（A﹣）=0，sin（B﹣）=0，∵A，B∈（0，π），可得：A﹣，B﹣∈（﹣，），∴A﹣=0，B﹣=0，∴A=B=．故選：C．6.設下列不等關系不恒成立的是 （

） C

若，則 參考答案：D略7.已知平面向量，滿足（）=5，且||=2，||=1，則向量與夾角的正切值為（）A． B． C．﹣ D．﹣參考答案：B【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，即可求出向量、的夾角θ以及θ的正切值．【解答】解：設、的夾角為θ，則θ∈[0，π]，又（）=5，||=2，||=1，∴+?=22+2×1×cosθ=5，解得cosθ=，∴θ=，∴tanθ=，即向量與夾角的正切值為．故選：B．8.已知函數(shù)與的圖象關于軸對稱，當函數(shù)和在區(qū)間[a，b]同時遞增或同時遞減時，把區(qū)間[a，b]叫做函數(shù)的“不動區(qū)間”.若區(qū)間[1,2]為函數(shù)的“不動區(qū)間”，則實數(shù)t的取值范圍是（

）A.(0,2]

B.

C.

D.參考答案：C∵函數(shù)y=f（x）與y=F（x）的圖象關于y軸對稱，∴F（x）=f（﹣x）=|2﹣x﹣t|，∵區(qū)間[1，2]為函數(shù)f（x）=|2x﹣t|的“不動區(qū)間”，∴函數(shù)f（x）=|2x﹣t|和函數(shù)F（x）=|2﹣x﹣t|在[1，2]上單調性相同，∵y=2x﹣t和函數(shù)y=2﹣x﹣t的單調性相反，∴（2x﹣t）（2﹣x﹣t）≤0在[1，2]上恒成立，即1﹣t（2x+2﹣x）+t2≤0在[1，2]上恒成立，即2﹣x≤t≤2x在[1，2]上恒成立，即≤t≤2，故答案為：C

9.若向量a與向量b的夾角為60°，且|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，則向量a的模為()A．2

B．4

C．6

D．12參考答案：【知識點】向量的模；平面向量數(shù)量積的運算.F2F3C

解析：（a+2b）?（a﹣3b）=|a|2﹣|a||b|cos60°﹣6|b|2=|a|2﹣2|a|﹣96=﹣72，∴|a|2﹣2|a|﹣24=0．∴（|a|﹣6）?（|a|+4）=0．∴|a|=6．故選C【思路點撥】分解（a+2b）?（a﹣3b）得|a|2﹣|a||b|cos60°﹣6|b|2，因為向量的夾角、已知，代入可得關于的方程，解方程可得．10.函數(shù)的定義域是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B試題分析：由題意1-x＞0且3x+1＞0，解得x∈，故選B．考點：函數(shù)的定義域．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知D、E分別是△ABC邊AB、AC上的點，且BD=2AD，AE=2EC，點P是線段DE上的任意一點，若=x+y，則xy的最大值為．參考答案：【考點】9H：平面向量的基本定理及其意義．【分析】BD=2AD，AE=2EC，點P是線段DE上的任意一點，=x+y，可得=3x+，利用向量共線定理可得=1，再利用基本不等式的性質即可得出．【解答】解：如圖所示，∵BD=2AD，AE=2EC，點P是線段DE上的任意一點，=x+y，∴=3x+，∴=1，∴2x+y=．∵x，y＞0，∵，，當且僅當y=2x=時取等號．則xy的最大值為．故答案為：．12.已知，和的夾角為，以，為鄰邊作平行四邊形，則此平行四邊形的兩條對角線中較短的一條的長度為

．

參考答案：答案：13.設，，，，則數(shù)列的通項公式=

．參考答案：2n+1解析：由條件得且所以數(shù)列是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，則14.設是定義在R上以1為周期的函數(shù)，若在區(qū)間上的值域為，則在區(qū)間上的值域為__________.參考答案：略15.已知函數(shù)f（x）＝－2x＋a有零點，則a的取值范圍是_______________．參考答案：略16.已知F1、F2是橢圓的左、右焦點，點P是橢圓上任意一點，從F1引∠F1PF2的外角平分線的垂線，交F2P的延長線于M，則點M的軌跡方程是________．參考答案：略17.不等式的解集為

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題共13分）某中學號召學生在今年春節(jié)期間至少參加一次社會公益活動（以下簡稱活動）．該校合唱團共有100名學生，他們參加活動的次數(shù)統(tǒng)計如圖所示．（I）求合唱團學生參加活動的人均次數(shù)；（II）從合唱團中任意選兩名學生，求他們參加活動次數(shù)恰好相等的概率．（III）從合唱團中任選兩名學生，用表示這兩人參加活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望．參考答案：解析：由圖可知，參加活動1次、2次和3次的學生人數(shù)分別為10、50和40．（I）該合唱團學生參加活動的人均次數(shù)為．（II）從合唱團中任選兩名學生，他們參加活動次數(shù)恰好相等的概率為．（III）從合唱團中任選兩名學生，記“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加2次活動”為事件，“這兩人中一人參加2次活動，另一人參加3次活動”為事件，“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加3次活動”為事件．易知

；

；的分布列：012的數(shù)學期望：．19.等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a1+2a2=1，a32=4a2a6．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設bn+2=3log2，求數(shù)列{anbn}的前n項和．參考答案：【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（1）設數(shù)列{an}的公比為q，通過解方程組可求得a1與q，從而可求數(shù)列{an}的通項公式；（2）利用錯位相減法可求得數(shù)列{an?bn}的前n項和Sn．【解答】解：（1）由a32=4a2a6得：a32=4a42∴q2=

即q=又由a1+2a2=1得：a1=∴an=（）n…（6分）（2）∵bn+2=3log2∴bn+2=3log22n∴bn=3n﹣2∴cn=（3n﹣2）?（）n∴Sn=1×+4×（）2+7×（）3+…+（3n﹣5）?（）n﹣1+（3n﹣2）?（）n

…①Sn=1×（）2+4×（）3+7×（）4+…+（3n﹣5）?（）n+（3n﹣2）?（）n+1…②①﹣②得：Sn=1×+3（（）2+（）3+…+（）n）﹣（3n﹣2）?（）n+1=1×+3×﹣（3n﹣2）?（）n+1=+3×（1﹣（）n﹣1）﹣（3n﹣2）?（）n+1Sn=1+3﹣3×（）n﹣1﹣（3n﹣2）?（）n=4﹣（）n（6+3n﹣2）=4﹣（）n（3n+4）即：Sn=4﹣…（12分）【點評】本題考查數(shù)列的錯位相減法求和，考查等比數(shù)列的通項公式與求和公式的綜合應用，屬于中檔題．20.某校高三一次月考之后，為了為解數(shù)學學科的學習情況，現(xiàn)從中隨機抽出若干名學生此次的數(shù)學成績，按成績分組，制成了下面頻率分布表：組號分組頻數(shù)頻率第一組[90，100）50.05第二組[100，110）350.35第三組[110，120）300.30第四組[120，130）200.20第五組[130，140）100.10合計1001.00（1）試估計該校高三學生本次月考的平均分；（2）如果把表中的頻率近似地看作每個學生在這次考試中取得相應成績的概率，那么從所有學生中采用逐個抽取的方法任意抽取3名學生的成績，并記成績落在[110，130）中的學生數(shù)為ξ，求：①在三次抽取過程中至少有兩次連續(xù)抽中成績在[110，130）中的概率；②ξ的分布列和數(shù)學期望．（注：本小題結果用分數(shù)表示）參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列．【分析】（1）計算本次月考數(shù)學學科的平均分即可；（2）由表知成績落在[110，130）中的概率，①利用相互獨立事件的概率計算“在三次抽取過程中至少有兩次連續(xù)抽中成績在[110，130）中”的概率值；②由題意ξ的可能取值為0，1，2，3；計算對應的概率值，寫出ξ的分布列與數(shù)學期望．【解答】解：（1）本次月考數(shù)學學科的平均分為=；（2）由表知，成績落在[110，130）中的概率為P=，①設A表示事件“在三次抽取過程中至少有兩次連續(xù)抽中成績在[110，130）中”，則，所以在三次抽取過程中至少有兩次連續(xù)抽中成績在[110，130）中的概率為；②ξ的可能取值為0，1，2，3；且，，，；∴ξ的分布列為ξ0123P數(shù)學期望為．（或，則．【點評】本題考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望的應用問題，是基礎題．21.（12分）設函數(shù)(1)

求導數(shù);并證明有兩個不同的極值點;(2)

若不等式成立，求的取值范圍參考答案：解析：（I）

因此是極大值點，是極小值點.

（II）因

又由（I）知

代入前面不等式，兩邊除以（1+a），并化簡得

22.如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中點．(1)證明：平面BDC1⊥平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比．參考答案：(1)見解析.(2)1:1.【分析】(1)由已知可以證明出平面，也就證明出，在側面中，可以證明出，這樣可以證明平面，也就能證明出平面BDC1⊥平面BDC；(