教育教學論文球體積公式的推導歷史及比較

1球體積公式的推導歷史及比較廣安市鄰水實驗學校曾祥超摘要：球體積的計算是個相當復雜的問題，不同的時代，在不同的國家，對球體積公式的推導有著細心的研究，有幾個杰出的數(shù)學家：阿基米德、劉徽、祖沖之父子、關孝和等得出了相應的球體積公式，他們之間有著千絲萬縷的聯(lián)系。關鍵詞：球體積；阿基米德；劉徽；祖沖之父子；關孝和ZengxiangchaoCollegeofMathematicsandinformation,mathematicsandappliedmathematicsAbstract:Ballvolumecalculationisaquitecomplexquestion,indifferebrilliantmathematician:Archimedes,LiuHui,fatherandsonzuchongzhi,GuanXiaoanddrawthecorrespondingvolumeformula,connectedbetweenthetype.Keywords:Ballsize;Archimedes;LiuHui;fatherandsonzuchongzhi;GuanXiaohe0引言球體積公式是非常復雜問題。在《九章算術》中，球的體積公式相當于(是球的直徑)。這是一個近似公式，誤差很大。張衡曾經研究了這個問題，但沒有得到更好的結果。劉徽發(fā)現(xiàn)了《九章算術》少廣章所說的球與其外切圓柱的體積之比為π:4的結論是錯誤的，并正確指出球與“牟合方蓋”(兩個底半徑相同的圓柱垂直相交，其公共部分稱為“牟合方蓋”)的體積之比才是π:4,把對于球體積問題的研究推進了一大步，但他沒有能夠解決牟合方蓋體積的計算問題。二百年后，祖沖之和他的兒子祖才在這個問題上取得了突破。祖胞，字景爍，曾任梁朝員外散騎侍郎、太府卿、南康太守、材官將軍、奉朝請等，也是南北朝時期著名的數(shù)學家和天文學家，著有《漏刻均已失傳。有的文獻記載說《綴術》也是他所著,說他還曾參加阮孝緒編著《七2錄》的工作。祖沖之父子推算出牟合方蓋的體積等于，從而得到正確的球體積公式233dV=16d=3π,徹底解決了球體積的計算問題。由于當時用圓周率π,因此他們的球體積公式為。祖氏父子在推導牟合方蓋體積公式的過程中，提出了“冪勢既同，則積不容異”(即二立體如果在等高處截面的面積相等，則它們的體積也必定相等)的原理?，F(xiàn)在一般把這個原理稱為“祖胞原理”。在西方，17世紀意大利數(shù)學家卡瓦列里重新提出這個原理，即被稱為“卡瓦列里公理”,這個原理成為后來創(chuàng)立微積分學的重要的一步阿基米德(公元前287—前212年)在數(shù)學上的成就很多，其中他最感興趣的是關于球體積公式的推導，他為了找到球體積的計算方法，先用一個空心的等邊圓柱(就是圓柱底面圓的直徑正好等于圓柱的高)的容器，里面裝滿了水。然后把一個直徑等于這個圓柱高的球輕輕放進容器，再小心地把溢出的水收集起來，量出水的體積就是球的體積。他經過多次這樣的實驗，發(fā)現(xiàn)球的體積正好等于圓柱容器體積的。因為圓柱的體積是已知的，從而推導出球的體積公式。阿基米德非常重視這個發(fā)現(xiàn)，囑咐別人在他死后，能在他墓碑上刻上這個圖形。這就是上面所提到的古墳墓碑上所刻的圖案。1球體積公式的推導歷史1.1阿基米德球體積公式的推導阿基米德推導球體積公式的思想方法是先利用力學中的杠桿平衡原理得出球體積公式，然后運用幾何方法加以論證.他把球體和錐體分成很多窄的平行的條或薄的平行的層，并且把這些片掛在杠桿的一端，使它平衡于容積和重心已知的一個柱體.阿基米德發(fā)現(xiàn)球體積公式的具體方法和過程如下：矩形(長為寬的兩倍)、角形和圓(半徑為r)圍繞BT軸旋轉，得旋轉體(圓柱體、圓錐體積和球體);然后，從這三個立體上切下與A相距x、x的豎立的薄片(并且假定它們是平行體),并把所得錐體和球體的薄片平移到T點(AB=AT=2r),把所得圓柱體薄片放到原來的圓柱體的重心處，當△x很小時，就得到：球體薄片的體積=πx(2r-x)Ax=2πrx△x-πx2△x,柱體薄片的體積=4πr2△x,錐體薄片的體積=πx2Ax經觀察可知，球體薄片的體積+錐體薄片的體積=πx(2r-x)△x+πx2△x=2πrxA,消去πx2△x項，把BT視為支點為A的杠桿，則所有球體和錐體薄片的力矩為4pgπr2xA:(假定柱體、錐體、球體取材相同，其中p為同種材料的密度，g為自由落體加速度),而柱體薄片的以2r為力臂的力矩也為pg2πrx△:2r=4pgπr2x△x利用杠桿平衡原理，可把球體和錐體的所有切得的薄片都掛在距A點2r的T處，3也即故球體體積×2r+錐體體積×2r=柱體體積×r式的嚴格證明.徑0C進行n等分(設每等分的長為h),通過各分點作平行于底面的截面，從將半球劃分n個截段，再作每個截段的外接和內接圓柱.根據(jù)相交弦定理易知A?D?2=CDi×DD?=h(2r-h)=h(2n-1)hA?D?2=CD?×D?D?=2h(2r-2h)=2h(2n-2)hAO2=CO×OD=nh×nh=nh(2n-n)h4對任意的有限項，v柱即不能大于3/2V球，也不能小于3/2v球，從而只能出現(xiàn)相等的關系。1.2劉徽、祖沖之父子球體積公式的推導魏晉時數(shù)學家劉徽在研究我國古代數(shù)學名著《九章算術》時，為《九章》作注，書名為《九章算術注》。在該書中，劉徽明確指出《九章算術》中的球體積公式v=9/16d3(d為球的直徑)是錯誤的，錯誤的原因在于誤以為球和它的外切圓柱的體積的比是π:4。為了糾正這一錯誤，劉徽在他的《九章算術注》中，提出一個獨特的方法來計算球體的體積：他不直接求球體的體積，而是先計算另一個叫“牟合方蓋”的立體的體積。何謂“牟合方蓋”?用一個正方體的土坯，用一與之內切且等高的空心鐵圓柱一套，拿出來，正方體變成了圓柱體，底面正好為原正方體底面的內接圓，然后橫放此圓柱，再用同樣的一個空心鐵圓柱一套(如圖一),出現(xiàn)了圖二中形狀的物體——即由兩個同樣大小但軸心互相垂直的圓柱體相交而成的立體。由于這個立體的外形似兩把上下對稱的正方形雨傘(整個造形也像兩頂餐桌上擋蒼蠅用的桌罩反向迭合而成的),所以就稱它為“牟合方蓋”。在這個立體里面，可以內切一個半徑和原來圓柱體一樣大小的球體。劉徽指出，由于內切圓的面積和外切正方形的面積之比為π:4(見圖三),所以球體體積與“牟合方蓋”的體積之比亦應為π:4。而顯然，因為內切圓柱的體積大于合蓋的體積，所以球體體積與“牟合方蓋”的體積之比和球體體積與它的外切圓柱的體積的比應不相等，由此說明《九章算術》中的球體積公式是錯誤的。顯然，只要求出牟合方蓋的體積，那么球體積便迎刃而解?？上У氖?，劉徽功虧一簣，未能求出牟合方蓋的體積，但是他坦誠地記下了自己的困惑，表示“欲陋形措意，懼失正理，敢不闕言，以候能言者”,表現(xiàn)了一位偉大學者實事求是、寄希望于后學的坦蕩胸懷。5二百年后，能實現(xiàn)劉徽愿望的人終于出現(xiàn)了。他就是祖胞!祖眶是南北朝時牟合方蓋”(如圖四),設OP=h,過P點作平面PQRS平行于OABC。又設內切球體的半徑為r,則OS=OQ=r,由勾股定理有PS=PQ=√,2-h2,故如果將圖四的立體放在一個邊長為r的正立方體之內(如圖五),不難證明圖五高處，圖五中陰影部分的面積與圖六中倒立的正立方錐體的橫切面的面積總相“緣冪勢既同，則積不容異。”于圖五的正立方體體積，由此可知八分之一個“牟合方蓋”的體積伴隨著中國算書陸續(xù)東傳日本，球積計算問題也受到日本數(shù)學界的數(shù)學家6中都曾嘗試求解球體積,方法大致是:(1)將直徑為1尺的球的直徑100等分,在這些分點上沿著與直徑垂直相交的平面,把球切為100個其厚度為1分的切片;(2)把上下面切口的直徑作為底的直徑,計算高度為1分的圓柱體的體積;(3)計算100個圓柱體的體積之和，將其作為球體積的近似值，這樣會得出兩種情況，如圖1所示,在圖1(I)的情況下,求出的體積比球體積真值要大,而在圖1(Ⅱ)的情況下，求出的體積比球體積真值要小。圖1求球體積的“切片”法和算家村松茂清(1608—1695)在《算俎》中首次改進了這種球體積方法.《算俎》在求“玉積率(約0.524)”的方法中這樣描述，作垂直于球中的某個直徑的一組平面，并把這個直徑均勻的切成100等分.這時試著由平面切成的球的各個部分看成圓臺，分別計算出它們各自的體積，之后求和計算出玉積率，這種方法顯然要比以前的方法精確很多.此后，村瀨義益借助村松茂清的這一方法在“玉法根源”中把球體切分成一萬份，給出了精確度更高的玉積率.村瀨義益的生卒年代沒有資料可靠，他應是生活在日本江戶初期的和算家.根據(jù)村瀨在自己著作序文中的介紹，可知他出生在佐渡，向佐渡島的和算家百川治兵衛(wèi)的弟子或孫弟子學習數(shù)學，之后去江戶，拜比自己年齡還小但知名度很大的和算家義村吉德(?—1710年)為師.經過多年的刻苦努力，通曉了當時許多日本數(shù)學和從中國傳來的數(shù)學算書,并于1673年完成自己的數(shù)學著作《算法勿憚改》,共有5卷,在卷中給出了一種球體積近似公式.“玉貫法五二三六の根源八貫老尺の玉を老萬枚にヘぎてき枚の厚さき毛宛也凡うすやうの紙の厚さに等き也如此徑矢弦の術をもツて其徑を知銘銘に坪を見て老萬枚合て五百貳拾三坪六分と成故二定法とする也切又周法五九二老七九八周三尺老寸四分老厘六毛を再自因而為実以貫法除き知也”.這段話的大意是:玉貫法五二三六(π/6≈0.5236)的根源，是把直徑為一尺的球削成一萬枚圓臺，每枚的厚度為一·,·當于一張紙的厚度，利用徑矢弦術可知每枚圓臺的底面半徑，再求得每枚圓臺體積，最后把一萬枚圓臺體積相加起來，共為五百二拾三坪六分.這是一種求證球體積的方法，其中重要一步是徑矢弦術，村瀨給出了徑矢弦公式，如圖2所示.“今有弓形，弦長八寸，矢二寸，問徑幾何.答曰：徑一尺.法曰：弦八寸自因，得7六十四步，另外矢二寸乘定法四，與前面的步法相除，得八，再與矢二寸相加得到徑長”.這里給出公式：μ=a2(4)+h,其中d為直徑，a為弦，h為矢.瀨在“徑矢弦四之起”中驗證了此公式的正確性.例如，直徑(弦)為一尺的圓，內切長方形.又知矢一寸，由勾股定理，可得股為八寸，勾為六寸，用邊長為直徑(弦)的正方形面積(100步)減去中央邊長為股的正方形面積(64步),得這4個相等的面積重新組成一個長方形，長為4h,寬為d-h。由此可以得出下式：a3=4h(d-h),經過整理就得出公式a=a2(4h)+h。實際上這一公式很早就在中國《九章算術》中有了記載，遺憾的是村瀨義益沒有給出求解球體積計算方法的具體過程，不過關孝和(?—1708)在《括要算法》中給出了明確的計算過程.首先，把直徑1尺的球切成50片，每片的厚度為2分，用徑矢弦術求出每片弦冪(弦的平方),再把相鄰兩個弦冪相加后，乘以厚度，再除以2,得到“截積”,把各個截積相加起來，得到“初積”,這里的初積為v?=666.4;得到初積后，關氏又將球體積分割成100片，每片的厚度為1分，利用同樣的計算方法，得到結果為v?=666.6立方寸，,稱為“中積”;之后，再將球切成200片，每片的厚度為5厘，得到“后積”v;=666.65立方寸。由這里已知但這還仍是一個近似的求解方法，直到松永良弼(1693—1744)《立圓率》首次用極限的概念求出了球體的公式，才使這一問題在日本得到最終解決.松永良弼的《算法集成》中的《立圓率》是一部試圖解說和證明關孝和《括要算法》(求立圓積術)的著作.他引入自己的具有普遍性的新方法，證明關孝和的球體積計算方法的正確性.在《立圓率》中，松永概述了自己的方法.“切球為數(shù)萬片，以切口之徑為弦.自之各和，以圓法及厚相乘，便得球形.”這一思想方法顯然是繼承于關氏，為了求出圓柱的體積，松永利用徑矢弦術并對這個公式一矢為一寸(h·1=h),弦冪則為三十六(a?);若二矢二寸(h·2=2h),則弦冪為六十四(a?2).但因二矢為一二之和，故為二寸；若三矢三(h·3=3h),8a2=4h(d-h)(k=1,2,……,n)接著，松永把k=1,k=2,…,k=10代入，計算結果為4hd-4h?,8hd一16h?,…,40hd-400h:.此后，又把這些算式加起來，“將其得數(shù)乘以厚，乘以圓積法，便得球之泛積”.所謂泛積，即“未竟的概略之積”.所謂圓積法，就是4.它對球的泛積v的計算整理后得：V,=π/6d3(1+6/4n-1/n2),得到此式后，松永進一步解釋說：“截數(shù)(是指n)至虧多則此兩數(shù)微ナリ故截多極)數(shù)習增約シテ此兩數(shù)習消ス”[4].這即指n→,得到v=116πd3.松永就此導出了球的體積公式，從而證明了關孝和方法的正確性.從和算求解球體積的整個歷史發(fā)展過程中看出，其主要思想方法是：(1)將球的直徑d分為n等分，在這些分點上沿著與直徑直交的平面，把球切為n個其厚廢為n的切片；(2)把上下面的弦長(切口的徑)作為底的直徑，計算高度為n的圓柱體的體積，取兩個圓柱體積的平均數(shù)作為近似的各切片的體積；(3)計算n個切片的體積之和，將其作為球體積的近似值；(4)作為n→~時的極限值，以此決定球的體積.2.球體積公式的推導之比較在中國，《九章算術》給出了球體積的經驗公式，這一公式很不精確，東漢劉徽試圖找到求解球體積的正確方法，但在求解“牟合方蓋”的問題上受到阻礙，沒有進行下去.這一方法被南北朝數(shù)學家祖胞所沿續(xù)，并在研究中發(fā)現(xiàn)了“祖原理”,最終得到球體積公式.劉祖剖分球體積的方法與日本和算家切分方法相比，不具有均勻性，是一種不規(guī)則的剖分方法.這種方法在特定情況下很有效，但很難成為一般性的方法來推廣.之后中國古代對球體積的研究基本上是停頓狀態(tài)，甚至到后來劉祖剖分球體積的方法已經失傳.明清的時候，已經無人知道這一方法，不過受西方數(shù)學傳入的刺激，中算家另辟蹊徑，重新開始球體積的研究.方中通的方法，是將球的一個直徑作為中軸，對球體積作一種均勻剖分，可其剖分出來的小體積不規(guī)則，很難用當時的數(shù)學知識得出結論.梅文鼎是將球體積分成4個等體積的球扇形體，再求出球扇形體的體積，而得到球體積公式.從證明過程中可以看出，他的一些理論是受西方數(shù)學知識的影響，另外，在證明上還有不嚴謹?shù)牡胤?，被后來晚清?shù)學家徐有壬所完善。在日本，最初的思想方法是把球體切成薄片，再把薄片視為圓柱體，通過對圓柱體體積累加，近似得到球體積，不過這種方法從直觀上就可判斷出不準確，即不是大于球體積就是小于球體積.這種缺陷并沒有使和算家放棄此種方法，而是對這種缺陷進行改進.首先是村松茂清在《算俎》中把切片視為圓柱體的作法改為圓臺，這使計算精度大為提高，也為這種方法進一步研究給予啟發(fā).到了關9氏的《括要算法》,不僅在球體切分上有了大的改進，而且在算法上還發(fā)現(xiàn)了其中內含的規(guī)律，即每次均勻切分50、100、200……后，把所得到的兩個相鄰近似球體積值作差運算，發(fā)現(xiàn)它們之間存在著等比關系，關氏猜測若如此無限繼續(xù)下去的話就能得到球的體積，但關氏沒有把這一思想方法進行到底，到了關流三傳松永良弼徹底解決這一問題，即在繼承關氏的思想基礎上，最終利用取極限的方法得到球體積公式.在西方，球體的體積計算方法雖然早已由希臘數(shù)學家阿基米德發(fā)現(xiàn)，但“祖胞原理”是在獨立研究的基礎上得出的，且比阿基米德的內容要豐富，涉及的問題要復雜。“祖胞原理”從方法至推導都是由劉徽及祖氏父子自行創(chuàng)出，這不能不算是一項杰出的成就。這一球體體積公式比歐洲阿基米德的雖然出現(xiàn)較遲，但二者有異曲同工之妙。所用“緣冪勢既同，則積不容異”的原理，其中“勢”即是“祖胞原理”在17世紀由意大利數(shù)學家卡瓦列里重新發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)在一般認為于受劉徽的啟發(fā)，祖氏父子比卡瓦列利早一千年就用到了這個原理，所以我認為稱之為“劉祖原理”可能更切合實際。3.結束語從古代球體積研究歷史可知以下幾點：首先，中算家的方法是多種多樣的，雖有一定的繼承，但多數(shù)是中算家獨立完成的.而日本球體積發(fā)展過程確有很強的繼承性，逐漸深入，在和算家?guī)状瞬恍傅呐ο?，最終完成了球體積公式的證明.其次，中算家證明球體積的方法，集中運用幾何知識來證明，而和算家在證明時，不僅運用幾何知識，還發(fā)現(xiàn)了計算中存在的數(shù)量規(guī)律，表現(xiàn)出了幾何的代數(shù)化傾向.還有，中算家方法的特點只局限于對特定問題的特殊證明，他們的方法很難再平移或推廣到其它類似數(shù)學問題的解決上來.和算家的方法就不同，他們的方法不僅可以解決球體積，而且稍做改進就可以推廣到很多類似問題的解決上來.被稱為和算中興之祖的安島直圓(1732—1798)就是繼承了這種方法，開創(chuàng)和發(fā)展和算中的綴術理論，而且，這種方法也為后來微積分在和算中的產生做出了準備.古希臘著名科學家阿基米德在其畢生的科學研究中，十分注重理論與實踐的緊密結合.他的所有成就幾乎都是在理論產生的同時便應用于實踐，或在實踐的同時產生嚴密的科學理論，所以阿基米德堪稱是把技術實踐和嚴密科學理論相結合的典范.他在物理上卓有成就，譬如《論杠桿》和《論平板的平衡》等著作；他同時也是整個數(shù)學史上最偉大的數(shù)學家之一，其幾何著作堪稱古希臘數(shù)學的頂峰.從他推導球體積公式的思想方法，我們或許能窺見一斑。美國學者懷爾德(R.Wilder)曾寫有《數(shù)學概念的進化》和《作為文化系統(tǒng)的數(shù)學》兩部著作[11].其中主要提出所謂的數(shù)學文化論，這是指把數(shù)學看成是一個由于其內在力量