專題04基本不等式及其運用（考點歸納與八大題型方法總結）

專題04基本不等式及其運用【題型歸納目錄】題型一：基本不等式的理解題型二：直接法求最值題型三：常規(guī)湊配法求最值題型四：換元求最值題型五：“1”的代換求最值題型六：利用基本不等式求參數(shù)題型七：利用基本不等式證明不等式題型八：利用基本不等式解決實際問題【【考點歸納】考點1：基本不等式1．重要不等式：?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時，等號成立．2．基本不等式（1）有關概念：當a，b均為正數(shù)時，把eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術平均數(shù)，把eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．（2）不等式：當a，b是任意正實數(shù)時，a，b的幾何平均數(shù)不大于它們的算術平均數(shù)，即，當且僅當a＝b時，等號成立．【注意】①基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時和或積為定值，“三相等”指滿足等號成立的條件；②連續(xù)使用不等式要注意取得一致。（3）其他變形：①(溝通兩和與兩平方和的不等關系式)②(溝通兩積與兩平方和的不等關系式)③(溝通兩積與兩和的不等關系式)④重要不等式串：即調和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號成立的條件).3．已知x、y都是正數(shù)，（1）若(和為定值)，則當x＝y(tǒng)時，積xy取得最大值eq\f(S2,4).（3）若xy＝p(積為定值)，則當x＝y(tǒng)時，上述命題可歸納為口訣：積定和最小，和定積最大．考點2：常見求最值模型模型一：，當且僅當時等號成立；模型二：，當且僅當時等號成立；模型三：，當且僅當時等號成立；模型四：，當且僅當時等號成立.【【題型歸納】題型一：基本不等式的理解【例1】【例1】下列不等式的推導過程正確的是________．①若x＞1，則x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2.②若x＜0，則x＋eq\f(4,x)＝③若a，b∈R，則eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2.【答案】②【詳解】①中忽視了基本不等式等號成立的條件，當x＝eq\f(1,x)時即x＝1時，x＋eq\f(1,x)≥2等號成立，因為x＞1，所以x＋eq\f(1,x)＞2，③中忽視了利用基本不等式時每一項必須為正數(shù)這一條件．【例2】下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)不等式成立的條件依次判斷各選項即可得答案.【詳解】解：對于A選項，當時，不等式顯然不成立，故錯誤；對于B選項，成立的條件為，故錯誤；對于C選項，當時，不等式顯然不成立，故錯誤；對于D選項，由于，故，正確.故選：D【【方法技巧歸納】1．基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a＞0，b＞0)反映了兩個正數(shù)的和與積之間的關系．2．對基本不等式的準確掌握要抓住以下兩個方面：(1)定理成立的條件是a、b都是正數(shù)．(2)“當且僅當”的含義：當a＝b時，eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)的等號成立，即a＝b?eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；僅當a＝b時，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等號成立，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)?a＝b.【【變式演練】1．下列不等式中正確的是()A．a(chǎn)＋eq\f(4,a)≥4 B．a(chǎn)2＋b2≥4abC.eq\r(ab)≥eq\f(a＋b,2) D．x2＋eq\f(3,x2)≥2eq\r(3)【答案】D【詳解】a＜0，則a＋eq\f(4,a)≥4不成立，故A錯；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B錯；a＝4，b＝16，則eq\r(ab)＜eq\f(a＋b,2)，故C錯；由基本不等式可知D項正確．2．（多選）已知、、．若，則（）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】對于A選項，，，，A選項正確；對于B選項，，，，即，B選項錯誤；對于C選項，因為，由基本不等式可得，，C選項正確；對于D選項，，，可得，D選項錯誤.故選：AC.3．《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點在半圓上，點在直徑上，且，設，，則該圖形可以完成的無字證明為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設，得到，，在直角中，利用勾股定理，求得，結合，即可求解.【詳解】設，可得圓的半徑為，又由，在直角中，可得，因為，所以，當且僅當時取等號．故選：D.題型二：直接法求最值【例3】若實數(shù)a，b滿足，則ab的最大值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式求解積的最大值.【詳解】∵，，∴，即，當且僅當時等號成立，∴．故選：D．【例4】若，則有（）A．最小值 B．最小值C．最大值 D．最大值【答案】B【分析】利用基本不等式可得結論.【詳解】因為，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，所以，當時，則有最小值.故選：B.【例5】已知正數(shù)、滿足，則的最小值是___________.【答案】【分析】利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因為、為正數(shù)，由基本不等式可得，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，故的最小值為.故答案為：.【【方法技巧歸納】利用基本不等式求最值的關鍵是獲得滿足基本不等式成立條件，即“一正、二定、三相等”.解題時應對照已知和欲求的式子運用適當?shù)摹安痦棥⑻眄?、配湊、變形”等方法?chuàng)設應用基本不等式的條件.具體可歸納為三句話：若不正，用其相反數(shù)，改變不等號方向；若不定應湊出定和或定積；若不等，一般用后面第三章函數(shù)的基本性質中學習.【【變式演練】1．已知，，且，則的最大值是（）A．1 B． C．3 D．5【答案】D【分析】結合基本不等式求得的最大值.【詳解】依題意，所以，當且僅當時等號成立.故選：D2．已知直角三角形的兩條直角邊的和等于4，則直角三角形面積的最大值是（）A．4 B． C．2 D．【答案】C【分析】由基本不等式可求得結果.【詳解】設直角三角形兩直角邊長分別為，則，所以，直角三角形的面積（當且僅當時取等號）.故直角三角形面積的最大值是2.故選：C.3．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，則xy（）A．有最大值為1 B．有最小值為1 C．有最大值為 D．有最小值為【答案】C【詳解】，，且，（1），當且僅當，即，時，取等號，故的最大值是：，故選：．4．已知，，且，則ab的最大值為（）A． B．4 C． D．2【答案】D【詳解】，（當且僅當時取等號），解得：，即的最大值為故選5．若，則（）A．有最小值，且最小值為 B．有最大值，且最大值為2C．有最小值，且最小值為 D．有最大值，且最大值為【答案】D【解析】,當且僅當取“=”所以故選：D題型三：常規(guī)湊配法求最值【例5】函數(shù)的最小值是【答案】【詳解】因為，所以，當且僅當，即時等號成立.所以函數(shù)的最小值是.選：D.【例6】已知，則的最大值是【答案】1【詳解】，，，當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為【例7】若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【答案】A【分析】將給定函數(shù)化簡變形，再利用均值不等式求解即得.【詳解】因，則，于是得，當且僅當，即時取“=”，所以當時，有最大值.故選：A【【方法技巧歸納】1．通過添項、拆項、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式．（見?？寄Ｐ停?．注意驗證取得條件．【【變式演練】1．當時，取得最小值時x的值為（）A．0 B． C．3 D．2【答案】D【解析】因為，所以，當且僅當即時等號成立，所以取得最小值時x的值為2.故選：D.2．若，則函數(shù)的最小值為___________.【答案】3【分析】由，及，利用基本不等式可求出最小值.【詳解】由題意，，因為，所以，當且僅當，即時等號成立.所以函數(shù)的最小值為3.故答案為：3.3．若，且，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】利用給定條件確定，變形并借助均值不等式求解即得.【詳解】因，且，則，即有，同理，由得：，于是得，當且僅當，即時取“=”，所以的最小值為.故選：D題型四：換元求最值【例8】已知實數(shù)，則的最小值是（）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】用換元法，設，化簡后用基本不等式得最小值．【詳解】因為，設，則，．當且僅當且即，，時等號成立，故選：D．【例9】函數(shù)的最小值是___________.【答案】4【解析】令，則，當且僅當，即時，.所以函數(shù)的最小值是4.故答案為：4【【方法技巧歸納】若題目中含是求兩個分式的最值問題，對于這類問題最常用的方法就是換元，分布運用兩個分式的分母為參數(shù)，轉化為參數(shù)的不等關系．1．代換變量，統(tǒng)一變量再處理．2．注意驗證取得條件．【【變式演練】1．設，，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，進而將問題轉化為已知，求的最大值問題，再根據(jù)基本不等式求解即可；【詳解】設，則，條件，所以，即.故選：D.2．若，且，則的最小值為_________【答案】【分析】令，可得，化簡可得，再結合基本不等式可求解.【詳解】令，則，則，即，則，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為.故答案為：.題型五：“1”的代換求最值【例10】已知，且，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化簡，由，結合基本不等式，求得，進而求得的最大值.【詳解】由，可得，又由，可得，當且僅當時，即時，等號成立，所以，即的最大值為.故選：D.【例11】正實數(shù)，滿足：，則當取最小值時，____.【答案】【解析】，，當且僅當，即時，等號成立．故答案為：．【例12】已知，則的最小值為（

）A．13 B．19 C．21 D．27【答案】D【分析】由基本不等式“1”的妙用求解【詳解】由題意得，當且僅當即時等號成立．故選：D【【方法技巧歸納】1的代換就是指湊出1，使不等式通過變形出來后達到運用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過程中要特別注意等價變形．1．根據(jù)條件，湊出“1”，利用乘“1”法．2．注意驗證取得條件．【【變式演練】1．已知，，且，則的最小值為（）A．4 B．9 C．10 D．12【答案】B【分析】將展開利用基本不等式即可求解.【詳解】由，，且得，當且僅當即，時等號成立，的最小值為，故選：B.2．已知，，，則的最小值是______．【答案】16【分析】利用基本不等式求得的最小值.【詳解】依題意.當且僅當時等號成立.故答案為：163．已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為___________.【答案】9【分析】由得，則，展開利用基本不等式可求得最值.【詳解】由得，所以，當且僅當，即，時取等號，故的最小值為9.故答案為：94．設，，，則的最小值為______．【答案】#.【分析】兩次運用“1”進行整體代換，結合基本不等式，即可得結果.【詳解】因為，所以當且僅當時，等號成立，即的最小值為，故答案為：.題型六：利用基本不等式求參數(shù)【例13】已知，且，若恒成立，則正實數(shù)的最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A【詳解】因為，恒成立，即所以，即，又，所以所以，所以，所以正實數(shù)的最小值為2．故選：A．【例14】當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】當時，，，當且僅當，即時等號成立，.故選：D.【例15】已知，，若不等式恒成立，則m的最大值為（）A．10 B．12 C．16 D．9【答案】D【分析】利用參變分離的方法將不等式變形為恒成立，再由基本不等式得出代數(shù)式的最值，可得選項.【詳解】由已知，，若不等式恒成立，所以恒成立，轉化成求的最小值，，當且僅當時取等所以．故選：D．【【變式演練】1．已知，且，若不等式恒成立，．則m的最大值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】利用基本不等式求的最小值，由此可得m的范圍.【詳解】∵不等式恒成立∴又，，∴，當且僅當時等號成立，∴，∴，又，∴，故選：A.2．若對有恒成立，則的取值范圍是_________【答案】【詳解】因為，而恒成立，則，當且僅當x=2y時取得等號那么可知只要小于等于表達式的最小值8即可，故答案為3．若對任意，不等式恒成立，則的最小值是______.【答案】【分析】分離參數(shù)，再利用基本不等式即可求解.【詳解】因為，所以恒成立.又因為，當且僅當時，等號成立.所以，故答案為：題型七：利用基本不等式證明不等式【例16】已知，，，求證：（1）；（2）.【答案】證明見解析.【解析】證明：（1）因為且，（當且僅當時取等號），即，所以，又，所以；（2）因為，所以，當且僅當時，等號成立，所以.【例17】（2022·安徽·馬鞍山二中模擬預測（理））已知，．（1）若，證明：；（2）若，證明：．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【分析】（1）把所求式轉化為，再利用二次函數(shù)去求其值域即可；（2）利用均值定理“1”的代換去求的最小值即可.【詳解】(1)因為，所以，又，，所以，所以，當時，取得最小值，即取得最小值；當時，，即，所以．(2)由得，

所以，

．

當且僅當，時等號成立．所以【【方法技巧歸納】1．條件不等式的證明，要將待證不等式與已知條件結合起來考慮，比如本題通過“1”的代換，將不等式的左邊化成齊次式，一方面為使用基本不等式創(chuàng)造條件，另一方面可實現(xiàn)約分與不等式的右邊建立聯(lián)系．2．先局部運用基本不等式，再利用不等式的性質(注意限制條件)，通過相加(乘)合成為待證的不等式，既是運用基本不等式時的一種重要技能，也是證明不等式時的一種常用方法．【【變式演練】1．設，求證：.【答案】證明見解析；【解析】證明：因為，所以，所以.當且僅當，即時，等號成立.故不等式得證.2．已知：、是正實數(shù)，求證：.【答案】見解析.【解析】由基本不等式得出，，上述兩個不等式當且僅當時，等號成立，由同向不等式的可加性得，即3．（2021·湖南）已知，.（1）求證：；（2）若，，，求證：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1），當且僅當時等號成立，所以，當且僅當時等號成立；（2）由條件有，且，，又，當且僅當，即時等號成立，此時由得，，即證．題型八：利用基本不等式解決實際問題【例18】某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是（）A．20 B．25 C．28 D．30【答案】D【分析】根據(jù)題意得到總運費與總存儲費用之和的表達式，利用基本不等式進行求解即可.【詳解】設一年的總運費與總存儲費用之和為，顯然，則，當且僅當時取等號，即時取等號，故選：D【例19】新冠病毒疫情期間，武漢物資緊缺，一批口罩、食物等救災物資隨輛汽車從某市以km/h的速度勻速直達武漢災區(qū)．已知兩地公路線長360km，為安全起見，兩輛汽車的間距不得小于km（車長忽略不計），要使這批物資盡快全部到達災區(qū)，則（）A．70km/h B．80km/h C．90km/h D．100km/h【答案】C【分析】由題意可得第一輛汽車到達用，最后一輛汽車到達的時間為，所以要用時最少，只要最小即可，然后利用基本不等式求解即可【詳解】第一輛汽車到達用，由題意，每隔到達一輛，則最后一輛汽車到達的時間為，要使這批物資盡快全部到達災區(qū)，即就是最后一輛汽車到達的時間最短，即求最小時汽車的速度，因為，當且僅當，即時等號成立，故選：C．【例20】（1）用籬笆圍一個面積為的矩形菜園，當這個矩形的邊長為多少時，所用籬笆最短？最短籬笆的長度是多少？（2）用一段長為的籬笆圍成一個矩形菜園，當這個矩形的邊長為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？【答案】（1）當這個矩形菜園是邊長為的正方形時，最短籬笆的長度為；（2）當這個矩形菜園是邊長為的正方形時，最大面積是.【分析】設矩形菜園的相鄰兩條邊的長分別為、，籬笆的長度為.（1）由題意得出，利用基本不等式可求出矩形周長的最小值，由等號成立的條件可得出矩形的邊長，從而可得出結論；（2）由題意得出，利用基本不等式可求出矩形面積的最大值，由等號成立的條件可得出矩形的邊長，從而可得出結論.【詳解】設矩形菜園的相鄰兩條邊的長分別為、，籬笆的長度為.（1）由已知得，由，可得，所以，當且僅當時，上式等號成立.因此，當這個矩形菜園是邊長為的正方形時，所用籬笆最短，最短籬笆的長度為；（2）由已知得，則，矩形菜園的面積為.由，可得，當且僅當時，上式等號成立.因此，當這個矩形菜園是邊長為的正方形時，菜園的面積最大，最大面積是.【【方法技巧歸納】1．在應用基本不等式解決實際問題時，應注意如下思路和方法：（1）先理解題意，設出變量，一般把要求最值的量定為函數(shù)；（2）建立相應的函數(shù)關系，把實際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題；（3）在定義域內，求出函數(shù)的最大值或最小值；（4）正確寫出答案．2．對于函數(shù)y＝x＋eq\f(k,x)(k>0)，可以證明0＜x≤eq\r(k)及－eq\r(k)≤x＜0上均為減函數(shù)，在x≥eq\r(k)及x≤－eq\r(k)上都是增函數(shù)．求此函數(shù)的最值時，若所給的范圍含±eq\r(k)時，可用基本不等式，不包含±eq\r(k)時，可用函數(shù)的單調性求解(第三章函數(shù)的基本性質中學習)．【【變式演練】1．一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金.一位顧客到店里要購買20g黃金，售貨員先將10g的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將10g的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.你認為顧客購得的黃金是（）A．大于20g B．小于20g C．等于20g D．無法判斷【答案】A【分析】設天平左右臂長分別為，兩次放黃金分別為g、g，即有，根據(jù)基本不等式即可判斷各選項的正誤.【詳解】令天平左右臂長分別為，第一次放黃金g，第二次放黃金g，∴，即有g，故選：A2．某企業(yè)投入萬元購入一套設備，該設備每年的運轉費用是萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一年增加萬元．為使該設備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為，設備年平均費用為萬元，求得關于的表達式，利用基本不等式求出的最小值及其對應的值，即可得出結論.【詳解】設該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為，設備年平均費用為萬元，則年后的設備維護費用為，所以年的平均費用為（萬元），當且僅當時，等號成立，因此，為使該設備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為.故選：B.3．如果一個直角三角形的斜邊長等于，那么這個直角三角形的面積的最大值等于______.【答案】【分析】設直角三角形的兩條直角邊長分別為、，利用勾股定理可得出，然后利用重要不等式可求出該直角三角形面積的最大值.【詳解】設直角三角形的兩條直角邊長分別為、，由勾股定理可得，由重要不等式可知，因此，該直角三角形的面積為.當且僅當時取等號，即這個直角三角形面積的最大值等于.故答案為：.4．如下圖所示，動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成.（1）現(xiàn)有可圍36m長網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使每間虎籠面積最大？最大面積為多少？（2）若使每間虎籠面積為24，則每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使圍成四間籠的鋼筋網(wǎng)總長最?。孔钚≈禐槎嗌?？【答案】（1）當長為，寬為時，面積最大，最大面積為；（2）當長為，寬為時，鋼筋網(wǎng)總長最小，最小值為.【分析】（1）求得每間虎籠面積的表達式，結合基本不等式求得最大值.（2）求得鋼筋網(wǎng)總長的表達式，結合基本不等式求得最小值.【詳解】（1）設長為，寬為，都為正數(shù)，每間虎籠面積為，則，則，所以每間虎籠面積的最大值為，當且僅當即時等號成立.（2）設長為，寬為，都為正數(shù)，每間虎籠面積為，則鋼筋網(wǎng)總長為，所以鋼筋網(wǎng)總長最小為，當且僅當?shù)忍柍闪?【【過關檢測】一、單選題1．若0<a<b，則下列不等式一定成立的是（）A．b>>a> B．b>>>aC．b>>>a D．b>a>>【答案】C【分析】利用不等式的性質結合基本不等式進行判斷【詳解】∵0<a<b，∴2b>a+b，∴b>>.∵b>a>0，∴ab>a2，∴>.故b>>>.故選：C2．已知，則的最大值為（

）A． B． C．0 D．2【答案】C【分析】把所求代數(shù)式變形，轉化成，再對其中部分以基本不等式求最值即可解決.【詳解】時，（當且僅當時等號成立）則，即的最大值為0.故選：C3．若a，b都為正實數(shù)且，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由基本不等式，結合題中條件，直接求解，即可得出結果.【詳解】因為，都為正實數(shù)，，所以，當且僅當，即時，取最大值.故選：D4．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，則xy（

）A．有最大值為1 B．有最小值為1 C．有最大值為 D．有最小值為【答案】C【分析】利用基本不等式的性質進行求解即可．【詳解】，，且，（1），當且僅當，即，時，取等號，故的最大值是：，故選：．5．若，則有（

）A．最小值為3 B．最大值為3 C．最小值為 D．最大值為【答案】A【分析】利用基本不等式即得,【詳解】∵，∴，∴，當且僅當即時取等號，∴有最小值為3.故選：A.6．已知實數(shù)a，b滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由恒成立可知，，利用基本不等式求最值即可.【詳解】∵不等式恒成立，∴，又，∴當且僅當即時取等號，令，則，，∴當且僅當即時取等號，∴當且僅當時取等號，∴.故選：C.7．若，則的最小值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】利用“乘1法”即得.【詳解】因為，所以，∴，當且僅當時，即時取等號，所以的最小值為1.故選：D.8．已知，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】由可得，將整理為，再利用基本不等式即可求解.【詳解】因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.故選：A二、多選題9．設正實數(shù)，滿足，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為4C．的最大值為 D．的最小值為【答案】BD【分析】由已知結合基本不等式及相關結論分別檢驗各選項即可判斷．【詳解】對于選項，正實數(shù)，滿足，由基本不等式得，當且僅當時取等號，則錯誤；對于選項，，當且僅當時取等號，則正確；對于選項，，當且僅當時取等號，即，則錯誤；對于選項，，即，當且僅當時取等號，則正確．故選：．10．（2022·河北張家口·三模）已知，（m是常數(shù)），則下列結論正確的是（

）A．若的最小值為，則B．若的最大值為4，則C．若的最大值為m，則D．若，則的最小值為2【答案】BC【分析】根據(jù)已知等式，利用基本不等式逐一判斷即可.【詳解】由已知得，，解得，當時取等號，故A錯誤；，，當時取等號，故B正確；，，當時取等號，故C正確；對于D，，當時取等號，又，且，所以等號取不到，故D錯誤，故選：BC.11．已知正數(shù)，，則下列不等式中恒成立的是（）A． B．C． D．【答案】AB【詳解】對A，，，當且僅當時等號成立，故A正確；對B，，，當且僅當時等號成立，故B正確；對C，，即，故C錯誤；對D，，，，即，當且僅當時等號成立，故D錯誤.故選：AB.12．已知，則以下不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】直接利用基本不等式即可判斷ACD，由，可得，整理即可判斷B.【詳解】解：對于A，因為，所以，所以，當且僅當時取等號，故A錯誤；對于B，，當且僅當時取等號，所以，即，故B正確；對于C，，當且僅當，即時取等號，故C正確；對于D，，當且僅當且，即時取等號，故D正確.故選：BCD.三、填空題13．若，則的最大值為________【答案】【分析】化簡，根據(jù)題意結合基本不等式，取得，即可求解.【詳解】由題意，實數(shù)，且，又由，當且僅當時，即時，等號成立，所以，即的最大值為.故答案為：.14．若，，，則的最小值為___________.【答案】3【分析】利用基本不等式常值代換即可求解.【詳解】因為，，，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為3，故答案為：315．已知，，且，則的最小值為______．【答案】6【分析】由可知，要使取最小值，只需最小即可，故結合，求出的最小值即可求解.【詳解】由，，得（當且僅當時，等號成立），又因，得，即，由，，解得，即，故.因此當時，取最小值6.故答案為：6.16．（2022·重慶·三模）已知，，且，則的最小值為___________.【答案】4【分析】由題得，再利用基本不等式求出的最小值即得解.【詳解】解：由題得，所以.(當且僅當時取等)因為，所以的最小值為4.故答案為：4四、簡答題17．已知，求的最