2022年北京二十中初二（上）期中數(shù)學試卷及答案

第1頁/共1頁2022北京二十中初二（上）期中數(shù)學一、單項選擇題（下列各題均為四個選項，其中只有一個選項符合題意，共24分，每小題3分）1.冬季奧林匹克運動會是世界規(guī)模最大冬季綜合性運動會，每四年舉辦一次，第24屆冬奧會將于2022年在北京和張家口舉辦．下列四個圖分別是第24屆冬奧會圖標中的一部分，其中是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.已知等腰三角形兩邊的長分別為3和7，則此等腰三角形的周長為（）A.10 B.15 C.17 D.193.下列四個圖形中，線段BE是的高的是（）A. B.C. D.4.空調(diào)安裝在墻上時，一般都會采用如圖的方法固定，這種方法應用的幾何原理是（）A.兩點確定一條直線 B.兩點之間線段最短C.三角形的穩(wěn)定性 D.垂線段最短5.請仔細觀察用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角示意圖，請你根據(jù)所學的三角形全等有關的知識，說明畫出的依據(jù)是（）A. B. C. D.6.如圖所示，△ABC≌△DEF，DF和AC，F(xiàn)E和CB是對應邊．若∠A＝100°，∠F＝47°，則∠B的度數(shù)是（）A.33° B.47° C.53° D.100°7.如圖，AD，CE分別是△ABC的中線和角平分線．若AB=AC，∠CAD=20°，則∠ACE的度數(shù)是（）A.20° B.35° C.40° D.70°8.如圖，是等邊三角形，點是上一點，，于點交于點，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.二、填空題（共24分，每小題3分）9.點（2，﹣3）關于y軸對稱的點的坐標是_____．10.六邊形是中國傳統(tǒng)形狀，象征六合、六順之意．比如首飾盒、古建的窗戶、古井的口、佛塔等等．化學上一些分子結構、物理學上的螺母，也采用六邊形．正六邊形，從中心向各個頂點連線是等邊三角形，從工程角度，是最穩(wěn)定和對稱的．正六邊形外角和為__________．11.生活中到處都存在著數(shù)學知識，只要同學們學會用數(shù)學的眼光觀察生活，就會有許多意想不到的收獲，如圖是由三角尺拼湊得到的，圖中∠ABC=___．12.如圖，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AC于P點．若AB=5cm，BC=3cm，則△PBC的周長=______．13.如圖，把兩根鋼條的中點連在一起，可以做成一個測量工件內(nèi)槽寬的工具（卡鉗），在圖中，要測量工件內(nèi)槽寬AB，只要測量A'B'的長度即可，該做法的依據(jù)是___．14.已知射線OM．以O為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OM交于點A，再以點A為圓心，AO長為半徑畫弧，兩弧交于點B，畫射線OB，如圖所示，則∠AOB=________(度)15.如圖，在中，分別是和平分線，過點E作交于D、交于F，若，則周長為__________．16.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（2，2），B（0，4），點C在坐標軸上，且△ABC是等腰三角形，請寫出一個滿足條件的點C的坐標_____；滿足條件的點C一共有_____個．

三、解答題：（共52分，17、18、19、21、22題5分，20、23每題6分，24題8分，25題7分）17.已知：如圖，E是BC上一點，AB＝EC，ABCD，BC＝CD．求證：AC＝ED．18.如圖，點在一條直線上，．求證：．19.如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點均在格點上，．（1）畫出關于y軸對稱的圖形；（2）寫出，，的坐標（直接寫出答案）；；；（3）寫出的面積為．（直接寫出答案）20.數(shù)學課上，王老師布置如下任務：如圖，△ABC中，BC>AB>AC，在BC邊上取一點P，使∠APC=2∠ABC．小路作法如下：①作AB邊的垂直平分線，交BC于點P，交AB于點Q；②連結AP．請你根據(jù)小路同學的作圖方法，利用直尺和圓規(guī)完成作圖（保留作圖痕跡）；并完成以下推理，注明其中蘊含的數(shù)學依據(jù)：∵PQ是AB的垂直平分線∴AP=，（依據(jù)：）；∴∠ABC=，（依據(jù)：）．∴∠APC=2∠ABC．21.如圖，∠A=∠D=90°，AB=DC，AC與DB交于點E，F(xiàn)是BC中點．求證：∠BEF=∠CEF．22.如圖，△ABC中，AB＝AC，延長CB至點D，延長BC至點E，使CE＝BD，連接AD，AE．

（1）求證：AD＝AE；（2）若AB＝BC＝BD，求∠DAE的度數(shù)．23.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，交BC于點D．點A與點E關于直線BC對稱，連接BE，CE，延長AD交BE于點F．（1）補全圖形；（2）求證：△BDF是等腰三角形；（3）求證：AB+BD=2AC．24.在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線．點D在直線AM上，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，連接BE．（1）當點D在線段AM上時，①請在圖1中補全圖形；②∠CAM的度數(shù)為；③求證：△ADC≌△BEC；（2）當點D在直線AM上時，直線BE與直線AM交點為O（點D與點M不重合，點E與點O不重合），直接寫出線段OE，OM，DM與BE的數(shù)量關系．25.給出如下定義：在平面直角坐標系中，已知點，，，這三個點中任意兩點間的距離的最小值稱為點，，的“完美間距”．例如：如圖，點，，的“完美間距”是1．（1）點的“完美間距”是_____________；（2）已知點．①若點O，A，B的“完美間距”是2，則y的值為____________；②點O，A，B的“完美間距”的最大值為_____________；③已知點，點為線段CD上一動點，當?shù)摹巴昝篱g距”取到最大值時，求此時點P的坐標．

參考答案一、單項選擇題（下列各題均為四個選項，其中只有一個選項符合題意，共24分，每小題3分）1.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義：能夠沿一條直線折疊，使直線兩旁的部分完全重合的圖形叫做軸對稱圖形，據(jù)此判斷即可．【詳解】選項A，B，D都不能找到這樣的一條直線，使這些圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；選項C能找到這樣的一條直線，使這個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．故選：C．【點睛】本題考查的是軸對稱圖形的概念，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．2.【答案】C【解析】【分析】等腰三角形兩邊的長為3和7，具體哪條是底邊，哪條是腰沒有明確說明，因此要分兩種情況討論．【詳解】解：①當腰是3，底邊是7時，3+3＜7，不滿足三角形的三邊關系，因此舍去．②當?shù)走吺?，腰長是7時，3+7＞7，能構成三角形，則其周長＝3+7+7＝17．故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關系，解題時注意：若沒有明確腰和底邊，則一定要分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形，這是解題的關鍵．3.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角形高的畫法知，過點B作AC邊上的高，垂足為E，其中線段BE是△ABC的高，再結合圖形進行判斷．【詳解】解：線段BE是△ABC的高的圖是選項D．故選：D．【點睛】本題主要考查了三角形的高，三角形的高是指從三角形的一個頂點向對邊作垂線，連接頂點與垂足之間的線段．熟記定義是解題的關鍵．4.【答案】C【解析】【分析】釘在墻上的方法是構造三角形支架，因而應用了三角形的穩(wěn)定性．【詳解】解：這種方法應用的幾何原理是：三角形的穩(wěn)定性，故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，正確掌握三角形的這一性質(zhì)是解題的關鍵．5.【答案】D【解析】【分析】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依據(jù)SSS定理得到△COD≌△C'O'D'，由全等三角形的對應角相等得到∠A′O′B′=∠AOB．【詳解】解：由作圖可得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，在△COD與△C′O′D′中，，∴△COD≌△C'O'D'（SSS），∴∠A'O'B'=∠AOB（全等三角形的對應角相等）．故選：D．【點睛】本題考查了作圖-基本作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的對應角相等是正確解答本題的關鍵．6.【答案】A【解析】【分析】由全等三角形的對應角相等可得∠C＝∠F＝47°，再利用三角形內(nèi)角和定理可求得∠B的度數(shù)．【詳解】∵△ABC≌△DEF，∴∠C＝∠F＝47°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣100°﹣47°＝33°．故選A．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應角相等是解題的關鍵．也考查了三角形內(nèi)角和定理．7.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°－∠CAB）=70°．再利用角平分線定義即可得出∠ACE=∠ACB=35°．【詳解】∵AD是△ABC的中線，AB=AC，∠CAD=20°，∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°－∠CAB）=70°．∵CE是△ABC的角平分線，∴∠ACE=∠ACB=35°．故選B．【點睛】本題考查了等腰三角形的兩個底角相等的性質(zhì)，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及角平分線定義，求出∠ACB=70°是解題的關鍵．8.【答案】C【解析】【分析】由題意易得，，則有，然后可得，進而可證，則有，最后問題可求解．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴（），∴，∵，∴．故選C．【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、含30度直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)、含30度直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．二、填空題（共24分，每小題3分）9.【答案】（﹣2，﹣3）【解析】【分析】直接利用關于y軸對稱點的性質(zhì)得出答案．【詳解】點(2，﹣3)關于y軸對稱的點的坐標是：(﹣2，﹣3)．故答案為：(﹣2，﹣3)．【點睛】本題主要考查了關于y軸對稱點的性質(zhì)，平面直角坐標系中任意一點P（x，y），關于y軸的對稱點的坐標是（-x，y），即關于縱軸的對稱點，縱坐標不變，橫坐標變成相反數(shù)．正確記憶橫縱坐標的關系是解題關鍵．10.【答案】360°【解析】【分析】根據(jù)任何多邊形的外角和是360度即可求出答案．【詳解】解：正六邊形的外角和是．故選：．【點睛】本題正多邊形和圓，考查了多邊形的外角和定理，關鍵是掌握任何多邊形的外角和是360度，外角和與多邊形的邊數(shù)無關．11.【答案】75°【解析】【分析】由∠F=30°，∠EAC=45°，即可求得∠ABF的度數(shù)，又由∠FBC=90°，易得∠ABC的度數(shù)．【詳解】解：∵∠F=30°，∠EAC=45°，∴∠ABF=∠EAC-∠F=45°-30°=15°，∵∠FBC=90°，∴∠ABC=∠FBC-∠ABF=90°-15°=75°．故答案為：75°．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)等知識，注意數(shù)形結合思想的應用．12.【答案】8cm【解析】【詳解】試題分析：利用線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)將△PBC的周長轉化為線段（AC+BC）的長度．解：∵AB的垂直平分線交AC于P點．∴AP=BP．又∵AB=AC，AB=5cm，BC=3cm，∴△PBC的周長=PB+PC+BC=AP+PC+BC=AB+BC=5+3=8cm．故答案是：8cm．考點：線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．13.【答案】根據(jù)證明．【解析】【分析】根據(jù)測量兩點之間的距離，只要符合全等三角形全等的條件之一，只需要測量易測量的邊上，進而得出答案．【詳解】解：連接，，如圖，點分別是、的中點，，，在和中，，∴．．答：需要測量的長度，即為工件內(nèi)槽寬．其依據(jù)是根據(jù)證明；故答案為：根據(jù)證明．【點睛】本題考查全等三角形的應用，根據(jù)已知條件可用邊角邊定理判斷出全等．14.【答案】60【解析】【分析】首先連接AB，由題意易證得△AOB是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可求得∠AOB的度數(shù)．【詳解】解：連接AB，根據(jù)題意得：OB=OA=AB，∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB=60°．故答案為60【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，解題的關鍵是能根據(jù)題意得到OB=OA=AB．15.【答案】7【解析】【分析】根據(jù)角平分線定義可得，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，然后求出，，再根據(jù)等角對等邊可得，即可得出；求出的周長，然后代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解．【詳解】解：∵E是平分線的交點，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的周長，∵，∴的周長，故答案為：7．【點睛】本題考查了等腰三角形判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，主要利用了角平分線的定義，等角對等邊的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯角相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關鍵．16.【答案】①（0，2）（答案不唯一）②.5【解析】【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，由等腰三角形的判定找出滿足條件的C點，即可得出答案．【詳解】解：如圖：當AC⊥BC時，∵點A（2，2），B（0，4），∴AC=2，OC=2，OB=4，∴BC=2，∴AC=BC，即三角形ABC為等腰三角形，∴一個滿足條件的點C的坐標（0，2）（答案不唯一），如圖，

若點A為兩腰的交點，此時滿足條件的點C有1個，與原點O重合，若點B為兩腰的交點，此時滿足條件的點C有2個，分別為；若AB為底邊，此時滿足條件的點C有2個，分別為C、；綜上，滿足此條件的點C共有5個，故答案為：（0，2）（答案不唯一），5．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定及坐標與圖形性質(zhì)，做題時需注意兩點，一是注意點C必須位于坐標軸上，二是注意不能漏解，應分AB為底邊和腰兩種情況分別解答，難度適中．三、解答題：（共52分，17、18、19、21、22題5分，20、23每題6分，24題8分，25題7分）17.【答案】見解析【解析】【分析】已知AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠B=∠ECD，再根據(jù)SAS證明△ABC≌△ECD全，由全等三角形對應邊相等即可得AC=ED．【詳解】解：∵ABCD，∴∠B=∠DCE．在△ABC和△ECD中，∴△ABC≌△ECD（SAS），∴AC=ED．18.【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)以及全等三角形的判定定理證明，即可得出結論．【詳解】證明：∵，，，∵，∴，∴，在和中，，∴（）．∴．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理以及性質(zhì)定理是解本題的關鍵．19.【答案】（1）見解析（2），，（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格與坐標得出點，，的位置，順次連接即可；（2）由（1）中圖象可直接得出點的坐標；（3）用相應正方形的面積減去三個三角形的面積即可．【小問1詳解】解：根據(jù)網(wǎng)格與坐標得出點，，的位置，順次連接，如圖所示：即為所求；【小問2詳解】根據(jù)圖象得：，故答案為：；；；【小問3詳解】的面積為：，故答案：．【點睛】題目主要考查軸對稱圖形的作法及確定點的坐標，利用網(wǎng)格求三角形的面積等，理解題意，熟練掌握軸對稱圖形的作法是解題關鍵．20.【答案】尺規(guī)作圖見解析；BP，線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等；∠BAP，等邊對等角.【解析】【分析】按照線段垂直平分線的作圖方法作出AB的垂直平分線，然后按照線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)求解即可.【詳解】如圖，∵PQ是AB的垂直平分線∴AP=BP，（依據(jù)：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等）；∴∠ABC=∠BAP，（依據(jù)：等邊對等角）．∴∠APC=2∠ABC．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握各知識點是解答本題的關鍵.21.【答案】詳見解析.【解析】【分析】可先利用“AAS”證明△AEB≌△DEC，根據(jù)全等三角形對應邊相等可證EB=EC，然后利用等腰三角形“三線合一”可證∠BEF=∠CEF.【詳解】證明：在△AEB和△DEC中，∠A=∠D，∠AEB=∠DEC，AB=DC.∴△AEB≌△DEC（AAS）∴EB=EC.∵FBC中點，∴∠BEF=∠CEF.【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì).熟練掌握相關定理，并能靈活運用是解決此題的關鍵.22.【答案】（1）見解析（2）120°【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC＝∠ACB，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠ABD＝∠ACE，根據(jù)SAS推出△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可；（2）根據(jù)AB＝AC，AB＝BC，可得AB＝AC＝BC，可得△ABC是等邊三角形，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得∠D，∠E，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【小問1詳解】證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ABD＝∠ACB+∠BAC，∠ACE＝∠ABC+∠BAC，∴∠ABD＝∠ACE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE；【小問2詳解】解：∵AB＝AC，AB＝BC，∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AB＝BD，∴∠DAB＝∠D，∵∠ABC＝∠DAB+∠D，∴∠D＝30°，同理可得∠E＝30°，∴∠DAE＝180°﹣30°﹣30°＝120°．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)的應用，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵．23.【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形即可；（2）由AC=BC，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分線，可得∠CAD=∠BAD=22.5°，即得∠ADC=∠BDF=90°-22.5°=67.5°，根據(jù)點A與點E關于直線BC對稱，可得∠AFB=90°-∠BAD=67.5°，故∠BDF=∠AFB，從而△BDF是等腰三角形；（3）過D作DK⊥AB于K，證明△ACD≌△AKD（AAS），得AC=AK，CD=DK，又AC=BC，∠ACB=90°，可得△KBD是等腰直角三角形，BK=DK，即知BK=CD，而AB=AK+BK，有AB=AC+CD，故AB+BD=AC+CD+BD=AC+BC=AC+AC=2AC．【小問1詳解】解：補全圖形如下：；【小問2詳解】證明：∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵AD是∠CAB的平分線，∴∠CAD=∠BAD=22.5°，∴∠ADC=∠BDF=90°-22.5°=67.5°，∵點A與點E關于直線BC對稱，∴∠EBC=∠CBA=45°，∴∠ABF=90°，∴∠AFB=90°-∠BAD=90°-22.5°=67.5°，∴∠BDF=∠AFB，∴BF=BD；∴△BDF是等腰三角形；【小問3詳解】證明：過D作DK⊥AB于K，如圖：∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠KAD，∵DK⊥AB，∴∠AKD=90°=∠ACD，在△ACD和△AKD中，，∴△ACD≌△AKD（AAS），∴AC=AK，CD=DK，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠KBD=45°，∴△KBD是等腰直角三角形，∴BK=DK，∴BK=CD，∵AB=AK+BK，∴AB=AC+CD，∴AB+BD=AC+CD+BD=AC+BC=AC+AC=2AC．【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)及應用，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線等知識，解題的關鍵是掌握對稱的性質(zhì)，能熟練應用全等三角形的判定與性質(zhì)定理．24.【答案】（1）①見解析；②30；③見解析；（2）或或【解析】【分析】（1）①根據(jù)題意補全圖形即可；②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以直接得出結論；③根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出AC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，由等式的性質(zhì)就可以得出∠BCE＝∠ACD，根據(jù)SAS就可以得出△ADC≌△BEC；（2）分①當點D在B