必修一第四章第2節(jié)2對(duì)數(shù)的運(yùn)算學(xué)歷案教師版

第四章對(duì)數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)§2對(duì)數(shù)的運(yùn)算【學(xué)習(xí)主題】對(duì)數(shù)的運(yùn)算新授課【課時(shí)安排】1個(gè)課時(shí)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),并能運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)、求值.2.能用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù).3.能用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)和證明.【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】1.理解對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．(重點(diǎn))2．能用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)．(難點(diǎn))3．會(huì)運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)與證明．(易混點(diǎn))【學(xué)情分析】1.學(xué)生有對(duì)數(shù)概念的基礎(chǔ)，對(duì)數(shù)運(yùn)算是一種全新的運(yùn)算，學(xué)生在對(duì)數(shù)運(yùn)算中容易想當(dāng)然，從而錯(cuò)誤的運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算。2.學(xué)生學(xué)習(xí)了指數(shù)和指數(shù)函數(shù)，指數(shù)和對(duì)數(shù)聯(lián)系起來(lái)學(xué)習(xí)能對(duì)知識(shí)的理解更加清晰，更方便探尋到本質(zhì)。【學(xué)法建議】1.注重運(yùn)算性質(zhì)的推導(dǎo)過(guò)程，真正理解這些運(yùn)算性質(zhì)的來(lái)龍去脈，不要死記硬背；2.注重練習(xí)題的計(jì)算過(guò)程，若出現(xiàn)錯(cuò)誤，耐心分析錯(cuò)因，提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性?！緦W(xué)習(xí)過(guò)程】一一、課前預(yù)習(xí)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題（一）要求：（1）逐字逐句閱讀教材第100103頁(yè)，思考并回答下列問(wèn)題（寫(xiě)出答案）（2）記錄預(yù)習(xí)發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題。問(wèn)題1：推導(dǎo)公式loga(MN)＝logaM＋logaN.問(wèn)題2：推導(dǎo)公式logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.問(wèn)題3：推導(dǎo)公式logaMn＝nlogaM(n∈R).問(wèn)題4：當(dāng)M>0，N>0時(shí)，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？舉例說(shuō)明。問(wèn)題5：對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)有什么特點(diǎn)？顯示出什么優(yōu)勢(shì)？問(wèn)題6：觀察問(wèn)題1、2、3的三個(gè)公式，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)都是同底的才能用這三個(gè)公式．而實(shí)際上，早期只有常用對(duì)數(shù)表(以10為底)和自然對(duì)數(shù)表(以無(wú)理數(shù)e為底)，可以查表求對(duì)數(shù)值．那么我們?cè)谶\(yùn)算和求值中遇到不同底的對(duì)數(shù)怎么辦？問(wèn)題7：推導(dǎo)公式logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b>0，a，b≠1，N>0).預(yù)習(xí)自測(cè)1.基礎(chǔ)知識(shí)自測(cè)（一）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．（二）換底公式若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，則有l(wèi)則有l(wèi)ogab＝eq\f(logcb,logca).2.遷移與拓展=1\*ROMANI.性質(zhì)(1)可以推廣到真數(shù)為有限多個(gè)正因數(shù)相乘的情形,即

logaN1N2?=2\*ROMANII.幾個(gè)常用結(jié)論（嘗試證明）（一）思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)1．log2x2＝2log2x.(×)2．loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)．(×)3．logaM·logaN＝loga(M＋N)．(×)4．logx2＝eq\f(1,log2x).(√)（二）小試牛刀1．計(jì)算log84＋log82等于()A．log86B．8C．6D．1D[log84＋log82＝log88＝1.]2．計(jì)算log510－log52等于()A．log58B．lg5C．1D．2C[log510－log52＝log55＝1.]log23·log32＝________.1[log23·log32＝eq\f(lg3,lg2)×eq\f(lg2,lg3)＝1.]（四）完成課本第101、104頁(yè)練習(xí)，并把學(xué)歷案上的學(xué)習(xí)任務(wù)完成同時(shí)標(biāo)記疑問(wèn)題二、二、課中學(xué)習(xí)，合作探究【學(xué)習(xí)任務(wù)1】對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用【例1】計(jì)算下列各式的值：(1)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)；(2)lg52＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)eq\f(lg\r(2)＋lg3－lg\r(10),lg1.8).[解](1)原式＝eq\f(1,2)(5lg2－2lg7)－eq\f(4,3)·eq\f(3,2)lg2＋eq\f(1,2)(2lg7＋lg5)＝eq\f(5,2)lg2－lg7－2lg2＋lg7＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)lg2＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)(lg2＋lg5)＝eq\f(1,2)lg10＝eq\f(1,2).(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝eq\f(\f(1,2)lg2＋lg9－lg10,lg1.8)＝eq\f(lg\f(18,10),2lg1.8)＝eq\f(lg1.8,2lg1.8)＝eq\f(1,2).【課堂評(píng)價(jià)1】求下列各式的值：(1)lg25＋lg2·lg50；(2)eq\f(2,3)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25.[解](1)原式＝lg25＋(1－lg5)(1＋lg5)＝lg25＋1－lg25＝1.(2)eq\f(2,3)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25＝2lg2＋lg25＋lg2(1＋lg5)＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＋lg25＋lg2＋lg2·lg5＝2＋lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝2＋lg5＋lg2＝3.【課堂活動(dòng)與展示】小組代表展示結(jié)果【反思總結(jié)】1.利用對(duì)數(shù)性質(zhì)求值的解題關(guān)鍵是什么？2.對(duì)于復(fù)雜的運(yùn)算式，可先化簡(jiǎn)再計(jì)算．化簡(jiǎn)問(wèn)題的常用方法1．利用對(duì)數(shù)性質(zhì)求值的解題關(guān)鍵是化異為同，先使各項(xiàng)底數(shù)相同，再找真數(shù)間的聯(lián)系．2．對(duì)于復(fù)雜的運(yùn)算式，可先化簡(jiǎn)再計(jì)算．化簡(jiǎn)問(wèn)題的常用方法：(1)“拆”：將積(商)的對(duì)數(shù)拆成兩對(duì)數(shù)之和(差)；(2)“收”：將同底對(duì)數(shù)的和(差)收成積(商)的對(duì)數(shù)．【學(xué)習(xí)任務(wù)2】對(duì)數(shù)的換底公式【例2】(1)計(jì)算：(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．已知log189＝a,18b＝5，求log3645(用a，b表示)．[解](1)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝(log253＋log2252＋log235)·(log5323＋log5222＋log52)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))log25·(1＋1＋1)log52＝eq\f(13,3)·3＝13.(2)∵18b＝5，∴b＝log185.又log189＝a，∴l(xiāng)og3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log185＋log189,1＋log182)＝eq\f(a＋b,2－log189)＝eq\f(a＋b,2－a).分組討論：（變結(jié)論）在本例（2）的條件下，求log915（(用a，b表示[解]∵log189＝a，∴l(xiāng)og183＝eq\f(a,2).又log185＝b，∴l(xiāng)og915＝eq\f(log1815,log189)＝eq\f(log183＋log185,log189)＝eq\f(\f(a,2)＋b,a)＝eq\f(a＋2b,2a).【課堂評(píng)價(jià)2】求值：(1)log23·log35·log516；(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．[解](1)原式＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f(lg5,lg3)·eq\f(lg16,lg5)＝eq\f(lg16,lg2)＝eq\f(4lg2,lg2)＝4.(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,lg9)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,lg4)＋\f(lg3,lg8)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,2lg3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,2lg2)＋\f(lg3,3lg2)))＝eq\f(3lg2,2lg3)·eq\f(5lg3,6lg2)＝eq\f(5,4).【課堂活動(dòng)與展示】學(xué)生板書(shū)過(guò)程【反思總結(jié)】換底公式常用于解決什么樣的問(wèn)題？1．在化簡(jiǎn)帶有對(duì)數(shù)的表達(dá)式時(shí)，若對(duì)數(shù)的底不同，需利用換底公式．2．熟記常用的公式如：logab·logba＝1，loganbm＝eq\f(m,n)logab，logab＝eq\f(1,logba)等．【學(xué)習(xí)任務(wù)3】對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的綜合應(yīng)用思考探究：1．若2a＝3b，則eq\f(a,b)等于多少？提示：設(shè)2a＝3b＝t，則a＝log2t，b＝log3t，∴eq\f(a,b)＝log23.【例3】已知3a＝5b＝c，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，求c的值[思路點(diǎn)撥]eq\x(3a＝5b＝c)eq\o(→,\s\up15(指對(duì)互化))eq\x(求\f(1,a)，\f(1,b))eq\o(→,\s\up30(\f(1,a)＋\f(1,b)＝2))eq\x(求c的值)[解]∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，∴eq\f(1,a)＝logc3，eq\f(1,b)＝logc5，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝logc15.由logc15＝2得c2＝15，即c＝eq\r(15).【課堂評(píng)價(jià)3】1.把本例條件變?yōu)椤?a=5b[解]∵3a＝5b＝15，∴a＝log315，b＝log515，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝log153＋log155＝log1515＝1.2.若本例條件改為“若a,b是正數(shù)。且3a=5b=c”[解]∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，∴3a－5b＝3log3c－5log5c＝eq\f(3lgc,lg3)－eq\f(5lgc,lg5)＝eq\f(lgc3lg5－5lg3,lg3lg5)＝eq\f(lgclg125－lg243,lg3lg5)<0，【課堂活動(dòng)與展示】小組討論，小組代表展示過(guò)程【反思總結(jié)】應(yīng)用換底公式應(yīng)注意哪些方面？應(yīng)用換底公式應(yīng)注意的兩個(gè)方面1化成同底的對(duì)數(shù)時(shí)，要注意換底公式的正用、逆用以及變形應(yīng)用.2題目中有指數(shù)式和對(duì)數(shù)式時(shí)，要注意將指數(shù)式與對(duì)數(shù)式統(tǒng)一成一種形式.【學(xué)習(xí)任務(wù)4】解對(duì)數(shù)方程解下列方程:(1)lgx2?lg(x+2)=0;(2)lgx?lg3=2lg5?lg(x?10).【課堂評(píng)價(jià)