專題5四邊形中的將軍飲馬模型八年級數(shù)學下冊聚焦課本培優(yōu)專題訓練講義（原卷版）

專題5四邊形中的將軍飲馬模型型專題5四邊形中的將軍飲馬模型型知識梳理知識梳理“將軍飲馬”問題是一個經(jīng)典的數(shù)學問題，它涉及到了幾何學中的最短路徑問題。這個問題的背景是：古羅馬時代，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學和物理的學者叫海倫。一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題：將軍每天從A地出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側的軍營B地開會，應該怎樣走才能使路程最短？從此，這個被稱為“將軍飲馬”的問題廣泛流傳。

“將軍飲馬”模型問題是我們解決最值問題最基本的模型。這個問題可以通過軸對稱來處理最短距離問題，在此軸對稱是工具，最短距離是題中的題眼，通過軸對稱“化折為直”，再利用“兩點之間線段最短”來達到問題的解決?！皩④婏嬹R”問題主要利用構造對稱圖形解決求兩條線段和差、三角形周長、四邊形周長等一類最值問題，會與直線、角、三角形、四邊形、圓、拋物線等圖形結合，在近年的中考和競賽中出現(xiàn)，而且大多以壓軸題的形式出現(xiàn)。模型分析模型一：將軍飲馬模型模型分析將軍飲馬模型概念：“將軍飲馬”問題是指動點在直線上運動，線段和差的一類最值問題。解題依據(jù)：兩點間線段最短；點到直線的垂直距離最短；翻折對稱。解題策略：對稱、翻折→化同為異；化異為同；化折為直。解題思路：利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。口訣：同側兩點做對稱，異側兩點直接連，若求線段差最大，處理方法剛好反，若用一句來總結，何必兩側差同邊。模型展示模型1.求兩條線段和的最小值（將軍飲馬模型）模型展示【模型解讀】兩點一線之點A、B在直線異側：（1）如圖，在直線兩側各有一個定點，分別是點A、B，怎樣在直線上找到一點P，使得PA＋PB的值最??？【模型解析】解：連接AB，AB與的交點即為點P，如圖所示：法一：由“兩點間線段最短”可得當A、P、B三點共線時，PA＋PB的值最小，即為AB的長度.法二：假設點P不在AB與l的交點上，此時由三角形三邊關系可得，而當A、P、B三點共線時，PA＋PB＝AB，∴當A、P、B三點共線時，PA＋PB的值最小.【模型解讀】兩點一線之點A、B再直線同側:（2）如圖，在直線同側有A、B兩個定點，怎樣在直線上找到一點P，使得PA＋PB的值最??？【模型解析】解：【分析】和上題相比，這個問題就難在PA＋PB不是一條線段，而是一段折線段，由“兩點之間線段最短”和“點到直線間，垂線段最短”可以將這個問題中的折線段轉化為直線段.構圖：作點A關于的對稱點A’，連接A’B，A’B與直線的交點即為點P，如圖所示：∵點A與A’始終關于直線l對稱，∴PA＋PB的長度可轉化為PA’＋PB的長度，由1中的結論可得當A’、P、B三點共線時，PA’＋PB的值最小，即為A’B的長度.【最值原理】兩點之間線段最短。模型2.求多條線段和（周長）最小值【模型解讀】一定兩動之兩個點都在直線上：（3）如圖，點P在∠AOB的內部，怎么樣在OA上找一點C，在OB上找一點D，使△PCD的周長最小？【模型解析】構圖：分別作點P關于OA、OB的對稱點P’、P’’，連接P’P’’，交OA、OB于點C、D，此時△PCD的周長最小，P’P’’即為△PCD的周長最小值，如圖所示： 【模型解讀】一定兩動之一個點在直線上，一個點在直線外：（4）如圖，點P在∠AOB的內部，怎么樣在OA上找一點C，在OB上找一點D，使PD＋CD的值最??？【模型解析】構圖：作點P關于OB的對稱點P’，過點P’作P’C⊥OA交OB于點D，交OA于點C，此時PD＋CD的值最小，P’C即為PD＋CD的值最小.【模型解讀】兩定兩動之兩個點都在直線內側：（5）如圖，點P在∠AOB的內部，怎樣在OA、OB上分別取點C、D，使得△PCD的周長最??？【模型解析】構圖：分別作點P、Q關于OA、OB的對稱點P’、Q’，連接P’Q’分別交OA、OB于點C、D，此時△PCD的周長最小值為PQ＋P’Q’，如圖所示：【模型解讀】兩定兩動之臺球兩次碰壁模型（6）已知點A、B位于直線m,n的內側，在直線n、m分別上求點D、E點，使得圍成的四邊形ADEB周長最短.【模型解析】構圖：分別作點A、B關于n、m的對稱點A’、B’，連接A’B’分別交n、m于點D、E，此時四邊形ADBE的周長最小值為AB＋A’B’，如圖所示：【最值原理】兩點之間線段最短。模型3.求兩條線段差最大值【模型解讀】兩點一線之點A、B在直線m同側：（7）如圖，在直線同側有A、B兩個定點，怎樣在直線上找到一點P，使得的值最大？【模型解析】解：連接AB并延長，交直線l的交點即為點P；證明如下：如圖，P'為l上異于P的一點，連接P'A、P'B，在△ABP'中，由三角形的三邊關系得：|P'A﹣P'B|＜AB，∵PA﹣PB＝AB，∴|P'A﹣P'B|＜|PA＝PB|，∴當A、B、P三點共線時，|PA﹣PB|的值最大．【模型解讀】兩點一線之點A、B在直線m異側：（8）如圖，在直線兩側各有一個定點，分別是點A、B，怎樣在直線上找到一點P，使得的值最大？【模型解析】構圖：作點B關于直線的對稱點B’，連接AB’并延長與的交點即為點P，如圖所示：【最值原理】在三角形中兩邊之差小于第三邊.【模型解讀】兩點一線之點A、B在直線m同側：（9）如圖，在直線兩側各有一個定點，分別是點A、B，怎樣在直線上找到一點P，使得的值最??？【模型解析】構圖：連接AB，作線段AB的垂直平分線與直線的交點即為點P，如圖所示：【最值原理】線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等.經(jīng)典例題經(jīng)典例題精析【經(jīng)典例題】問題提出：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，點E、F分別為邊AD、BC上的點，且AE＝1；BF＝2．（1）如圖①，P為邊AB上一動點，連接EP、PF，則EP+PF的最小值為；（2）如圖②，P、M是AB邊上兩動點，且PM＝2，現(xiàn)要求計算出EP、PM、MF和的最小值．九年級一班某興趣小組通過討論得出一個解決方法：在DA的延長線上取一點E'，使AE'＝AE，再過點E'作AB的平行線E'C，在E'C上E”的下方取點M，使E'M'＝2，連接M'F，則與AB邊的交點即為M，再在邊AB上點M的上方取P點，且PM＝2，此時EP+PM+MF的值最?。麄儾淮_定此方法是否可行，便去請教數(shù)學田老師，田老師高興地說：“你們的做法是有道理的”．現(xiàn)在請你根據(jù)敘述作出草圖并計算出EP+PM+MF的最小值；問題解決：（3）聰聰?shù)陌职质枪╇姽镜木€路設計師，公司準備架設一條經(jīng)過農田區(qū)的輸電線路，為M、N兩個村同時輸電．如圖所示，農田區(qū)兩側AB與CD平行，且農田區(qū)寬為0.5千米，M村到AB的距離為2千米，N村到CD的距離為1千米，M、N所在的直線與AB所夾銳角恰好為45°，根據(jù)架線要求，在農田區(qū)內的線路要與AB垂直．請你幫助聰聰?shù)陌职衷O計出最短的線路圖，并計算出最短線路的長度．（要求：寫出計算過程，結果保留根號）模型分析模型二.將軍遛馬模型分析圖形特征：兩定兩動?；静呗裕和瑐然悅?、折線化直線?；痉椒ǎ篘個動點N條河，N次對稱跑不脫?；驹恚簝牲c之間線段最短解題關鍵：根據(jù)結論抓點、線。模型三.造橋選址圖形特征：兩定兩動?；静呗裕和瑐然悅取⒄劬€化直線?；痉椒ǎ簩⒁欢c沿定長方向平移定長距離，再用將軍飲馬模型解決問題?；驹恚簝牲c之間線段最短解題關鍵：根據(jù)結論抓點、線。模型展示模型二：將軍遛馬模型模型展示【核心思路】去除定量，組合變量（通過幾何變換將若干段原本彼此分類的線段組合到一起）?！灸Ｐ徒庾x】兩定兩動點A、B在直線m異側：（1）已知A、B是兩個定點，P、Q是直線m上的兩個動點，P在Q的左側,且PQ間長度恒定,在直線m上要求P、Q兩點，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識解)【模型解析】如圖，過A點作AC∥m,且AC長等于PQ長，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點。如圖所示：【模型解讀】兩定兩動點A、B在直線m同側：（2）已知A、B是兩個定點，P、Q是直線m上的兩個動點，P在Q的左側,且PQ間長度恒定,在直線m上要求P、Q兩點，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識解)【模型解析】如圖，過A點作AE∥m,且AE長等于PQ長，作B關于m的對稱點B’,連接B’E,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點。如圖所示：【最值原理】兩點之間線段最短。模型三：將軍過橋（造橋）模型【核心思路】去除定量，組合變量（通過幾何變換將若干段原本彼此分類的線段組合到一起）。【模型解讀】兩定兩動一座橋已知，如圖，將軍在圖中點A處，現(xiàn)要過河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？【模型解析】考慮MN長度恒定，只要求AM+NB最小值即可．問題在于AM、NB彼此分離，所以首先通過平移，使AM與NB連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時A點落在A’位置（圖1）．問題化為求A’N+NB最小值，顯然，當共線時，值最小，并得出橋應建的位置（圖2）．如圖所示：圖1圖2【模型解讀】兩定兩動兩座橋（4）已知，如圖，將軍在圖中點A處，現(xiàn)要過兩條河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？【模型解析】考慮PQ、MN均為定值，所以路程最短等價于AP+QM+NB最小，對于這彼此分離的三段，可以通過平移使其連接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB為A'Q+QM+MB'（如圖5）．當A'、Q、M、B'共線時，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次確定P、N位置（如圖6）．如圖所示：圖5圖6【最值原理】兩點之間線段最短。經(jīng)典例題經(jīng)典例題精析【經(jīng)典例題】（1）如圖①，在邊長是1的網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在格點上，在線段上找一點P，使得最短．（2）如圖②，在正方形中，，E是中點，P是對角線AC上一動點，求的最小值．（3）如圖③，在正方形中，，E、F是對角線上的兩個動點，且，則的最小值是．

典型典型例題例1、如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分別找一點M，N，使△AMN的周長最小時，則∠ANM+∠AMN的度數(shù)為（）A．80° B．90° C．100° D．130°例2、已知，在河的兩岸有A，B兩個村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離AB＝10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，M點為靠近A村莊的河岸上一點，則AM+BN的最小值為(

)A．2 B．1+3 C．3+ D．例3、如圖，在平面直角坐標系中，線段所在直線的解析式為，是的中點，是上一動點，則的最小值是(

)A． B． C． D．例4、如圖，正方形的邊長為8，M在上，且，N是上的一動點，則的最小值為．例5、如圖，在四邊形ABCD中，．在BC，CD上分別找一點M，N，使周長最小，則的度數(shù)為_________．例6、如圖，矩形ABCD中，AD＝4，∠CAB＝30°，點P是線段AC上的動點，點Q是線段CD上的動點，則AQ+QP的最小值是．例7、菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=45°，點P、Q分別是BC、BD上的動點，CQ+PQ的最小值為．例8、如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點E，若△ABC為等邊三角形，AD⊥AB，AD＝DC＝4．（1）求證：BD垂直平分AC；（2）求BE的長；（3）若點F為BC的中點，請在BD上找出一點P，使PC+PF取得最小值；PC+PF的最小值為（直接寫出結果）．例9、在長方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點P、Q為BC邊上的兩個動點（點P位于點Q的左側，P、Q均不與頂點重合），PQ＝2(1)如圖①，若點E為CD邊上的中點，當Q移動到BC邊上的中點時，求證：AP＝QE；(2)如圖②，若點E為CD邊上的中點，在PQ的移動過程中，若四邊形APQE的周長最小時，求BP的長；(3)如圖③，若M、N分別為AD邊和CD邊上的兩個動點（M、N均不與頂點重合），當BP＝3，且四邊形PQNM的周長最小時，求此時四邊形PQNM的面積．例10、如圖，菱形ABCD的邊長為，∠ABC＝60°，點E、F在對角線BD上運動，且ED＝OF，連接AE、AF，則△AEF周長的最小值是。例11、李明酷愛數(shù)學，勤于思考，善于反思．在學習八年級下冊數(shù)學知識之后，他發(fā)現(xiàn)“二次根式、勾股定理、一次函數(shù)、平行四邊形”都和“將軍飲馬”問題有關聯(lián)，并且為解決“飲馬位置”“最短路徑長”等問題，提供了具體的數(shù)學方法．于是他撰寫了一篇數(shù)學作文．請你認真閱讀思考，幫助李明完成相關問題．“將軍飲馬”問題的探究與拓展八年級三班李明“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”（唐李頎《古從軍行》，這句詩讓我想到了有趣的“將軍飲馬”問題：將軍從地出發(fā)到河邊飲馬，然后再到地軍營視察，怎樣走路徑最短？【數(shù)學模型】如圖1，，是直線同旁的兩個定點．在直線上確定一點，使的值最?。締栴}解決】作點關于直線的對稱點，連接交于點，則點即為所求．此時，的值最小，且．【模型應用】問題1．如圖2，經(jīng)測量得，兩點到河邊的距離分別為米，米，且米．請計算出“將軍飲馬”問題中的最短路徑長．問題2．如圖3，在正方形中，，點在邊上，且，點是對角線上的一個動點，則的最小值是．問題3．如圖4，在平面直角坐標系中，點，點．（1）請在軸上確定一點，使的值最小，并求出點的坐標；（2）請直接寫出的最小值．【模型遷移】問題4．如圖5，菱形中，對角線，相交于點，，．點和點分別為，上的動點，求的最小值．例12、如圖，在平行四邊形ABCD中，BD⊥AD，AB=2AD，E是AB的中點，P是邊AD上的一動點，若AD=2，則PE+PB的最小值為（A．22 B．23 C．10 例13、如圖，菱形ABCD的邊長為3，∠BAD＝60°，點E、F在對角線AC上（點E在點F的左側），且EF＝1，則DE+BF最小值為________課后專題練課后專題練練1、如圖，點M是菱形ABCD的邊BC的中點，P為對角線BD上的動點，若AB＝2，∠A＝120°，則PM＋PC的最小值為（

）A．2 B．3 C．2 D．1練2、如圖，在矩形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA上的動點(不與端點重合)，若四點運動過程中滿足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，則四邊形EFGH周長的最小值等于（

）A．10 B．10 C．5 D．5練3、如圖，五邊形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE上分別找一點M、N，使△AMN的周長最小，則△AMN的周長的最小值為（）A．2 B．2 C．4 D．5練4、如圖所示，E為邊長是2的正方形ABCD的中點，M為BC上一點，N為CD上一點，連EM、MN、NA，則四邊形AEMN周長的最小值為。練5、如圖，在?ABCD中，AB=4，AD=9，M、N分別是AD、BC邊上的動點，且∠ABC=∠MNB=60°，則BM+MN+ND的最小值是．練6、如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5．動點P滿足,則點P到B，C兩點距離之和PB+PC的最小值為。練7、如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，對角線AC、BD交于點O，BD=8，點E為OD的中點，點F為AB上一點，且AF=3BF，點P為AC上一動點，連接PE、PF，則PF?PE的最大值為．練8、如圖，正方形ABCD中，點G是BC邊上一定點，點E、F、H分別是邊AD、AB、CD上的動點，若CG=14BC=1，則四邊形EFGH的周長最小時練9、在?ABCD中，AB⊥AC，點E在邊AD上，連接BE．

(1)如圖1，AC交BE于點G，GH⊥AE，若BE平分∠ABC，且∠DAC=30°，CG=4，請求出四邊形(2)如圖2，點F在對角線AC上，且AF=AB，連接BF，過點F作FH⊥BE于點H，連接AH，求證：HF+2(3)如圖3，線段PQ在線段BE上運動，點R在BC上，連接CQ，PR．若BE平分∠ABC，∠DAC=30°，AB=3練10、如圖1，矩形中，，點P在邊上，且不與點B、C重合，直線與的延長線交于點E．(1)當點P是的中點時，求證：；(2)將沿直線折疊得到，點落在矩形的內部，延長交直線于點F．①證明，并求出在（1）條件下的值；②連接，求周長的最小值；③如圖2，交于點H，點G是的中點，當時，請判斷與的數(shù)量關系，并說明理由．練11、如圖，在矩形中，，，點、、分別在邊、、上運動，且線段始終經(jīng)過矩形的對稱中心，則周長的最小值為．練12、如圖，矩形中，，是的中點，線段在邊上左右滑動；若，則的最小值為____________．練13、【問題提出】（1）如圖①，某牧馬人要從A地前往B地，途中要到旁邊一條筆直的河邊l喂馬喝一