專題01 圓錐曲線中的軌跡方程問(wèn)題 解析版-2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題解題思路訓(xùn)練

專題01圓錐曲線中的軌跡方程問(wèn)題(典型題型歸類訓(xùn)練)一、必備秘籍1、曲線方程的定義一般地，如果曲線與方程之間有以下兩個(gè)關(guān)系：①曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；②以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．此時(shí)，把方程叫做曲線的方程，曲線叫做方程的曲線．2、求曲線方程的一般步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系（如果已給出，本步驟省略）；（2）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）根據(jù)曲線上點(diǎn)所適合的條件寫出等式；（4）用坐標(biāo)表示這個(gè)等式，并化簡(jiǎn)；（5）確定化簡(jiǎn)后的式子中點(diǎn)的范圍．上述五個(gè)步驟可簡(jiǎn)記為：求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、確定點(diǎn)的范圍．3、求軌跡方程的方法：3.1定義法：如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。3.2直接法：如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點(diǎn)滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點(diǎn)所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點(diǎn)的坐標(biāo)表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。3.3代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。3.4點(diǎn)差法：圓錐曲線中與弦的中點(diǎn)有關(guān)的軌跡問(wèn)題可用點(diǎn)差法，其基本方法是把弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得，，，等關(guān)系式，由于弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點(diǎn)的軌跡方程.二、典型題型題型一：定義法求軌跡方程1．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）分別寫出滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程：(1)點(diǎn)到點(diǎn)、的距離之和為10；(2)點(diǎn)到點(diǎn)、的距離之和為12；(3)點(diǎn)到點(diǎn)、的距離之和為8．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義可求出結(jié)果；（2）根據(jù)橢圓的定義可求出結(jié)果；（2）可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是線段.【詳解】（1）因?yàn)?，所以?dòng)點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，這里，，即，，所以，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.（2）因?yàn)?，所以?dòng)點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，這里，，即，，所以，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.（3）因?yàn)?，所以?dòng)點(diǎn)的軌跡是線段，其方程為.2．（2022上·高二課時(shí)練習(xí)）求下列動(dòng)圓的圓心的軌跡方程：(1)與圓和圓都內(nèi)切；(2)與圓內(nèi)切，且與圓外切；(3)在中，，，直線，的斜率之積為，求頂點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）依題意可得，根據(jù)雙曲線的定義可知圓心的軌跡是以點(diǎn)、分別為上、下焦點(diǎn)的雙曲線的下支，即可求出其軌跡方程；（2）依題意可得，根據(jù)雙曲線的定義可知圓心的軌跡是以點(diǎn)、分別為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的左支，即可求出其軌跡方程；（3）設(shè)根據(jù)斜率公式得到方程，整理可得.【詳解】（1）圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因?yàn)?，則圓與圓外離，設(shè)圓的半徑為，由題意可得，所以，所以圓心的軌跡是以點(diǎn)、分別為上、下焦點(diǎn)的雙曲線的下支，設(shè)圓心的軌跡方程為，由題意可得，則，，因此圓心的軌跡方程為.

（2）圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因?yàn)椋瑒t圓與圓外離，設(shè)圓的半徑為，由題意可得，所以，所以圓心的軌跡是以點(diǎn)、分別為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的左支，設(shè)圓心的軌跡方程為，由題意可得，則，，因此圓心的軌跡方程為.

（3）設(shè)，則，，根據(jù)題意有，化簡(jiǎn)得∴頂點(diǎn)的軌跡方程為.

3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，求的方程.【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)題意列出方程，化簡(jiǎn)即可.【詳解】設(shè)，則，所以，化簡(jiǎn)得，故的方程為.題型二：直接法1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)與點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，進(jìn)而利用得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得.故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.2．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)為坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，若直線與直線的斜率的乘積為．(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)說(shuō)明點(diǎn)的軌跡是何種幾何圖形．【答案】(1)(2)點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且不包括與x軸的交點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合斜率公式運(yùn)算求解，注意；（2）根據(jù)（1）中結(jié)果，結(jié)合橢圓方程分析說(shuō)明.【詳解】（1）由題意可知：直線與直線的斜率分別為，則，整理得，所以點(diǎn)的軌跡方程為.（2）由（1）可知：點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且不包括與x軸的交點(diǎn).3．（2024上·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知兩個(gè)定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足直線與直線的斜率之積為定值（）.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明隨變化時(shí)，方程所表示的曲線的形狀；【答案】(1)答案見(jiàn)解析.【分析】（1）由斜率之積表示出軌跡方程，再對(duì)m分類討論確定曲線的類型即可.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，依題意有，整理，得，∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為：,時(shí)，軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，時(shí)，軌跡是圓，時(shí)，軌跡是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，且點(diǎn)不在曲線上．題型三：代入法（相關(guān)點(diǎn)法）1．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，是以點(diǎn)為圓心的單位圓上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)，的角平分線交直線于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程．【答案】【分析】由三角形的角平分線的性質(zhì)，得到，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，得到，代入圓的方程，即可求解.【詳解】由三角形的角平分線的性質(zhì)，可得，所以，設(shè)點(diǎn)，則，所以，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即，即點(diǎn)的軌跡方程為.2．（2024上·河南南陽(yáng)·高二南陽(yáng)市第五中學(xué)校校聯(lián)考期末）已知圓的圓心為直線與直線的交點(diǎn)，且圓的半徑為.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若為圓上任意一點(diǎn)，，點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，也即求得圓心，從而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）根據(jù)向量共線列方程，然后利用代入法求得點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】（1）由解得，則圓心為，半徑為，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，.由，可得，則，又點(diǎn)在圓上，所以，即，化簡(jiǎn)得，∴點(diǎn)的軌跡方程為.3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，M為線段PA的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并分析此軌跡與圓的位置關(guān)系.【答案】，兩圓相外離【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及點(diǎn)在圓上，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式及圓與圓的位置關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)，，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，.因?yàn)樵趫A上，所以，即.所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓.兩圓的圓心距，而兩圓半徑之和為6，即，所以這兩圓相外離.題型四：點(diǎn)差法1．（2023上·廣東深圳·高二?？计谀┮阎獧E圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)出A，B的坐標(biāo)代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出直線的斜率，再由已知建立斜率的等式關(guān)系，進(jìn)而可以求解.【詳解】解：設(shè)，，代入橢圓方程可得：，兩式作差可得：，又的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，，則，又直線的斜率為，所以，而，所以，，所以橢圓的方程為：，故選：A.2．（2023上·湖北·高二湖北省紅安縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)為橢圓（）的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的下頂點(diǎn)，平行于的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則該橢圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出直線的斜率為，設(shè)，，再利用點(diǎn)差法求出直線的斜率為，利用斜率相等可得的值，從而得到橢圓方程.【詳解】因?yàn)?，，所以直線的斜率為，設(shè)，，則①，②，①-②得：，即，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，，所以，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，所以，所以橢圓的方程為，故選：D.三、專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．（【名校面對(duì)面】2022-2023學(xué)年高二大聯(lián)考（12月）數(shù)學(xué)試題）已知圓，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，，由求出，代入圓的方程可得答案.【詳解】設(shè)，，由，得，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即.故選：C.2．（2024上·廣東梅州·高二統(tǒng)考期末）已知定點(diǎn)為圓的動(dòng)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，且點(diǎn)，結(jié)合中點(diǎn)公式求得，代入即可求解.【詳解】設(shè)線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，且點(diǎn)，又由，可得，解得，又由，可得，即，故選：A3．（2024上·四川達(dá)州·高二統(tǒng)考期末）已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)，的距離之和為8，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義直接求解即可.【詳解】因?yàn)槠矫鎯?nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)，的距離之和為8，且，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為焦點(diǎn)位于軸的橢圓，設(shè)橢圓方程為，焦距為，則，解得，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為.故選：B4．（2024上·貴州黔南·高二統(tǒng)考期末）若動(dòng)點(diǎn)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合根據(jù)橢圓的定義，可得點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，進(jìn)而求得橢圓的方程，得到答案.【詳解】由動(dòng)點(diǎn)滿足方程，根據(jù)橢圓的定義，可得點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，且，可得，則，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為.故選：A.5．（2024上·湖北·高二校聯(lián)考期末）已知一個(gè)動(dòng)圓P與兩圓：和：都外切，則動(dòng)圓P圓心的軌跡方程為（

）A．（） B．C．（） D．（）【答案】A【分析】利用雙曲線的定義及兩圓的位置關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】由題意易知兩圓圓心分別為，半徑分別為，設(shè)動(dòng)圓圓心，半徑，則根據(jù)題意有,根據(jù)雙曲線的定義知的軌跡是以原點(diǎn)為中心，為左右焦點(diǎn)，為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線的左支，故其軌跡方程為：.故選：A6．（2023上·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)橢圓的離心率為，焦點(diǎn)在軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26，若曲線上的點(diǎn)到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8，則曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先利用雙曲線定義確定曲線為雙曲線，再利用題給條件即可求得曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】在橢圓中，由題知，解得，所以橢圓的焦點(diǎn)為，，因?yàn)榍€上的點(diǎn)到，的距離的差的絕對(duì)值等于8，且，所以曲線是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為8的雙曲線，所以曲線的虛半軸長(zhǎng)為，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：A.7．（2023上·四川涼山·高二校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足條件，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的定義可判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡形狀，利用待定系數(shù)法即可求得軌跡方程.【詳解】因?yàn)?，，所以，?dòng)點(diǎn)滿足，由雙曲線的定義可知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，設(shè)雙曲線方程為，則有，，，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.故選：D.8．（2023上·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)市翔宇中學(xué)校考階段練習(xí)）與圓：和圓：都外切的圓的圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先由題意得到兩定圓的圓心和半徑，設(shè)圓的半徑為，再由圓與圓、圓都外切得到，根據(jù)雙曲線的定義，即可確定動(dòng)點(diǎn)軌跡，從而求出軌跡方程.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，再由圓與圓、圓都外切，設(shè)圓的半徑為，則，，所以，因此，由雙曲線的定義可得圓心的軌跡為雙曲線的右支，且該雙曲線的焦距為，實(shí)軸長(zhǎng)為，所以，故，所以所求圓的圓心的軌跡方程.故選：D.二、多選題9．（2024上·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）已知為直線上的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為2，則（

）A．動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 B．C．的最小值為 D．的最大角為【答案】ACD【分析】由動(dòng)點(diǎn)的軌跡求出方程驗(yàn)證選項(xiàng)A；由圓上的點(diǎn)到直線的最小距離驗(yàn)證選項(xiàng)B；由三點(diǎn)共線求距離之和的最小值驗(yàn)證選項(xiàng)C；由直線與圓的位置關(guān)系求的最大值驗(yàn)證選項(xiàng)D.【詳解】設(shè)，依題意有，化