專題4.2-數(shù)列求和附答案解析-2021年高考數(shù)學(xué)(文)尖子生培優(yōu)題典2

2/22021學(xué)年高考數(shù)學(xué)（文）尖子生同步培優(yōu)題典專題4.2數(shù)列求和姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：選擇題（在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．（2020·全國專題練習(xí)（文））南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列．對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”．現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1，5，11，21，37，6l，95，則該數(shù)列的第8項(xiàng)為()A．99 B．131 C．139 D．1412．（2020·湖北宜昌·其他（文））我國古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣晷（gui）長損益相同（晷是按照日影測定時(shí)刻的儀器，晷長即為所測量影子的長）．二十四個(gè)節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個(gè)晷長的變化量相同，周而復(fù)始．若冬至晷長一丈四尺五寸，夏至晷長二尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），則夏至之后的第三個(gè)節(jié)氣（立秋）晷長是（）A．五寸 B．二尺五寸 C．五尺五寸 D．四尺五寸3．（2020·四川省南充高級中學(xué)高三月考（文））等差數(shù)列前項(xiàng)和為，若，是方程的兩根，則（）A． B． C． D．4．（2020·赤峰二中高一月考（文））等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為與，對一切自然數(shù)，都有，則（）A． B． C． D．5．（2020·黑龍江道里·哈爾濱三中三模（文））已知數(shù)列，，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為（）A． B． C． D．6．（2020·黑龍江香坊·哈爾濱市第六中學(xué)校二模（文））對于等差數(shù)列和等比數(shù)列，我國古代很早就有研究成果，北宋大科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)的“隙積術(shù)”，就是關(guān)于高階等差級數(shù)求和的問題.現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有2個(gè)貨物，第二層比第一層多3個(gè)，第三層比第二層多4個(gè)，以此類推，記第層貨物的個(gè)數(shù)為，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A． B． C． D．7．（2020·湖南邵陽·三模（文））已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為（）A． B． C． D．8．（2020·岳麓·湖南師大附中高三月考（文））數(shù)學(xué)家也有許多美麗的錯(cuò)誤，如法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬于1640年提出了以下猜想是質(zhì)數(shù)．直到1732年才被善于計(jì)算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出，不是質(zhì)數(shù)．現(xiàn)設(shè)，表示數(shù)列的前n項(xiàng)和．則使不等式成立的最小正整數(shù)n的值是（提示）（）A．11 B．10 C．9 D．89．（2020·全國高三其他（文））已知數(shù)列，都是等差數(shù)列，，，設(shè)，則數(shù)列的前2020項(xiàng)和為（）A． B． C． D．10．（2020·山東青州·高三三模（文））已知數(shù)列，定義數(shù)列為數(shù)列的“倍差數(shù)列”，若的“倍差數(shù)列”的通項(xiàng)公式為，且，若函數(shù)的前項(xiàng)和為，則（）A． B． C． D．11．（2020·湖南雁峰·衡陽市八中高三其他（文））設(shè)數(shù)列滿足，若不等式對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值是_____．12．（2020·山西其他（文））設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足，則______.14．（2020·河北桃城·衡水中學(xué)高三月考（文））在數(shù)列中，已知，，則=______．15．（2020·黑龍江讓胡路·鐵人中學(xué)高三二模（文））已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿足，設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則______．16．（2020·全國高三其他（文））數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則________.17．（2020·福建其他（文））已知公差不為0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，且、、成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（2020·湖北東西湖·華中師大一附中其他（文））已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，的等差中項(xiàng)為10.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求.19．（2020·荊州市北門中學(xué)期末（文））已知等差數(shù)列滿足（）.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（2020·全國專題練習(xí)（文））設(shè)，數(shù)列{bn}滿足：bn+1＝2bn+2，且an+1﹣an＝bn；（1）求證：數(shù)列{bn+2}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．21．（2020·湖南邵陽·三模（文））設(shè)數(shù)列滿足：，，.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.22．（2020·廣西高三其他（文））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.解析附后2021學(xué)年高考數(shù)學(xué)（文）尖子生同步培優(yōu)題典專題4.2數(shù)列求和姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：選擇題（在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．（2020·全國專題練習(xí)（文））南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列．對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”．現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1，5，11，21，37，6l，95，則該數(shù)列的第8項(xiàng)為()A．99 B．131 C．139 D．141【答案】D【解析】所給數(shù)列為高階等差數(shù)列設(shè)該數(shù)列的第8項(xiàng)為根據(jù)所給定義：用數(shù)列的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到一個(gè)新數(shù)列，得到的新數(shù)列也用后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到一個(gè)新數(shù)列即得到了一個(gè)等差數(shù)列，如圖：根據(jù)圖象可得：，解得解得：故選：D．2．（2020·湖北宜昌·其他（文））我國古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣晷（gui）長損益相同（晷是按照日影測定時(shí)刻的儀器，晷長即為所測量影子的長）．二十四個(gè)節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個(gè)晷長的變化量相同，周而復(fù)始．若冬至晷長一丈四尺五寸，夏至晷長二尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），則夏至之后的第三個(gè)節(jié)氣（立秋）晷長是（）A．五寸 B．二尺五寸 C．五尺五寸 D．四尺五寸【答案】C【解析】設(shè)晷影長為等差數(shù)列，公差為，，，則，解得．夏至之后的第三個(gè)節(jié)氣（立秋）晷長是五尺五寸．故選：．3．（2020·四川省南充高級中學(xué)高三月考（文））等差數(shù)列前項(xiàng)和為，若，是方程的兩根，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】是方程的兩根，，，，故選C.4．（2020·赤峰二中高一月考（文））等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為與，對一切自然數(shù)，都有，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】,選B.5．（2020·黑龍江道里·哈爾濱三中三模（文））已知數(shù)列，，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列的前100項(xiàng)和.故選:B6．（2020·黑龍江香坊·哈爾濱市第六中學(xué)校二模（文））對于等差數(shù)列和等比數(shù)列，我國古代很早就有研究成果，北宋大科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)的“隙積術(shù)”，就是關(guān)于高階等差級數(shù)求和的問題.現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有2個(gè)貨物，第二層比第一層多3個(gè)，第三層比第二層多4個(gè)，以此類推，記第層貨物的個(gè)數(shù)為，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知，，，，，累加可得，，.故選：B.7．（2020·湖南邵陽·三模（文））已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，由題意可知，得.，，.故選：C.8．（2020·岳麓·湖南師大附中高三月考（文））數(shù)學(xué)家也有許多美麗的錯(cuò)誤，如法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬于1640年提出了以下猜想是質(zhì)數(shù)．直到1732年才被善于計(jì)算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出，不是質(zhì)數(shù)．現(xiàn)設(shè)，表示數(shù)列的前n項(xiàng)和．則使不等式成立的最小正整數(shù)n的值是（提示）（）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】C【解析】把代入），得，故，則，則不等式成立，代入計(jì)算可得，當(dāng)不等式成立時(shí)．n的最小值為9．故選C．9．（2020·全國高三其他（文））已知數(shù)列，都是等差數(shù)列，，，設(shè)，則數(shù)列的前2020項(xiàng)和為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等差數(shù)列的公差為因?yàn)?，所以，解得所以因?yàn)?，所以，解得所以所以所以故選：D10．（2020·山東青州·高三三模（文））已知數(shù)列，定義數(shù)列為數(shù)列的“倍差數(shù)列”，若的“倍差數(shù)列”的通項(xiàng)公式為，且，若函數(shù)的前項(xiàng)和為，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】分析：由可得，從而得數(shù)列表示首項(xiàng)為，公差的等差數(shù)列，求得，再根據(jù)錯(cuò)位相減法即可得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意得，，數(shù)列表示首項(xiàng)為，公差的等差數(shù)列，，，，，，，故選B.11．（2020·湖南雁峰·衡陽市八中高三其他（文））設(shè)數(shù)列滿足，若不等式對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值是_____．【答案】3【解析】解：數(shù)列滿足，①可得，時(shí)，，②①②可得，即有，對也成立，則，即為，可得對任意恒成立，顯然為遞減數(shù)列，取得最大值，可得，解得，實(shí)數(shù)的最小值為3．故答案為：3．12．（2020·山西其他（文））設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足，則______.【答案】【解析】由題得,，兩式相加得，考慮一般情況，設(shè),則所以故答案為：13．（2020·全國專題練習(xí)（文））在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，則a1＋a2＋…＋a51＝____．【答案】676【解析】當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；所以14．（2020·河北桃城·衡水中學(xué)高三月考（文））在數(shù)列中，已知，，則=______．【答案】【解析】因?yàn)?，故可得，累加可得，又因?yàn)椋瑒t，故可得，則.故答案為：.15．（2020·黑龍江讓胡路·鐵人中學(xué)高三二模（文））已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿足，設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則______．【答案】【解析】由于正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.當(dāng)時(shí)，，得，，解得；當(dāng)時(shí)，由得，兩式作差得，可得，，對任意的，，則，，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，.，，所以，可視為數(shù)列的前項(xiàng)和，因此，.故答案為：.16．（2020·全國高三其他（文））數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則________.【答案】【解析】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，所以，即，所以，即，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，即，又滿足上式，所以，所以==故答案為：17．（2020·福建其他（文））已知公差不為0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，且、、成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，所以，那么，所以或（舍去）又因?yàn)?，則（2）由（1）得，所以數(shù)列的前項(xiàng)和①，所以②，由①②相減得.所以.18．（2020·湖北東西湖·華中師大一附中其他（文））已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，的等差中項(xiàng)為10.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），解得，.所以.（2）由（1）可知，所以，又，則.19．（2020·荊州市北門中學(xué)期末（文））已知等差數(shù)列滿足（）.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知得即所以解得所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以，①，②得：所以．20．（2020·全國專題練習(xí)（文））設(shè)，數(shù)列{bn}滿足：bn+1＝2bn+2，且an+1﹣an＝bn；（1）求證：數(shù)列{bn+2}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．【答案】（1）見解析（2）【解析】（1）證明：a1＝2，a2＝4，且an+1﹣an＝bn；∴b1＝a2﹣a1＝4﹣2＝2．由bn+1＝2bn+2，變形為：，∴數(shù)列{bn+2}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為2．（2）解：由（1）可得：bn+2＝4×2n﹣1，可得bn＝2n+1﹣2．∴an+1﹣an＝bn＝2n+1﹣2．∴2n+2＝2n+1﹣