數(shù)量模型與算法基礎(chǔ)：數(shù)模-矩陣、向量、數(shù)組線性方程組高次方程求解模型

數(shù)模：矩陣、向量、數(shù)組

線性方程組，高次方程

求解模型1本章目標(biāo)掌握矩陣、向量、數(shù)組和多項(xiàng)式的構(gòu)造和運(yùn)算方法.*能夠使用常用的幾種函數(shù)進(jìn)行一般的數(shù)值問題求解線性方程組求解多項(xiàng)式，n次方程求解2主要內(nèi)容2.1矩陣2.2向量2.3數(shù)組2.4多項(xiàng)式求解線性方程組求解n次方程32.1矩陣（略）MATLAB=matrix（矩陣）+laboratory（實(shí)驗(yàn)室）4矩陣

數(shù)學(xué)上，一個(gè)m×n的矩陣是一個(gè)由m行n列元素排列成的矩形陣列A。大小相同（行數(shù)列數(shù)都相同）的矩陣之間可以相互加減，具體是對(duì)每個(gè)位置上的元素做加減法。矩陣的乘法則較為復(fù)雜。兩個(gè)矩陣可以相乘，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)。矩陣的乘法滿足結(jié)合律和分配律，但不滿足交換律,即A*B~=B*A。52.1.1矩陣的產(chǎn)生通過直接輸入矩陣的元素構(gòu)造矩陣：用中括號(hào)[]把所有矩陣元素括起來同一行的不同數(shù)據(jù)元素之間用空格或逗號(hào)間隔用分號(hào)（；）指定一行結(jié)束可分成幾行進(jìn)行輸入，用回車符代替分號(hào)數(shù)據(jù)元素可以是表達(dá)式，系統(tǒng)將自動(dòng)計(jì)算結(jié)果>>b=[12;34]b=12346例：輸入矩陣A、B的值>>A=[1234;5678;9101112;13141516]>>B=[1,sqrt(25),9,13;2,6,10,7*2;3+sin(pi),7,11,15;4,abs(-8),12,16]7建立隨機(jī)矩陣?yán)航㈦S機(jī)矩陣：

(1)在區(qū)間[20,50]內(nèi)均勻分布的5階隨機(jī)矩陣。

(2)均值為0.6、方差為0.1的5階正態(tài)分布隨機(jī)矩陣。

命令如下：

x=20+(50-20)*rand(5)

y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)

此外，常用的函數(shù)還有reshape(A,m,n)，它在矩陣總元素保持不變的前提下，將矩陣A重新排成m×n的二維矩陣。帕斯卡矩陣pascal（）

帕斯卡矩陣

我們知道，二項(xiàng)式(x+y)^n展開后的系數(shù)隨n的增大組成一個(gè)三角形表，稱為楊輝三角形。由楊輝三角形表組成的矩陣稱為帕斯卡(Pascal)矩陣。函數(shù)pascal(n+1)生成一個(gè)n+1階帕斯卡矩陣。矩陣次對(duì)角線上的元素即為展開式的系數(shù)。楊輝三角10求(x+y)5的展開式例：

求(x+y)5的展開式。

在MATLAB命令窗口，輸入命令：

pascal(6)

矩陣次對(duì)角線上的元素1,5,10,10,5,1即為展開式的系數(shù)。手算求(x+y)6的展開式。

2.1.2矩陣下標(biāo)與子矩陣提取A(m,n) 提取第m行，第n列元素A(:,n) 提取第n列元素A(m,:) 提取第m行元素A(m1:m2,n1:n2) 提取第m1行到第m2行和第n1列到第n2 列的所有元素A(m:end,n) 提取從第m行到最末行和第n列的子塊A(:) 得到一個(gè)長(zhǎng)列矢量，該矢量的元素按矩 陣的列進(jìn)行排列12例：

修改矩陣A中元素的數(shù)值>>A=[1234;5678;9101112;13141516];>>A(1,1)=0;A(2,2)=A(1,2)+A(2,1);A(4,4)=cos(0);則矩陣變?yōu)椋篈=0234577891011121314151A(2,2)=8132.1.3矩陣的算術(shù)運(yùn)算1． 矩陣的加減運(yùn)算：＋(加)、－(減)2． 矩陣乘法：*(乘)3． 矩陣除法：/(右除)、\(左除)4． 矩陣的乘方：^(乘方)5． 矩陣轉(zhuǎn)置：'(轉(zhuǎn)置運(yùn)算符)142.1.4矩陣的關(guān)系運(yùn)算關(guān)系運(yùn)算符： <(小于)、<=(小于或等于)、>(大于) >=(大于或等于)、==(等于)、～=(不等于)。關(guān)系運(yùn)算符的運(yùn)算法則：關(guān)系運(yùn)算將對(duì)兩個(gè)矩陣的對(duì)應(yīng)元素進(jìn)行比較。15矩陣的關(guān)系運(yùn)算16找出大于4的元素的位置find（A>4）例：

建立矩陣A，然后找出大于4的元素的位置。

(1)建立矩陣A。

A=[4,-65,-54,0,6;56,0,67,-45,0]

(2)找出大于4的元素的位置。

find(A>4)(ans是什么？）[ij]=find(A>4)[ij]是什么？2.1.5矩陣的邏輯運(yùn)算必須是兩個(gè)同維矩陣或其中一個(gè)矩陣為標(biāo)量才能進(jìn)行MATLAB提供了一些邏輯函數(shù)邏輯函數(shù)功能all如果所有的元素都是非零值，返回1；否則，返回0。any如果有一個(gè)元素為非零值，那么返回1；否則，返回0isempty判斷是否空矩陣isequal判斷兩矩陣是否相同isreal判斷是否是實(shí)矩陣find返回一個(gè)由非零元素的下標(biāo)組成的向量182.1.6矩陣函數(shù)函數(shù)功能det計(jì)算矩陣所對(duì)應(yīng)的行列式的值diag抽取矩陣對(duì)角線元素eig求特征值和特征向量inv求矩陣的逆陣lu（略）三角分解Poly（略）求特征多項(xiàng)式Rank求矩陣的秩Svd（略）奇異值分解19LU分解（略）

在線性代數(shù)中，LU分解是矩陣分解的一種，可以將一個(gè)矩陣分解為一個(gè)下三角矩陣和一個(gè)上三角矩陣的乘積（有時(shí)是它們和一個(gè)置換矩陣的乘積）。LU分解主要應(yīng)用在數(shù)值分析中，用來解線性方程、求反矩陣或計(jì)算行列式。20解線性方程組212.2向量向量是矢量運(yùn)算的基礎(chǔ)行向量：一行的矩陣列向量：一列的矩陣222.2.1向量的生成1．逐個(gè)輸入>>a=[139101516] %采用空格和逗號(hào)分隔構(gòu)成行向量>>b=[1;3;9;10;15;16] %采用分號(hào)隔開構(gòu)成列向量2．利用冒號(hào)表達(dá)式“:”生成向量>>x=1:2:9 %初值=1，終值=9，步長(zhǎng)=2>>z=1:5 %初值=1，終值=5，默認(rèn)步長(zhǎng)=13．利用函數(shù)生成向量>>x=linspace(1,9,5) %初值=1，終值=9，元素?cái)?shù)目=54.轉(zhuǎn)置：x’z’a’b’23矩陣乘法24只有左邊矩陣的列數(shù)與右邊矩陣的行數(shù)相同兩個(gè)矩陣才可以相乘，即必須是m×n的矩陣與n×p的矩陣相乘，結(jié)果慰m×p的矩陣.具體算法:左邊矩陣的第一行元素與右邊矩陣第一列對(duì)應(yīng)元素依次相乘的積相加作為相乘后矩陣的第一行第一列元素，同樣做法第一行元素與右邊第二列對(duì)應(yīng)元素相乘的積相加后作為第一行第二列元素，左邊第一行元素與右邊每列元素乘完后剩余行做同樣的運(yùn)算。矩陣乘法定義25矩陣乘法定義26矩陣乘法圖解27矩陣乘法28Matlab中矩陣乘法矩陣乘法：

[12;34;56]*[12;34;56]'

A[]3x2 B[]2x3

C=A*B

51117

112539

17396129

矩陣除法:左除和右除

在MATLAB中，有兩種矩陣除法運(yùn)算：\和/，分別表示左除和右除。如果A矩陣是非奇異方陣，則A\B和B/A運(yùn)算可以實(shí)現(xiàn)。A\B等效于A的逆左乘B矩陣，也就是inv(A)*B，而B/A等效于A矩陣的逆右乘B矩陣，也就是B*inv(A)。

對(duì)于含有標(biāo)量的運(yùn)算，兩種除法運(yùn)算的結(jié)果相同，如3/4和4\3有相同的值，都等于0.75。又如，設(shè)a=[10.5,25]，則a/5=5\a=[2.10005.0000]。對(duì)于矩陣來說，左除和右除表示兩種不同的除數(shù)矩陣和被除數(shù)矩陣的關(guān)系。對(duì)于矩陣運(yùn)算，一般A\B≠B/A。det計(jì)算矩陣的行列式的值inv求矩陣的逆陣rank求矩陣的秩[VD]=eig(A)求矩陣A的特征值和特征向量poly求矩陣的特征多項(xiàng)式rref用初等變換將矩陣化成行階梯形null(A,’r’)給出齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系fliplr矩陣左右翻轉(zhuǎn)flipud矩陣上下翻轉(zhuǎn)trace求矩陣的跡diag取得矩陣對(duì)角線元素下面是幾個(gè)常用的矩陣函數(shù):在命令窗口運(yùn)行幫助命令：helpelmat,

可以列舉出大量的矩陣函數(shù).1． 求矩陣的行列式的值>>X=[1230;5608;901112;0141516];>>det(X)ans=-5464322． 求矩陣的秩（略）>>X=[1,2,3;2,3-5;471];>>rank(X)ans=2333． 求逆矩陣>>X=[1230;5608;901112;0141516];>>Y=inv(X)Y=0.22990.09080.0351-0.07170.19400.0798-0.06590.00950.1274-0.08350.03220.0176-0.28920.00840.02750.0377>>Y*X %矩陣與其逆陣相乘結(jié)果是單位矩陣ans=1.00000 0 00 1.0000 0 00 0 1.0000 00 0 0 1.0000>>X*Y %矩陣的逆陣是唯一的ans=1.00000 0 00 1.0000 0 00 0 1.0000 00 0 0 1.0000344． 求特征值

和特征向量>>X=[-211;020;-413];>>D=eig(X)%D就是特征值（略）。。。>>[VD]=eig(X)V=-0.7071-0.2425 0.301500 0.9045-0.7071-0.9701 0.3015D=-100020002355． 矩陣分解（略）>>A=[2-13;121;243];>>[L,U]=lu(A) %三角分解L=1.0000000.50000.50001.00001.00001.00000U=2.0000-1.00003.000005.0000000-0.500036左除法解線形方程組37A=[21-1;3-22;5-3-1]b=[5;5;16]線形方程組可以表述為： A\A*x=Ab用A左除等式兩邊可求解x=>x=A\b x=A-1*b推導(dǎo)：線形方程組的矩陣形式

Ax=b38逆矩陣法解線性方程組

矩陣的逆:inv(A)==A^-1矩陣的逆與偽逆

1．矩陣的逆

對(duì)于一個(gè)方陣A，如果存在一個(gè)與其同階的方陣B，使得：

A·B=B·A=I(I為單位矩陣)

則稱B為A的逆矩陣，當(dāng)然，A也是B的逆矩陣。

求一個(gè)矩陣的逆是一件非常煩瑣的工作，容易出錯(cuò)，但在MATLAB中，求一個(gè)矩陣的逆非常容易。求方陣A的逆矩陣可調(diào)用函數(shù)inv(A)或者寫作A^-1。

例2-11用求逆矩陣的方法解線性方程組。 A*x=b

A-1*Ax=A-1*b

其解為：

x=A-1*bA=[21-1;3-22;5-31]b=[5;5;16]x=inv(A)*b逆矩陣法解線性方程組40例：解線性方程組例：解3元一次方程組，求(x1,x2,x3):

3x1+2x2–x3=10 -x1+3x2+2x3=5 x1–x2–x3=-1方程組可寫成:Ax=b寫成

矩陣:例：解線性方程組(續(xù)…)逆矩陣法解線性方程組:Ax=bA-1Ax=A-1bx=A-1bMATLAB:>>A=[32-1;-132;1-1-1];>>b=[10;5;-1];>>x=inv(A)*bA^-1*bx=-2.00005.0000-6.0000Answer:x1=-2,x2=5,x3=-6矩陣左除法解線形方程組:ThesolutiontotheequationA\Ax=A\bx=A\bcanbecomputedusingleftdivision.Answer:x1=-2,x2=5,x3=-6比較:leftdivision:A\bbA rightdivision:x/yxyMATLAB:>>A=[32-1;-132;1-1-1];>>b=[10;5;-1];>>x=A\bx=-2.00005.0000-6.0000

解線性方程組求線性方程組Ax=B的解，其中：解法1利用矩陣除法：X=A\B解法2利用求逆矩陣函數(shù)inv：X1=inv(A)*B比較：解法1比解法2更簡(jiǎn)便，解法1的算法優(yōu)于解法2，解法1可用于一般矩陣，而解法2只能用于非奇異的方陣因此，只需運(yùn)用解法1.例

求線性方程組的唯一解3.3.2求線性方程組的解求線性方程組Ax=B的通解。例3–3設(shè)解線性方程組

x

2

x

3

x

2

101 2 3

x

1

x

3

x

2

1

?12 3

x

0

x

3

x

10123

6

e2

x1

3x2

2

x3ex1

x2

3x3

e

3x2

10

x31 2 3x1

x2

3x3

0

3x2

10x3

ln(6)

10

2x

3x

2x

ln(10)

1

6

將一般方程組轉(zhuǎn)化為線性方程組：

如：取log，將乘法轉(zhuǎn)化為加法，得到線性方程組。e

1 22

1

2x1

3x2

1

(2x1

3x2

)

12

2x1

3x2

1

x1

x2

0x

x

0

1x

x

應(yīng)用舉例46應(yīng)用舉例472.2向量向量是矢量運(yùn)算的基礎(chǔ)行向量：一行的矩陣列向量：一列的矩陣482.2.1向量的生成1．逐個(gè)輸入>>a=[139101516] %采用空格和逗號(hào)分隔構(gòu)成行向量>>b=[1;3;9;10;15;16] %采用分號(hào)隔開構(gòu)成列向量2．利用冒號(hào)表達(dá)式“:”生成向量>>x=1:2:9 %初值=1，終值=9，步長(zhǎng)=2>>z=1:5 %初值=1，終值=5，默認(rèn)步長(zhǎng)=13．利用函數(shù)生成向量>>x=linspace(1,9,5) %初值=1，終值=9，元素?cái)?shù)目=5492.2.2向量的運(yùn)算（略）1．點(diǎn)積：dot函數(shù)2．叉積：cross函數(shù)例

>>a=[123];>>b=[456];>>c=dot(a,b)>>d=cross(a,b)c=32d=-36-3502.3數(shù)組數(shù)組運(yùn)算方式是一種元素對(duì)元素的運(yùn)算（不按照線性代數(shù)的規(guī)則）；除了加、減法的與矩陣相同以外，乘、除、冪的數(shù)組運(yùn)算符都是通過在標(biāo)準(zhǔn)的運(yùn)算符前面加一個(gè)圓點(diǎn)來生成。51數(shù)組運(yùn)算>>x=[123;456;789];>>y=[987;654;321];>>x+y %數(shù)組和矩陣的加法規(guī)則相同ans=101010101010101010>>x.*y %數(shù)組乘法：對(duì)應(yīng)元素相乘ans=9162124252421169>>x*y %矩陣乘法：按照線性代數(shù)理論進(jìn)行ans=3024188469541381149052多維數(shù)組維間處理的函數(shù)（略）1．reshape2．size3．ndims4．cat5．permute6．ipermute7．shiftdim8．squeeze532.4多項(xiàng)式多項(xiàng)式是形如 P(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an的式子。在MATLAB中，多項(xiàng)式用行向量P表示： P=[a0a1…an-1an]542.4.1多項(xiàng)式的生成與表達(dá)（略）例：已知向量A=[1–34–8000]，用此向量構(gòu)造一多項(xiàng)式并顯示結(jié)果。 (x-1)(x+34)(x+80)(x-0)(x-0)>>PA=poly(A)>>PAX=poly2str(PA,‘X’)；%notinbasicpackageX^5+113X^4+2606X^3-2720X^2552.4.2多項(xiàng)式的運(yùn)算1.多項(xiàng)式的算術(shù)運(yùn)算參加加減運(yùn)算的多項(xiàng)式應(yīng)該具有相同的階次。多項(xiàng)式乘法采用conv函數(shù)，除法由deconv函數(shù)完成。2.求根求多項(xiàng)式的根采用roots函數(shù)。3.求值函數(shù)polyval可以將某個(gè)特定數(shù)值代入多項(xiàng)式函數(shù)polyvalm可以求出當(dāng)多項(xiàng)式中的未知數(shù)為方陣時(shí)的值。4.求導(dǎo)使用polyder函數(shù)對(duì)多項(xiàng)式求導(dǎo)。56矩陣的特征值與特征向量:eig(A)矩陣的特征值與特征向量

在MATLAB中，計(jì)算矩陣A的特征值和特征向量的函數(shù)是eig(A)，常用的調(diào)用格式有3種：

(1)E=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成向量E。

(2)[V,D]=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成對(duì)角陣D，并求A的特征向量構(gòu)成V的列向量。（略）（略）(3)[V,D]=eig(A,‘nobalance’)：與第2種格式類似，但第2種格式中先對(duì)A作相似變換后求矩陣A的特征值和特征向量，而格式3直接求矩陣A的特征值和特