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山東省德州市陵城區(qū)一中2023-2024學(xué)年高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別是且,若為最大邊,則的取值范圍是()A. B. C. D.2.已知橢圓:的左,右焦點(diǎn)分別為,,過的直線交橢圓于,兩點(diǎn),若,且的三邊長(zhǎng),,成等差數(shù)列,則的離心率為()A. B. C. D.3.已知函數(shù)(,)的一個(gè)零點(diǎn)是,函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是直線,則當(dāng)取得最小值時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.() B.()C.() D.()4.在函數(shù):①;②;③;④中,最小正周期為的所有函數(shù)為()A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③5.用電腦每次可以從區(qū)間內(nèi)自動(dòng)生成一個(gè)實(shí)數(shù),且每次生成每個(gè)實(shí)數(shù)都是等可能性的.若用該電腦連續(xù)生成3個(gè)實(shí)數(shù),則這3個(gè)實(shí)數(shù)都小于的概率為()A. B. C. D.6.函數(shù)的對(duì)稱軸不可能為()A. B. C. D.7.已知a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,且a?α,b?β,aβ,bα,則“ab“是“αβ”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,將向量繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A. B. C. D.9.已知我市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對(duì)戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖和如圖所示,為了解該小區(qū)戶主對(duì)戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度,用分層抽樣的方法抽取的戶主進(jìn)行調(diào)查,則樣本容量和抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)分別為A.240,18 B.200,20C.240,20 D.200,1810.設(shè)不等式組,表示的平面區(qū)域?yàn)?,在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn),則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足不等式的概率為A. B.C. D.11.設(shè)M是邊BC上任意一點(diǎn),N為AM的中點(diǎn),若,則的值為()A.1 B. C. D.12.已知向量,且,則m=()A.?8 B.?6C.6 D.8二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,若,的面積為,則_______,_______.14.已知函數(shù)的最小值為2,則_________.15.學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類的,,,四件參賽作品,只評(píng)一件一等獎(jiǎng),在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測(cè)如下:甲說:“或作品獲得一等獎(jiǎng)”;乙說:“作品獲得一等獎(jiǎng)”;丙說:“,兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”;丁說:“作品獲得一等獎(jiǎng)”.若這四位同學(xué)中有且只有兩位說的話是對(duì)的,則獲得一等獎(jiǎng)的作品是______.16.圖(1)是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(ICME-7)的會(huì)徽?qǐng)D案,它是由一串直角三角形演化而成的(如圖(2)),其中,則的值是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,為邊上一點(diǎn),,.(1)求;(2)若,,求.18.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若,求的最大值.19.(12分)已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上,且順次連接四個(gè)頂點(diǎn)恰好構(gòu)成了一個(gè)邊長(zhǎng)為且面積為的菱形.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè),過橢圓右焦點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn),若對(duì)滿足條件的任意直線,不等式恒成立,求的最小值.20.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為等腰梯形,,為等腰直角三角形,,平面底面,為的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)若平面與平面的交線為,求二面角的正弦值.21.(12分)如圖,三棱柱中,側(cè)面是菱形,其對(duì)角線的交點(diǎn)為,且.(1)求證:平面;(2)設(shè),若直線與平面所成的角為,求二面角的正弦值.22.(10分)已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)的圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為,若三角形的面積大于,求參數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
由,化簡(jiǎn)得到的值,根據(jù)余弦定理和基本不等式,即可求解.【詳解】由,可得,可得,通分得,整理得,所以,因?yàn)闉槿切蔚淖畲蠼?,所以,又由余弦定理,?dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,所以,即,又由,所以的取值范圍是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式的化簡(jiǎn),余弦定理,以及基本不等式的綜合應(yīng)用,試題難度較大,屬于中檔試題,著重考查了推理與運(yùn)算能力.2、C【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)設(shè)出,,,利用勾股定理列方程,結(jié)合橢圓的定義,求得.再利用勾股定理建立的關(guān)系式,化簡(jiǎn)后求得離心率.【詳解】由已知,,成等差數(shù)列,設(shè),,.由于,據(jù)勾股定理有,即,化簡(jiǎn)得;由橢圓定義知的周長(zhǎng)為,有,所以,所以;在直角中,由勾股定理,,∴離心率.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓離心率的求法,考查橢圓的定義,考查等差數(shù)列的性質(zhì),屬于中檔題.3、B【解析】
根據(jù)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是,得出,再根據(jù)是對(duì)稱軸,得出,求出的最小值與對(duì)應(yīng)的,寫出即可求出其單調(diào)增區(qū)間.【詳解】依題意得,,即,解得或(其中,).①又,即(其中).②由①②得或,即或(其中,,),因此的最小值為.因?yàn)椋裕ǎ?又,所以,所以,令(),則().因此,當(dāng)取得最小值時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間是().故選:B【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱點(diǎn),在對(duì)稱軸處取得最值,對(duì)稱點(diǎn)處函數(shù)值為零,屬于較易題目.4、A【解析】逐一考查所給的函數(shù):,該函數(shù)為偶函數(shù),周期;將函數(shù)圖象x軸下方的圖象向上翻折即可得到的圖象,該函數(shù)的周期為;函數(shù)的最小正周期為;函數(shù)的最小正周期為;綜上可得最小正周期為的所有函數(shù)為①②③.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛:求三角函數(shù)式的最小正周期時(shí),要盡可能地化為只含一個(gè)三角函數(shù)的式子,否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.一般地,經(jīng)過恒等變形成“y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)”的形式,再利用周期公式即可.5、C【解析】
由幾何概型的概率計(jì)算,知每次生成一個(gè)實(shí)數(shù)小于1的概率為,結(jié)合獨(dú)立事件發(fā)生的概率計(jì)算即可.【詳解】∵每次生成一個(gè)實(shí)數(shù)小于1的概率為.∴這3個(gè)實(shí)數(shù)都小于1的概率為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率,考查學(xué)生基本的計(jì)算能力,是一道容易題.6、D【解析】
由條件利用余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性,得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于函數(shù),令,解得,當(dāng)時(shí),函數(shù)的對(duì)稱軸為,,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】
根據(jù)面面平行的判定及性質(zhì)求解即可.【詳解】解:a?α,b?β,a∥β,b∥α,由a∥b,不一定有α∥β,α與β可能相交;反之,由α∥β,可得a∥b或a與b異面,∴a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,且a?α,b?β,a∥β,b∥α,則“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要條件.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件與必要條件的判斷,考查面面平行的判定與性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
由復(fù)數(shù)z求得點(diǎn)Z的坐標(biāo),得到向量的坐標(biāo),逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到向量的坐標(biāo),則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)可求.【詳解】解:∵復(fù)數(shù)z=i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z(0,1),
∴=(0,1),將繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,
設(shè)=(a,b),,則,即,
又,解得:,∴,對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是基礎(chǔ)題.9、A【解析】
利用統(tǒng)計(jì)圖結(jié)合分層抽樣性質(zhì)能求出樣本容量,利用條形圖能求出抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù).【詳解】樣本容量為:(150+250+400)×30%=240,∴抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)為:故選A.【點(diǎn)睛】本題考查樣本容量和抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意統(tǒng)計(jì)圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用.10、A【解析】
畫出不等式組表示的區(qū)域,求出其面積,再得到在區(qū)域內(nèi)的面積,根據(jù)幾何概型的公式,得到答案.【詳解】畫出所表示的區(qū)域,易知,所以的面積為,滿足不等式的點(diǎn),在區(qū)域內(nèi)是一個(gè)以原點(diǎn)為圓心,為半徑的圓面,其面積為,由幾何概型的公式可得其概率為,故選A項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查由約束條件畫可行域,求幾何概型,屬于簡(jiǎn)單題.11、B【解析】
設(shè),通過,再利用向量的加減運(yùn)算可得,結(jié)合條件即可得解.【詳解】設(shè),則有.又,所以,有.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線及向量運(yùn)算知識(shí),利用向量共線及向量運(yùn)算知識(shí),用基底向量向量來表示所求向量,利用平面向量表示法唯一來解決問題.12、D【解析】
由已知向量的坐標(biāo)求出的坐標(biāo),再由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算得答案.【詳解】∵,又,∴3×4+(﹣2)×(m﹣2)=0,解得m=1.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由已知及正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得,從而求得,結(jié)合范圍,即可得到答案運(yùn)用余弦定理和三角形面積公式,結(jié)合完全平方公式,即可得到答案【詳解】由已知及正弦定理可得,可得:解得,即,由面積公式可得:,即由余弦定理可得:即有解得【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形,題目較為基礎(chǔ),只要按照題意運(yùn)用公式即可求出答案14、【解析】
首先利用絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值符號(hào),之后再結(jié)合后邊的函數(shù)解析式,對(duì)照函數(shù)值等于2的時(shí)候?qū)?yīng)的自變量的值,從而得到分段函數(shù)的分界點(diǎn),從而得到相應(yīng)的等量關(guān)系式,求得參數(shù)的值.【詳解】根據(jù)題意可知,可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)或時(shí)是分界點(diǎn),結(jié)合函數(shù)的解析式,可以判斷0不可能,所以只能是是分界點(diǎn),故,解得,故答案是.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)最值的求解等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.15、B【解析】
首先根據(jù)“學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)四件參賽作品只評(píng)一件一等獎(jiǎng)”,故假設(shè)分別為一等獎(jiǎng),然后判斷甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的說法的正確性,即可得出結(jié)果.【詳解】若A為一等獎(jiǎng),則甲、丙、丁的說法均錯(cuò)誤,不滿足題意;若B為一等獎(jiǎng),則乙、丙的說法正確,甲、丁的說法錯(cuò)誤,滿足題意;若C為一等獎(jiǎng),則甲、丙、丁的說法均正確,不滿足題意;若D為一等獎(jiǎng),則乙、丙、丁的說法均錯(cuò)誤,不滿足題意;綜上所述,故B獲得一等獎(jiǎng).【點(diǎn)睛】本題屬于信息題,可根據(jù)題目所給信息來找出解題所需要的條件并得出答案,在做本題的時(shí)候,可以采用依次假設(shè)為一等獎(jiǎng)并通過是否滿足題目條件來判斷其是否正確.16、【解析】
先求出向量和夾角的余弦值,再由公式即得.【詳解】如圖,過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn),那么向量和夾角為,,,,,且是直角三角形,,同理得,,.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積,解題關(guān)鍵是找到向量和的夾角.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)4【解析】
(1),利用兩角差的正弦公式計(jì)算即可;(2)設(shè),在中,用正弦定理將用x表示,在中用一次余弦定理即可解決.【詳解】(1)∵,∴,所以,.(2)∵,∴設(shè),,在中,由正弦定理得,,∴,∴,∵,∴∴.【點(diǎn)睛】本題考查兩角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,是一道容易題.18、(1)(2)【解析】
(1)根據(jù)單調(diào)遞減可知導(dǎo)函數(shù)恒小于等于,采用參變分離的方法分離出,并將的部分構(gòu)造成新函數(shù),分析與最值之間的關(guān)系;(2)通過對(duì)的導(dǎo)函數(shù)分析,確定有唯一零點(diǎn),則就是的極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn),計(jì)算的值并利用進(jìn)行化簡(jiǎn),從而確定.【詳解】(1)由題意知,在上恒成立,所以在上恒成立.令,則,所以在上單調(diào)遞增,所以,所以.(2)當(dāng)時(shí),.則,令,則,所以在上單調(diào)遞減.由于,,所以存在滿足,即.當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),,.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以,因?yàn)?,所以,所以,所?【點(diǎn)睛】(1)求函數(shù)中字母的范圍時(shí),常用的方法有兩種:參變分離法、分類討論法;(2)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不易求零點(diǎn)時(shí),需要將導(dǎo)函數(shù)中某些部分拿出作單獨(dú)分析,以便先確定導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性從而確定導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間,再分析整個(gè)函數(shù)的單調(diào)性,最后確定出函數(shù)的最值.19、(1)(2)【解析】
(1)由已知條件列出關(guān)于和的方程,并計(jì)算出和的值,jike得到橢圓的方程.(2)設(shè)出點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo),運(yùn)用點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算出,分類討論直線的斜率存在和不存在兩種情況,求解出的最小值.【詳解】(1)由己知得:,解得,所以,橢圓的方程(2)設(shè),.當(dāng)直線垂直于軸時(shí),,且此時(shí),,當(dāng)直線不垂直于軸時(shí),設(shè)直線由,得.,.要使恒成立,只需,即最小值為【點(diǎn)睛】本題考查了求解橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系,求解過程中需要分類討論直線的斜率存在和不存在兩種情況,并運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為只含一個(gè)變量的表達(dá)式進(jìn)行求解,需要掌握解題方法,并且有一定的計(jì)算量.20、(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)取的中點(diǎn),連接,易得,進(jìn)而可證明四邊形為平行四邊形,即,從而可證明平面;(2)取中點(diǎn),中點(diǎn),連接,易證平面,平面,從而可知兩兩垂直,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),向量的方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,進(jìn)而求出平面的法向量,及平面的法向量為,由,可求得平面與平面所成的二面角的正弦值.【詳解】(1)證明:如圖1,取的中點(diǎn),連接.,,,,且,四邊形為平行四邊形,.又平面,平面,平面.(2)如圖2,取中點(diǎn),中點(diǎn),連接.,,平面平面,平面平面,平面,平面,兩兩垂直.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),向量的方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.由,可得,在等腰梯形中,,易知,.則,,設(shè)平面的法向量為,則,取,得.設(shè)平面的法向量為,則,取,得.因?yàn)?,,,所以,所以平面與平面所成的二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明,考查二面角的求法,
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- GB/T 13288-1991涂裝前鋼材表面粗糙度等級(jí)的評(píng)定(比較樣塊法)
- GB/T 13025.8-1991制鹽工業(yè)通用試驗(yàn)方法硫酸根離子的測(cè)定
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