泊松方程和邊界條件省公開課金獎全國賽課一等獎微課獲獎?wù)n件

、泊松方程和邊界條件

假定所研究區(qū)域為V，在普通情況下V內(nèi)能夠有各種介質(zhì)或?qū)w，對于每一個介質(zhì)本身是均勻線性各向同性。設(shè)V內(nèi)所求電勢為，它們滿足泊松方程兩類邊界條件：①邊界S上，為已知，若為導(dǎo)體=常數(shù)。②邊界S上，為已知，給定（）定總電荷Q。它相當(dāng)于若是導(dǎo)體要給1/15內(nèi)邊界條件為邊值關(guān)系注：在實際問題中，因為導(dǎo)體內(nèi)場強為零，能夠不包含在所求區(qū)域V內(nèi)。導(dǎo)體面上邊界條件可視為外邊界條件。：V內(nèi)兩介質(zhì)分界面上自由電荷為零2/15二、唯一性定理1．均勻單一介質(zhì)電場）唯一確定。分布已知，滿足若V邊界上已知，或V邊界上已知，則V內(nèi)場（靜區(qū)域內(nèi)證實：

假定泊松方程有兩個解，有

在邊界上令3/15由格林第一公式

令

則因為積分為零必定有常數(shù)4/15（1）若給定是第一類邊值關(guān)系

即常數(shù)為零。電場唯一確定且電勢也是唯一確定。雖不唯一，但電場（2）若給定是第二類邊值關(guān)系

常數(shù)，相差一個常數(shù)，是唯一確定。5/15介質(zhì)分區(qū)均勻（不包含導(dǎo)體）已知，

成立，給定區(qū)域或。在分界面上，或V內(nèi)（證實見書P．60）sv區(qū)域V內(nèi)電場唯一確定6/15

均勻單一介質(zhì)中有導(dǎo)體（證實見教材）Q2Q1εSS1S2V（或Q1、Q2）為已知，則區(qū)域V已知，或、內(nèi)電場唯一確定。當(dāng)，求內(nèi)電勢。導(dǎo)體中7/15三、唯一性定理意義更主要是它含有十分主要實用價值。不論采取什么方法得到解，只要該解滿足泊松方程和給定邊界條件，則該解就是唯一正確解。所以對于許多含有對稱性問題，能夠無須用繁雜數(shù)學(xué)去求解泊松方程，而是經(jīng)過提出嘗試解，然后驗證是否滿足方程和邊界條件。滿足即為唯一解，若不滿足，能夠加以修改。

唯一性定理給出了確定靜電場條件，為求電場強度指明了方向。8/15四、應(yīng)用舉例

半徑為a導(dǎo)體球殼接地殼內(nèi)中心放置一個點電荷Q，求殼內(nèi)場強。解：點電荷Q放在球心處，殼接地因而腔內(nèi)場唯一確定。Q不滿足已知點電荷產(chǎn)生電勢為但它在邊界上9/15要使邊界上任何一點電勢為0，設(shè)它滿足依據(jù)唯一性定理，它是腔內(nèi)唯一解?？梢娗粌?nèi)場與腔外電荷無關(guān)，只與腔內(nèi)電荷Q相關(guān)。10/15解：導(dǎo)體球含有球?qū)ΨQ性，電荷只分布在外表面上。假定電場也含有球?qū)ΨQ性，則電勢坐標(biāo)與無關(guān)。因電荷分布在有限區(qū)，外邊界條件導(dǎo)體表面電荷Q已知，電場唯一確定。設(shè)

滿足，

帶電荷Q半徑為a導(dǎo)體球放在均勻無限大介質(zhì)中，求空間電勢分布。在導(dǎo)體邊界上11/153．兩種均勻介質(zhì)（和

）充滿空間，一半徑a帶電Q導(dǎo)體球放在介質(zhì)分界面上（球心在界面上），求空間電勢分布。Q利用12/15場對稱

對稱性分析：場仍對稱！在兩介質(zhì)分界面上：束縛電荷只分布在導(dǎo)體與介質(zhì)分界面上。對于上半個空間，介質(zhì)均勻極化，場含有對稱性，一樣下半空間也含有對稱性。而在介質(zhì)分界面上，所以可考慮球外電場仍含有球?qū)ΨQ性。試探解QPS2S1給定，所以球外場唯一確定。解：外邊界為無窮遠(yuǎn)，電荷分布在有限區(qū)導(dǎo)體上Q13/15確定常數(shù)在介質(zhì)分界面上下半空間上半空間