定積分在物理上的應(yīng)用省公開課金獎(jiǎng)全國(guó)賽課一等獎(jiǎng)微課獲獎(jiǎng)?wù)n件

一、變力沿直線所作功二、液體側(cè)壓力三、引力問(wèn)題定積分在物理學(xué)上應(yīng)用1/25一、變力沿直線所作功設(shè)物體在連續(xù)變力

F(x)作用下沿x

軸從x＝a移動(dòng)到力方向與運(yùn)動(dòng)方向平行,求變力所做功.在其上所作功元素為所以變力F(x)在區(qū)間上所作功為2/25例1.一個(gè)單求電場(chǎng)力所作功.解:當(dāng)單位正電荷距離原點(diǎn)r

時(shí),由庫(kù)侖定律電場(chǎng)力為則功元素為所求功為位正電荷沿直線從距離點(diǎn)電荷

a

處移動(dòng)到b處(a<b),在一個(gè)帶+q電荷所產(chǎn)生電場(chǎng)作用下,3/25例2.試問(wèn)要把桶中水全部吸出需作多少功?解:

建立坐標(biāo)系如圖.在任一小區(qū)間上一薄層水重力為這薄層水吸出桶外所作功(功元素)為故所求功為(KJ

)設(shè)水密度為(KN)一蓄滿水圓柱形水桶高為5m,底圓半徑為3m,4/25面積為A平板二、液體側(cè)壓力設(shè)液體密度為

深為h

處壓強(qiáng):當(dāng)平板與水面平行時(shí),當(dāng)平板不與水面平行時(shí),所受側(cè)壓力問(wèn)題就需用積分處理.平板一側(cè)所受壓力為??5/25小窄條上各點(diǎn)壓強(qiáng)例3.

液體,

求桶一個(gè)端面所受側(cè)壓力.解:

建立坐標(biāo)系如圖.所論半圓利用對(duì)稱性,側(cè)壓力元素端面所受側(cè)壓力為方程為一水平橫放半徑為R

圓桶,內(nèi)盛半桶密度為6/25說(shuō)明:當(dāng)桶內(nèi)充滿液體時(shí),小窄條上壓強(qiáng)為側(cè)壓力元素故端面所受側(cè)壓力為7/25三、引力問(wèn)題質(zhì)量分別為質(zhì)點(diǎn),相距r,二者間引力:大小:方向:沿兩質(zhì)點(diǎn)連線若考慮物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)引力,則需用積分處理.8/25例4.設(shè)有一長(zhǎng)度為l,線密度為

均勻細(xì)直棒,其中垂線上距a

單位處有一質(zhì)量為

m

質(zhì)點(diǎn)

M,該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)引力.解:

建立坐標(biāo)系如圖.細(xì)棒上小段對(duì)質(zhì)點(diǎn)引力大小為故垂直分力元素為在試計(jì)算9/25利用對(duì)稱性棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)引力水平分力故棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)引力大小為棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)引力垂直分力為10/25(99考研)思索與練習(xí)提醒:

作x軸如圖.1.為去除井底污泥,用纜繩將抓斗放入井底,泥后提出井口,纜繩每在提升過(guò)程中污泥以20N/s

速度從抓斗縫隙中遺漏,現(xiàn)將抓起污泥抓斗提升到井口,抓斗抓起污泥重N,提升速度為3m/s,問(wèn)克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30m,抓斗自重400N,將抓起污泥抓斗由抓起污x

提升dx

所作功為

米重50N,11/25提升抓斗中污泥:井深30m,抓斗自重400N,纜繩每米重50N,抓斗抓起污泥重N,提升速度為3m∕s,污泥以20N∕s速度從抓斗縫隙中遺漏克服纜繩重:抓斗升至x

處所需時(shí)間:克服抓斗自重:12/25銳角

取多大時(shí),薄板所受壓力P

最大.2.斜邊為定長(zhǎng)直角三角形薄板,垂直放置于解:

選取坐標(biāo)系如圖.設(shè)斜邊長(zhǎng)為l,水中,并使一直角邊與水面相齊,則其方程為問(wèn)斜邊與水面交成13/25故得唯一駐點(diǎn)故此唯一駐點(diǎn)即為所求.由實(shí)際意義可知最大值存在,即14/251、

求極限提醒：原式左邊=右邊定積分習(xí)題課15/252、

證實(shí)證:

令則令得故16/253、解3、4、4、是偶函數(shù),17/255、6、5、解:18/257、6、解：設(shè)在[0，1]上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證實(shí)：

8、19/259、設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且(1)在(a,b)內(nèi)

f(x)>0;(2)在(a,b)內(nèi)存在點(diǎn)

,使

(3)在(a,b)內(nèi)存在與

相異點(diǎn)

,

使(03考研)20/25證:

(1)

由f(x)在[a,b]上連續(xù),知

f(a)=0.所以f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增,所以(2)

設(shè)滿足柯西中值定理?xiàng)l件,于是存在21/25即(3)

因在[a,]