廣東省廣州市增城市新塘鎮(zhèn)永和中學(xué)高三數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析

廣東省廣州市增城市新塘鎮(zhèn)永和中學(xué)高三數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖為幾何體的三視圖，根據(jù)三視圖可以判斷這個(gè)幾何體為（

）A．圓錐

B．三棱錐C．三棱柱

D．三棱臺(tái)參考答案：C略2.函數(shù)（）的圖象如右圖所示，為了得到,只需將的圖像（

）A、向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度

B、向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C、向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度

D、向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度參考答案：B略3.拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）A. B. C. D.參考答案：D拋物線可化為，焦點(diǎn)在軸上，拋物線的準(zhǔn)線方程是，故選D.4.將函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖像的函數(shù)解析式是

（

）A．

B.C.D.參考答案：D5.下列說法錯(cuò)誤的是

A．如果命題“”與命題“”都是真命題，那么命題一定是真命題；

B．命題“若，則”的否命題是：“若，則”；

C．若命題，，則，；

D．“”是“”的充分不必要條件參考答案：D略6.設(shè)，，則（

）A． B．C． D．參考答案：B由題得，，所以．故選B．7.=（）A．i B． C． D．i參考答案：D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算．【分析】由于i4=1，可得i2013=（i4）503?i=i，i2015=﹣i，再利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出．【解答】解：∵i4=1，∴i2013=（i4）503?i=i，i2015=（i4）503?i3=﹣i，∴原式===，故選：D．8.已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（3x），當(dāng)x∈[1，3），f（x）=lnx，若在區(qū)間[1，9）內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）﹣ax有三個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】可以根據(jù)函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（3x），求出x∈[3，9）上的解析式，在區(qū)間[1，9）內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）﹣ax有三個(gè)不同零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化成“f（x）﹣ax=0在區(qū)間[1，9）上有三個(gè)解，即a=有三個(gè)解”，最后轉(zhuǎn)化成y=a與h（x）=的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性畫出函數(shù)h（x）的圖象，即可求出所求．【解答】解：設(shè)x∈[3，9），則∈[1，3）∵x∈[1，3），f（x）=lnx，∴f（）=ln，∵函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（3x），∴f（）=f（x）=ln，∴f（x）=，∵在區(qū)間[1，9）內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）﹣ax有三個(gè)不同零點(diǎn)，∴f（x）﹣ax=0在區(qū)間[1，9）上有三個(gè)解，即a=有三個(gè)解，則y=a與h（x）=的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)x∈[1，3），h（x）==，則h′（x）==0，解得x=e，∴當(dāng)x∈[1，e）時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)x∈（e，3）時(shí)，h′（x）＜0即函數(shù)h（x）==在[1，e）上單調(diào)遞增，在（e，3）上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x=e處，函數(shù)h（x）==在[1，3）上取最大值，當(dāng)x∈[3，9），h（x）==，則h′（x）==0，解得x=3e，∴當(dāng)x∈[3，3e）時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)x∈（3e，9）時(shí)，h′（x）＜0即函數(shù)h（x）==在[3，3e）上單調(diào)遞增，在（3e，9）上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x=3e處，函數(shù)h（x）==在[3，9）上取最大值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，以及h（1）=0，h（e）=，h（3）=0，h（3e）=，h（9）=，畫出函數(shù)的大值圖象，根據(jù)圖象可知y=a與h（x）在[1，3）上一個(gè)交點(diǎn)，在[3，3e）上兩個(gè)交點(diǎn)，∴在區(qū)間[1，9）內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）﹣ax有三個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（，）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．9.設(shè)平面上有四個(gè)互異的點(diǎn)A、B、C、D，已知（則△ABC的形狀是（

）

A．直角三角形B．等腰三角形

C．等腰直角三角形

D．等邊三角形參考答案：B10.指數(shù)函數(shù)y=b·在[b,2]上的最大值與最小值的和為6.則a值為A.2

B.-3

C.2或-3

D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，，AD與CE交于點(diǎn)O.若，則______.參考答案：【分析】首先用、表示出、，結(jié)合得，進(jìn)一步可得結(jié)果．【詳解】由題得，，因?yàn)?，所以，，．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查三角形加法和減法法則和平面向量的基底法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.12.若，則=

。參考答案：3013.正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，將它沿高AD翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為，此時(shí)四面體ABCD外接球表面積為．參考答案：5π【考點(diǎn)】LG：球的體積和表面積．【分析】三棱錐B﹣ACD的三條側(cè)棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，然后求球的表面積．【解答】解：根據(jù)題意可知三棱錐B﹣ACD的三條側(cè)棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面邊長(zhǎng)為1，1，，由題意可得：三棱柱上下底面中點(diǎn)連線的中點(diǎn)，到三棱柱頂點(diǎn)的距離相等，說明中心就是外接球的球心，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心為O，外接球的半徑為r，球心到底面的距離為1，底面中心到底面三角形的頂點(diǎn)的距離為：，∴球的半徑為r==．外接球的表面積為：4πr2=5π．故答案為：5π．14.已知是常數(shù)，，且，則

．參考答案：315.設(shè)當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值,則_______。參考答案：略16.曲線和曲線圍成的圖形的面積是

.參考答案：17.設(shè)，，且，則當(dāng)取最小值時(shí)，______.參考答案：12【分析】當(dāng)取最小值時(shí)，取最小值，變形可得，由基本不等式和等號(hào)成立的條件可得答案．【詳解】解析：∵，，∴當(dāng)取最小值時(shí)，取得最小值，∵，又，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，∴當(dāng)取最小值時(shí)，，，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求最值，變形為可用基本不等式的形式是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某高校在2010年的自主招生考試中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的筆試成績(jī)，按成績(jī)分組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組得到的頻率分布直方圖如圖所示，（1）求第三、四、五組的頻率；

（2）為了以選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，學(xué)校決定在筆試成績(jī)高的第三、四、五組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，求第三、四、五組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試。

（3）在（2）的前提下，學(xué)校決定在這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受甲考官的的面試，求第四組至少有一名學(xué)生被甲考官面試的概率。參考答案：解：（1）由題設(shè)可知，第三組的頻率為0．06×5=0．3第四組的頻率為0．04×5=0．2第五組的頻率為0．02×5=0．1………3分（2）第三組的人數(shù)為0．3×100=30第四組的人數(shù)為0．2×100=20第五組的人數(shù)為0．1×100=10……6分因?yàn)榈谌?、四、五組共有60名學(xué)生，所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組抽到的人數(shù)分別為：第三組第四組第五組所以第三、四、五組分別抽取3人，2人，1人．……………9分（3）設(shè)第三組的3位同學(xué)為,第四組的2位同學(xué)為，第五組的1位同學(xué)為則從6位同學(xué)中抽2位同學(xué)有：,,,,,,,,,,,,,共15種可能………………10分其中第四組的2位同學(xué)中至少1位同學(xué)入選有,，,，,,,共9種可能……11分所以第四組至少有1位同學(xué)被甲考官面試的概率為……12分略19.（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n﹣1，n∈N*（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列bn=，試求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．參考答案：【考點(diǎn)】：數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【專題】：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】：（1）由于數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n﹣1，n∈N*．利用“當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1，當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1”即可得出．2）bn==，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．解：（1）∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n﹣1，n∈N*．∴當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1．當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2﹣1=1，上式也滿足．∴an=2n﹣1．（2）bn===，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=+…+=1﹣=．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了遞推式的應(yīng)用、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．20.（本小題滿分14分）已知焦點(diǎn)為，的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，直線過點(diǎn)與橢圓交于、兩點(diǎn)，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)。

（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求的范圍；（III）若直線的斜率存在且不為零，向量與向量平行，求的值及的外接圓的方程。參考答案：（1）設(shè)橢圓方程為，點(diǎn)在橢圓上，，所以所以，又，所以，于是，橢圓方程為（2）①若直線的斜率不存在，即直線與軸垂直，此時(shí)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則=②若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，此時(shí)，滿足，消去，得，易知，

而，則==（）令，故，易知（否則不存在），于是，由，得，即綜合①②，（3）===由與向量平行，得解得（舍去），，此時(shí)由（）得所以⊥，此時(shí)的外接圓的圓心為線段的中點(diǎn)，即，半徑，此時(shí)，的外接圓的方程21.（12分）如圖,在長(zhǎng)方體,中,,點(diǎn)在棱AB上移動(dòng).（Ⅰ）證明:;（Ⅱ）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)到面的距離;

（Ⅲ）等于何值時(shí),二面角的大小為.