第02講 角（知識解讀+真題演練+課后鞏固）-2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊（蘇科版）

第第頁第2講角1．掌握角的概念及角的表示方法，并能進(jìn)行角度的互換；2.借助三角尺畫一些特殊角，掌握角大小的比較方法；3.掌握鐘表上有關(guān)夾角問題及運算；4.理解方向角和角平分線的概念及有關(guān)運算。知識點1角的概念角的定義：（1）定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點是點O，邊是射線OA、OB．圖2圖1圖2圖1（2）定義二：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．如圖2所示，射線OA繞它的端點O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．注意：（1）兩條射線有公共端點，即角的頂點；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關(guān)．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的幾何符號用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：注意：用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時，要在靠近角的頂點處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫希臘字母．3.角的畫法（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角．（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個角等于已知角．知識點2角度制及其換算角的度量單位是度、分、秒，把一個周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．注意：在進(jìn)行有關(guān)度分秒的計算時，要按級進(jìn)行，即分別按度、分、秒計算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)行運算，在相乘或相加時，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于60時要向高一位進(jìn)位．知識點3鐘表上有關(guān)夾角問題鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時針每小時轉(zhuǎn)30°，時針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計算問題．知識點4方位角在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．注意：（1）正東，正西，正南，正北4個方向不需要用角度來表示．（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60°”一般不說成“東偏北30°”．（3）在同一問題中觀察點可能不止一個，在不同的觀測點都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點的正東、正西、正南、正北的方向．（4）圖中的點O是觀測點，所有方向線(射線)都必須以O(shè)為端點．知識點5角平分線從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．注意：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點的思維框架一樣．知識點6：角的運算如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．注意：(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：①對中(角的頂點與量角器的中心對齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))．(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．【題型1角的概念及表示】【典例1】（2022秋?綏寧縣期末）下列四個圖中，能用∠1、∠AOB、∠O三種方法表示同一個角的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、圖中的∠AOB不能用∠O表示，故本選項錯誤；B、圖中的∠1和∠AOB不是表示同一個角，故本選項錯誤；C、圖中的∠1和∠AOB不是表示同一個角，故本選項錯誤；D、圖中∠1、∠AOB、∠O表示同一個角，故本選項正確；故選：D．【變式1-1】（2023?蘭溪市模擬）“直角”在幾何學(xué)習(xí)中無處不在，如圖圖中的∠AOB一定是直角的是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④【答案】C【解答】解：①∵三條邊分別為3、4、5，32+42＝52，根據(jù)勾股定理的逆定理，∴△AOD為直角三角形，∴∠AOB是直角．故①符合題意．②∵直徑所對應(yīng)的圓周角是直角，∴∠AOB是直角．故②符合題意．③設(shè)兩弧交于點D．連接，CD、BD．∵CA＝CD，∴點C在AD的垂直平分線上；又∵BA＝BD，∴點B也在AD的垂直平分線上．∴BC是AD的垂直平分線．∴∠AOB是直角．故③符合題意．④設(shè)兩弧交于點D．連接CD、ED、AE．∵根據(jù)作圖可知，DC＝DE，CA＝CE，∴點D在CE的垂直平分線上，但點A不一定在CE的垂直平分線上，∴∠AOB不一定是直角．故④不符合題意．故選：C．【變式1-2】（2022秋?曲靖期末）下列圖形中，能用∠AOB，∠O，∠1三種表示方法表示同一個角的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：根據(jù)角的概念，選項A可以用∠AOB，∠O，∠1三種表示方法表示同一個角，故選：A．【變式1-3】（2022秋?馬尾區(qū)期末）下列四個圖中，能用∠1、∠O、∠MON三種方法表示同一個角的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、圖中的∠MON不能用∠O表示，故本選項錯誤；B、圖中的∠MON不能用∠O表示，故本選項錯誤；C、圖中∠1、∠MON、∠O表示同一個角，故本選項正確；D、圖中的∠MON不能用∠O表示，故本選項錯誤；故選：C．【題型2鐘面角】【典例2】（2022秋?梁山縣期末）如圖所示，鐘表上顯示的時刻是10點10分，再過20分鐘，時針與分針?biāo)傻慕鞘牵ǎ〢．75° B．120° C．135° D．150°【答案】C【解答】解：10點10分，再過20分鐘就是10點30分，30°×（4+）＝135°，故選：C．【變式2-1】（2022秋?金鳳區(qū)校級期末）鐘表8時30分時，時針與分針?biāo)傻慕堑亩葦?shù)為（）A．110° B．75° C．105° D．90°【答案】B【解答】解：由題意得：2×30°+×30°＝60°+15°＝75°，∴鐘表8時30分時，時針與分針?biāo)傻慕堑亩葦?shù)為75°．故選：B．【變式2-2】（2023春?招遠(yuǎn)市期中）已知本學(xué)期某學(xué)校下午上課的時間為14時20分，則此時刻鐘表上的時針與分針的夾角為_____度．（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】B【解答】解：14時（20分）時，時針指向2和3之間，分針指向4，時針從12時到14時（20分）旋轉(zhuǎn)的角為：，分針從14時到14時（20分）旋轉(zhuǎn)的角為：，因此時針與分針的夾角為120°﹣70°＝50°，故選：B．【變式2-3】（2023春?東平縣期末）在9：30這一時刻，時鐘上的時針和分針之間的夾角為（）A．105° B．100° C．90° D．85°【答案】A【解答】解：由題意得：3×30°+×30°＝105°，∴在9：30這一時刻，時鐘上的時針和分針之間的夾角為：105°，故選：A．【變式2-4】（2023春?龍口市期中）從8：13分到8：37分，時鐘的分針轉(zhuǎn)過的角度是（）A．148° B．144° C．136° D．108°【答案】B【解答】解：鐘面上每兩個數(shù)字之間所對應(yīng)的圓心角為＝30°，每一個“小格”所對應(yīng)的圓心角為＝6°，從8：13分到8：37分，分鐘轉(zhuǎn)過37﹣13＝24個“小格”，所以從8：13分到8：37分，分針轉(zhuǎn)過的角度是6°×24＝144°，故選：B【題型3方位角】【典例3】（2022秋?漢臺區(qū)期末）如圖，A地和B地都是海上觀測站，A地在燈塔O的北偏東30°方向，∠AOB＝100°，則B地在燈塔O的（）A．南偏東40°方向 B．南偏東50°方向 C．南偏西50°方向 D．東偏南30°方向【答案】B【解答】解：由題意得：180°﹣30°﹣100°＝50°，∴B地在燈塔O的南偏東50°方向，故選：B．【變式3-1】（2023?芝罘區(qū)一模）如圖，點B在點A的北偏西50°方向，點C在點B的正東方向，且點C到點B與點A到點B的距離相等，則點A相對于點C的位置是?（）A．北偏東25° B．北偏東20° C．南偏西25° D．南偏西20°【答案】D【解答】解：∵點B在點A的北偏西50°方向，∴∠BAE＝50°，∵點C在點B的正東方向，∴BC∥AD，∴∠B＝90°﹣∠BAE＝40°，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠C＝×（180°﹣40°）＝70°，∴∠EAC＝70°﹣50°＝20°，∴點A相對于點C的位置是南偏西20°，故選：D．【變式3-2】（2022秋?下陸區(qū)期末）如圖，甲從A點出發(fā)向北偏東70°方向走到點B，乙從點A出發(fā)向南偏西15°方向走到點C，則∠BAC的度數(shù)是（）A．85° B．160° C．125° D．105°【答案】C【解答】解：AB于正東方向的夾角的度數(shù)是：90°﹣70°＝20°，則∠BAC＝20°+90°+15°＝125°．故選：C．【變式3-3】（2022秋?泗水縣期末）如圖，OA是北偏東30°方向的一條射線，若射線OB與射線OA成90°角，則OB的方位角是（）A．北偏西30°方向 B．北偏西60°方向 C．南偏東30°方向 D．南偏東60°方向【答案】D【解答】解：如圖所示：∵射線OB與射線OA成90°角，∴∠AOD+∠BOD＝90°，∵OA是北偏東30°方向的一條射線，∴∠AOD＝60°，∴∠BOD＝30°，∴∠BOE＝60°，即OB的方位角是南偏東60°方向，故選：D．【題型4度分秒換算】【典例4】（2022秋?六盤水期末）34.37°＝34°22′12″．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：34.37°＝34°22′12″，故答案為：22，12．【變式4-1】（2023春?無錫月考）單位換算：20°30'＝20.5°．【答案】20.5．【解答】解：20°30'＝20.5°．故答案為：20.5．【變式4-2】（2022秋?梁子湖區(qū)期末）120.76°＝120度45分36秒．【答案】120，45，36．【解答】解：（120.76﹣120）×60'＝45.6'，（45.6﹣45）×60''＝36''，即：120.76°＝120°45'36''，故答案為：120，45，36．【變式4-3】（2022秋?新?lián)釁^(qū)期末）計算：18°42′+42°58′＝61°40'．【答案】61°40'．【解答】解：18°42'+42°58'＝60°100'＝61°40'．故答案為：61°40'【題型5角平分線的定義】【典例5】（2022秋?榕城區(qū)期末）如圖，點O在直線AB上，射線OD是∠AOC的平分線，若∠COB＝40°，則∠DOC的度數(shù)是（）A．20° B．45° C．60° D．70°【答案】D【解答】解：由題意可知，∠COB與∠AOC互補，∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°，∵射線OD是∠AOC的平分線，∴∠DOC＝∠AOC＝70°．故選：D．【變式5-1】（2022秋?內(nèi)江期末）如圖，點A、O、B在同一條直線上，OC平分∠DOB，已知∠DOC＝65°，則∠DOA的度數(shù)是（）A．45° B．50° C．55° D．65°【答案】B【解答】解：∵OC平分∠DOB，∠DOC＝65°，∴∠DOB＝2∠DOC＝65°×2＝130°，∵A、O、B在同一條直線上，∴∠DOA+∠DOB＝180°，∴∠DOA＝180°﹣∠DOB＝50°，故選：B．【變式5-2】（2022秋?新華區(qū)校級期末）如圖，∠AOB是直角，OD是∠AOB內(nèi)的一條射線，OE平分∠BOD，若∠BOE＝24°，則∠AOD的度數(shù)（）A．46° B．54° C．42° D．67°【答案】C【解答】解：∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠BOE＝48°∵∠AOB＝90°∴∠AOD＝90°﹣∠BOD＝90°﹣48°＝42°故選：C．【變式5-3】（2022秋?雞澤縣期末）已知∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，OD平分∠AOC，則∠AOD的度數(shù)為（）A．20° B．80° C．20°或80° D．10°或40°【答案】D【解答】解：①射線OC在∠AOB的外部，如圖1，∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝50°+30°＝80°，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝AOC＝40°；②射線OC在∠AOB的內(nèi)部，如圖2，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝50°﹣30°＝20°，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝AOC＝10°．故選：D．【題型6角的基本運算】【典例6】（2023春?河口區(qū)期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度數(shù)；（2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵OA平分∠EOC，∴∠AOC＝∠EOC＝×70°＝35°，∴∠BOD＝∠AOC＝35°；（2）設(shè)∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根據(jù)題意得2x+3x＝180°，解得x＝36°，∴∠EOC＝2x＝72°，∴∠AOC＝∠EOC＝×72°＝36°，∴∠BOD＝∠AOC＝36°．【變式6-1】（2022秋?大足區(qū)期末）如圖，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB內(nèi)的一條射線，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC的度數(shù)；（2）過點O作射線OD，若∠AOD＝∠AOB，求∠COD的度數(shù)．【答案】（1）40°；（2）20°或100°．【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠AOB＝×120°＝40°；（2）∵∠AOD＝∠AOB，∴∠AOD＝60°，當(dāng)OD在∠AOB內(nèi)時，∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°，當(dāng)OD在∠AOB外時，∠COD＝∠AOC+∠AOD＝100°．故∠COD的度數(shù)為20°或100°．【變式62-2】（2022秋?市北區(qū)校級期末）已知如圖，∠AOB：∠BOC＝3：2，OD是∠BOC的平分線，OE是∠AOC的平分線，且∠BOE＝12°，求∠DOE的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)∠AOB＝3x，∠BOC＝2x．則∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝5x．∵OE是∠AOC的平分線，∴∠AOE＝，∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝，∵∠BOE＝12°，∴，解得，x＝24°，∵OD是∠BOC的平分線，∴，∴∠DOE＝∠DOB+∠BOE＝24°+12°＝36°．【變式6-3】（2023春?煙臺期末）如圖，將直角三角板OMN的直角頂點O放在直線AB上，射線OC平分∠AON．（1）當(dāng)∠BON＝60°時，求∠COM的度數(shù)；（2）若∠AOM＝2∠COM，求∠AON的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵∠BON＝60°，∴∠AON＝120°，∵OC平分∠AON，∴，∵∠MON＝90°，∴∠COM＝90°﹣60°＝30°；（2）設(shè)∠COM＝x，∵∠AOM＝2∠COM，∴∠AOM＝2x，∴∠AOC＝3x，∵OC平分∠AON，∴∠AOC＝∠CON，∴∠CON＝∠AOC＝3x，∵∠COM+∠CON＝90°，∴x+3x＝90°，解得x＝22.5°，∴∠AON＝6x＝135°．1．（2023?臨沂）如圖中用量角器測得∠ABC的度數(shù)是（）A．50° B．80° C．130° D．150°【答案】C【解答】解：根據(jù)∠ABC起始位置BA，另一條邊BC可得：∠ABC＝130°．故選：C．2．（2023?河北）淇淇一家要到革命圣地西柏坡參觀．如圖，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，則淇淇家位于西柏坡的（）A．南偏西70°方向 B．南偏東20°方向 C．北偏西20°方向 D．北偏東70°方向【答案】D【解答】解：如圖：由題意得：∠ABC＝70°，AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCB＝70°，∴淇淇家位于西柏坡的北偏東70°方向，故選：D．3．（2019?浙江）如圖是雷達(dá)屏幕在一次探測中發(fā)現(xiàn)的多個目標(biāo)，其中對目標(biāo)A的位置表述正確的是（）A．在南偏東75°方向處 B．在5km處 C．在南偏東15°方向5km處 D．在南偏東75°方向5km處【答案】D【解答】解：由圖可得，目標(biāo)A在南偏東75°方向5km處，故選：D．4．（2019?梧州）如圖，鐘表上10點整時，時針與分針?biāo)傻慕鞘牵ǎ〢．30° B．60° C．90° D．120°【答案】B【解答】解：∵鐘面分成12個大格，每格的度數(shù)為30°，∴鐘表上10點整時，時針與分針?biāo)傻慕鞘?0°．故選：B．5．（2023?樂山）如圖，點O在直線AB上，OD是∠BOC的平分線，若∠AOC＝140°，則∠BOD的度數(shù)為20°．【答案】20°．【解答】解：∵∠AOC＝140°，∴∠BOC＝180°﹣140°＝40°，∵OD是∠BOC的平分線，∴∠BOD＝∠BOC＝20°，故答案為：20°．6．（2022?湘潭）如圖，一束光沿CD方向，先后經(jīng)過平面鏡OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，則∠AEF＝40°．【答案】40°．【解答】解：∵一束光沿CD方向，先后經(jīng)過平面鏡OB、OA反射后，沿EF方向射出，∴∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED，在△ODE中，∠OED＝180°﹣∠AOB﹣∠EDO＝180°﹣120°﹣20°＝40°，∴∠AEF＝∠OED＝40°．故答案為：40°．7．（2022?益陽）如圖，PA，PB表示以P為起點的兩條公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏東56°，則這兩條公路的夾角∠APB＝90°．【答案】90．【解答】解：如圖：由題意得：∠APC＝34°，∠BPC＝56°，∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝90°，故答案為：90．8．（2021?興安盟）74°19′30″＝74.325°．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：30×（）′＝0.5′，19′+0.5′＝19.5′，19.5×（）°＝0.325°，74°+0.325°＝74.325°，故答案為：74.325．9．（2019?煙臺）小明將一張正方形紙片按如圖所示順序折疊成紙飛機，當(dāng)機翼展開在同一平面時（機翼間無縫隙），∠AOB的度數(shù)是45°．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：在折疊過程中角一直是軸對稱的折疊，∠AOB＝22.5°×2＝45°；故答案為45°1．（2023春?茌平區(qū)期末）下列四個圖中，能用∠1、∠AOB、∠O三種方法表示同一個角的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A中∠1可以用∠AOB表示，但不能用∠O表示，則A不符合題意；B中∠1與∠AOB和∠O不是同一個角，則B不符合題意；C中∠1與∠AOB不是同一個角，且它也不能用∠O表示，則C不符合題意；D中∠1既可以用∠AOB表示，也能用∠O表示，則D符合題意；故選：D．2．（2022秋?泗水縣期末）如圖，已知線段a，b．按如下步驟完成尺規(guī)作圖，則AC的長是（）①作射線AM；②在射線AM上截取AD＝DB＝a；③在線段AB上截取BC＝b．A．2a+b B．2a﹣b C．a(chǎn)+b D．b﹣a【答案】B【解答】解：如圖，AC＝AB﹣BC＝AD+BD﹣BC＝2a﹣b．故選：B．3．（2023春?肥城市期中）如圖所示，下列說法錯誤的是（）A．∠DAO可用∠DAC表示 B．∠COB也可用∠O表示 C．∠2也可用∠OBC表示 D．∠CDB也可用∠1表示【答案】B【解答】解：A、∠DAO可用∠DAC表示，本選項說法正確；B、∠COB不能用∠O表示，本選項說法錯誤；C、∠2也可用∠OBC表示，本選項說法正確；D、∠CDB也可用∠1表示，本選項說法正確；故選：B．4．（2023春?威海期中）利用一副三角板不能畫出的角的度數(shù)是（）A．105° B．100° C．75° D．15°【答案】B【解答】解：A、45°+60°＝105°，故能畫出；B、100°的角，無法用三角板中角的度數(shù)拼出；C、45°+30°＝75°，故能畫出；D、45°﹣30°＝15°，故能畫出；故選：B．5．（2022秋?平泉市校級期末）把兩塊三角板按如圖所示那樣拼在一起，則∠ABC等于（）A．70° B．90° C．105° D．120°【答案】D【解答】解：∠ABC＝30°+90°＝120°．故選：D．6．（2023春?集賢縣期末）如圖，點O在直線AB上，射線OC平分∠DOB．若∠COB＝35°，則∠AOD等于（）A．35° B．70° C．90° D．110°【答案】D【解答】解：∵OC平分∠DOB，∠COB＝35°，∴∠BOD＝2∠COB＝2×35°＝70°，∴∠AOD＝180°﹣70°＝110°．故選：D．7．（2022秋?吳忠期末）如圖，在燈塔O處觀測到輪船A位于北偏西54°的方向，同時輪船B在南偏東15°的方向，那么∠AOB＝141°．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意得：∠1＝54°，∠2＝15°，∠3＝90°﹣54°＝36°，∠AOB＝36°+90°+15°＝141°．故答案為：141°．8．（2022秋?汝陽縣期末）已知∠A＝30°45'，∠B＝30.45°，則∠A＞∠B．（填“＞”、“＜”或“＝”）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵∠A＝30°45'＝30.75°，∠B＝30.45°，30.75°＞30.45°，∴∠A＞∠B．故答案為：＞．9．（2023春?高青縣期末）如圖，C島在A島的北偏東52°方向，C島在B島的北偏西34°方向，則∠ACB的大小是86度．【答案】86．【解答】解：過點C作CF∥AD，如圖，∵AD∥BE，∴AD∥CF∥BE，∴∠ACF＝∠DAC，∠BCF＝∠EBC