新高考藝術(shù)生40天突破數(shù)學(xué)90分講義第18講平面向量(原卷版+解析)

第18講平面向量【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】一、向量的基本概念1.向量概念既有大小又有方向的量叫向量，一般用，，來(lái)表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫字母表示，如（其中A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)）.注：談到向量必須說(shuō)明其方向與大小.向量的大小，有就是向量的長(zhǎng)度（或稱模），記作或.2.零向量、單位向量、相等向量、平行（共線）向量零向量：長(zhǎng)度為零的向量，記為，其方向是不確定的.單位向量：模為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.當(dāng)時(shí)，向量是與向量共線（平行）的單位向量.相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.相等向量經(jīng)過(guò)平移后總可以重合，記為.平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量，因?yàn)槿魏纹叫邢蛄拷?jīng)過(guò)平移后，總可以移到同一條直線上.規(guī)定零向量與任何向量平行（共線），即.注：①數(shù)學(xué)中研究的向量都是自由向量，可以任意平移；②向量中的平行就是共線，可以重合，而幾何中平行不可以重合；③，，不一定有，因?yàn)榭赡転?二、向量的線性運(yùn)算1.向量的加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法，已知向量，，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作，，則向量叫做向量與的和（或和向量），即.向量加法的幾何意義：向量的加法符合三角形法則和平行四邊形法則.如圖所示，向量=.2．向量的減法（1）相反向量.與長(zhǎng)度相等、方向相反的向量叫做的相反向量，記作.（2）向量的減法.向量與的相反向量的和叫做向量與的差或差向量，即=.向量減法的幾何意義：向量的減法符合三角形法則.如圖所示，，則向量.3.向量的數(shù)乘（1）實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作：，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：①②當(dāng)λ>0時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，方向不確定；時(shí)，方向不確定.（2）向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律.設(shè)、為任意向量，、為任意實(shí)數(shù)，則；；.三、平面向量基本定理和性質(zhì)1.共線向量基本定理如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)，使.2.平面向量基本定理如果和是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)的任一向量，都存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為.叫做向量關(guān)于基底的分解式.3.三點(diǎn)共線定理平面內(nèi)三點(diǎn)A，B，C共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)，使，其中，O為平面內(nèi)一點(diǎn).四、平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算（1）平面向量的坐標(biāo)表示.在平面直角坐標(biāo)中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使，我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)（）叫做向量的坐標(biāo)，記作=（）.(2)向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的，即有向量（）向量點(diǎn)（）.（3）設(shè)，，則，，即兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.若=（），為實(shí)數(shù)，則，即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).（4）設(shè)A，B，則=， 即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo).五、向量的平行設(shè)，.的充要條件是.除了坐標(biāo)表示外，下面兩種表達(dá)也經(jīng)常使用：當(dāng)時(shí)，可表示為；當(dāng)時(shí)，可表示為，即對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例.六、平面向量的數(shù)量積(1)已知兩個(gè)非零向量和，作＝，＝，叫作向量與的夾角．記作，并規(guī)定.如果與的夾角是，就稱與垂直，記為.(2)叫作與的數(shù)量積，記作，即.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.兩個(gè)非零向量與垂直的充要條件是=0.兩個(gè)非零向量與平行的充要條件是.七、平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積等于的長(zhǎng)度||與在方向上的射影||cosθ的乘積．即＝||||cosθ.(在方向上的射影||cosθ;在方向上的射影||cosθ).八、平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律（1）（交換律）；（2）為實(shí)數(shù)）；（3）（分配律）。數(shù)量積運(yùn)算法則滿足交換律、分配律，但不滿足結(jié)合律，不可約分.九、平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示設(shè)向量由此得到（1）若；（2）設(shè)兩點(diǎn)間距離（3）設(shè)的夾角，則【典型例題】例1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，的夾角為60°，，，則（）A．2 B．C． D．12例2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）向量不共線，點(diǎn)P、Q、S共線，已知，則k的值為（）A． B． C． D．例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在直角梯形ABCD中，，AD⊥DC，AD=DC=2AB，E為AD的中點(diǎn)，若，則的值為（）A． B． C．2 D．例4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量＝（1，），向量在方向上的投影為﹣6，若（λ+）⊥，則實(shí)數(shù)λ的值為（）A． B．﹣ C． D．3例5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)G為△ABC的重心，過(guò)G作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點(diǎn)，且＝x，＝y(tǒng)，求的值為________．例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，已知點(diǎn)D滿足，若，則____________．例7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為內(nèi)一點(diǎn)，，則，的面積之比為______．【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）給出如下命題：①向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等；②向量與平行，則與的方向相同或相反；③兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；④兩個(gè)公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；⑤向量與向量是共線向量，則點(diǎn)，，，必在同一條直線上．其中正確的命題個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則、的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反B．若向量、滿足，且與同向，則C．若，則與可能是共線向量D．若非零向量與平行，則、、、四點(diǎn)共線3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知向量滿足，，，則（）A．或 B． C． D．或4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，BE與AC的交點(diǎn)為F，設(shè)，，則向量等于（）A．＋ B．--C．-＋ D．-5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列關(guān)于向量的命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則，6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列命題中，正確的是（）A．若，，則B．對(duì)于任意向量，，必有C．若為實(shí)數(shù)），則D．向量在向量上的投影向量為7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)平面向量a，b不共線，若，，，則（）A．A，B，D三點(diǎn)共線 B．A，B，C三點(diǎn)共線C．B，C，D三點(diǎn)共線 D．A，C，D三點(diǎn)共線8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，為所在平面內(nèi)兩點(diǎn)，，，則（）A． B．C． D．9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面上不共線的四點(diǎn)，若，則等于（）A． B． C．3 D．210．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）.如圖，在中，，是線段上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B．C．2 D．11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如下圖，是線段的中點(diǎn)，設(shè)向量，，那么能夠表示為（）A． B．C． D．12．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）在中，，，則（）A． B．C． D．13．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）在平行四邊形中，，設(shè)，，則向量（）A． B． C． D．14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，是不共線的向量，，，，若，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B．10 C． D．515．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，，，則（）A． B． C． D．16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在中，D為上一點(diǎn)，且，設(shè)，則用和表示為（）A． B． C． D．17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，若，則銳角θ＝（）A． B．C． D．18．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知向量，且，則一定共線的三點(diǎn)是（）A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知兩個(gè)非零向量，互相垂直，若向量，共線，則實(shí)數(shù)λ的值為（）A．5 B．3C． D．220．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為()A． B． C．1 D．321．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，D是上的點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)x的值為（）A． B． C． D．22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面向量，，若，則的值為（）A．2 B．C． D．23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，，，則（）A． B．C．2 D．-224．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）正方形邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，若，則（）A．3 B．5 C． D．25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知向量，，且，則（）A． B． C． D．26．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））設(shè)x∈R，向量＝（x，1），＝（1，﹣2），且∥，則|+|＝（）A． B． C． D．527．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，，且A，B，C三點(diǎn)共線，則k的值是（）A． B． C． D．28．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，，則在方向上的投影為（）A． B． C． D．29．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量為單位向量，，且向量與向量的夾角為，則的值為（）A．-2 B．- C． D．430．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知非零向量，的夾角為，且，，則（）A． B．1 C． D．231．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知非零向量?，滿足，且與的夾角為，則等于（）A． B． C．8 D．32．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若兩個(gè)非零向量，滿足，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．33．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量滿足，則與的夾角為（）A． B． C． D．34．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量＝（1，），向量在方向上的投影為﹣6，若（λ+）⊥，則實(shí)數(shù)λ的值為（）A． B．﹣ C． D．3二、多選題35．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，滿足，，，設(shè)，的夾角為，則（）A． B． C． D．36．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）四邊形中，，則下列表示正確的是（）A． B．C． D．37．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列關(guān)于平面向量的說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得B．已知向量，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是C．若且，則D．若點(diǎn)為的垂心，則，，38．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，且與的夾角為，則（）A． B．C． D．39．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，，則（）A． B．向量在向量上的投影向量為C．與的夾角余弦值為 D．40．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)向量，滿足，且，則以下結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．向量，夾角為41．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)向量，滿足，且，則（）A． B． C． D．與的夾角為60°，三、填空題42．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為______．43．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知單位向量與向量共線，則向量的坐標(biāo)是___________．44．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中，為的中點(diǎn)，則____________________．45．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在菱形中，，，，則___________.46．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，已知，，若，則的坐標(biāo)為_______.47．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是△的邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，則向量＝________(用表示)．48．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，，E為邊BC的中點(diǎn)，若，則_________．49．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)向量，是與方向相反的單位向量，則的坐標(biāo)為__________.50．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在菱形中，，．已知，，，則______．51．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）如圖，在直角梯形中，，且，則___________.52．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）設(shè)向量，若與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍________53．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），若，則的最小值是________.54．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）如圖所示，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則等于________________55．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知向量的夾角為60°，，則=______.56．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為___________.57．（2022·上海·高三專題練習(xí)）非零向量，滿足，且，與夾角為，則___________.58．（2022·河北·高三專題練習(xí)）已知，則與的夾角的余弦值為__________.59．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，點(diǎn)為的外心，，則______.60．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，若向量的夾角為，則的值為_________.第18講平面向量【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】一、向量的基本概念1.向量概念既有大小又有方向的量叫向量，一般用，，來(lái)表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫字母表示，如（其中A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)）.注：談到向量必須說(shuō)明其方向與大小.向量的大小，有就是向量的長(zhǎng)度（或稱模），記作或.2.零向量、單位向量、相等向量、平行（共線）向量零向量：長(zhǎng)度為零的向量，記為，其方向是不確定的.單位向量：模為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.當(dāng)時(shí)，向量是與向量共線（平行）的單位向量.相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.相等向量經(jīng)過(guò)平移后總可以重合，記為.平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量，因?yàn)槿魏纹叫邢蛄拷?jīng)過(guò)平移后，總可以移到同一條直線上.規(guī)定零向量與任何向量平行（共線），即.注：①數(shù)學(xué)中研究的向量都是自由向量，可以任意平移；②向量中的平行就是共線，可以重合，而幾何中平行不可以重合；③，，不一定有，因?yàn)榭赡転?二、向量的線性運(yùn)算1.向量的加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法，已知向量，，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作，，則向量叫做向量與的和（或和向量），即.向量加法的幾何意義：向量的加法符合三角形法則和平行四邊形法則.如圖所示，向量=.2．向量的減法（1）相反向量.與長(zhǎng)度相等、方向相反的向量叫做的相反向量，記作.（2）向量的減法.向量與的相反向量的和叫做向量與的差或差向量，即=.向量減法的幾何意義：向量的減法符合三角形法則.如圖所示，，則向量.3.向量的數(shù)乘（1）實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作：，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：①②當(dāng)λ>0時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，方向不確定；時(shí)，方向不確定.（2）向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律.設(shè)、為任意向量，、為任意實(shí)數(shù)，則；；.三、平面向量基本定理和性質(zhì)1.共線向量基本定理如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)，使.2.平面向量基本定理如果和是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)的任一向量，都存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為.叫做向量關(guān)于基底的分解式.3.三點(diǎn)共線定理平面內(nèi)三點(diǎn)A，B，C共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)，使，其中，O為平面內(nèi)一點(diǎn).四、平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算（1）平面向量的坐標(biāo)表示.在平面直角坐標(biāo)中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使，我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)（）叫做向量的坐標(biāo)，記作=（）.(2)向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的，即有向量（）向量點(diǎn)（）.（3）設(shè)，，則，，即兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.若=（），為實(shí)數(shù)，則，即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).（4）設(shè)A，B，則=， 即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo).五、向量的平行設(shè)，.的充要條件是.除了坐標(biāo)表示外，下面兩種表達(dá)也經(jīng)常使用：當(dāng)時(shí)，可表示為；當(dāng)時(shí)，可表示為，即對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例.六、平面向量的數(shù)量積(1)已知兩個(gè)非零向量和，作＝，＝，叫作向量與的夾角．記作，并規(guī)定.如果與的夾角是，就稱與垂直，記為.(2)叫作與的數(shù)量積，記作，即.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.兩個(gè)非零向量與垂直的充要條件是=0.兩個(gè)非零向量與平行的充要條件是.七、平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積等于的長(zhǎng)度||與在方向上的射影||cosθ的乘積．即＝||||cosθ.(在方向上的射影||cosθ;在方向上的射影||cosθ).八、平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律（1）（交換律）；（2）為實(shí)數(shù)）；（3）（分配律）。數(shù)量積運(yùn)算法則滿足交換律、分配律，但不滿足結(jié)合律，不可約分.九、平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示設(shè)向量由此得到（1）若；（2）設(shè)兩點(diǎn)間距離（3）設(shè)的夾角，則【典型例題】例1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，的夾角為60°，，，則（）A．2 B．C． D．12【答案】C【詳解】，所以.故選：C.例2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）向量不共線，點(diǎn)P、Q、S共線，已知，則k的值為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，又因?yàn)辄c(diǎn)P、Q、S共線，所以，所有，因此，故，解得，故選：D.例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在直角梯形ABCD中，，AD⊥DC，AD=DC=2AB，E為AD的中點(diǎn)，若，則的值為（）A． B． C．2 D．【答案】B【詳解】依題意：，，，所以，解得.所以.故選：B例4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量＝（1，），向量在方向上的投影為﹣6，若（λ+）⊥，則實(shí)數(shù)λ的值為（）A． B．﹣ C． D．3【答案】A【詳解】解：設(shè)＝（x，y），∵向量＝（1，），向量在方向上的投影為﹣6，（λ+）⊥，，∴，解得λ＝．故選：A．例5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)G為△ABC的重心，過(guò)G作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點(diǎn)，且＝x，＝y(tǒng)，求的值為________．【答案】3【詳解】根據(jù)條件：，如圖設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則因?yàn)镚是的重心，，，又M，G，N三點(diǎn)共線，，即.故答案為：3.例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，已知點(diǎn)D滿足，若，則____________．【答案】【詳解】∵，∴．故答案為：例7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為內(nèi)一點(diǎn)，，則，的面積之比為______．【答案】【詳解】如圖所示，由，得，取為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則，所以．故答案為：.【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）給出如下命題：①向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等；②向量與平行，則與的方向相同或相反；③兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；④兩個(gè)公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；⑤向量與向量是共線向量，則點(diǎn)，，，必在同一條直線上．其中正確的命題個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)向量的基本概念，對(duì)每一個(gè)命題進(jìn)行分析與判斷，找出正確的命題即可．【詳解】對(duì)于①，向量與向量，長(zhǎng)度相等，方向相反，故①正確；對(duì)于②，向量與平行時(shí)，或?yàn)榱阆蛄繒r(shí)，不滿足條件，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)也相同，故③正確；對(duì)于④，兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，不一定是共線向量，故④錯(cuò)誤；對(duì)于⑤，向量與是共線向量，點(diǎn)，，，不一定在同一條直線上，故⑤錯(cuò)誤．綜上，正確的命題是①③．故選：B．2．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則、的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反B．若向量、滿足，且與同向，則C．若，則與可能是共線向量D．若非零向量與平行，則、、、四點(diǎn)共線【答案】C【分析】由向量的模和向量的方向，可判斷A；由向量為既有大小又有方向的量，不好比較大小，可判斷B；由共線向量的特點(diǎn)可判斷C，D．【詳解】對(duì)于A：若||＝||，可得、的長(zhǎng)度相等但方向不一定相同或相反，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若向量、滿足||＞||，且與同向，由于兩個(gè)向量不能比較大小，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，則與可能是共線向量，比如它們?yōu)橄喾聪蛄?，故C正確；對(duì)于D：若非零向量與平行，則A、B、C、D四點(diǎn)共線或平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．故選：C．3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知向量滿足，，，則（）A．或 B． C． D．或【答案】D【分析】由共線向量定義可知，分別在和時(shí)求得結(jié)果即可.【詳解】，又，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；或.故選：D.4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，BE與AC的交點(diǎn)為F，設(shè)，，則向量等于（）A．＋ B．--C．-＋ D．-【答案】C【分析】根據(jù)給定條件借助平行線的性質(zhì)求出，再利用向量的加法計(jì)算即得.【詳解】平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，BE與AC的交點(diǎn)為F，則有，如圖，所以＝＝(＋)＝＝-＋.故選：C5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列關(guān)于向量的命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【分析】利用平面向量的知識(shí)對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷得解．【詳解】選項(xiàng)A，向量的長(zhǎng)度相等，方向不一定相同，從而得不出，即該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，長(zhǎng)度相等，向量可能不平行，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，顯然可得出，該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，得不出，比如不共線，且，該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列命題中，正確的是（）A．若，，則B．對(duì)于任意向量，，必有C．若為實(shí)數(shù)），則D．向量在向量上的投影向量為【答案】B【分析】由時(shí)，得到與未必共線，可判定A錯(cuò)誤；結(jié)合向量的加法的三角形法則和共線向量，可得判定正確；由時(shí)，可判定錯(cuò)誤；根據(jù)向量在向量上的投影向量的計(jì)算方法，可得判定D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，因?yàn)榕c任意向量共線，所以與未必共線，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，結(jié)合向量的加法的三角形法則可知，，且當(dāng)與同向或至少有一零向量時(shí)取等號(hào)，所以正確；對(duì)于C中，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)可以取任意實(shí)數(shù)，所以錯(cuò)誤；對(duì)于中，向量在向量上的投影向量為，所以D錯(cuò)誤.故選：B.7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)平面向量a，b不共線，若，，，則（）A．A，B，D三點(diǎn)共線 B．A，B，C三點(diǎn)共線C．B，C，D三點(diǎn)共線 D．A，C，D三點(diǎn)共線【答案】A【分析】計(jì)算出后可判斷出A，B，D三點(diǎn)共線，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】，故A，B，D三點(diǎn)共線．又為不共線向量，故不共線，從而也不共線，也不共線，故選：A.8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，為所在平面內(nèi)兩點(diǎn)，，，則（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)題意，畫出圖形，然后利用向量的基本定理進(jìn)行求解.【詳解】如圖所示，因?yàn)?，所以，所以故選：D9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面上不共線的四點(diǎn)，若，則等于（）A． B． C．3 D．2【答案】C【分析】由已知可得，即，從而可得答案.【詳解】解：由，得，即，所以，即，故選：C.10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）.如圖，在中，，是線段上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B．C．2 D．【答案】A【分析】設(shè)，由向量的運(yùn)算法則得到，又由，列出方程組，即可求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，則，又因?yàn)?，所以，解?故選：A.11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如下圖，是線段的中點(diǎn)，設(shè)向量，，那么能夠表示為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由向量的線性運(yùn)算，可得解【詳解】由題意，．故選：B12．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）在中，，，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用向量加法和減法計(jì)算即可求解.【詳解】，故選：B.13．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）在平行四邊形中，，設(shè)，，則向量（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的加、減法法則計(jì)算即可.【詳解】解：.故選：A.14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，是不共線的向量，，，，若，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B．10 C． D．5【答案】A【分析】由向量的線性運(yùn)算，求得，根據(jù)三點(diǎn)共線，得到，列出方程組，即可求解.【詳解】由，，可得，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，所以存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，即，所以，解得，.故選：A.15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】將向量轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而根據(jù)平面向量的數(shù)量積求得答案.【詳解】由題意，得，，故.故選：D.16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在中，D為上一點(diǎn)，且，設(shè)，則用和表示為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用平面向量的線性運(yùn)算求解.【詳解】由題得.故選：A17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，若，則銳角θ＝（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量平行的條件求出，結(jié)合為銳角即可求出角的值.【詳解】因?yàn)椋?，即，因?yàn)闉殇J角，所以，即.故選：B.18．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知向量，且，則一定共線的三點(diǎn)是（）A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D【答案】A【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線的知識(shí)確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意，，所以共線，即三點(diǎn)共線，A正確.，則不共線、不共線，BD錯(cuò)誤.，則不共線，C錯(cuò)誤.故選：A19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知兩個(gè)非零向量，互相垂直，若向量，共線，則實(shí)數(shù)λ的值為（）A．5 B．3C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)條件判斷，然后由共線，可以知道當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使，進(jìn)而求出答案.【詳解】因?yàn)?，是非零向量，且互相垂直，所以，因?yàn)楣簿€，所以當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使，即，所以，又因?yàn)?，不共線，所以.故選：C.20．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為()A． B． C．1 D．3【答案】A【分析】利用向量的線性運(yùn)算將條件化為，再根據(jù)、、三點(diǎn)共線，得出，解得.【詳解】由題意可知，，所以，又，即.因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，所以，解得.故選：A．21．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，D是上的點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)x的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由得到，然后帶入，進(jìn)而得到，然后根據(jù)B，D，E三點(diǎn)共線，即可求出結(jié)果.【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵B，D，E三點(diǎn)共線，∴，∴．故選：D．22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面向量，，若，則的值為（）A．2 B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示與向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可【詳解】因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)椋?，即，解得，故選：B23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，，，則（）A． B．C．2 D．-2【答案】A【分析】首先求出，的坐標(biāo)，再根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可；【詳解】解：因?yàn)?，，所以，，因?yàn)?，所以，解得故選：A24．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）正方形邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，若，則（）A．3 B．5 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，化簡(jiǎn)可得，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)，利用坐標(biāo)計(jì)算可得點(diǎn)坐標(biāo)，最后計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題意，可知，即，即，所以，即，建立如圖平面直角坐標(biāo)系設(shè)，，所以由，所以則，所以故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積的應(yīng)用，本題關(guān)鍵在于得到，通過(guò)建系便于計(jì)算，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬中檔題.25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知向量，，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題首先可根據(jù)求出，然后根據(jù)求出，最后根據(jù)即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，即，，則，故選：D.26．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））設(shè)x∈R，向量＝（x，1），＝（1，﹣2），且∥，則|+|＝（）A． B． C． D．5【答案】A【分析】由向量共線求得未知數(shù)x，根據(jù)模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示求得即可.【詳解】解：根據(jù)題意，向量＝（x，1），＝（1，﹣2），若∥，則﹣2x＝1，解可得x＝﹣，則＝（﹣，1），故+＝（，﹣1），則|+|＝＝，故選：A．27．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，，且A，B，C三點(diǎn)共線，則k的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求向量和，再將三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化成向量共線求參數(shù)的取值.【詳解】，.因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以共線，所以，解得.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三點(diǎn)共線求參數(shù)的取值范圍，重點(diǎn)考查向量共線的公式，屬于基礎(chǔ)題型.28．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，，則在方向上的投影為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求出的坐標(biāo)，進(jìn)而可得，再由投影的計(jì)算公式即可求解.【詳解】由，，得，由，得，解得，所以，故在方向上的投影為．故選：B．29．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量為單位向量，，且向量與向量的夾角為，則的值為（）A．-2 B．- C． D．4【答案】C【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)橄蛄繛閱挝幌蛄?，，且向量與向量的夾角為，得，則.故選：C.30．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知非零向量，的夾角為，且，，則（）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】將兩邊同時(shí)平方展開，結(jié)合已知條件由向量數(shù)量積的定義得關(guān)于的方程即可求解.【詳解】因?yàn)榉橇阆蛄?，的夾角為，且，所以，又因?yàn)?，所以，即，所以整理可得：，因?yàn)?，解得：，故選：A.31．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知非零向量?，滿足，且與的夾角為，則等于（）A． B． C．8 D．【答案】B【分析】由模的數(shù)量積運(yùn)算表示出模，，求出與的數(shù)量積，利用向量的夾角（數(shù)量積的定義）可得出結(jié)論．【詳解】解：，且與的夾角為，由向量夾角公式可得，故選：B.32．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若兩個(gè)非零向量，滿足，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件利用平方法得到向量數(shù)量積的數(shù)值，結(jié)合向量數(shù)量積與夾角之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】解：非零向量與滿足，平方得，即，則，由，平方得，得，即，則，，設(shè)向量與夾角為，則向量與夾角的余弦值，，，故選：．33．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量滿足，則與的夾角為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)條件求出和的值，然后根據(jù)向量的夾角公式來(lái)求與的夾角.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，即，所以，又因?yàn)椋?，?故選：A.34．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量＝（1，），向量在方向上的投影為﹣6，若（λ+）⊥，則實(shí)數(shù)λ的值為（）A． B．﹣ C． D．3【答案】A【分析】設(shè)＝（x，y），由向量＝（1，），向量在方向上的投影為﹣6，（λ+）⊥，，列方程組，能求出λ的值．【詳解】解：設(shè)＝（x，y），∵向量＝（1，），向量在方向上的投影為﹣6，（λ+）⊥，，∴，解得λ＝．故選：A．二、多選題35．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，滿足，，，設(shè)，的夾角為，則（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由已知求解方程組可得與，求模判斷A；由判斷B；由數(shù)量積求夾角判斷C；由數(shù)量積不為0判斷D．【詳解】解：∵，，∴，，得，，故A錯(cuò)誤；又，則，則，故B正確；，又，∴，故C正確；∵，∴與不垂直，故D錯(cuò)誤.故選：BC．36．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）四邊形中，，則下列表示正確的是（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用向量的線性運(yùn)算將用基底和表示，與選項(xiàng)比較即可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：，故選項(xiàng)A不正確；故選項(xiàng)B正確；，故選項(xiàng)C不正確，，故選項(xiàng)D正確；故選：BD37．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列關(guān)于平面向量的說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得B．已知向量，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是C．若且，則D．若點(diǎn)為的垂心，則【答案】ABC【分析】直接利用向量的共線，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量垂直的率要條件，向量的數(shù)量積的應(yīng)用判斷A，B，C，D的結(jié)論即可【詳解】解：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，滿足，但不滿足存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以，解得，而當(dāng)時(shí)，與共線，所以且，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由于，，所以當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)辄c(diǎn)為的垂心，所以，所以，所以，同理可得所以，所以D正確，故選：ABC38．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，且與的夾角為，則（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則、向量的模的計(jì)算公式、向量的共線的判定方法和向量的夾角公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由，所以A不正確；對(duì)于B中，由，，所以B正確；對(duì)于C中，由，，可得，所以C不正確；對(duì)于D中，由向量的夾角公式，可得，所以D正確．故選：BD．39．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，，則（）A． B．向量在向量上的投影向量為C．與的夾角余弦值為 D．【答案】BCD【分析】利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可判斷A選項(xiàng)的正誤，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可判斷CD選項(xiàng)的正誤，利用平面向量的幾何意義可判斷B選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，，則與不平行，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，，則，所以，向量在向量上的投影向量為，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由已知可得，，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，故，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.40．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)向量，滿足，且，則以下結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．向量，夾角為【答案】AC【分析】對(duì)進(jìn)行平方運(yùn)算，可求出，夾角，可判斷AD選項(xiàng)，再對(duì)BC選項(xiàng)進(jìn)行平方運(yùn)算，代入，夾角，可判斷BC選項(xiàng).【詳解】解：，又因?yàn)?，所以，所以，所以A正確，D不正確；，故，所以B不正確，同理C正確.故選：AC41．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)向量，滿足，且，則（）A． B． C． D．與的夾角為60°【答案】BD【分析】先通過(guò)題目條件求出，可以判斷A；將B，C的式子展開，將的值代入即可判斷；最后用平面向量的夾角公式可以判斷D.【詳解】由題意，，因?yàn)?，所以，A錯(cuò)誤；，B正確；，C錯(cuò)誤；設(shè)與的夾角為，，D正確.故選：BD.三、填空題42．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為______．【答案】【分析】首先求方向上的單位向量，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義知在上的投影，再應(yīng)用向量夾角的坐標(biāo)表示求，最后即可求在上的投影向量的坐標(biāo).【詳解】由題設(shè)知：上單位向量為，而在上的投影為，∵，∴，故在上的投影向量的坐標(biāo)為.故答案為：43．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知單位向量與向量共線，則向量的坐標(biāo)是___________．【答案】或.【分析】根據(jù)與向量共線的單位向量的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，單位向量與向量共線，則向量，即向量的坐標(biāo)是或.44．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中，為的中點(diǎn)，則____________________．【答案】【分析】根據(jù)給定條件用表示出，再計(jì)算數(shù)量積得解.【詳解】在邊長(zhǎng)為的正方形中，為的中點(diǎn)，則，且，所以．故答案為：145．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在菱形中，，，，則___________.【答案】【分析】利用向量加減法的幾何意義可得、，再應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及已知條件求即可.【詳解】由題意，.故答案為：46．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，已知，，若，則的坐標(biāo)為_______.【答案】【分析】由題意知是線段的中點(diǎn)，根據(jù)向量加法的幾何意義有，結(jié)合向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求的坐標(biāo).【詳解】由題設(shè)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，∴.故答案為：47．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是△的邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，則向量＝________(用表