湘教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)

I.定義與定義表達(dá)式

一般地，自變量X和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax~2+bx+c

(a,b,c為常數(shù)，aWO,且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口

方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下，lai還可以決定開口大小，lai越大

開口就越小，lai越小開口就越大.)則稱y為x的二次函數(shù)。

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

H.二次函數(shù)的三種表達(dá)式

一般式：y=ax~2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，aWO)

頂點(diǎn)式:y=a(x-h)"2+k［拋物線的頂點(diǎn)P(h,k)］

交點(diǎn)式:y=a(x-xj(x-xz)［僅限于與x軸有交點(diǎn)A(X(0)和B

(X2，0)的拋物線］

注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：

_

h=-b/2ak=(4ac-b~2)/4ax1,x2=(b±Vb"2-4ac)/2a

in.二次函數(shù)的圖像

在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x/的圖像，可以看出，二次函

數(shù)的圖像是一條拋物線。

IV.拋物線的性質(zhì)

1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線x=-b/2a。

對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。特別地，當(dāng)b=0時(shí)，

拋物線的對(duì)稱軸是y軸（即直線x=0）

2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P,坐標(biāo)為：P（-b/2a,（4ac-『2）/4a）當(dāng)-

b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)A=b"2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。

3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)2<0時(shí)?，拋物線向下開口。|a|越

大，則拋物線的開口越小。

4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab>0）,對(duì)稱軸在y軸左；

當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即abVO）,對(duì)稱軸在y軸右。

5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。

拋物線與y軸交于（0,c）

6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

A=b”-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

A=b-2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。

A=b-2-4acV0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。

X的取值是虛數(shù)（x=-b±Jb~2—4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i,整

個(gè)式子除以2a）

V.二次函數(shù)與一元二次方程

特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax-2+bx+c,

當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），即

ax2+bx+c=0

此時(shí)，函數(shù)圖像與X軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。函數(shù)與X軸交點(diǎn)

的橫坐標(biāo)即為方程的根。

1.二次函數(shù)y=ax~2,y=a（x-h）"2,y=a（x-h）"2+k,y=ax"2+bx+c（各

式中，aHO）的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)

稱軸如下表：

解析式頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸

y=ax"2(0,0)x=0

y=a(x-h)"2(h,0)x=h

y=a(x-h)"2+k(h,k)x=h

y=ax"2+bx+c-b/2a,[4ac-b2]/4ax=-b/2a

上弘光敢苛

當(dāng)h>0時(shí),y=a(x-h)*2的圖象可由拋物線y=ax*2向右平行移動(dòng)h個(gè)

單位得到，

當(dāng)h<0時(shí)，則向左平行移動(dòng)h|個(gè)單位得到.

當(dāng)h>0,k>0時(shí)，將拋物線y=ax*2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移

動(dòng)k個(gè)單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h『2+k的圖象；

當(dāng)h>0,k<0時(shí)，將拋物線丫=2乂~2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向下移

動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)-2+k的圖象;

當(dāng)限0,1<>0時(shí)-，將拋物線向左平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)

單位可得到y(tǒng)=a(x-h)"2+k的圖象；

當(dāng)11<0,1<<0時(shí)?，將拋物線向左平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向下移動(dòng)Ik個(gè)

單位可得到y(tǒng)=a(x-h)*2+k的圖象；

因此，研究拋物線y=ax-2+bx+c(a￥0)的圖象，通過配方，將一般式

化為y=a(x-h廠2+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，拋物線的

大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.

2.拋物線y=ax~2+bx+c(aWO)的圖象：當(dāng)a>0時(shí)，開口向上，當(dāng)a<0

時(shí)開口向下，對(duì)稱軸是直線x=-b/2a,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/2a,[4ac-

b-2]/4a).

3.拋物線y=ax~2+bx+c(aWO),若a〉O,當(dāng)xW-b/2a時(shí),y隨x的

增大而減小；當(dāng)x2-b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大.若a〈O,當(dāng)x<-

b/2a時(shí)-，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>-b/2a時(shí)，y隨x的增大而減

小.

4.拋物線y=ax-2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：

(1)圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c)；

(2)當(dāng)△=b”-4ac>0,圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(xi，0)和B(X2，0),其

中的xl,x2是一元二次方程ax"2+bx+c=0

(aWO)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離AB=x2-Xi

當(dāng)△=().圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)△<().圖象與x軸沒有交點(diǎn).當(dāng)2>0時(shí)-，圖象落在x軸的上方，x

為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y>0；當(dāng)a<0時(shí)，圖象落在x軸的下方，x為任

何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y<0.

5.拋物線y=ax~2+bx+c的最值：如果a>0(a<0),則當(dāng)x=-b/2a時(shí).，

y最小(大)值=(4ac-b”)/4a.

頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是取得最值時(shí)的自變量值，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是最值的

取值.

6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個(gè)已知點(diǎn)或已知x、y的三對(duì)對(duì)應(yīng)值

時(shí)，可設(shè)解析式為一般形式：

y=ax*2+bx+c(aWO).

(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時(shí);可設(shè)解析式為頂

點(diǎn)式：y=a(x-h)~2+k(aW0).

(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)解析式為

兩根式：y=a(x-xt)(x-xQ(aWO).

7.二次函數(shù)知識(shí)很容易與其它知識(shí)綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜

合題目。因此，以二次函數(shù)知識(shí)為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考

題，往往以大題形式出現(xiàn).

二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1.概念：一般地，形如y=ax2+bx+c〈a、b、c為常數(shù)，a^O）的函數(shù)叫做二次因數(shù)。，

2.二次函數(shù)的型象與性質(zhì)。

函數(shù)。y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a聲0）d

a＞（k,a＜（R,

圖“

象Q

開口方向。開口向上。開口向下＞

對(duì)稱軸。

b

X=———"

2a

頂點(diǎn)坐標(biāo)。

（_）最低點(diǎn)2（-4,49一“）最高點(diǎn)’

2a4a2a4a

最值2

當(dāng)*=一當(dāng)時(shí),y有最小值，當(dāng)*=一3時(shí)，y有最大值，，

2a2a

4ac-Jb24ac-b"

y*1,‘ya攵_，

4a4a

在對(duì)稱Y隨x的熠大而減小。Y隨x的熠大而熠大。

惇軸左側(cè)。

減在對(duì)稱Y隨x的熠大而增大。Y隨x的增大而減小。

性，軸右側(cè)。

3.系數(shù)a、b、c的作用“

1a>0拋物線開口向上“

a/決定拋物線開口方向及大小2a<0拋物線開口向下,

1a|越大，開口越小，越靠近y軸+，

1a|相等，拋物線開口大小、形狀相同+

6決定拋物線對(duì)稱軸位置，，左同右異，

b=0,對(duì)稱軸為x=0即y軸"

對(duì)稱軸為*=一當(dāng)，

典3迪同號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在V軸左側(cè)。

2a啦異號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)。

c=0,拋物線過原點(diǎn)"

3決定拋物線與y軸交點(diǎn)的位置pc>0,拋物線與y軸交與正半軸“

拋物線與y軸只有一個(gè)交點(diǎn)(o,c)+C<o,拋物線與y軸交與負(fù)半軸.，

b2-4ac=0,與x軸有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn))。

b2-4ac^決定拋物線與X軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)。b2-4ac>0,與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)”

b2-4ac<0,與x軸無交點(diǎn)。

徵

當(dāng)x=l時(shí),y=ajrbjhc^

a'當(dāng)x=-l時(shí)，丫=立典

關(guān)

當(dāng)a+b+c>0時(shí)，即x=l時(shí)，y>0P

系

當(dāng)a-b+c>0時(shí),即x=-l時(shí)，丫>2

4.頂點(diǎn)決定拋物線位置，a決定了拋物線的形狀開口大小和方向。。

5.拋物線的平移:上加下瀛，左加右漏，

向上(*刈【或下(M))】平移個(gè)單位

6.求拋物線頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法"

（1）公式法2

…,b、、iac-bc1上/b4mc_5，、b

y=ax2+bx+c=a（x+—）2+---------------頂點(diǎn)：（—-,----------------）對(duì)稱軸：x=---?

2a4a2a4a2a

（2）配方法.，

運(yùn)用配方的方法把y=ax2+bx+c配成y=a（x-h）2+k形式，頂點(diǎn)：（蟻）對(duì)稱軸:x=h-1

（3）運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性。

因?yàn)閽佄锞€是軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱點(diǎn)的連線的垂直平分線就是對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋

物線的交點(diǎn)就是頂點(diǎn)?！?/p>

拋物線上兩點(diǎn)（AM）（xwJ,對(duì)稱軸為*=

7.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，

（1）一般式：y=ax2+bx+c?J

已知圖象上三點(diǎn)或給出三對(duì)友工的值。。

（2）頂點(diǎn)式：y=a（x-hE+kP

已知頂點(diǎn)坐標(biāo)（處）或?qū)ΨQ軸*=舊

<3）交點(diǎn)式（或兩根式）y=a（x=xj（x-x"

已知拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)為（%,0）（x2,0），

8.直線與拋物線交點(diǎn)2

（1）y軸與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)（o,c），

（2）與y軸平行的直線x=h與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)（h,ah2+bh+c）*

（3）拋物線與x軸的交點(diǎn)：。

二次函數(shù)Y=ax?+bx+c與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)記為X”X2,是對(duì)應(yīng)一元二次方程

ax，+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)一元二次方程

ax2+bx+c=0的根的判別式判定:，

①有兩個(gè)交點(diǎn)<=>A>0U>一元二次方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根“

②有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在X軸上）U>A=0<=>一元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根

③沒有交點(diǎn)<=>A<0<=>一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根"

（4）平行于x軸的直線與拋物線交點(diǎn)“

平行于x軸的直線設(shè)為月（.同（3）一樣，可能有。個(gè)、1個(gè)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)

交點(diǎn)時(shí)，2個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，都是k,則橫坐標(biāo)是ax2+bx+c=k的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。。

（5）一次函數(shù)與二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖莪的交點(diǎn)。

他們的交點(diǎn)由方程組/y=kx+n的解來決定。川

y=ax2+bx+c+J

①方程組有兩組不同解<=>兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)J

②方程組有一組解口兩圖像只有一個(gè)交點(diǎn)。

③方程組無解一兩圖像無交點(diǎn)。

（6）拋物線與x軸的交點(diǎn)之間的距離。

拋物線y=ax?+bx+c與x軸兩個(gè)交點(diǎn)為A（X“0）,B（X2,0）,XI與應(yīng)及為方程ax2+bx+c=0

bc

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.所以/+=---，X1-X2=-AB=IXl-X2I

aa

9.二次函數(shù)圖象的對(duì)稱?

（1）關(guān)于x軸對(duì)稱：，

y=ax2+bx+c關(guān)于x軸對(duì)稱后得到y(tǒng)=-ax2-bx-c^

y=a（x-h）2+k關(guān)于x軸對(duì)稱后得到y(tǒng)=-a（x-h4-加

（2）關(guān)于y軸對(duì)稱,，

y=ax2+bx+c關(guān)于y軸對(duì)稱后得到y(tǒng)=ax2-bx+c+,

y=a（x-h?+k關(guān)于y軸對(duì)稱后得到y(tǒng)=a（x+h）2+k^

（3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱"

y=ax2+bx+c關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后得到v=-ax2+bxv"

y=a（x-h）2+k關(guān)于原點(diǎn)對(duì)密逅得到y(tǒng)=-aQ（+h）2-k^

根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，無論何種對(duì)稱，拋物線形狀不變，及Ia|不變。

不共線三點(diǎn)確定二次函數(shù)的表達(dá)式

待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式

常用方法：(1)設(shè)一般式：_V="H+Ax+cS,b,c為常數(shù),且

型1_，當(dāng)已知拋物線上任意三點(diǎn)時(shí)，通常設(shè)該函數(shù)解

析式為一般式，然后列出三元一次方程組求解.

(2)設(shè)頂點(diǎn)式：y=a(x—/Z)2+A3，b,c為常數(shù)，且

“邦)，當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和拋物線上另一點(diǎn)

時(shí)，通常設(shè)函數(shù)解析式為頂點(diǎn)式.

拓展方法：若已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)(打，0)和(盯，0)，

則可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x—xx)(x—x2).

二次函數(shù)解析式的幾種表達(dá)式

?一般式sy=ax2+bx+c

?頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k

?兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)

二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

一、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

1、一元二次方程以：+放+。=0二次函數(shù)=ai*+/21+C當(dāng)函數(shù)值y=0

時(shí)的特殊情況。

圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：

①當(dāng)A=/-4ac>0時(shí)，圖象與x軸交于兩點(diǎn)

/（X1,0）,可々，0）（&*x0,其中￡，x?的是一元二次方程

.4B-\x.-x.\-^b：~4aC

加+以-c=°S*°）的兩根。這兩點(diǎn)間的距離同

②當(dāng)A=°時(shí)，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；

③當(dāng)A<0時(shí)，圖象與x軸沒有交點(diǎn)。

當(dāng)a>0時(shí)，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有

y>0；

當(dāng)a<0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有

y<0o

2.拋物線\'=小二+陵+（,的圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,c）；

（1）當(dāng)c>0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線與y軸

交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；

（2）當(dāng)c=0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y

軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；

（3）當(dāng)c<0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與y軸

交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)。

總結(jié)起來，c決定了拋物線與y軸的交點(diǎn)位置。

3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：

⑴求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；

⑵求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)

化為頂點(diǎn)式；

（3）根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)丫=◎=+/>+<?中a,b,c的符號(hào)，或

由二次函數(shù)中a,b,c的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；

(4)二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)

對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)

坐標(biāo).

二次函數(shù)的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)

一.二次函數(shù)的最值：

1.如果自變量的取值是全體實(shí)數(shù)，那么二次函數(shù)在圖象頂點(diǎn)處取到最

大值(或最小值)。

這時(shí)有兩種方法求最值：一種是利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，一種是利用配方

計(jì)算。

(1)機(jī)方法：將二次圖數(shù)j=加-笈+c化為y=域x-力)：+兀的形式，其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(比k),

當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，有最低點(diǎn)。即當(dāng)x=/i時(shí)，函數(shù)有最小值，=k;當(dāng)a<0時(shí)，拋物

線開口向下，有最高點(diǎn)。即當(dāng)x=〃時(shí)，函數(shù)有最大值，丁"=此；

(2)公式法：直接利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式笈+c=&x+?)-專三，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為

2a4a

(-3，蘭士)，當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上，有最低點(diǎn)。即當(dāng)x=-[?時(shí)，函數(shù)有最小值，

2a4a2a

卜二匕；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下，有最高點(diǎn)。即當(dāng)x=-2■時(shí)，函數(shù)有最大值,

*1,xl

4a

畫出二次函數(shù)）=加4x4x?）的圖象，這時(shí)函數(shù)的最大值和最小值一目了然。

二.二次函數(shù)與一元二次方程、二次三項(xiàng)式的關(guān)系

ax:+bx+c=0+bx+cy=ar+fex+c

A=b‘一4改

(a*0)3*0)3>o)

有兩相異實(shí)根

ax2十枚+c

圖象與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)

A>0-b±^/b2-4ac=a(x-xj)-

X口i-.=------------2--a-------------(Xf)

有兩個(gè)相等實(shí)玉=七

:

ax+bx+c圖象與X軸有唯一公共點(diǎn)

A=0

b=a(xrj

=-

2a

圖象在X軸上方，與X軸

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能因

A<0無實(shí)數(shù)根沒有公共點(diǎn)

式分解

說明：（D當(dāng)）=0（或其他數(shù)值時(shí)），二次函數(shù)就變成了一元二次方程;

（2）二次三項(xiàng)式axJbx-c、一元二次方程ax2+bx-c=Q以及將來要學(xué)習(xí)的不等式

ax2-i-bx^c>0,ax2-ix+c<。以上均有a*0）都與二次函數(shù)緊密相關(guān)；

<3）我們可以運(yùn)用丁=62▼岳:-c（a#0）去理解一元二次方程的問題；也可以借助一元二次方程

的有關(guān)知識(shí)研究二次函數(shù)的特性。

三.二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

在公路、橋梁、隧道、城市建設(shè)等很多方面都有拋物線型；生產(chǎn)和生

活中，有很多“利潤最大”、“用料最少”、“開支最節(jié)約”、“線路最

短”、“面積最大”等問題，它們都有可能用到二次函數(shù)關(guān)系，用到二次

函數(shù)的最值。

那么解決這類問題的一般步驟是：

第一步：設(shè)自變量；

第二步：建立函數(shù)解析式；

第三步：確定自變量取值范圍；

第四步：根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式或配方法求出最值（在自變量的取值范圍

內(nèi)）。

常見考法

（1）考查一些帶約束條件的二次函數(shù)最值;

（2）結(jié)合二次函數(shù)考查一些創(chuàng)新問題。

知識(shí)點(diǎn)一：二次函數(shù)的應(yīng)用關(guān)鍵點(diǎn)撥

一般步驟若題目中未給出坐標(biāo)系，則需要建立坐標(biāo)系求

①據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式；解，建立的原則1①所建立的坐標(biāo)系要使求出的

實(shí)物拋物線

②確定自變量的取值范圍；二次函數(shù)表達(dá)式比較簡單；②使已知點(diǎn)所在的位

?根據(jù)圖象，結(jié)合所求解析式解決問題.置適當(dāng)（如在X軸，、?軸、原點(diǎn)、拋物線上等），

方便求二次函數(shù)、表達(dá)式和之后的計(jì)算求解.

①分析問題中的數(shù)量關(guān)系，列出函數(shù)關(guān)系式；解決最值應(yīng)用題要注意兩點(diǎn)：

②研究自變量的取值范圍；①設(shè)未知數(shù)，在“當(dāng)某某為何值時(shí)，什么最大（最

實(shí)際問題中

③確定所得的函數(shù)；小）”的設(shè)問中，“某某”要設(shè)為自變量，“什么”

求最值

?檢驗(yàn)X的值是否在自變量的取值范圍內(nèi)，并求要設(shè)為函數(shù)；

相關(guān)的值；②求解最值時(shí)，一定要考慮頂點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)）

⑤解決提出的實(shí)際問題.的取值是否在自變量的取值范圍內(nèi).

由于面積等于兩條邊的乘積，所以幾何問題的面

①根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)，探求圖形中的關(guān)系式；

積的最值問題通常會(huì)通過二次函數(shù)來解決.同樣

結(jié)合幾何圖形②根據(jù)幾何圖形的關(guān)系式確定二次函數(shù)解析式；

需注意自變量的取值范圍.

③利用配方法等確定二次函數(shù)的最值，解決問題

第2章圓知識(shí)點(diǎn)

一、圓的相關(guān)概念

1、圓的定義

在一個(gè)個(gè)平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)

端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)0叫做圓心，線段0A

叫做半徑。

2、直線圓的與置位關(guān)系

1.線直與圓有唯公一共時(shí)，點(diǎn)做直叫與圓線切

2.三角的外形圓接的圓叫做三心形角外心

3.弦切角于所等夾弧所對(duì)的的圓心角

4.三角的內(nèi)形圓切的圓叫做三心形角內(nèi)心

5.垂于直徑半直線必為圓的的切線

6.過徑半外的點(diǎn)并且垂直端于半的徑直線是圓切線

7.垂于直徑半直線是圓的的切線

8.圓切線垂的直過切于點(diǎn)半徑

3、圓的幾何表示

以點(diǎn)。為圓心的圓記作，讀作“圓0”

二、垂徑定理及其推論

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。

推論1:(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩

條弧。

(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

(3)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一

條弧。

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

垂徑定理及其推論可概括為：

過圓心

垂直于弦

直徑平分弦知二推三

平分弦所對(duì)的優(yōu)弧

平分弦所對(duì)的劣弧

三、弦、弧等與圓有關(guān)的定義

1、弦

連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。(如圖中的AB)

2、直徑

經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。(如途中的CD)

直徑等于半徑的2倍。

3、半圓

圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

4、弧、優(yōu)弧、劣弧

圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。

弧用符號(hào)表示，以A,B為端點(diǎn)的弧記作“”，讀作“圓弧

AB”或“弧AB”。

大于半圓的弧叫做優(yōu)?。ǘ嘤萌齻€(gè)字母表示）；小于半圓的弧叫做劣弧

（多用兩個(gè)字母表示）

四、圓的對(duì)稱性

1、圓的軸對(duì)稱性

圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸。

2、圓的中心對(duì)稱性

圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形。

五、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理

1、圓心角

頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。

2、弦心距

從圓心到弦的距離叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦想等，所對(duì)

的弦的弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩

條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相

等。

六、圓周角定理及其推論

1、圓周角

頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。

2、圓周角定理

一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角

所對(duì)的弧也相等。

推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是

直徑。

推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形

是直角三角形。

七、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

設(shè)。。的半徑是r,點(diǎn)P到圓心0的距離為d,則有：

d

d=r點(diǎn)P在。0上；

d>r點(diǎn)P在。。外。

八、過三點(diǎn)的圓

1、過三點(diǎn)的圓

不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。

2、三角形的外接圓

經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓。

3、三角形的外心

三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，它叫做

這個(gè)三角形的外心。

4、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)（四點(diǎn)共圓的判定條件）

圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)。

九、反證法

先假設(shè)命題中的結(jié)論不成立，然后由此經(jīng)過推理，引出矛盾，判定所

做的假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種證明方法叫做反證法。

十、直線與圓的位置關(guān)系

直線和圓有三種位置關(guān)系，具體如下：

(1)相交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交，這時(shí)直線

叫做圓的割線，公共點(diǎn)叫做交點(diǎn)；

(2)相切：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，這時(shí)直線

叫做圓的切線，

(3)相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí)?，叫做直線和圓相離。

如果。()的半徑為r,圓心0到直線1的距離為d,那么：

直線1與。0相交d

直線1與。0相切d=r;

直線1與。。相離d>r;

十一、切線的判定和性質(zhì)

1、切線的判定定理

經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

2、切線的性質(zhì)定理

圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。

十二、切線長定理

1、切線長

在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長叫做這點(diǎn)

到圓的切線長。

2、切線長定理

從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連

線平分兩條切線的夾角。

十三、圓和圓的位置關(guān)系

1、圓和圓的位置關(guān)系

如果兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)圓相離，相離分為外離和內(nèi)

含兩種。

如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)圓相切，相切分為外切

和內(nèi)切兩種。

如果兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)圓相交。

2、圓心距

兩圓圓心的距離叫做兩圓的圓心距。

3、圓和圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定

設(shè)兩圓的半徑分別為R和r,圓心距為d,那么

兩圓外離d>R+r

兩圓外切d=R+r

兩圓相交R-r

兩圓內(nèi)切d=R-r(R>r)

兩圓內(nèi)含dr)

4、兩圓相切、相交的重要性質(zhì)

如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上，它們是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱

軸是兩圓的連心線；相交的兩個(gè)圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。

十四、三角形的內(nèi)切圓

1、三角形的內(nèi)切圓

與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。

2、三角形的內(nèi)心

三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它叫做三

角形的內(nèi)心。

十五、與正多邊形有關(guān)的概念

1、正多邊形的中心

正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。

2、正多邊形的半徑

正多邊形的外接圓的半徑叫做這個(gè)正多邊形的半徑。

3、正多邊形的邊心距

正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個(gè)正多邊形的邊心距。

4、中心角

正多邊形的每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角叫做這個(gè)正多邊形的中心

角。

十六、正多邊形和圓

1、正多邊形的定義

各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。

2、正多邊形和圓的關(guān)系

只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以做出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊

形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓。

十七、正多邊形的對(duì)稱性

1、正多邊形的軸對(duì)稱性

正多邊形都是軸對(duì)稱圖形。一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱

軸都通過正n邊形的中心。

2、正多邊形的中心對(duì)稱性

邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是正多邊形的

中心。

3、正多邊形的畫法

先用量角器或尺規(guī)等分圓，再做正多邊形。

十八、弧長和扇形面積

1、弧長公式

n。的圓心角所對(duì)的弧長1的計(jì)算公式為2、扇形面積公式

其中n是扇形的圓心角度數(shù)，R是扇形的半徑，1是扇形的弧長。

3、圓錐的側(cè)面積

其中1是圓錐的母線長，r是圓錐的地面半徑。

初中數(shù)學(xué)圓解題技巧

半徑與弦長計(jì)算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑

連。

切線長度的計(jì)算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)

辨。

是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c(diǎn)圓心連，垂徑定理要記

全。

圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找

完。

要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線。還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢

圓。

如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點(diǎn)公切

線。

若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。要作等角添個(gè)圓，證明題目少困

難。

輔助線，是虛線,畫圖注意勿改變。假如圖形較分散,對(duì)稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)

驗(yàn)。

基本作圖很關(guān)鍵,平時(shí)掌握要熟練。解題還要多心眼,經(jīng)?？偨Y(jié)方法

顯。

切勿盲目亂添線,方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選,困難再多也會(huì)

減。

虛心勤學(xué)加苦練,成績上升成直線。

過不共線三點(diǎn)作圓知識(shí)點(diǎn)

結(jié)論：不在同一直線上的三點(diǎn)確定

因

作法：

1、在圓弧上任取三點(diǎn)A、

B、Co

2、作線段AB、BC的垂直平

分線,其交點(diǎn)。即為圓心。

3、以點(diǎn)0為圓心，0C長為

半徑作圓。C

。。即為所求。

三角形的外接圓，三角形的外心概念.

:匕經(jīng)過三角形各個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形

的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外

心，這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形。

如圖：。。是AABC的外

接圓，ZkABC是。。的內(nèi)接三

角形,點(diǎn)。是aABC的外心

C注意：外心是△ABC三條邊

的垂直平分線的交點(diǎn)，它到三

角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。

直線與圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)

1、H線與網(wǎng)的位置關(guān)系：

r為半徑，d為圓心到直線的距離

圖形◎

名稱相離相切相交

判定d>rd=rd<r

交點(diǎn)個(gè)數(shù)無1個(gè)2個(gè)

2、切線的判定：

(1)根據(jù)切線的定義判定，即與圓有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線

(2)根據(jù)圓心到直線的距離來判定，即與圓心的距離等于半徑的直線呈圓的切線.

(3)根據(jù)切線的判定定理來判定，即經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線暴?的切線.

判定切線時(shí)常用的輔助線作法：

(1)若直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，輔助線的作法是“連結(jié)圓心和公共點(diǎn)”，再證明直線和半徑垂直.

(2)當(dāng)直線與圓并沒有明確有公共點(diǎn)時(shí)，輔助線的作法是“過圓心向直線作垂線”再證明圓心到直線的

距離等于圓的半徑.

知識(shí)框架

’相離r幾何法

「弦長<

直線與圓的位置關(guān)系（相交<I代數(shù)法

、切割線定理

、相切

直線與圓〈r代數(shù)法

'求切線的方法<

,幾何法

圓的切線方程《

‘過圓上一點(diǎn)的切線方程

圓的切線方程切點(diǎn)弦

.過圓外一點(diǎn)的切線方程｛方程

直線與圓位置關(guān)系及其判定

方法

1.利用圓心3。力）到直線Ai+8\+C=0的距離〃與半徑,?的大小來判

22

>IA+B

定。

（1）直線與圓相交

（2）〃=廣0直線與圓相切

（3）〃>廣。直線與圓相離

2.聯(lián)立直線與圓的方程組成方程組，消去其中一個(gè)未知量，得到關(guān)于另外一個(gè)未知量的一元

二次方程，通過解的個(gè)數(shù)來判定。

（1）有兩個(gè)公共解（交點(diǎn)），即A>00直線與圓相交

（2）有且僅有一個(gè)解（交點(diǎn)），也稱之為有兩個(gè)相同實(shí)根，即4=（）0直線與圓相切

（3）無解（交點(diǎn)），即△<00直線與圓相離

3.等價(jià)關(guān)系

相交O,<>'OA>0

相切。，/=rO△=0

相離U>d>「OA<0

弧長和扇形面積

知識(shí)點(diǎn)1、弧長公式

因?yàn)?60。的圓心角所對(duì)的弧長就是圓周長C=2R,所以1。的圓心角所對(duì)的弧

長是，于是可得半徑為R的圓中，n°的圓心角所對(duì)的弧長1的計(jì)算公式：，

說明：(1)在弧長公式中，n表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不帶單位

“度”，例如，圓的半徑R=10,計(jì)算20。的圓心角所對(duì)的弧長1時(shí)，不要錯(cuò)寫

成。

(2)在弧長公式中，己知1,n,R中的任意兩個(gè)量，都可以求出第三個(gè)量。

知識(shí)點(diǎn)2、扇形的面積

如圖所示，陰影部分的面積就是半徑為R，圓心角為n°的扇形面積，顯然扇形

的面積是它所在圓的面積的一部分，因?yàn)閳A心角是360。的扇形面積等于圓面積，所

以圓心角為1°的扇形面積是，由此得圓心角為n。的扇形面積的計(jì)算公式是。

又因?yàn)樯刃蔚幕￠L，扇形面積，所以又得到扇形面積的另一個(gè)計(jì)算公式：。

知識(shí)點(diǎn)3、弓形的面積

(1)弓形的定義：由弦及其所對(duì)的弧(包括劣弧、優(yōu)弧、半圓)組成的圖形叫

做弓形。

(2)弓形的周長=弦長+弧長

(3)弓形的面積

如圖所示，每個(gè)圓中的陰影部分的面積都是一個(gè)弓形的面積，從圖中可以看

出，只要把扇形OAmB的面積和△AOB的面積計(jì)算出來，就可以得到弓形AmB的面

積。

當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時(shí)，如圖1所示，

當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時(shí)，如圖2所示，

當(dāng)弓形所含的弧是半圓時(shí)，如圖3所示，

注意：(1)圓周長、弧長、圓面積、扇形面積的計(jì)算公式。

圓周長弧長圓面積扇形面積

公

式

(2)扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別

(2)扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別

圖

示

面

積

如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對(duì)

應(yīng)邊互相平行，那么這兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這

時(shí)的相似比又稱為位似比。

性質(zhì)：

位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的

距離之比等于相似比。

位似多邊形的對(duì)應(yīng)邊平行或共線。

位似可以將一個(gè)圖形放大或縮小。

位似圖形的中心可以在任意的一點(diǎn)，不過位似圖形也會(huì)隨著位似中心

的位變而位變。

根據(jù)一個(gè)位似中心可以作兩個(gè)關(guān)于已知圖形一定位似比的位似圖

形,這兩個(gè)圖形分布在位似中心的兩側(cè)，并且關(guān)于位似中心對(duì)稱。

注意

1、位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個(gè)圖形是位似圖形，必定

是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；

2、兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)；

3、兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一

側(cè)；

4、位似比就是相似比.利用位似圖形的定義可判斷兩個(gè)圖形是否位

似；

5、平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三

角形位似。

正多邊形與圓

1、正多邊形，各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形。

2、正多邊形的外接圓：一個(gè)正多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)都在圓上，我們就說這個(gè)圖是這個(gè)正多邊形的外接圓。把一

個(gè)正多邊形的外接圖的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做這個(gè)正多邊形的半徑，正多邊形每

一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角，中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。

正n邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為："-2)x180。

n

正n邊形的一個(gè)中心角的度數(shù)為：—

n

正多邊形的中心角與外角的大小相等.

3、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角和相等，都是180°。

4、圓內(nèi)接正n邊形的性質(zhì)(n>3,且為自然數(shù))，

(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，圓內(nèi)接正n邊形是軸對(duì)稱圖形，有n條對(duì)稱軸；但不是中心對(duì)稱圖形。

(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，圖內(nèi)接正n邊形即是軸時(shí)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是正多邊形的申心，即

外接圓的圓心。

5、常見圓內(nèi)接正多邊形半徑與邊心距的關(guān)系，(設(shè)圓內(nèi)接正多邊形的半徑為r,邊心距為d)

(1)圓內(nèi)接正三角形，d='r(2)圓內(nèi)接正四邊形：d=Y2r(3)圓內(nèi)接正六邊形：d=2r

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6、常見圓內(nèi)接正多邊形半徑r與邊長x的關(guān)系，

(1)圓內(nèi)接正三角形：x=W=(2)圓內(nèi)接正四邊形：X=石，(3)圓內(nèi)接正六邊形?x=r

7、正多邊形的畫法：畫正多邊形一般與等分圓正多邊形周有關(guān)，要做半徑為R的正n邊形，只要把半徑為R

的圓n等分，然后順次連接各點(diǎn)即可。

(1)用量角器等分圓周。

(2)用尺規(guī)等分圓(適用于特殊的正n邊形)。

8、定理L把圓分成n(n>3)等份，

(1)飾次i車結(jié)存分占即得的多訪附層：文個(gè)181的內(nèi)將Fn法非

(2)經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形。

說明：(D要判定一個(gè)多邊形是不是正多邊形，除根據(jù)定義來判定外，還可以根據(jù)這個(gè)定理來判定，即，①依

次連結(jié)圓的n(n>3)等分點(diǎn)，所得的多邊形是正多迫形；②經(jīng)過圓的n(n>3)等分點(diǎn)作圓的切線，相鄰切線相

交成的多邊形是正多邊。.

(2)要注意定理中的“依次”、“相鄰”等條件。

(3)此定理被稱為正多邊形的判定定理，我們可以根據(jù)它判斷一多邊形為正多邊形或根據(jù)它作正多邊形。

定理2,任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓。

我們把一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心;

外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑;

正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角;

中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。

第3章投影與視圖

視圖在我們工作生活中比較常見，想象你作為一名工程師需要制造一個(gè)零部

件，那就離不開我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，因?yàn)槲覀冃枰o出設(shè)計(jì)圖紙，除了

繪出三視圖，還需要標(biāo)注上尺寸，才能具體加工成型，如下：

左

視

正投影面

100cm圖

例投影面

|140cm高

一年

俯視圖:

當(dāng)然在我們目前學(xué)習(xí)階段,但至少得學(xué)會(huì)認(rèn)出物

體的三視圖，并且用正確的順序把它展現(xiàn)出來。

從

左

面

看

三通