3剛體力學(xué)基礎(chǔ)

第三章剛體力學(xué)根底2剛體的轉(zhuǎn)動在外力作用下形狀和大小不發(fā)生變化的物體剛體內(nèi)任意一條直線總是平行運(yùn)動剛體剛體的平動剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動軌跡完全相同3剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動剛體的轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動：剛體繞固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動即轉(zhuǎn)軸固定不動4描述剛體轉(zhuǎn)動的物理量對定軸轉(zhuǎn)動的剛體可選取垂直于轉(zhuǎn)軸的一個(gè)平面進(jìn)行研究xo?Pr

點(diǎn)P的轉(zhuǎn)動可代表整個(gè)剛體描述點(diǎn)P轉(zhuǎn)動:角坐標(biāo)

(t)角速度一般規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)動為正>0

方向用右手法那么確定5角加速度

角量與線量的關(guān)系瞬時(shí)速率切向加速度法向加速度考慮方向關(guān)系后：瞬時(shí)速度6一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面通過中心的軸轉(zhuǎn)動.開始時(shí)它的角速度0=0,經(jīng)過300秒后,角速度=18000轉(zhuǎn)/分.其角加速度與時(shí)間成正比.問在這段時(shí)間內(nèi),轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)?解:=Ct即:或d

=Ctdt積分:得:由條件t=300s時(shí)角速度為再由:積分在0~300s內(nèi),轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)=3104轉(zhuǎn)得例3.17力矩設(shè)力f

的作用線位于轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，其與轉(zhuǎn)軸的距離d

即為力f

對該轉(zhuǎn)軸的力臂力的大小與力臂的乘積，叫做力f

對該轉(zhuǎn)軸的力矩M矢量表示OPf

rd8

一對內(nèi)力對任意轉(zhuǎn)軸的力矩r1F1F2r2成對內(nèi)力大小相等，方向相反其力臂必相同，故力矩大小相等d一對內(nèi)力對任意轉(zhuǎn)軸的合力矩為零多個(gè)外力作用于質(zhì)點(diǎn)系上時(shí)

9OPFifi

i

i轉(zhuǎn)動定律剛體轉(zhuǎn)軸為O對任意質(zhì)點(diǎn)P，受外力Fi

和內(nèi)力fi在切向方向，有：同乘ri外力力矩內(nèi)力力矩對所有質(zhì)點(diǎn)求和〔內(nèi)力合力矩為0〕10剛體在外力矩作用下，獲得的角加速度的大小與合外力矩的大小呈正比，和剛體對給定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量呈反比，角加速度的方向和合外力矩的方向相同。剛體的轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量定義轉(zhuǎn)動慣量剛體的轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動時(shí)慣性的量度對分立質(zhì)量系統(tǒng)〔質(zhì)點(diǎn)系〕11對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布其中

、

、

分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度12一質(zhì)量為m,長為l的均勻長棒.求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量.解:建立如圖坐標(biāo)系xO在x處取長為dx的質(zhì)元dxx如果轉(zhuǎn)軸在棒的一端呢?xO例3.213求質(zhì)量為m,半徑為R的細(xì)圓環(huán)或勻質(zhì)圓盤繞通過中心并與圓面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量解:細(xì)圓環(huán)的質(zhì)量可認(rèn)為全部集中在半徑為R的圓周上,故或?qū)蛸|(zhì)圓盤:rdr在r處取寬為dr的細(xì)圓環(huán)設(shè)質(zhì)量面密度為細(xì)圓的面積為:dS=2rdr那么dm=dS=2rdr與質(zhì)量分布有關(guān).例3.314llRRRR1R215與剛體質(zhì)量分布有關(guān)與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)JC是剛體通過質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量d是質(zhì)心轉(zhuǎn)軸到另一平行軸的距離dC如長為l的直棒通過質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動慣量為那么通過一端轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為剛體的轉(zhuǎn)動慣量平行軸定理16如下圖，質(zhì)量為m的滑塊A放在光滑斜面上，通過定滑輪C由不可伸長的輕繩與質(zhì)量同為m的物體B相連。定滑輪C是一質(zhì)量為m、半徑為R的圓盤。物體運(yùn)動過程中，繩與輪之間沒有相對滑動。求繩中的張力T1、T2及物體的加速度a?！不嗈D(zhuǎn)軸光滑〕例3.217解:物體受力分析如下:mgN不計(jì)繩的質(zhì)量,T1=T′1,T2=T′2對A:T'1－mgsin

=maA

(1)對B:mg-T'2=m

aB

(2)由轉(zhuǎn)動定律對C:RT2–RT1

=J

(3)T2T1mgT'2mgNAT'1

又

aA=aB=R

(4)且聯(lián)立求解得18飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為J，t=0時(shí)角速度為0.此后飛輪經(jīng)歷制動過程，阻力矩M=?K2(k為常量〕,當(dāng)=0/3時(shí)，飛輪的角加速度為多少，從開始制動到現(xiàn)在經(jīng)歷的時(shí)間為多少？解(1)由轉(zhuǎn)動定律即把=0/3代入上式，有(2)由轉(zhuǎn)動定律的微分形式別離變量并積分解得:例3.319O細(xì)桿長為l,質(zhì)量為m,求轉(zhuǎn)到

角時(shí)的角加速度和角速度.

解:GN

由轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量利用有l(wèi)積分:例3.41920力矩的功和功率OPF

dsd

元功r總功功率當(dāng)力矩與角速度同方向時(shí)，功和功率為正值，此力矩為動力矩當(dāng)力矩與角速度反方向時(shí)，功和功率為負(fù)值，此力矩為阻力矩21轉(zhuǎn)動動能剛體上任一質(zhì)點(diǎn)的動能各質(zhì)點(diǎn)動能總和即為剛體的轉(zhuǎn)動動能對作定軸轉(zhuǎn)動的剛體合外力矩的功22合外力矩對定軸轉(zhuǎn)動的剛體所做的功，等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量剛體定軸轉(zhuǎn)動時(shí)的動能定理剛體的合內(nèi)力矩為0，其功也為0對非剛體來說，轉(zhuǎn)動過程中轉(zhuǎn)動慣量會有變化，內(nèi)力或內(nèi)力矩的功可能不為0，此時(shí)需用系統(tǒng)的動能定理進(jìn)行具體的分析。系統(tǒng)的機(jī)械能包括系統(tǒng)勢能，系統(tǒng)內(nèi)各物體的平動動能和轉(zhuǎn)動動能。機(jī)械能守恒定律仍適用。23如圖,一根質(zhì)量為m,長為l的均勻細(xì)棒OA，可繞固定點(diǎn)O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，今使棒從水平位置開始自由下擺，求擺到與水平成30

角時(shí)，求中心點(diǎn)C和端點(diǎn)A的速度N解：重力矩為由轉(zhuǎn)動的動能定理mgOA?C

重力矩的功為而轉(zhuǎn)動慣量J為解得那么例3.524質(zhì)點(diǎn)的角動量Oxyz?mrv

d定義質(zhì)點(diǎn)

m對點(diǎn)

O的角動量大小L=mvr

sin

方向?yàn)橛沂株P(guān)系

質(zhì)點(diǎn)的角動量是對參考點(diǎn)O而言的角動量大小可以表達(dá)為mvd對于做圓周運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)，其對圓心O的角動量大小為L=rmv=mr2

25質(zhì)點(diǎn)的角動量定理

質(zhì)點(diǎn)所受的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動量的增量質(zhì)點(diǎn)的角動量定理

26質(zhì)點(diǎn)的角動量守恒

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受對參考點(diǎn)O的合力矩為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對該參考點(diǎn)O的角動量為恒矢量。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)只受有心力作用時(shí)，其角動量不隨時(shí)間變化，即角動量守恒。

27v2

BAOl0lMmv0如圖,子彈擊中木塊并嵌在木塊內(nèi)運(yùn)動。解:擊中瞬間,v0方向動量守恒AB過程，子彈、木塊系統(tǒng)機(jī)械能守恒AB過程，水平面內(nèi)角動量守恒聯(lián)立求解:v1例3.628討論圓錐擺的角動量守恒問題(1)質(zhì)點(diǎn)m對圓心O和懸點(diǎn)B的角動量,(2)重力和張力對O和B的力矩,(3)角動量是否守恒？解:(1)對O點(diǎn)mvro大小L0=r0mvsin90=r0mv=mr2

對BrBBOlLB=l·mvsin90

=mlr(2)力矩mg重力矩大小:Mg=r0mg拉力矩MT=r0Tcos=r0mg對O點(diǎn)對B點(diǎn)MT=0,Mg=r0mg(3)對O點(diǎn)角動量守恒，對B點(diǎn)不守恒T

例3.729剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理剛體上任一質(zhì)點(diǎn)對轉(zhuǎn)軸的角動量剛體對轉(zhuǎn)軸的力矩質(zhì)點(diǎn)所受力矩剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量考慮到剛體定軸轉(zhuǎn)動時(shí)內(nèi)力合力矩為0，那么作用于剛體的合外力矩等于剛體繞此定軸的角動量隨時(shí)間的變化率。當(dāng)J

為恒量時(shí)30

作用在物體上的沖量矩等于物體角動量的增量角動量定理剛體的角動量守恒定律

假設(shè)物體所受外力合力矩為零，或者不受外力矩作用,物體的角動量保持不變——角動量守恒定律。

31一長為l、質(zhì)量為m

的桿可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動.一質(zhì)量為m、速率為v的子彈射入桿內(nèi)距支點(diǎn)為a處,使桿的偏轉(zhuǎn)角為30o.問子彈的初速率為多少?m'Olva解：把子彈和桿作為一個(gè)系統(tǒng),碰撞過程中系統(tǒng)所受外力矩為零,角動量守恒碰后子彈、桿和地系統(tǒng)，機(jī)械能守恒聯(lián)立兩式得m例3.832質(zhì)量m,長為l的均勻細(xì)棒，在水平位置釋放，棒下擺到豎直位置時(shí)，與靜止的質(zhì)量為M的物塊作完全彈性碰撞，物塊在水平面上向右滑行一段距離s后停止，設(shè)摩擦系數(shù)為

，求證：解此題可分解為三個(gè)過程(1)下擺過程，機(jī)械能守恒(2)碰撞過程角動量守恒同時(shí)機(jī)械