中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第六章空間與圖形6.3銳角三角函數(shù)試卷市賽課公開課一等獎省名師獲獎?wù)n件

第六章圖形與變換§6.3銳角三角函數(shù)中考數(shù)學(xué)

(河南專用)1/139A組-年河南中考題組五年中考1.(河南,20,9分)“高低杠”是女子體操特有一個競技項(xiàng)目,其比賽器材由高、低兩根平

行杠及若干支架組成,運(yùn)動員可依據(jù)自己身高和習(xí)慣在要求范圍內(nèi)調(diào)整高、低兩杠間距

離.某興趣小組依據(jù)高低杠器材一個截面圖編制了以下數(shù)學(xué)問題,請你解答.如圖所表示,底座上A,B兩點(diǎn)間距離為90cm.低杠上點(diǎn)C到直線AB距離CE長為155cm,高

杠上點(diǎn)D到直線AB距離DF長為234cm,已知低杠支架AC與直線AB夾角∠CAE為82.4°,高杠支架BD與直線AB夾角∠DBF為80.3°.求高、低杠間水平距離CH長.(結(jié)果準(zhǔn)確到1cm.參考數(shù)據(jù):sin82.4°≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.500,sin80.3°≈0.983,cos80.3°≈0.168,tan80.3°≈5.850)2/139解析

在Rt△CAE中,AE=

=

≈

≈20.7.(3分)在Rt△DBF中,BF=

=

≈

=40.

(6分)∴EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7≈151.∵四邊形CEFH為矩形,∴CH=EF=151.即高、低杠間水平距離CH長約是151cm.

(9分)思緒分析依據(jù)Rt△CAE和Rt△DBF中邊和角數(shù)值,用正切函數(shù)分別求得AE,BF長度,

得EF=AE+AB+BF,由矩形性質(zhì)可知CH=EF,能夠求出問題答案.方法總結(jié)解直角三角形應(yīng)用問題,普通依據(jù)題意抽象出幾何圖形,結(jié)合所給線段或角,借

助邊角關(guān)系、三角函數(shù)定義解題,若幾何圖形中無直角三角形,則需要依據(jù)條件結(jié)構(gòu)直角三

角形,再解直角三角形,求出實(shí)際問題答案.3/1392.(河南,19,9分)如圖所表示,我國兩艘海監(jiān)船A,B在南海海域巡航,某一時刻,兩船同時收到指

令,馬上前往救援遇險拋錨漁船C.此時,B船在A船正南方向5海里處,A船測得漁船C在其南

偏東45°方向,B船測得漁船C在其南偏東53°方向.已知A船航速為30海里/小時,B船航速為

25海里/小時,問C船最少要等候多長時間才能得到救援?

參考數(shù)據(jù):sin53°≈

,cos53°≈

,tan53°≈

,

≈1.41

4/139解析過點(diǎn)C作CD⊥AB交AB延長線于點(diǎn)D,則∠CDA=90°.

(1分)已知∠CAD=45°,設(shè)CD=x海里,則AD=CD=x海里.∴BD=AD-AB=(x-5)海里.

(3分)在Rt△BDC中,CD=BD·tan53°,即x=(x-5)·tan53°,∴x=

≈

=20.

(6分)∴BC=

=

≈20÷

=25海里.∴B船抵達(dá)C船處約需時間:25÷25=1(小時).

(7分)在Rt△ADC中,AC=

x≈1.41×20=28.2海里,∴A船抵達(dá)C船處約需時間:28.2÷30=0.94(小時).

(8分)而0.94<1,所以C船最少要等候0.94小時才能得到救援.

(9分)5/139解題技巧本題是解三角形兩種經(jīng)典問題中一個.以下介紹兩種經(jīng)典問題:(1)如圖,當(dāng)BC=a時,設(shè)AD=x,則CD=

,BD=

.∵CD+BD=a,∴

+

=a,∴x=

.

(2)如圖,當(dāng)BC=a時,設(shè)AD=x,則BD=

,CD=

,∵CD-BD=a,∴

-

=a,∴x=

.6/1393.(河南,19,9分)如圖,小東在教學(xué)樓距地面9米高窗口C處,測得正前方旗桿頂部A點(diǎn)仰

角為37°,旗桿底部B點(diǎn)俯角為45°.升旗時,國旗上端懸掛在距地面2.25米處.若國旗隨國歌聲

冉冉升起,并在國歌播放45秒結(jié)束時抵達(dá)旗桿頂端,則國旗應(yīng)以多少米/秒速度勻速上升?(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)

7/139解析過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D,則DB=9.

(1分)在Rt△CBD中,∠BCD=45°,∴CD=

=9.

(3分)在Rt△ACD中,∠ACD=37°,∴AD=CD·tan37°≈9×0.75=6.75.

(6分)∴AB=AD+DB=6.75+9=15.75.

(7分)(15.75-2.25)÷45=0.3(米/秒).∴國旗應(yīng)以約0.3米/秒速度勻速上升.

(9分)思緒分析依據(jù)題意結(jié)構(gòu)Rt△ACD,在Rt△ACD中求得AD長,從而求出AB長,利用公式v=

得解.8/1394.(河南,20,9分)如圖所表示,某數(shù)學(xué)活動小組選定測量小河對岸大樹BC高度,他們在斜坡

上D處測得大樹頂端B仰角是30°,朝大樹方向下坡走6米抵達(dá)坡底A處,在A處測得大樹頂端B

仰角是48°.若坡角∠FAE=30°,求大樹高度.(結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù):sin48°≈0.74,cos48°

≈0.67,tan48°≈1.11,

≈1.73)

9/139解析延長BD交AE于點(diǎn)G,過點(diǎn)D作DH⊥AE于點(diǎn)H.由題意知,∠DAE=∠BGA=30°,DA=6,∴GD=DA=6.∴GH=AH=DA·cos30°=6×

=3

.∴GA=6

.

(2分)設(shè)BC=x米.在Rt△GBC中,GC=

=

=

x.

(4分)在Rt△ABC中,AC=

=

.

(6分)∵GC-AC=GA,∴

x-

=6

.

(8分)∴x≈13.即大樹高度約為13米.

(9分)思緒分析延長BD交AE于G,結(jié)構(gòu)Rt△GBC,依據(jù)坡角和仰角概念,得∠BGC=30°,∠BAC=48°,解Rt△GBC和Rt△ABC,由GC-AC=GA,得出BC值.解題關(guān)鍵結(jié)構(gòu)直角三角形,設(shè)BC=x米,用x表示GC、AC是關(guān)鍵.10/1395.(河南,19,9分)在中俄“海上聯(lián)合—”反潛演練中,我軍艦A測得潛艇C俯角為30°,

位于軍艦A正上方1000米反潛直升機(jī)B測得潛艇C俯角為68°.試依據(jù)以上數(shù)據(jù)求出潛艇C

離開海平面下潛深度.(結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù):sin68°≈0.9,cos68°≈0.4,tan68°≈2.5,

≈1.7)

11/139解析過點(diǎn)C作CD⊥AB,交BA延長線于點(diǎn)D,則AD即為潛艇C下潛深度,依據(jù)題意得∠ACD=30°,∠BCD=68°.設(shè)AD=x米,則BD=BA+AD=(1000+x)米.在Rt△ACD中,CD=

=

=

x米.

(4分)在Rt△BCD中,BD=CD·tan68°(米).∴1000+x=

x·tan68°.

(7分)∴x=

≈

≈308.∴潛艇C離開海平面下潛深度約為308米.

(9分)思緒分析依據(jù)題意作CD⊥AB,交BA延長線于D,結(jié)構(gòu)Rt△ACD和Rt△BCD.設(shè)AD=x米,運(yùn)

用正切函數(shù)表示CD、BD,列方程求解.解題關(guān)鍵了解俯角概念,解對應(yīng)直角三角形,選適當(dāng)三角函數(shù)是關(guān)鍵.12/139考點(diǎn)一銳角三角函數(shù)B組-年全國中考題組1.(云南,12,4分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,則∠A正切值為

()A.3

B.

C.

D.

答案

A∵AC=1,BC=3,∠C=90°,∴tanA=

=3.13/1392.(天津,2,3分)sin60°值等于

()A.

B.

C.

D.

答案

C

sin60°=

.故選C.14/1393.(內(nèi)蒙古包頭,4,3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,若斜邊AB是直角邊BC3倍,則tanB值是

()A.

B.3C.

D.2

答案

D在Rt△ABC中,設(shè)BC=x(x>0),則AB=3x,∴AC=

=2

x.則tanB=

=2

.故選D.15/1394.(內(nèi)蒙古包頭,18,3分)如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E是CD中點(diǎn),點(diǎn)F是BC上一點(diǎn),且FC=2BF,

連接AE,EF.若AB=2,AD=3,則cos∠AEF值是

.

16/139答案

解析連接AF.∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=CD,∠B=∠C=90°.∵點(diǎn)E是CD中點(diǎn),AB=2,∴CE=1.∵FC=2BF,BC=3,∴BF=1,FC=2.易證△ABF≌△FCE,∴AF=EF,∠AFB=∠FEC,∵∠FEC+∠EFC=90°,∴∠AFB+∠EFC=90°,∴∠AFE=90°.∴△AEF是等腰直角三角形,∴cos∠AEF=cos45°=

.17/1395.(福建福州,18,4分)如圖,6個形狀、大小完全相同菱形組成網(wǎng)格,菱形頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).

已知菱形一個角(∠O)為60°,A,B,C都在格點(diǎn)上,則tan∠ABC值是

.

18/139答案

解析如圖,連接EA,EC,易知E、C、B三點(diǎn)共線.設(shè)小菱形邊長為a,由題意得∠AEF=30°,∠BEF=60°,AE=

a,EB=2a,∴∠AEB=90°,∴tan∠ABC=

=

=

.

19/1391.(廣西南寧,6,3分)如圖,廠房屋頂人字形(等腰三角形)鋼架跨度BC=10米,∠B=36°,則中

柱AD(D為底邊中點(diǎn))長是

()

A.5sin36°米

B.5cos36°米C.5tan36°米

D.10tan36°米考點(diǎn)二解直角三角形答案

C∵tanB=

,∴AD=BD·tanB=5tan36°米.故選C.20/1392.(黑龍江哈爾濱,8,3分)如圖,一艘輪船位于燈塔P北偏東60°方向,與燈塔P距離為30

海里A處.輪船沿正南方向航行一段時間后,抵達(dá)位于燈塔P南偏東30°方向上B處,則此

時輪船所在位置B處與燈塔P之間距離為

()

A.60海里

B.45海里C.20

海里

D.30

海里21/139答案

D如圖,過點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C,在Rt△APC中,AP=30,∠A=60°,∴PC=PA·sin60°=15.在Rt△BPC中,∠B=30°,∴PB=2PC=30

,即輪船在B處時與燈塔P之間距離為30

海里.故選D.

22/1393.(四川綿陽,10,3分)如圖,要在寬為22米九洲大道AB兩邊安裝路燈,路燈燈臂CD長2

米,且與燈柱BC成120°角,路燈采取圓錐形燈罩,燈罩軸線DO與燈臂CD垂直.當(dāng)燈罩軸線

DO經(jīng)過公路路面中心線時照明效果最正確.此時,路燈燈柱BC高度應(yīng)該設(shè)計為

()

A.(11-2

)米

B.(11

-2

)米C.(11-2

)米

D.(11

-4)米答案

D延長BC、OD交于點(diǎn)E,∵CD⊥OD,∠DCB=120°,∴∠E=30°,∵∠B=90°,OB=22×

=11米,∴EB=11

米,在Rt△DCE中,CE=2DC=4米.∴BC=EB-CE=(11

-4)米,故選D.23/1394.(山西,14,3分)如圖,創(chuàng)新小組要測量公園內(nèi)一棵樹高度AB,其中一名小組組員站在距

離樹10米點(diǎn)E處,測得樹頂A仰角為54°.已知測角儀架高CE=1.5米,則這棵樹高度為

米(結(jié)果保留一位小數(shù).參考數(shù)據(jù):sin54°=0.8090,cos54°=0.5878,tan54°=1.3764).

答案15.3解析由題意知BD=CE=1.5米,CD=BE=10米,在Rt△ADC中,由銳角三角函數(shù)可得AD=CDtan∠ACD=10tan54°=10×1.3764=13.764米,所以AB=AD+BD=13.764+1.5=15.264≈15.3米.24/1395.(浙江寧波,17,4分)為處理停車難問題,在如圖一段長56米路段開辟停車位,每個車

位是長5米、寬2.2米矩形,矩形邊與路邊緣成45°角,那么這個路段最多能夠劃出

個這么停車位.(

≈1.4)

答案1725/139解析如圖,BC=2.2×cos45°=2.2×

≈1.54米,

CE=5×sin45°=5×

≈3.5米,BE=BC+CE=5.04米,EF=2.2÷sin45°=2.2÷

≈3.14米,(56-5.04)÷3.14+1=50.96÷3.14+1≈16+1=17(個).故這個路段最多能夠劃出17個這么停車位.評析本題考查了解直角三角形應(yīng)用,主要是三角函數(shù)及其運(yùn)算,關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為

數(shù)學(xué)問題加以計算.26/1396.(湖北黃岡,21,7分)如圖,在大樓AB正前方有一斜坡CD,坡角∠DCE=30°,樓高AB=60米,在

斜坡下點(diǎn)C處測得樓頂B仰角為60°,在斜坡上D處測得樓頂B仰角為45°,其中點(diǎn)A,C,E

在同一直線上.(1)求坡底C點(diǎn)到大樓距離AC值;(2)求斜坡CD長度.

27/139解析(1)在Rt△ABC中,AB=60米,∠ACB=60°,∴AC=

=20

米.(2)過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F,則四邊形AEDF為矩形,∴AF=DE,DF=AE.

設(shè)CD=x米,在Rt△CDE中,DE=

x米,CE=

x米,在Rt△BDF中,∠BDF=45°,∴BF=DF=AB-AF=

米,∵DF=AE=AC+CE,∴20

+

x=60-

x,解得x=80

-120,即CD=(80

-120)米.28/1397.(江西,17,6分)如圖1,研究發(fā)覺,科學(xué)使用電腦時,望向熒光屏幕畫面“視線角”α約為20°,而當(dāng)手指接觸鍵盤時,肘部形成“手肘角”β約為100°.圖2是其側(cè)面簡化示意圖,其中視線

AB水平,且與屏幕BC垂直.(1)若屏幕上下寬BC=20cm,科學(xué)使用電腦時,求眼睛與屏幕最短距離AB長;(2)若肩膀到水平地面距離DG=100cm,上臂DE=30cm,下臂EF水平放置在鍵盤上,其到地面

距離FH=72cm.請判斷此時β是否符合科學(xué)要求100°.

參考數(shù)據(jù):sin69°≈

,cos21°≈

,tan20°≈

,tan43°≈

,全部結(jié)果準(zhǔn)確到個位

29/139解析(1)如圖,∵AB⊥BC,∴∠B=90°.在Rt△ABC中,α=20°,AB=

≈20÷

=55(cm).

(3分)(2)如圖,延長FE交DG于點(diǎn)I,∵DG⊥GH,FH⊥GH,EF∥GH,∴IE⊥DG,∴四邊形GHFI是矩形,∴IG=FH,∴DI=DG-FH=100-72=28(cm).

(4分)在Rt△DEI中,sin∠DEI=

=

=

,∴∠DEI≈69°.

(5分)∴β=180°-69°=111°≠100°.∴此時β不符合科學(xué)要求100°.

(6分)30/1398.(山東青島,18,6分)如圖,AB是長為10m,傾斜角為37°自動扶梯,平臺BD與大樓CE垂直,

且與扶梯AB長度相等,在B處測得大樓頂部C仰角為65°,求大樓CE高度(結(jié)果保留整數(shù)).

參考數(shù)據(jù):sin37°≈

,tan37°≈

,sin65°≈

,tan65°≈

31/139解析過B作BF⊥AE于F,

在Rt△ABF中,sin37°=

,∴

≈

,∴BF≈6.∵∠BFE=∠BDE=∠DEF=90°,∴四邊形BFED是矩形.∴BF=DE=6.在Rt△BCD中,tan65°=

,∴

≈

,∴CD≈

.∴CE=CD+DE=

+6≈27.答:樓高CE約為27米.32/139考點(diǎn)一銳角三角函數(shù)C組

教師專用題組1.(天津,2,3分)cos30°值等于

()A.

B.

C.1

D.

答案

B依據(jù)特殊角三角函數(shù)值可知,cos30°=

,故選B.33/1392.(甘肅蘭州,3,4分)如圖,一個斜坡長130m,坡頂離水平地面距離為50m,那么這個斜坡

與水平地面夾角正切值等于

()

A.

B.

C.

D.

答案

C在直角三角形中,依據(jù)勾股定理可知水平直角邊長為120m,故這個斜坡與水平地

面夾角正切值等于

=

,故選C.思緒分析先利用勾股定理求得第三邊長,再利用正切定義求正切值.34/1393.(廣東,8,3分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A坐標(biāo)為(4,3),那么cosα值是

()

A.

B.

C.

D.

35/139答案

D過點(diǎn)A作AB垂直x軸于B,則AB=3,OB=4.由勾股定理得OA=5.∴cosα=

=

.故選D.

36/1394.(天津,2,3分)cos45°值等于

()A.

B.

C.

D.

答案

B本題考查特殊角三角函數(shù)值.cos45°=

.37/1395.(內(nèi)蒙古包頭,11,3分)已知以下命題:①在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A>∠B,則sinA>sinB;②四條線段a,b,c,d中,若

=

,則ad=bc;③若a>b,則a(m2+1)>b(m2+1);④若|-x|=-x,則x≥0.其中原命題與逆命題均為真命題是

()A.①②③

B.①②④C.①③④

D.②③④答案

A由|-x|=-x,可知-x≥0,所以x≤0,所以命題④錯誤.命題①②③及其逆命題均正確,故選A.38/1396.(河北,9,3分)已知:島P位于島Q正西方,由島P,Q分別測得船R位于南偏東30°和南偏西

45°方向上.符合條件示意圖是

()

答案

D本題考查方向角簡單識別,選D.39/1397.(廣東廣州,3,3分)如圖,在邊長為1小正方形組成網(wǎng)格中,△ABC三個頂點(diǎn)均在格

點(diǎn)上,則tanA=()

A.

B.

C.

D.

答案

D∵AB=3,BC=4,∠ABC=90°,∴tanA=

=

.故選D.40/1398.(黑龍江哈爾濱,22,7分)如圖,方格紙中每個小正方形邊長均為1,線段AB兩個端點(diǎn)均

在小正方形頂點(diǎn)上.(1)在圖中畫出以AB為底、面積為12等腰△ABC,且點(diǎn)C在小正方形頂點(diǎn)上;(2)在圖中畫出平行四邊形ABDE,且點(diǎn)D和點(diǎn)E均在小正方形頂點(diǎn)上,tan∠EAB=

.連接CD,請直接寫出線段CD長.

41/139解析(1)正確畫圖.(2)正確畫圖.CD=

.

42/1391.(重慶,10,4分)如圖,旗桿及升旗臺剖面和教學(xué)樓剖面在同一平面上,旗桿與地面垂

直,在教學(xué)樓底部E點(diǎn)處測得旗桿頂端仰角∠AED=58°,升旗臺底部到教學(xué)樓底部距離DE

=7米,升旗臺坡面CD坡度i=1∶0.75,坡長CD=2米,若旗桿底部到坡面CD水平距離BC=1米,

則旗桿AB高度約為

()(參考數(shù)據(jù):sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.6)

A.12.6米

B.13.1米

C.14.7米

D.16.3米考點(diǎn)二解直角三角形43/139答案

B如圖,延長AB交ED延長線于M,作CJ⊥DM于J.則四邊形BMJC是矩形.

在Rt△CJD中,

=

=

,設(shè)CJ=4k,DJ=3k,k>0,已知CD=2,則有9k2+16k2=4,解得k=

,∴BM=CJ=

,DJ=

,又∵BC=MJ=1,∴EM=MJ+DJ+DE=

,在Rt△AEM中,tan∠AEM=

,∴tan58°=

≈1.6,解得AB≈13.1(米),故選B.44/139思緒分析延長AB交ED延長線于M,作CJ⊥DM于J,則四邊形BMJC是矩形.在Rt△CJD中求

出CJ、DJ長,再依據(jù)tan∠AEM=

即可處理問題.方法總結(jié)解直角三角形實(shí)際應(yīng)用問題關(guān)鍵是依據(jù)實(shí)際情況建立數(shù)學(xué)模型,正確畫出圖

形,找到直角三角形.依據(jù)題目中已知條件,將實(shí)際問題抽象為解直角三角形數(shù)學(xué)問題,畫

出平面幾何圖形,搞清已知條件中各量之間關(guān)系,若圖中有直角三角形,依據(jù)邊角關(guān)系進(jìn)行計

算即可;若圖中沒有直角三角形,可經(jīng)過添加輔助線結(jié)構(gòu)直角三角形來處理.45/1392.(重慶,11,4分)某數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)進(jìn)行測量大樹CD高度綜合實(shí)踐活動.如圖,在點(diǎn)A

處測得直立于地面大樹頂端C仰角為36°.然后沿在同一剖面斜坡AB行走13米至坡頂B

處,然后沿水平方向行走6米至大樹底端D處,斜面AB坡度(或坡比)i=1∶2.4,那么大樹CD

高度約為(參考數(shù)據(jù):sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73)

()

A.8.1米

B.17.2米

C.19.7米

D.25.5米46/139答案

A作BF⊥AE于F,如圖所表示,

易知四邊形BDEF為矩形,則FE=BD=6米,DE=BF,∵斜面AB坡度i=1∶2.4,∴AF=2.4BF,設(shè)BF=x米,則AF=2.4x米,在Rt△ABF中,x2+(2.4x)2=132,解得x=5(舍負(fù)),∴DE=BF=5米,AF=12米,∴AE=AF+FE=18米,在Rt△ACE中,CE=AE·tan36°≈18×0.73=13.14米,∴CD=CE-DE=13.14-5≈8.1米,故選A.47/1393.(湖南長沙,11,3分)如圖,熱氣球探測器顯示,從熱氣球A處看一棟樓頂部B處仰角為30°,看這棟樓底部C處俯角為60°,熱氣球A處與樓水平距離為120m,則這棟樓高度為

()

A.160

mB.120

m

C.300m

D.160

m48/139評析本題考查了解直角三角形,解答本題關(guān)鍵是結(jié)構(gòu)直角三角形,利用銳角三角函數(shù)求解.答案

A設(shè)AD⊥BC于點(diǎn)D,由題意得AD=120m,在Rt△ABD中,∵∠BAD=30°,∴BD=AD·tan∠BAD=120·tan30°=120×

=40

(m).在Rt△ACD中,∵∠CAD=60°,∴CD=AD·tan∠CAD=120·tan60°=120×

=120

(m).∴BC=BD+CD=40

+120

=160

(m),故選A.49/1394.(山東聊城,10,3分)湖南路大橋于今年5月1日完工,為徒駭河景區(qū)增添了一道亮麗風(fēng)景

線.某校數(shù)學(xué)興趣小組用測量儀器測量該大橋橋塔高度,在距橋塔AB底部50米C處,測得橋

塔頂部A仰角為41.5°(如圖).已知測量儀器CD高度為1米,則橋塔AB高度約為(參考數(shù)據(jù):

sin41.5°≈0.663,cos41.5°≈0.749,tan41.5°≈0.885)

()

A.34米

B.38米

C.45米

D.50米答案

C作DE⊥AB于E,則BE=CD=1米,DE=BC=50米,在Rt△ADE中,tan41.5°=

=

,所以AE=tan41.5°×50≈0.885×50=44.25(米),所以AB=AE+BE≈45米.故選C.50/1395.(遼寧沈陽,16,4分)如圖,正方形ABCD繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)30°后得到正方形BEFG,EF與AD

相交于點(diǎn)H,延長DA交GF于點(diǎn)K,若正方形ABCD邊長為

,則AK=

.

51/139答案2

-3解析如圖,延長BA交GF于點(diǎn)N.由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠GBN=∠EBC=30°,GB=AB=

.在Rt△GBN中,∵GB=

,∠GBN=30°,∴BN=

=

=2,∴AN=BN-AB=2-

.∵∠NAK=∠G=90°,∴∠KNA+∠NKA=90°,∠KNA+∠GBN=90°,∴∠NKA=∠GBN=30°(同角余角相等).在Rt△

KAN中,∵AN=2-

,∠NKA=30°,∴AK=

=

=2

-3.

評析本題考查正方形性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和解直角三角形相關(guān)知識,綜合性較強(qiáng).52/1396.(安徽,19,10分)為了測量豎直旗桿AB高度,某綜合實(shí)踐小組在地面D處豎直放置標(biāo)桿

CD,并在地面上水平放置一個平面鏡E,使得B,E,D在同一水平線上,如圖所表示.該小組在標(biāo)桿

F處經(jīng)過平面鏡E恰好觀察到旗桿頂A(此時∠AEB=∠FED).在F處測得旗桿頂A仰角為39.3°,

平面鏡E俯角為45°,FD=1.8米,問旗桿AB高度約為多少米?(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù):tan39.3°≈0.82,tan84.3°≈10.02)

53/139解析解法一:由題意知,∠AEB=∠FED=45°,∴∠AEF=90°.在Rt△AEF中,

=tan∠AFE=tan84.3°,在△ABE和△FDE中,∠ABE=∠FDE=90°,∠AEB=∠FED,∴△ABE∽△FDE,∴

=

=tan84.3°,∴AB=FDtan84.3°≈1.8×10.02=18.036≈18(米).答:旗桿AB高度約為18米.

(10分)解法二:作FG⊥AB于點(diǎn)G,54/139由題意知,△ABE和△FDE均為等腰直角三角形,∴AB=BE,DE=FD=1.8,∴FG=DB=DE+BE=AB+1.8,AG=AB-GB=AB-FD=AB-1.8.在Rt△AFG中,

=tan∠AFG=tan39.3°,即

=tan39.3°,解得AB=18.2≈18(米).答:旗桿AB高度約為18米.

(10分)思緒分析思緒一:由題意可確定∠AEF=90°,從而可推出△ABE∽△FDE,最終由相同三角形

中對應(yīng)邊比相等求解;思緒二:作FG⊥AB于點(diǎn)G,由題意可推出△ABE和△FDE均為等腰直

角三角形,在直角三角形AFG中由銳角三角函數(shù)求出AB.55/1397.(內(nèi)蒙古呼和浩特,21,7分)如圖,一座山一段斜坡BD長度為600米,且這段斜坡坡度

i=1∶3(沿斜坡從B到D時,其升高高度與水平前進(jìn)距離之比).已知在地面B處測得山頂A

仰角為33°,在斜坡D處測得山頂A仰角為45°.求山頂A到地面BC高度AC是多少米.(結(jié)果用

含非特殊角三角函數(shù)和根式表示即可)

56/139解析過點(diǎn)D作DH⊥BC,垂足為H.

∵斜坡BD坡度i=1∶3,∴DH∶BH=1∶3.在Rt△BDH中,BD=600,∴DH2+(3DH)2=6002,∴DH=60

,∴BH=180

.設(shè)AE=x米,在Rt△ADE中,∠ADE=45°,∴DE=AE=x,又HC=DE,EC=DH,57/139∴HC=x,EC=60

,在Rt△ABC中,tan33°=

=

,∴x=

,∴AC=AE+EC=

+60

=

.答:山頂A到地面BC高度為

米.58/1398.(天津,22,10分)如圖,甲、乙兩座建筑物水平距離BC為78m,從甲頂部A處測得乙

頂部D處俯角為48°,測得底部C處俯角為58°,求甲、乙建筑物高度AB和DC(結(jié)果取整數(shù)).參考數(shù)據(jù):tan48°≈1.11,tan58°≈1.60.

59/139解析如圖,過點(diǎn)D作DE⊥AB,垂足為E.

則∠AED=∠BED=90°.由題意可知,BC=78,∠ADE=48°,∠ACB=58°,∠ABC=90°,∠DCB=90°.可得四邊形BCDE為矩形.∴ED=BC=78,DC=EB.在Rt△ABC中,tan∠ACB=

,∴AB=BC·tan58°≈78×1.60≈125.在Rt△AED中,tan∠ADE=

,60/139∴AE=ED·tan48°.∴DC=EB=AB-AE=BC·tan58°-ED·tan48°≈78×1.60-78×1.11≈38.答:甲建筑物高度AB約為125m,乙建筑物高度DC約為38m.思緒分析過點(diǎn)D作DE⊥AB,結(jié)構(gòu)直角△ADE和矩形BCDE,經(jīng)過解直角△ABC和直角△ADE

可求出答案.61/1399.(云南昆明,19,7分)小婷在放學(xué)路上,看到隧道上方有一塊宣傳“中國——南亞博覽會”

豎直口號牌CD,她在A點(diǎn)測得口號牌頂端D處仰角為42°,測得隧道底端B處俯角為30°

(B,C,D在同一條直線上),AB=10m,隧道高6.5m(即BC=6.5m),求口號牌CD長(結(jié)果保留小數(shù)

點(diǎn)后一位).(參考數(shù)據(jù):sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90,

≈1.73)

62/139解析如圖,過點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E,

(1分)

由題意得∠DAE=42°,∠EAB=30°,在Rt△ABE中,∠AEB=90°,AB=10,∠EAB=30°,∴BE=

AB=

×10=5.

(2分)∵cos∠EAB=

,∴AE=AB·cos30°=10×

=5

.

(4分)在Rt△DEA中,∠DEA=90°,∠DAE=42°,∵tan∠DAE=

,63/139∴DE=AE·tan42°≈5

×0.90=

,

(5分)∴CD=BE+ED-BC=5+

-6.5≈6.3(m).

(6分)答:口號牌CD長約為6.3m.

(7分)思緒分析作AE⊥BD于點(diǎn)E,結(jié)構(gòu)直角△DEA和直角△ABE,解直角△DEA和直角△ABE,求得

BE,DE長,進(jìn)而可求出CD長度.64/13910.(安徽,17,8分)如圖,游客在點(diǎn)A處坐纜車出發(fā),沿A→B→D路線可至山頂D處.假設(shè)AB

和BD都是直線段,且AB=BD=600m,α=75°,β=45°,求DE長.(參考數(shù)據(jù):sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,

≈1.41)

65/139解析在Rt△BDF中,由sinβ=

可得,DF=BD·sinβ=600×sin45°=600×

=300

≈423(m).

(3分)在Rt△ABC中,由cosα=

可得,BC=AB·cosα=600×cos75°≈600×0.26=156(m).

(6分)所以DE=DF+EF=DF+BC=423+156=579(m).

(8分)66/13911.(陜西,20,7分)某市一湖湖心島有一棵百年古樹,當(dāng)?shù)厝朔Q它為“鄉(xiāng)思柳”,不乘船不

易抵達(dá),每年初春時節(jié),人們喜歡在“聚賢亭”觀湖賞柳.小紅和小軍很想知道“聚賢亭”與

“鄉(xiāng)思柳”之間大致距離.于是,有一天,他們倆帶著測傾器和皮尺來測量這個距離.測量方

案以下:如圖,首先,小軍站在“聚賢亭”A處,用測傾器測得“鄉(xiāng)思柳”頂端M點(diǎn)仰角為23

°,此時測得小軍眼睛距地面高度AB為1.7米;然后,小軍在A處蹲下,用測傾器測得“鄉(xiāng)思

柳”頂端M點(diǎn)仰角為24°,這時測得小軍眼睛距地面高度AC為1米.請你利用以上所測得

數(shù)據(jù),計算“聚賢亭”與“鄉(xiāng)思柳”之間距離AN長(結(jié)果準(zhǔn)確到1米).(參考數(shù)據(jù):sin23°

≈0.3907,cos23°≈0.9205,tan23°≈0.4245,sin24°≈0.4067,cos24°≈0.9135,tan24°≈0.4452)67/139解析作BD⊥MN,垂足為D,作CE⊥MN,垂足為E.設(shè)AN=x米,則BD=CE=x米.在Rt△MBD中,MD=x·tan23°米.在Rt△MCE中,ME=x·tan24°米.

(4分)

∵M(jìn)E-MD=DE=BC,∴x·tan24°-x·tan23°=1.7-1.68/139∴x=

.∴x≈34.∴“聚賢亭”到“鄉(xiāng)思柳”之間距離約為34米.

(7分)解后反思處理這類問題步驟以下:(1)依據(jù)題目中已知條件,將實(shí)際問題抽象為解直角三

角形數(shù)學(xué)問題,畫出平面幾何圖形,搞清已知條件中各量之間關(guān)系;(2)若三角形是直角三

角形,依據(jù)邊角關(guān)系進(jìn)行計算,若三角形不是直角三角形,可經(jīng)過添加輔助線結(jié)構(gòu)直角三角形來

處理.解直角三角形實(shí)際應(yīng)用問題關(guān)鍵是要依據(jù)實(shí)際情況建立數(shù)學(xué)模型,正確畫出圖形,找準(zhǔn)

三角形.69/13912.(天津,22,10分)如圖,一艘海輪位于燈塔P北偏東64°方向,距離燈塔120海里A處,它

沿正南方向航行一段時間后,抵達(dá)位于燈塔P南偏東45°方向上B處,求BP和BA長(結(jié)果

取整數(shù)).參考數(shù)據(jù):sin64°≈0.90,cos64°≈0.44,tan64°≈2.05,

取1.414.

70/139解析如圖,過點(diǎn)P作PC⊥AB,垂足為C,由題意可知,∠A=64°,∠B=45°,PA=120,在Rt△APC中,sinA=

,cosA=

,∴PC=PA·sinA=120×sin64°,AC=PA·cosA=120×cos64°.在Rt△BPC中,sinB=

,tanB=

,

∴BP=

=

≈

≈153(海里),BC=

=

=PC=120×sin64°,∴BA=BC+AC=120×sin64°+120×cos64°≈120×0.90+120×0.44≈161(海里).答:BP長約為153海里,BA長約為161海里.71/139思緒分析在Rt△APC中,利用∠A三角函數(shù)求出PC和AC;在Rt△PCB中利用∠B三角函

數(shù)求出BC和PB即可處理問題.解題關(guān)鍵解此題關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,依據(jù)實(shí)際情況建立數(shù)學(xué)模型,正確畫

出圖形,找準(zhǔn)三角形.72/13913.(天津,22,10分)小明上學(xué)途中要經(jīng)過A,B兩地,因?yàn)锳,B兩地之間有一片草坪,所以需要

走路線AC,CB.如圖,在△ABC中,AB=63m,∠A=45°,∠B=37°,求AC,CB長.(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后

一位)參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,

取1.414.

73/139解析如圖,過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D.在Rt△ACD中,tanA=

,sinA=

,∠A=45°,

∴AD=

=CD,AC=

=

CD.在Rt△BCD中,tanB=

,sinB=

,∠B=37°,∴BD=

,CB=

.∵AD+BD=AB,AB=63,∴CD+

=63.74/139解得CD=

≈

=27.00.∴AC=1.414×27.00=38.178≈38.2,CB≈

=45.0.答:AC長約等于38.2m,CB長約等于45.0m.75/13914.(安徽,19,10分)如圖,河兩岸l1與l2相互平行,A、B是l1上兩點(diǎn),C、D是l2上兩點(diǎn).某

人在點(diǎn)A處測得∠CAB=90°,∠DAB=30°,再沿AB方向前進(jìn)20米抵達(dá)點(diǎn)E(點(diǎn)E在線段AB上),測得

∠DEB=60°,求C、D兩點(diǎn)間距離.76/139解析如圖,過D作l1垂線,垂足為F.∵∠DEB=60°,∠DAB=30°,∴∠ADE=∠DEB-∠DAB=30°,∴△ADE為等腰三角形,∴DE=AE=20(米).

(3分)在Rt△DEF中,EF=DE·cos60°=20×

=10(米).

(6分)∵DF⊥AF,∴∠DFB=90°,∴AC∥DF,∵l1∥l2,∴CD∥AF,∴四邊形ACDF為矩形.∴CD=AF=AE+EF=30(米).答:C、D兩點(diǎn)間距離為30米.

(10分)77/13915.(吉林,21,7分)如圖,某飛機(jī)于空中A處探測到目標(biāo)C,此時飛行高度AC=1200m,從飛機(jī)

上看地平面指揮臺B俯角α=43°.求飛機(jī)A與指揮臺B距離(結(jié)果取整數(shù)).(參考數(shù)據(jù):sin43°=0.68,cos43°=0.73,tan43°=0.93)

解析

依據(jù)題意,得∠ACB=90°,∠ABC=43°,AC=1200m.(2分)在Rt△ABC中,∵sin∠ABC=

,

(4分)∴AB=

=

=

≈1765(m).答:飛機(jī)A與指揮臺B距離約為1765m.

(7分)78/13916.(內(nèi)蒙古呼和浩特,18,6分)在一次綜合實(shí)踐活動中,小明要測某地一座古塔AE高度.如

圖,已知塔基頂端B(和A、E共線)與地面C處固定繩索長BC為80m.他先測得∠BCA=35°,

然后從C點(diǎn)沿AC方向走30m抵達(dá)D點(diǎn),又測得塔頂E仰角為50°.求塔高AE.(人高度忽略不

計,結(jié)果用含非特殊角三角函數(shù)表示)

79/139解析已知∠BCA=35°,BC=80m,由題意得∠EDA=50°,DC=30m.在Rt△ABC中,cos35°=

,∴AC=BCcos35°=80cos35°(m).

(2分)在Rt△ADE中,tan50°=

,

(3分)∵AD=AC+DC=(80cos35°+30)m,

(4分)∴AE=[(80cos35°+30)tan50°]m.

(5分)答:塔高為[(80cos35°+30)tan50°]m.

(6分)80/13917.(陜西,20,7分)某市為了打造森林城市,樹立城市新地標(biāo),實(shí)現(xiàn)綠色、共享發(fā)展理念,在城

南建起了“望月閣”及環(huán)閣公園.小亮、小芳等同學(xué)想用一些測量工具和所學(xué)幾何知識測

量“望月閣”高度,來檢驗(yàn)自己掌握知識和利用知識能力.他們經(jīng)過觀察發(fā)覺,觀察點(diǎn)與

“望月閣”底部間距離不易測得,所以經(jīng)過研究需要兩次測量.于是他們首先用平面鏡進(jìn)行

測量,方法以下:如圖,小芳在小亮和“望月閣”之間直線BM上平放一平面鏡,在鏡面上做了

一個標(biāo)識,這個標(biāo)識在直線BM上對應(yīng)位置為點(diǎn)C.鏡子不動,小亮看著鏡面上標(biāo)識,他往返

走動,走到點(diǎn)D時,看到“望月閣”頂端點(diǎn)A在鏡面中像與鏡面上標(biāo)識重合.這時,測得小亮

眼睛與地面距離ED=1.5米,CD=2米;然后,在陽光下,他們用測影長方法進(jìn)行了第二次測

量,方法以下:如圖,小亮從D點(diǎn)沿DM方向走了16米,抵達(dá)“望月閣”影子末端F點(diǎn)處,此時,測

得小亮影長FH=2.5米,身高FG=1.65米.如圖,已知:AB⊥BM,ED⊥BM,GF⊥BM.其中,測量時所使用平面鏡厚度忽略不計.請你根

據(jù)題中提供相關(guān)信息,求出“望月閣”高AB長度.81/139解析由題意得∠ABC=∠EDC=∠GFH=90°,∠ACB=∠ECD,∠AFB=∠GHF.∴△ABC∽△EDC,△ABF∽△GFH.

(3分)∴

=

,

=

.即

=

,

=

,

(5分)解之,得AB=99(米).答:“望月閣”高度為99米.

(7分)82/13918.(貴州遵義,21,8分)如圖是某兒童樂園為兒童設(shè)計滑梯平面圖.已知BC=4米,AB=6

米,中間平臺寬度DE=1米,EN、DM、CB為三根垂直于AB支柱,垂足分別為N、M、B,∠EAB

=31°,DF⊥BC于F,∠CDF=45°.求DM和BC水平距離BM.(結(jié)果準(zhǔn)確到0.1米,參考數(shù)據(jù):sin31°

≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)

83/139解析設(shè)DF=x米,在Rt△DFC中,∠CDF=45°,∴CF=tan45°·DF=x米.

(2分)又∵CB=4米,∴BF=(4-x)米,

(3分)∵AB=6米,DE=1米,BM=DF=x米,∴AN=(5-x)米,EN=DM=BF=(4-x)米,

(4分)在Rt△ANE中,∠EAN=31°,EN=(4-x)米,AN=(5-x)米,∴tan31°=

=

≈0.60,

(6分)解得x=2.5.

(7分)答:DM和BC水平距離BM為2.5米.

(8分)84/13919.(江蘇南京,23,8分)如圖,輪船甲位于碼頭O正西方向A處,輪船乙位于碼頭O正北方

向C處,測得∠CAO=45°.輪船甲自西向東勻速行駛,同時輪船乙沿正北方向勻速行駛,它們速

度分別為45km/h和36km/h.經(jīng)過0.1h,輪船甲行駛至B處,輪船乙行駛至D處,測得∠DBO=58°.

此時B處距離碼頭O有多遠(yuǎn)?(參考數(shù)據(jù):sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60)

85/139解析設(shè)B處距離碼頭Oxkm.在Rt△CAO中,∠CAO=45°,∵tan∠CAO=

,∴CO=AO·tan∠CAO=(45×0.1+x)·tan45°=4.5+x.

(2分)在Rt△DBO中,∠DBO=58°,∵tan∠DBO=

,∴DO=BO·tan∠DBO=x·tan58°.

(4分)∵DC=DO-CO,∴36×0.1=x·tan58°-(4.5+x).∴x=

≈

=13.5.所以,B處距離碼頭O大約13.5km.

(8分)86/13920.(甘肅蘭州,24,8分)如圖,在一面與地面垂直圍墻同側(cè)有一根高10米旗桿AB和一

根高度未知電線桿CD,它們都與地面垂直,為了測得電線桿高度,一個小組同學(xué)進(jìn)行了

以下測量:某一時刻,在太陽光照射下,旗桿落在圍墻上影子EF長度為2米,落在地面上影

子BF長為10米,而電線桿落在圍墻上影子GH長度為3米,落在地面上影子DH長為5

米.依據(jù)這些數(shù)據(jù),該小組同學(xué)計算出了電線桿高度.(1)該小組同學(xué)在這里利用是

投影相關(guān)知識進(jìn)行計算;(2)試計算出電線桿高度,并寫出計算過程.

87/139解析(1)平行.(2)如圖,連接CG,AE,過點(diǎn)E作EM⊥AB于M,過點(diǎn)G作GN⊥CD于N,則MB=EF=2,ND=GH=3,ME=

BF=10,NG=DH=5.所以AM=10-2=8,由平行投影可知

=

,即

=

,解得CD=7,即電線桿高度為7米.

88/13921.(浙江紹興,20,8分)如圖,從地面上點(diǎn)A看一山坡上電線桿PQ,測得桿頂端點(diǎn)P仰

角是45°,向前走6m抵達(dá)B點(diǎn),測得桿頂端點(diǎn)P和桿底端點(diǎn)Q仰角分別是60°和30°.(1)求∠BPQ度數(shù);(2)求該電線桿PQ高度(結(jié)果準(zhǔn)確到1m).備用數(shù)據(jù):

≈1.7,

≈1.4.

89/139解析如圖,延長PQ交直線AB于點(diǎn)C.(1)∠BPQ=90°-60°=30°.(2)設(shè)PQ=xm,則QB=QP=xm,在△BCQ中,BC=x·cos30°=

xm,QC=

xm,

在△ACP中,CA=CP,∴6+

x=

x+x,x=2

+6,∴PQ=2

+6≈9m,即該電線桿PQ高度約為9m.90/13922.(江蘇鎮(zhèn)江,24,6分)某海域有A、B兩個港口,B港口在A港口北偏西30°方向上,距A港

口60海里.有一艘船從A港口出發(fā),沿東北方向行駛一段距離后,抵達(dá)位于B港口南偏東75°方向

C處.求該船與B港口之間距離即CB長(結(jié)果保留根號).

91/139解析∵∠BAE=30°,BF∥AE,∴∠ABF=30°.

(1分)∵∠FBC=75°,∴∠ABC=45°.

(2分)∵∠CAE=45°,∴∠BAC=75°.

(3分)∴∠C=60°.過點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足為D,

(4分)

在Rt△ADB中,∠ABD=45°,AB=60海里,則BD=AD=30

海里.在Rt△ADC中,∠C=60°,AD=30

海里,則CD=10

海里.∴BC=(30

+10

)海里.

(6分)92/13923.(上海,22,10分)如圖,MN表示一段筆直高架道路,線段AB表示高架道路旁一排居民

樓.已知點(diǎn)A到MN距離為15米,BA延長線與MN相交于點(diǎn)D,且∠BDN=30°.假設(shè)汽車在高架

道路上行駛時,周圍39米以內(nèi)會受到噪音影響.(1)過點(diǎn)A作MN垂線,垂足為點(diǎn)H.假如汽車沿著從M到N方向在MN上行駛,當(dāng)汽車抵達(dá)點(diǎn)P

處時,噪音開始影響這一排居民樓,那么此時汽車與點(diǎn)H距離為多少米?(2)降低噪音一個方法是在高架道路旁安裝隔音板.當(dāng)汽車行駛到點(diǎn)Q時,它與這一排居民樓

距離QC為39米,那么對于這一排居民樓,高架道路旁安裝隔音板最少需要多少米長?(準(zhǔn)確

到1米)(參考數(shù)據(jù):

≈1.7)

93/139解析(1)連接AP.由題意,知AH⊥MN,AH=15,AP=39.在Rt△APH中,由勾股定理得PH=36.答:此時汽車與點(diǎn)H距離為36米.(2)由題意可知,PQ段高架道路旁需要安裝隔音板,QC⊥AB,∠QDC=30°,QC=39.在Rt△DCQ中,DQ=2QC=78.在Rt△ADH中,DH=

=15

.∴PQ=PH-DH+DQ=36-15

+78≈114-15×1.7=88.5≈89.答:高架道路旁安裝隔音板最少需要89米長.94/13924.(山西,21,7分)如圖,點(diǎn)A,B,C表示某旅游景區(qū)三個纜車站位置,線段AB,BC表示連接纜

車站鋼纜,已知A,B,C三點(diǎn)在同一鉛直平面內(nèi),它們海拔AA',BB',CC'分別為110米,310米,710

米,鋼纜AB坡度i1=1∶2,鋼纜BC坡度i2=1∶1,景區(qū)因改造纜車線路,需要從A到C直線架設(shè)

一條鋼纜,那么鋼纜AC長度是多少米?(注:坡度i是指坡面鉛直高度與水平寬度比)

95/139解析如圖,過點(diǎn)A作AE⊥CC'于點(diǎn)E,交BB'于點(diǎn)F,過點(diǎn)B作BD⊥CC'于點(diǎn)D.

(1分)

則△AFB,△BDC和△AEC都是直角三角形,四邊形AA'B'F,BB'C'D和BFED都是矩形.

(2分)∴BF=BB'-FB'=BB'-AA'=310-110=200米,CD=CC'-DC'=CC'-BB'=710-310=400米.

(3分)∵i1=1∶2,i2=1∶1,∴AF=2BF=400米,BD=CD=400米.又∵FE=BD=400米,DE=BF=200米,∴AE=AF+FE=800米,CE=CD+DE=600米.

(5分)∴在Rt△AEC中,AC=

=

=1000.(6分)答:鋼纜AC長度為1000米.

(7分)96/13925.(新疆烏魯木齊,20,10分)如圖,建筑物AB高為6m,在其正東方向有一個通信塔CD,在

它們之間地面點(diǎn)M(B,M,D三點(diǎn)在一條直線上)處測得建筑物頂端A、塔頂C仰角分別為37°

和60°,在A處測得塔頂C仰角為30°,求通信塔CD高度.(準(zhǔn)確到0.01m)

97/139解析過點(diǎn)A作AE⊥CD于E,由題意,易知四邊形ABDE是矩形,∴AB=DE=6m,AE=BD.設(shè)CE=xm,在Rt△AEC中,∠AEC=90°,∠CAE=30°,∴AE=

=

xm.在Rt△CDM中,CD=CE+ED=(x+6)m,∴DM=

=

m.在Rt△ABM中,BM=

=

m.由AE=BD=BM+DM,得

x=

+

(x+6),解得x=

+3,∴CD=

+9≈15.90m.答:通信塔CD高度約為15.90m.98/139考點(diǎn)一銳角三角函數(shù)1.(唐山一模,9)如圖,△ABC頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上,則cosC值為

()

A.

B.

C.

D.

三年模擬A組

—年模擬·基礎(chǔ)題組99/139答案

B如圖,在三角形ADC中,AD=2,CD=4,∴AC=

=

=2

,∴cosC=

=

=

.故選B.

100/1392.(西華一模,12)若關(guān)于x方程x2-

x+sinα=0有兩個相等實(shí)數(shù)根,則銳角α度數(shù)為

.答案30°解析∵x方程x2-

x+sinα=0有兩個相等實(shí)數(shù)根,∴Δ=(-

)2-4×1×sinα=0,解得sinα=

,∴銳角α=30°.101/1391.(濮陽一模,19)如圖,線段AB、CD分別表示甲、乙兩建筑物高,BA⊥AD,CD⊥DA,垂足

分別為A、D.從D點(diǎn)測得B點(diǎn)仰角α為60°,從C點(diǎn)測得B點(diǎn)仰角β為30°,甲建筑物高AB=30米.(1)求甲、乙兩建筑物之間距離AD;(2)求乙建筑物高CD.

考點(diǎn)二解直角三角形102/139解析(1)在Rt△ABD中,AD=

=

=10

(米).(2)作CE⊥AB于點(diǎn)E,如圖所表示,在Rt△BCE中,CE=AD=10

米,BE=CE·tanβ=10

×

=10(米),則CD=AE=AB-BE=30-10=20(米).答:乙建筑物高度CD為20米.

103/1392.(鄭州二模,19)黃河,既是一條源遠(yuǎn)流長、波瀾壯闊自然河,又是一條孕育中華民族燦

爛文明母親河.數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動中,小林和同學(xué)們在黃河南岸小路上A,B兩點(diǎn)處,用測角

儀分別對北岸觀景亭D進(jìn)行測量.如圖,測得∠DAC=45°,∠DBC=65°.若AB=200米,求觀景亭

D到小路AC距離.(結(jié)果準(zhǔn)確到1米,參考數(shù)據(jù):sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14)

104/139解析如圖,過點(diǎn)D作DE⊥AC,垂足為E,設(shè)BE=x,

在Rt△DEB中,tan∠DBE=

,∵∠DBC=65°,∴DE=xtan65°.又∵∠DAC=45°,∴AE=DE,∴200+x=xtan65°,解得x≈175.4,∴DE=200+x≈375(米).答:觀景亭D到小路AC距離約為375米.105/1393.(安陽一模,19)某校數(shù)學(xué)興趣小組想測量一幢大樓AB高度.如圖,大樓前有一段斜坡

BC,已知BC長為12米,它坡度(注:坡度i是指坡面鉛直高度與水平寬度比)i=1∶

.在離C點(diǎn)40米D處,用測角儀測得大樓頂端A仰角為37°,測角儀DE高為1.5米,求大樓AB

高度約為多少米.(結(jié)果準(zhǔn)確到0.1米,參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,

≈1.73)

106/139解析如圖,延長AB交直線DC于點(diǎn)F,過點(diǎn)E作EH⊥AF,垂足為點(diǎn)H.

在Rt△BCF中,

=i=1∶

,設(shè)BF=k米,則CF=

k米,BC=2k米.又∵BC=12米,∴k=6.∴BF=6米,CF=6

米.∵DF=DC+CF,∴EH=DF=(40+6

)米.在Rt△AEH中,tan∠AEH=

,∴AH=tan37°×(40+6

)≈37.785(米).107/139∵BH=BF-FH,∴BH=6-1.5=4.5(米).∴AB=AH-BH≈33.3(米).答:大樓AB高度約為33.3米.108/1394.(南陽一模,19)11月1日至6日,第十一屆中國航展在廣東珠海舉行.如圖,在此次航

展上,一架飛機(jī)飛行到A點(diǎn)時,測得觀禮臺C在飛機(jī)下前方,俯角為65°,此時飛機(jī)飛行路線改為沿

坡角30°方向朝斜上方直線飛行,飛機(jī)飛行6km抵達(dá)B處,此時飛機(jī)飛行高度為5km,另一個觀

禮臺D恰好在飛機(jī)正下方,求兩個觀禮臺C與D之間距離.(參考數(shù)據(jù):tan65°≈2.144,sin65°

≈0.906,cos65°≈0.422,

≈1.732,結(jié)果準(zhǔn)確到0.1km)

109/139解析如圖,過A作AE⊥BD于點(diǎn)E,過C作CF⊥AE于點(diǎn)F.

由題意可知,∠BDC=90°,∠BAE=30°,∠EAC=65°,AB=6km,BD=5km,∴四邊形FCDE為矩形,∴

EF=CD,CF=ED.在Rt△BAE中,∠BAE=30°,AB=6km,sin∠BAE=

,cos∠BAE=

,∴BE=3km,AE=3

km.∴ED=BD-BE=2km.∴CF=ED=2km.在Rt△ACF中,∠CAF=65°,CF=2km,tan∠CAF=

,110/139∴AF=

km.∴EF=AE-AF=3

-

≈4.3km.∴CD=E