2022屆遼寧省高考聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)試題帶答案

2022年高考聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知全集〃=1<,集合A={x|-2Wx<3},B={y|y=2",xWl},則4口8=()

B.{x|-2<x<2}C.{x|0<x<2}{x|0<x<l}

2.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|z=3+4i,則|z|=(

B.亞c.Vio

3.“一5<k<0”是“函數(shù)y=x2-kx-k的值恒為正值”的(

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.己知sin巳=二，則cos(a-i)=()

24

1515

A.—B.C.一一D.一一

2828

5.已知單位向量￡和坂滿足,一4=碼￡+年則￡與辦的夾角為()

7i卜2乃丁冗c5萬

A.-B.—C.—D.—

6336

6.已知直線/：“優(yōu)一丁一3m+1=0恒過點(diǎn)p,過點(diǎn)P作直線與圓。：(*一lp+(y—2)2=25相交于A,

8兩點(diǎn)，則|A用的最小值為()

A.475B.2C.4D.2出

7.河圖是上古時代神話傳說中伏羲通過黃河中浮出龍馬身上的圖案，與自己的觀察，畫出的“八卦”，而龍

馬身上的圖案就叫做“河圖把一到十分成五組，如圖，其口訣：一六共宗，為水居北；二七同道，為火

居南；三八為朋，為木居?xùn)|；四九為友，為金居西；五十同途，為土居中.“河圖''將一到十分成五行屬性

分別為金，木，水，火，土的五組，在五行的五種屬性中，五行相克的規(guī)律為：金克木，木克土，土克

水，水克火，火克金；五行相生的規(guī)律為：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木.現(xiàn)從這十個數(shù)中

隨機(jī)抽取3個數(shù)，則這3個數(shù)字的屬性互不相克的條件下，取到屬性為土的數(shù)字的概率為()

o

CMXXMXX)

8.已知函數(shù)y=/(x),若/(x)>0且/'(x)+?(x)>0,則有()

A.7(x)可能是奇函數(shù)，也可能是偶函數(shù)B.

7t71cos2xi—

C時，/(sinx)<e2/(cosx)D./(0)<<e/(1)

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.下列說法中正確的是()

1Q

A.已知隨機(jī)變量X服從二項分布8(4,］),則O(X)=g

B.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布M3,。2)且尸(X<5)=0.85,則尸(I<XW3)=0.3

C.已知隨機(jī)變量X的方差為O(X),則Z)(2X-3)=4O(X)-3

D.以模型y=c、ek(c>0)去擬合一組數(shù)據(jù)時，設(shè)z=lny,將其變換后得到線性回歸方程z=2x-l,則

1

c=-

e

10.已知函數(shù)“X)對任意xeR都有,f(x+2)+/(x)=0,且函數(shù)〃x+l)的圖象關(guān)于(一1,0)對稱.當(dāng)

時，〃x)=sinx.則下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)伏,0)(左GZ)中心對稱

B.函數(shù)y=|/(x)|的最小正周期為2

C.當(dāng)xw[2,3]時，〃x)=sin(2-x)

D.函數(shù)y=/(附在［2k,2k+1］仕eZ)上單調(diào)遞減

11.已知拋物線C:y2=2px,C的準(zhǔn)線與x軸交于K,過焦點(diǎn)F的直線/與C交于A、B兩點(diǎn)，連接AK、

BK,設(shè)A3的中點(diǎn)為P,過P作A3的垂線交x軸于。，下列結(jié)論正確的是()

A.網(wǎng)?網(wǎng)=網(wǎng)忸|B.tanZAKF=cosNPQF

c.AAXB的面積最小值為；D.\AB\=2\FQ\

12.已知正四棱臺ABC。-的上下底面邊長分別為4,6,高為、歷，E是的中點(diǎn)，則

（）

C.AE〃平面

D.4到平面Bq。的距離為生叵

5

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知雙曲線C的一條漸近線方程為/：y=2x,且其實軸長小于4,則C的一個標(biāo)準(zhǔn)方程可以為

14.在（6-；工）"的展開式中，第3項和第6項的二項式系數(shù)相等，則展開式中的系數(shù)為.

15.在棱長為2的正方體A8CO—44G。中，￡是的中點(diǎn)，F(xiàn)是CG上的動點(diǎn)，則三棱錐

A-DEF外接球表面積的最小值為.

16.已知三棱錐O-ABC,P是面ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，數(shù)列｛q｝共9項，q=1,%+佝=2%且滿足

OP=（見一4一了礪一3a“OB+3（。,r+l）0C（2<H<9,neN*）,滿足上述條件數(shù)列共有

個.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.己知等差數(shù)列｛&｝的公差為正實數(shù)，滿足4=4,且q,4，%+4成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列｛d｝的前〃項和為S“，若4=1,且___________,求數(shù)列｛為也,｝的前項和為，，以下有三

個條件：①S"=2"-②5,=22—③5,出=25,一1,〃eN*從中選一個合適的條

件，填入上面橫線處，使得數(shù)列｛〃,｝為等比數(shù)列，并根據(jù)題意解決問題.

18.已知△A8C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且asinC=bcsin'+'.

2

（1）求角A的大??；

71

（2）若點(diǎn)。在邊BC上，且CE>=33D=3,NBAD=—,求△ABC的面積.

6

19.如圖，在直四棱柱ABC。一4四。。1中，底面ABC。為菱形，且N84￡>=60。，E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為

8G與四C的交點(diǎn).

DiCi

（1）求證：平面DEF，平面CDD￡；

（2）若。。=A。，求二面角R—OE一夕的余弦值.

20.某汽車生產(chǎn)廠家為了解某型號電動汽車的“實際平均續(xù)航里程數(shù)”，收集了使用該型號電動汽車1年

以上的部分客戶的相關(guān)數(shù)據(jù)，得到他們的電動汽車的“實際平均續(xù)航里程數(shù)”.從年齡在40歲以下的客

戶中抽取10位歸為A組，從年齡在40歲（含40歲）以上的客戶中抽取10位歸為B組，將他們的電動

汽車的“實際平均續(xù)航里程數(shù)”整理成下圖，其中“+”表示A組的客戶，表示B組的客戶.

實際續(xù)航

里程(km)?

lo

4501

4001O

+?

350

+++1oo°

300+1

+1°

250

1

200++++oo°o

1「

10203040506070年齡(歲)

注：“實際平均續(xù)航里程數(shù)”是指電動汽車的行駛總里程與充電次數(shù)的比值.

(I)記4B兩組客戶的電動汽車的“實際平均續(xù)航里程數(shù)”的平均值分別為機(jī)，〃，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，

試比較加，〃的大小(結(jié)論不要求證明)；

(H)從4B兩組客戶中隨機(jī)抽取2位，求其中至少有一位是A組的客戶的概率；

(III)如果客戶的電動汽車的“實際平均續(xù)航里程數(shù)”不小于350,那么稱該客戶為“駕駛達(dá)人”.從

4B兩組客戶中，各隨機(jī)抽取1位，記“駕駛達(dá)人”的人數(shù)為求隨機(jī)變量。的分布列及其數(shù)學(xué)期望

轉(zhuǎn).

22

21.已知橢圓C:=+與=1(。＞匕＞0)的左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為3,右焦點(diǎn)為尸(1,0),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

aZr

線段04的中點(diǎn)為D,且忸q=|OE|.

(1)求C的方程；

(2)已知點(diǎn)M,N均在直線1=2上，以為直徑的圓經(jīng)過。點(diǎn)，圓心為點(diǎn)T，直線AM,4V分別交橢

圓。于另一點(diǎn)RQ,證明直線與直線07垂直.

im

22已知函數(shù)/(%)=%—/sinx-mlnx+l.

(1)當(dāng)m=2時，試判斷函數(shù)/(幻在(兀,+8)上的單調(diào)性；

(2)存在和%e(0,+oo),占工工2，/(與)=/(巧)，求證：王々＜，〃2.

2022年高考聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知全集。=1<,集合A={x|-2Wx<3},B={y|y=2",xWl},則4口8=()

A.{x|-2<x<l}B.{x|-2<x<2}C.{x|0<x<2}D.{x|0<x<l}

【1題答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合8,再根據(jù)交集的定義即可得出答案.

【詳解】解：因為A={x|-2Wx<3},B={y|y=2、,x<l}={y[0<y<2},

所以An3={x[0<xW2}.

故選；B.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|z=3+4i,則目=()

A.1B.75C.V10D.5

【2題答案】

【答案】B

【解析】

【分析】將等式|z|z=3+4i兩邊同時取?？汕蠼?

【詳解】將等式|z|z=3+4i兩邊同時取模，有||z|z|=|3+4i|=再不=5,

即||z|zHz『=5,所以|z|=6.

故選：B

3.“—5<女<0”是“函數(shù)y=xi-kx-k的值恒為正值”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【3題答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)y=/一行一z的值恒為正值求出人的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可判斷.

【詳解】函數(shù)y=Y一丘一上的值恒為正值，

則△<（）=>女2+4攵<0=>-4<%<0，

V（-4,0）（-5,0）,

，“一5<k<0”是“函數(shù)y=x2-kx-k的值恒為正值”的必要不充分條件.

故選：B.

4.己知$血1里=乂^，則cos（a—萬）=（）

24

1515

A.—B.C.一一D.一一

2828

【4題答案】

【答案】D

【解析】

【分析】利用誘導(dǎo)公式以及余弦的二倍角公式即可求出結(jié)果.

?ci5

【詳解】cos（6Z--T）=-cos=2sin

故選：D.

5.已知單位向量［和B滿足歸―q=百.+耳，則￡與弓的夾角為（）

nc2乃八n-5萬

A.-B.—C.—D.—

6336

【5題答案】

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律，將已知條件轉(zhuǎn)化為7+4-5+廣=0,即可求［與B的夾角.

【詳解】由題設(shè)，k-q=3.+閘,則-2a巨+斤=3（，+2a3+市），

^a+4a-b+b=0>又￡和」為單位向量，

--1

/.cos<a,b>=——又V>￡［（）,?］，

2

,一T27r

/.<a,b>=—.

3

故選：B

6.已知直線/：〃穴一丁一3加+1=0恒過點(diǎn)P,過點(diǎn)P作直線與圓。：（x—lp+（y—2）2=25相交于4

8兩點(diǎn)，則|A卸的最小值為（）

A.475B.2C.4D.245

【6題答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)|4目=2/7萬將最小值問題轉(zhuǎn)化為d取得最大值問題，然后結(jié)合圖形可解.

【詳解】將如—y—3m+l=0,變形為y—1=加（工一3）,故直線/恒過點(diǎn)P（3,l）,

圓心。（1,2）,半徑r=5,已知點(diǎn)P在圓內(nèi)，

過點(diǎn)P作直線與圓（為一1）2+（丁一2）2=25相交于4,B兩點(diǎn),記圓心到直線的距離為乩則

上卸=2,2—筋=2,25-1,所以當(dāng)d取得最大值時，|A8|有最小值，

結(jié)合圖形易知，當(dāng)直線與線段0P垂直的時候，d取得最大值，即取得最小值，

此時|0P|=’（3-1）2+（1—2/二y［5，

所以|=2ylr2-\OPf=2xJ25-5=475.

故選：A.

7.河圖是上古時代神話傳說中伏羲通過黃河中浮出龍馬身上的圖案，與自己的觀察，畫出的“八卦”，而龍

馬身上的圖案就叫做“河圖把一到十分成五組，如圖，其口訣：一六共宗，為水居北；二七同道，為火

居南；三八為朋，為木居?xùn)|；四九為友，為金居西；五十同途，為土居中.“河圖''將一到十分成五行屬性

分別為金，木，水，火，土的五組，在五行的五種屬性中，五行相克的規(guī)律為：金克木，木克土，土克

水，水克火，火克金；五行相生的規(guī)律為：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木.現(xiàn)從這十個數(shù)中

隨機(jī)抽取3個數(shù)，則這3個數(shù)字的屬性互不相克的條件下，取到屬性為土的數(shù)字的概率為（）

o

【7題答案】

【答案】C

【解析】

【分析】

從這十個數(shù)中隨機(jī)抽取3個數(shù)，這3個數(shù)字的屬性互不相克，包含的基本事件個數(shù)

n=C；(C；C；+C；C1)=2(),這3個數(shù)字的屬性互不相克的條件下，取到屬性為土的數(shù)字包含的基本事件

個數(shù)為：m=+C；C；)=8,,由此能求出這3個數(shù)字的屬性互不相克的條件下，取到屬性為土的

數(shù)字的概率.

【詳解】由題意得數(shù)字4,9屬性為金，3,8屬性為木，1,6屬性為水，

2,7屬性為火，5,10屬性為土，

從這十個數(shù)中隨機(jī)抽取3個數(shù)，這3個數(shù)字的屬性互不相克，

包含的基本事件個數(shù)〃=+=2(),

這3個數(shù)字的屬性互不相克的條件下，取到屬性為土的數(shù)字包含的基本事件個數(shù)為：

m=C；(C；C；+C；C；)=8,,

Q。

...這3個數(shù)字的屬性互不相克的條件下，取到屬性為土的數(shù)字的概率p=-=—=-.

n205

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查古典概型，關(guān)鍵在于根據(jù)計數(shù)原理準(zhǔn)確求解基本事件總數(shù)和某一事件包含的基本事件個

數(shù).

8.已知函數(shù)y=〃x),若〃x)>0且/'(x)+4(x)>0,則有()

A./(x)可能是奇函數(shù)，也可能是偶函數(shù)B./(-1)>/(1)

7171.cos2xI—

C時，/(sinx)<e2/(cosx)D./(0)<<e/(1)

【8題答案】

【答案】D

【解析】

2

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義結(jié)合/(x)>0即可判斷A；令g(x)=e5/(x)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合已知判斷函數(shù)

g(x)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)g(x)的單調(diào)性逐一判斷BCD即可得解.

【詳解】解：若/(X)是奇函數(shù)，則"T)=―/(X)，

又因為〃無)>0,與/'(T)=-f(X)矛盾,

所有函數(shù)y=/(x)不可能時奇函數(shù)，故A錯誤；

令g(x)=e2/(x)，

則g'(x)=xe2/(x)+e2/'(x)=e2+

因為看〉()，/'(x)+V(x)>。,

所以g'(x)>0,所以函數(shù)g(x)為增函數(shù)，

所以g(—l)<g(l)，即//(—1)<e。⑴，

所以/(一1)</(1),故B錯誤；

冗兀/2

因為:所以0<COSJC<——，——<sinx<1?

4222

所以sinx>cosx,

故g(smx)>g(cosx),即e2/(sinx)>e2/(cosx),

cos'x-sin、xcos2x、

所以/(sinx)〉e2/(cosx)=e2/(cosx),故C錯送；

有g(shù)(0)<g(l)，即〃0)<府⑴,故D正確.

故選：D.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.下列說法中正確的是()

1Q

A.已知隨機(jī)變量X服從二項分布6(4,§),則。(X)=§

B.己知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,『)且P(X<5)=0.85,則尸(1<X<3)=0.3

C.已知隨機(jī)變量X的方差為O(X),則。(2X—3)=4D(X)—3

D.以模型y=c、e，c>0)去擬合一組數(shù)據(jù)時，設(shè)z=lny,將其變換后得到線性回歸方程z=2x—l,則

1

C--

e

【9題答案】

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)二項分布得方差公式即可判斷A；

根據(jù)正態(tài)分布得對稱性求出P(X<1),從而可判斷B；

根據(jù)方差得性質(zhì)即可判斷C；

根據(jù)題意求出A,C,即可判斷D.

【詳解】解：對于A,由隨機(jī)變量X服從二項分布8(4,；),

得Q(X)=4乂5乂(1_§)=§,故A正確；

對于B,因為隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,4),則對稱軸為X=3,

又P(X45)=0.85,所以尸(X51)=0.15,

所以P(1<XW3)=0.5-尸(XW1)=0.35,故B錯誤；

對于C,因為隨機(jī)變量X的方差為O(x),則。(2X-3)=4O(X),故C錯誤；

對于D,模型y=ce"(c>0),則lny=lnc+Zix,

又因z=lny,z=2x-l,

所以左=2,lnc=-l,所以c=L,故D正確.

e

故選：AD.

10.已知函數(shù)/(X)對任意xeR都有〃x+2)+/(x)=0,且函數(shù)的圖象關(guān)于(—1,0)對稱.當(dāng)

時，.f(x)=sinx.則下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(NO)僅GZ)中心對稱

B.函數(shù)y=|/(x)|的最小正周期為2

C.當(dāng)xe[2,3]時，./1(x)=sin(2-x)

D.函數(shù)y=/(附在[2k,2k+1](AeZ)上單調(diào)遞減

【10題答案】

【答案】BC

【解析】

【分析】先求出y=/(x)周期和解析式，畫出圖像，對四個選項一一驗證：

對于A：由圖像可判斷函數(shù)>=/'(X)的中心對稱；

對于B：利用圖像變換作出函數(shù)y=|/(x)|的圖象，即可判斷；

對于C：直接求出解析式即可判斷;

對于D：利用圖像變換作出y=/(國)的圖像，即可判斷；

【詳解】因為函數(shù)/(x)對任意xeR都有/(x+2)+/(x)=0,

所以/(x-2+2)+/(x-2)=0,即/(x)+/(尤一2)=0,所以/(x+2)=/(x-2)

所以/(x+2+2)=.f(x+2—2),即〃力=“％+4)恒成立,所以“X)的周期為4.

因為函數(shù)/(%+1)的圖象關(guān)于(-1,0)對稱，所以將y=/(x+l)的圖象向右平移一個單位，得到

y=/(x)的圖象，所以y=/(x)關(guān)于(0,0)對稱.

任取xw[l,3],則

因為函數(shù)〃尤)對任意xeR都有〃尤+2)+f(x)=0,即〃x)+/(x—2)=0,所以

/M=-/(^-2)=-sin(x-2).

[sinx,-l<x<1

所以4x)=[_sg.2),』《3’

作出>=/(》)的圖象如圖所示：

/X、疝，/V、

d-356\

-sinl

對于A：由圖象可知：函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2Z,0)(丘Z)中心對稱，故A錯誤；

對于B：函數(shù)y=『(x)|的圖象可以看成y=/(x)的圖象x軸上方的圖象保留，把x軸上方的圖象軸下方

的圖象翻折到x軸上方，所以函數(shù)y=|/(x)|的最小正周期為2.故B正確；

-4-3-2-1__9123456

-sinl

對于C：由前面的推導(dǎo)可得:當(dāng)xe[l,3],〃x)=-sin(x-2)=sin(2-x).故C正確;

對于D：作出y=/（|x|）的圖像如圖所示，在上函數(shù)y=/（|x|）單調(diào)遞增.故D錯誤.

V

-1O~i1-2\3^/456\；

7-sinl

故選：BC

11.已知拋物線C:：/=2px,C的準(zhǔn)線與x軸交于K,過焦點(diǎn)產(chǎn)的直線/與C交于A、8兩點(diǎn)，連接AK、

BK,設(shè)AB的中點(diǎn)為P，過P作A8的垂線交x軸于。，下列結(jié)論正確的是（）

A.|呵|明=|阻網(wǎng)B.tanZAKF=cosZ-PQF

2

c.AAXB的面積最小值為2D.|陰=2|同

2

【11題答案】

【答案】BD

【解析】

【分析】設(shè)直線A8的傾斜角為a,即NA&=a,設(shè)A（x，y）,6（生%），尸（％人）.可根據(jù)角平分線的

性質(zhì)判斷A；

過A作AOLx軸，垂足為。，表示出tan/AKF、cos/PQF,即可判斷B；

SJKB=S&AK/+S/KF，數(shù)形結(jié)合即可判斷C;

求出?。方程，令y=0求出。的橫坐標(biāo)，求出即可判斷它們的關(guān)系，由此判斷D.

【詳解】設(shè)直線AB的傾斜角為a,即NAEr=a,設(shè)A（m,y）,8（々,%），尸（知兒），

①若|A斗忸K|=|AKHM|,則四=粵，則根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，x軸為乙4KB的角平分線,

\BF\16Kl

但x軸不一定是NAK8的平分線，故A錯誤;

②過4作A￡>_Lx軸，垂足為

ZAKF=cos/PQF=cos一a)=sinaXy

則tanp,1^1

X,4--x+K'

1212

，tan/AKF=cos/PQE,故B正確；

③LKB=SAW+S/KF=3，/斗|>1-必|=號帆一為>3，2〃=22,當(dāng)|y—=|AB|=2〃，即

A8，x軸時，取等號，故八4/?的面積最小值為p?,故C錯誤；

1募=(%+%)叱力2〃(-2)，則tu急于

對于￡>：<

；.Q(p+Xo,O),

..PP

尸Q|=P+xo~~=~+xo，

二|AB|=玉+W+〃=2xo+〃=2|F0|,故D正確.

故選：BD.

12.已知正四棱臺A3CO-A與GR的上下底面邊長分別為4,6,高為血，E是A4的中點(diǎn)，則

A.正四棱臺A3CQ-AgGR的體積為必叵

3

B.正四棱臺ABCD-ABCA的外接球的表面積為104萬

C.AE〃平面BC\D

D.A到平面8G。的距離為生的

5

【12題答案】

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用正四棱臺ABC?！狝gG2的體積計算可判斷A；連接AC、3。相交于。2,連接AG、BR

相交于。，分外接球的球心。在正四棱臺ABCD-A4G。的內(nèi)部、內(nèi)部，

2

根據(jù)”502-￡>0：+《DO?-DO；=002、SO-DQ；-^D0-D0l=0102，求出齊可判斷

B；取24的中點(diǎn)廣，利用面面平行的判斷定理可判斷平面GBO〃平面AEE，從而可判斷C；以。2為

原點(diǎn)，。。、。所在的直線分別為、、建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面

2O2A.QXyz

的一個法向量，利用點(diǎn)到平面8G。的距離的向量求法可判斷D.

【詳解】正四棱臺ABCO—A4GA的體積為V=g(SAB1G4+sABCD+^sAACiDsABCD)h,

V=1(16+36+V24)V2=52^+4^,故A錯誤；

連接AC、3。相交于。2,連接AG、耳。相交于。

如果外接球的球心。在正四棱臺ABCD-44G。的內(nèi)部，

則。在002上，002=拒,

因為上下底面邊長分別為4,6,所以0a=；旦口=2四，=<06=30,

設(shè)外接球。的半徑為尺，所以個D。_D0；+JDCP_DO；=OR,即

正一8+五一18=桓,無解，所以外接球的球心。在正四棱臺—的外部，如下圖,

則。在延長線上，0,0=72,

因為上下底面邊長分別為4,6,所以4。=2&,D02=；DB=3上,

設(shè)外接球。的半徑為R,所以-DQ；D0?-DO；=QQ，即

，爐-8-，店一18=萬解得R2=26，

所以正四棱臺ABC。—45cq外接球的表面積為4萬箱=104%，故B正確;

取〃4的中點(diǎn)尸，連接AREF,AGC\EF=G,連接AG,

所以DiBJ/EF,所以G是4a的中點(diǎn)，因為4G=4八，所以Gq=30,

又AQ=3拒，所以GC|=AC>2,又因為GG〃AC)2,所以四邊形GCQ2A是平行四邊形,

所以G4〃GQ，G4a平面GB。，C。2U平面G8。，所以G4//平面C/。，

因為所以EF//BD,

平面G8O,BDu平面G8O,所以防〃平面C/。,

因為瓦'cAG=G,所以平面G8?！ㄆ矫鍭EF,

因為AGu平面AEE,所以AE〃平面GBD〃，

故C正確;

以。2為原點(diǎn)，Q。、02A,02a所在的直線分別為X、八Z建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

￡>(372,0,0),川―3a,0,0),G(。，-2及，閭，4(0,2逝,0),

西=(-3后,-2a詞，Bq=(372,-272,72),福=(0,-4a,0)

設(shè)平面BCQ的一個法向量為3=(x,y,z),

[DC.lnf-3缶-2夜y+及z=0-/、

所以一，即《二廠廠，令丁=1可得〃=(0」,2),

[BC]ln[3y/2x-2yl2y+y/2z=0

八|"，AG|4724V10

A到平面Bq。的距離為I口1=石=周一,故D正確.

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知雙曲線C的一條漸近線方程為/：y=2x,且其實軸長小于4,則C的一個標(biāo)準(zhǔn)方程可以為

【13題答案】

2

【答案】/_21=]

4

【解析】

2

【分析】可設(shè)雙曲線的方程為爐一亍=2(x^0),假設(shè)2>0,則雙曲線的實軸為2再根據(jù)實軸長

小于4,求得此時2的范圍，即可寫出符合題意的雙曲線方程.

【詳解】解：可設(shè)雙曲線的方程為/一號=2(/1N0),

22

即土-匕=l(/lwO),

A44

當(dāng)；1>（）時，雙曲線的實軸為2日，

則2jl<4,所以0<4<4,

可取4=1,

2

則C的一個標(biāo)準(zhǔn)方程可以為—匕=1.

4

2

故答案為：/一v匕=］.（答案不唯一）

4

14.在（6-；幻”的展開式中，第3項和第6項的二項式系數(shù)相等，則展開式中爐的系數(shù)為.

【14題答案】

【答案】一］35

【解析】

【分析】根據(jù)二項式的第3項和第6項的二項式系數(shù)相等，求得〃，再求出展開式的通項，令x的指數(shù)等于

5,從而可得出答案.

【詳解】解：因為二項式的第3項和第6項的二項式系數(shù)相等，

所以C；=C；,所以〃=7,

則二項式（?-；x）7展開式的通項為&=4（4廠｛一且=1_￡）.&/,

7+廠

令=5,則r=3,

所以展開式中V的系數(shù)為（—1］仁=—生.

I2）8

35

故答案：---.

8

15.在棱長為2的正方體ABC0-中，E是CD的中點(diǎn)，R是CG上的動點(diǎn)，則三棱錐

A-￡）所外接球表面積的最小值為.

【15題答案】

【答案】13"

【解析】

【分析】

作出圖形，設(shè)CV=x,利用基本不等式可求得tanNOEE的最大值，可求得sin/DEE的最小值，利用正

弦定理求得△/）匠戶外接圓直徑2r的最小值，可求得該三棱錐外接球直徑的最小值，由此可求得結(jié)果.

【詳解】如下圖所示，設(shè)圓柱的底面半徑為，母線長為肌圓柱的外接球半徑為A,

取圓柱的軸截面，則該圓柱的軸截面矩形的對角線的中點(diǎn)。到圓柱底面圓上每個點(diǎn)的距離都等于R,則。

為圓柱的外接球球心，由勾股定理可得⑵『+〃2=（2R）2.

本題中，平面OEE，設(shè)△￡＞所的外接圓為圓。I,可將三棱錐4一?！陱S內(nèi)接于圓柱。1。2，如

下圖所示：

設(shè)尸的外接圓直徑為2r，AD=h,該三棱錐的外接球直徑為2H，則（2/?『=（2r『+/?.

如下圖所示：

Y

設(shè)CF=x,則0<x<2,tanZCEF=x,tanZCDF=—,

2

X

tanZCEF-tanZCDFX——x

tanZDFE=tan(ZC￡F-NCDF)=2

1+tanZCEFtanZCDF,尤x2+2

AL-rX--

2

2行4

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，tan/DEE取得最大值注,

4

'小”sinNDFE拒

tanZDFE=---------=——

cosZDFE4

由《sin2Z￡)FE+cos2ZDFE=1,sinZDFE=-,cosZDFE20

sinZZ)FE>0

iDE

所以，sinNDEE的最大值為不，由正弦定理得--------二3,即2廠的最小值為3,

3sinZDFE

因此，(2H)2=(2r)2+/?2N32+22=13,

所以，三棱錐A-￡>￡尸外接球的表面積為5=4萬4213乃.

故三棱錐A-。斯外接球的表面積的最小值為13乃.

故答案為：13%.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：

①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ停梢赃€原到正方體或長方體中

去求解；

②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；

③定義法：到各個頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則

球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可.

16.已知三棱錐O-ABC,P是面ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，數(shù)列｛6,｝共9項，q=1,%+佝=2%且滿足

麗=(q,_41T)2±4_3a“赤+3(a,i+l)OC(2<n<9,neN*),滿足上述條件的數(shù)列共有

個.

【16題答案】

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得(凡一a,-)?-3/+3(。1+D=1.從而可求得一”,1=1或%=2,再分

4,一。,1=1和%一=2討論結(jié)合等差數(shù)列的通項公式即可得出答案?

【詳解】解：因為P是面ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，

所以P,A,B,C四點(diǎn)共面，

因為麗=(4,_an_^OA-3a?OB+3(a?_,+1)OC(2W〃W9,〃eN*),

所以(a“一-3%+3(a“_1+1)=1,即(a“一4一3(%-q_J+2=0,

解得a“一a,-=1或?！耙?=2,

當(dāng)。"一=1時，

則數(shù)列｛4｝是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，

所以見=〃，

則q+佝=10=2%，符合題意；

當(dāng)a“-a“T=2時，數(shù)列｛a,,｝是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，

所以a“=2〃-1,

則q+%=18=2%,符合題意,

所以滿足上述條件的數(shù)列共有2個.

故答案為：2.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.己知等差數(shù)列｛q｝的公差為正實數(shù)，滿足4=4,且q,%,%+4成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛為｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛d｝的前”項和為S,,若仇=1,且,求數(shù)列｛??-bn｝的前項和為T“,以下有三

個條件:①S”=2"-1/eN*；②S.=2"—1,〃€N*；③S,陽=2S,-1,及eN*從中選一個合適的條

件，填入上面橫線處，使得數(shù)列｛〃｝為等比數(shù)列，并根據(jù)題意解決問題.

【17~18題答案】

【答案】⑴an=2n+2

（2）7；=（2〃-3b2"+3

【解析】

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,d>0,根據(jù)題意求得公差，從而可得出答案；

（2）根據(jù)數(shù)列通項與數(shù)列前〃項和的關(guān)系求出數(shù)列｛〃｝的通項公式，然后利用錯位相減法即可得出答案.

【小問1詳解】

解：設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為”/>0,

因為6,%,。5+4成等比數(shù)列，

所以a/="（織+4）,即（4+2d）?=4（4d+8）,

解得d=±2（負(fù)值舍去），所以d=2,

所以=2〃+2；

【小問2詳解】

解：選①，由S“=2"—

當(dāng)〃22時，2=S,,—S,I=2"T，

當(dāng)〃=1時等式也成立，

所以"=2"，

則可也=（2〃-1）?"）

所以7；=1+3x2+5x22+…+（2〃-1）2”,

則27；=2+3X22+5X23+...+（2〃-3>2"T+（2〃-1>2”,

兩式相減得一北=1+2?+23+…+2”-（2〃-1）?2"

=1+——廣一^一（2〃—1卜2”

=_（2“_3）—3,

所以7；=（2〃一3>2"+3.

選②，由Sn=2仇,一1,〃eN”,

當(dāng)〃22時，，bn-Sn-Sn_t-2bli_2b,

b

所以/-=2,

bn.\

所以數(shù)列｛d｝為以1為首項2為公比的等比數(shù)列，

所以勿=2"T,

則%也,=（2〃一1>2"、

以下步驟同①.

選③，由5n+1=25?-l,neN,,

得S”=2s-1,

兩式相減得：b“+、=2b",

又b[=1,

所以數(shù)列｛4｝為以1為首項2為公比的等比數(shù)列，

所以2=2"、

則a“?d=（2〃_l>2"T,

以下步驟同①.

18.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且asinC=Gcsin',..

2

（1）求角A的大小；

TT

（2）若點(diǎn)。在邊BC上，且8=350=3,NBAD=—,求△ABC的面積.

6

【18~19題答案】

27c

【答案】（1）A=W；

⑵王

19

【解析】

LA

【分析】（1）由正弦定理的邊角關(guān)系、三角形內(nèi)角的性質(zhì)可得sinA=6cosu，再應(yīng)用二倍角正弦公式化

2

簡可得sind=",即可求A的大小.

22

(2)由題設(shè)可得ND4C=二，法一：由正弦定理及NAD5+NADC=TI可得至2=￡,再由余弦定理

2CDb

得到加2=3，最后根據(jù)三角形面積公式求△ABC面積；法二：根據(jù)三角形面積公式有沙=三，由

192b

△B4O的邊BO與△ADC的邊QC上的高相等及已知條件可得￡■=’,再由余弦定理得到相？=3,

2b319

最后根據(jù)三角形面積公式求△ABC面積；

【小問1詳解】

由己知及正弦定理得：sinAsinC=6sinCsin'+。,又B+C=K-A,

2

B+C71A一八

-----=------,又sinCw（）,

222

??AGAAAITAAn

??sinA=<3cos—,則2sm—cos—=A/3COS—,而n。<一<一,

222222

COS-9^0,則sin&=@,故4=四，得A=&

222233

【小問2詳解】

27r7T7T

由NB4C='，ZBAD=-,則NDAC=±.

362

BDc

法一：在△河）中，.