貴州省六盤水市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期5月期中質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題(含答案)

六盤水市2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測高二年級數(shù)學(xué)試題卷（考試時(shí)長：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1.答題前，務(wù)必在答題卷上填寫姓名和考號等相關(guān)信息并貼好條形碼。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卷上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卷上，寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將答題卷交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某籃球興趣小組有7名學(xué)生參加投籃比賽，每人投10次，投中的次數(shù)分別為8，5，7，5，8，6，8.則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（）A.5，7 B.6，7 C.8，5 D.8，72.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.3.設(shè)，分別為橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，過且不與坐標(biāo)軸重合的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則的周長為（）A.4 B.8 C.16 D.324.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，公差，，則（）A.8 B.7 C.6 D.55.已知，，，則（）A.6 B.7 C. D.6.已知函數(shù)，是最小正周期為的奇函數(shù)，若，則（）A. B. C. D.7.現(xiàn)有參加中國——東盟妥樂峰會志愿者的報(bào)名表，分裝2袋，第一袋有6名男生和4名女生的報(bào)名表，第二袋有8名男生和2名女生的報(bào)名表.隨機(jī)選擇一袋，然后從中隨機(jī)抽取2份，則恰好抽到男生和女生的報(bào)名表各一份的概率為（）A. B. C. D.8.已知實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知是虛數(shù)單位，是復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A. B.的虛部是C. D.對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限10.同時(shí)滿足：①為偶函數(shù)，②，③有最大值，這三個(gè)條件的選項(xiàng)有（）A. B. C. D.11.已知函數(shù)圖象上的點(diǎn)與方程的解一一對應(yīng)，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A. B.0是的極值點(diǎn)C.在上單調(diào)遞增 D.的最小值為0三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，.則______.13.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著.該書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周六尺，高四尺.問：積及委米幾何？”其意思：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為6尺，米堆的高為4尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.6立方尺，圓周率約為3，估算堆放的米約有______斛.14.已知函數(shù)在上僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）從4名男生和2名女生中任選3人參加中國涼都半程馬拉松比賽，設(shè)隨機(jī)變量表示所選3人中女生的人數(shù).（1）求的分布列；（2）求的數(shù)學(xué)期望；（3）求“所選3人中女生人數(shù)”的概率.16.（15分）如圖，長方體中，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.（1）證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.17.（15分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2），，求的取值范圍.18.（17分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與拋物線：相切.（1）求的值；（2）已知點(diǎn)，在拋物線上，A，B分別位于第一象限和第四象限，且，過A，B分別作直線的垂線，垂足分別為，，當(dāng)四邊形面積取最小值時(shí)，求直線的方程.19.（17分）若數(shù)列和的項(xiàng)數(shù)均為，則將數(shù)列和的距離定義為.（1）求數(shù)列1，3，5，6和數(shù)列2，3，10，7的距離；（2）記為滿足遞推關(guān)系的所有數(shù)列的集合，數(shù)列和為中的兩個(gè)元素，且項(xiàng)數(shù)均為.若，，數(shù)列和的距離，求的最大值；（3）記是所有7項(xiàng)數(shù)列（其中，或1）的集合，，且中的任何兩個(gè)元素的距離大于或等于3.求證：中的元素個(gè)數(shù)小于或等于16.六盤水市2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期半期質(zhì)量監(jiān)測高二數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.12345678DACDBBCC8.分析：，就是距離公式的結(jié)構(gòu)，將，分類討論后畫出函數(shù)圖像，根據(jù)函數(shù)可知取值范圍介于（可以取到）和二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.91011BCDADABC11.分析：令，易得，是單調(diào)遞增函數(shù)且是奇函數(shù).，利用導(dǎo)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)可知函數(shù)單調(diào)性及有極值點(diǎn)為0，最小值為.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12. 13.1014.14.分析：設(shè)函數(shù)，的圖象的公切點(diǎn)，在上僅有兩個(gè)零點(diǎn)即在上僅有兩個(gè)根，即與的圖象僅有兩個(gè)交點(diǎn).即點(diǎn)同時(shí)在函數(shù)，圖象上，在點(diǎn)處的切線斜率相等，就有，，則，有，函數(shù)的圖象向右平移便可知，僅有兩個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍介于當(dāng)或者1時(shí)，即四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）解：（1）可能取的值為0，1，2，.所以，的分布列為012（參考新教材不列表不扣分，但是離散型隨機(jī)變量的每一個(gè)取值和對應(yīng)的概率要寫出必要的步驟）（2）由（1），的數(shù)學(xué)期望為（人）（無單位不扣分）（3）由（1），“所選3人中女生人數(shù)”的概率為16.（15分）證明：由已知的中點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，得點(diǎn)E是CM的中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)（2）解法一：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系.依題設(shè)，，，，，.，，設(shè)向量是平面的法向量，則，.故，.令，則，，由已知是平面的一個(gè)法向量.記平面與平面的夾角為，.解法二：由已知，，，記平面與平面的夾角為利用射影面積法可得17.（15分）解：（1）當(dāng)時(shí)...當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.（2），令，.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.即的取值范圍是18.（17分）解：（1）因?yàn)橹本€與拋物線C：相切，聯(lián)立可得，所以，解得（舍去）或.所以（2）設(shè)直線的方程：，，，聯(lián)立方程，得則，因?yàn)?，即，整理得即，得，，，符合題意，則四邊形的面積當(dāng)時(shí)，所以直線方程：.19.（17分）【分析】（1）根據(jù)題意，將兩數(shù)列對應(yīng)代入計(jì)算，問題即可得解；（2）由題意，根據(jù)遞推關(guān)系，不難發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以4為周期的數(shù)列，由此可確定數(shù)列，亦周期數(shù)列，由其首項(xiàng)即可知對應(yīng)數(shù)列各項(xiàng)，依據(jù)定義當(dāng)項(xiàng)數(shù)越大時(shí)，其距離也呈周期性且越大，從而問題可得解；（3）根據(jù)題意，這里可以考慮采用反證法來證明，首先假設(shè)問題不成立，再通過特殊賦值法，依據(jù)定義進(jìn)行運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)與條件相矛盾，從而問題可得證.【詳解】（1）解：由題意可知，數(shù)列1，3，5，6和數(shù)列2，3，10，7的距離為（2）解：設(shè)，其中且由，得，，，所以，，….因此集合A中的所有數(shù)列都具有周期性，且周期為4所以數(shù)列中，，，，，，數(shù)列中，，，，因?yàn)?，所以?xiàng)數(shù)越大，數(shù)列和的距離越大因?yàn)?，而，又因?yàn)橐虼?，?dāng)，.故的最大值為3469（3）假設(shè)中的元素個(gè)數(shù)大于或等于17.因?yàn)閿?shù)列中，或1所以僅由數(shù)列前三項(xiàng)組成的數(shù)組有且只有8個(gè)：，，，，，，，.那么這17個(gè)元素之中必有3個(gè)具有相同的，，.設(shè)這3個(gè)元素分別為：，，，，，，；：，，，，，，；：，，，，，，，其中，，因?yàn)檫@3個(gè)元素中每兩個(gè)元素的距離大于