高考數(shù)學(xué)卷(天津理)含詳解

20XX年高考數(shù)學(xué)卷（天津.理）含詳解

2011天津理

第I卷

本卷共8小題，每小題5分，共40分

一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

A..i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)

2.設(shè)，則且是的（）.

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出i的值為（）.

A.3

B.4

C.5

D.6

4.已知為等差數(shù)列，其公差為，且a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，Sn為的

前n項(xiàng)和，，則S10的值為（）.

A...90D.110

.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中,x的系數(shù)為（）..C.4884

6.如圖，在中，D是邊AC上的點(diǎn)，且

AD,2AB,，貝UsinC的值為（）.

A

6B

1

C

.7.

D

.36

log30.3

B,則().

Iog23.4

log43.6

A

D

c

A..C?.

8.對(duì)實(shí)數(shù)a和b,定義運(yùn)算：

設(shè)函數(shù)

，.若函數(shù)■圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn),

則實(shí)數(shù)c的取值范圍是（）.

A..

C.

第II卷

二、填空題：本答題共6小題，每小題5分，共30分.

9.一支田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員48人，女運(yùn)動(dòng)員36人.若用分層抽樣的方法從該隊(duì)的全體運(yùn)

動(dòng)員中抽取一個(gè)容量為21的樣本，則抽取男運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)為.

10.一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示（單位：m）,則該幾何體的體積為m.

正視圖

俯視圖

側(cè)視圖

3

11.已知拋物線(xiàn)C的參數(shù)方程為為參數(shù)）.若斜率

2

22

為1的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，且與圓相切，則

2

12.如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)F,E是AB

延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且若CE與圓相切，則線(xiàn)段CE的長(zhǎng)為.

13

己

知

集

合

C

,則集合

14.已知直角梯形ABCD中，AD//BC,,

,,P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值

為.

三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

15.（本小題滿(mǎn)分13分）已知函數(shù)I）求函數(shù)的定義域與最小正周期;

（II）設(shè)

,若

,求的大小.

16.(本小題滿(mǎn)分13分)學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個(gè)白球，2個(gè)

黑球，乙箱子里裝有1個(gè)白球，2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱

子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，若摸出的白球不少于2個(gè).則獲獎(jiǎng).(每次游戲結(jié)束后將球放回原

箱)

(I)求在1次游戲中，(i)摸出3個(gè)白球的概率；

3

(ii)獲獎(jiǎng)的概率；

(II)求在2次游戲中，獲獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望

17.(本小題滿(mǎn)分13分)如圖，在三棱柱中中，

H

是正方形的中心，AA1B1B,且，平面

AAC1H

(I)求異面直線(xiàn)AC與A1B1所成角的余弦值;

(II)求二面角的正弦值；

11(111)設(shè)N為棱B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)M在平面AA1BC11,求線(xiàn)段1B1B已知，函數(shù)

,.(的圖象

連續(xù)不斷)

(I)求的單調(diào)區(qū)間；

(II)當(dāng)時(shí)，證明：存在，使

4

（HI）若存在屬于區(qū)間的，且，使，證明:

.In2

【解】（I，.XX

令

0,則當(dāng)x變化時(shí),的變化情況如下表:

所以的單調(diào)增區(qū)間是H）當(dāng),單調(diào)減區(qū)間是.

時(shí)，，88

由（I）知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.令

,因而由于在單調(diào)遞增，則

,取,則

所以存在,使，即存在，使

.III）由及的單調(diào)性知.從

而在區(qū)間上的最小值為.又由，，貝1」

5

所以

即

所以.53

20.（本小題滿(mǎn)分14分）已知數(shù)列與滿(mǎn)足

,,，且，.I）求a3,

a4,a5的值；（H）設(shè)，，證明是等比數(shù)列.（III）設(shè)

a2k,,證明

^奇數(shù),【解】（I）因?yàn)椋?

所以卷偶數(shù)

又，當(dāng)時(shí)，，由，得；

當(dāng)時(shí).，，由，得；當(dāng)時(shí)，，

由，得.（II）對(duì)任意有

,①匚

②.③②一③得

④④代入①得，

6

即，⑤又,由⑤式，

對(duì)所有，.因此所以是等比數(shù)列.,cn

III）解法1.由（H）可得

于是，對(duì)任意且，有

kk將以上各式相加，得

所以

此式對(duì)也成立.

由④式a2得..從而

所以對(duì)任意

7.6

對(duì)于，不等式顯然成立.

解法2.由（II河得

貝IJ.

所以是公差為的等差數(shù)列,

所以

以下同解法1..此式對(duì)也成立.

2011天津理

第I卷

本卷共8小題，每小題5分，共40分

一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

A..i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)

8

【解】.故選B..設(shè)，

則且是的（）.

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解】因?yàn)榍遥瑒t且，因而，所以且是

的充分條件，

取，但不滿(mǎn)足且，所以且不是的必

要條件.

因此且是的充分而不必要條件.故選A.

3.閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出i的值為（）.

A.3

B.4

C.5

D.6

【解】運(yùn)算過(guò)程依次為:

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)B寸，.所以輸出的.故選B.

4.已知為等差數(shù)列，其公差為，且a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，2

Sn為的前n項(xiàng)和，，則S10的值為（）.

A..90D.110

【解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差為，則，，，

2因?yàn)閍7是a3與a9的等比中項(xiàng)，所以，

即，2

,所以，于是

.故選D.

2

9

.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，x的系數(shù)為（）.C.4884

r【解

令，則..168

3,故選C.8

D是邊AC上的點(diǎn)，6.如圖，在中，且

AD,所以，x的系數(shù)

,,貝UsinC的值為（）.

A

B

.36

D

.36ABADCC

?【解】解法1.取BD的中點(diǎn)E,因?yàn)?，所?/p>

BD,因?yàn)?/p>

所以上

AB.于是

在中，由正弦定理得

,所以.故選D.sinC6解法2.設(shè)

1，由題設(shè)在中，由余弦定理得

10

所以

在中，由正弦定理得

BADsinCsinC

3

所以.故選D.6

■|,則（）,

A....

【解】解法1.og3103,

下面比較，和

因?yàn)?，，，則最小.10的大小.3

10

，31g21g31g

因?yàn)?，，所以?1g21g3

10

.所以，因而.因此

由于函數(shù)是R上的增函數(shù)，所以.故選C.

解法2.

下面比較，和

因?yàn)?，，，則最小.因?yàn)榈拇笮?

3

所以

，因而.1g21g3311

由于函數(shù)是R上的增函數(shù)，所以.故選C.

解法3.由解法2,.4,3

畫(huà)出函數(shù)和的圖象，比較的縱坐

標(biāo)，可得，于是.因而

.3

由于函數(shù)是R上的增函數(shù)，所以.故選c.

.對(duì)實(shí)數(shù)a和b,定義運(yùn)算設(shè)函數(shù)

,.若函數(shù)的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則

實(shí)數(shù)c的取值范圍是（）.

A..

【解】由題設(shè)或

畫(huà)出函數(shù)的圖象，函數(shù)圖象的四個(gè)端點(diǎn)（如圖）為，

，，，

從圖象中可以看出，直線(xiàn)穿過(guò)點(diǎn)C,點(diǎn)A之間時(shí)，直

線(xiàn)與圖象有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，同時(shí)，直線(xiàn)穿過(guò)點(diǎn)B

及其下方時(shí)，直線(xiàn)與圖象有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)c的取值范圍是

.故選B.

第n卷

12

二、填空題：本答題共6小題，每小題5分，共30分.

9.一支田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員48人，女運(yùn)動(dòng)員36人.若用分層抽樣的方法從該隊(duì)的全體運(yùn)

動(dòng)員中抽取一個(gè)容量為21的樣本，則抽取男運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)為.

【解】12.

2121

（人）.

10.一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示（單位：m）,則該幾何

抽取男運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)為體的體積為m.

【解】

幾何體是由一個(gè)長(zhǎng)方體與一個(gè)圓錐組合的.體積為

正視圖

3

側(cè)視圖俯視圖

12

3

11.已知拋物線(xiàn)C的參數(shù)方程為

2

（t為參數(shù)）.若斜率

2

22

為1的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，且與圓相切，則

【解

拋物線(xiàn)C的普通方程為，其焦點(diǎn)為.直線(xiàn)方程為

22

因?yàn)橹本€(xiàn)與圓切，則圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，即

2

12.如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)F,E是AB延

長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且

,若CE

與圓相切，則線(xiàn)段CE的長(zhǎng)為

C

【解

因?yàn)锳F:FB:BE,所以設(shè)

由相交弦定理，

所以

117,,.222

2

因?yàn)镃E與圓相切，由切割線(xiàn)定理,

13

.所以

224

13.已知集合

則集合

【解】

解集合A.

當(dāng)時(shí)，不等式化為,解得.所以解為當(dāng)

時(shí)，不等式化為,即.所以解為；當(dāng)時(shí)，

不等式化為，解得，所以解為.綜合以上，.解

集合B.

因?yàn)?/p>

0,所以所以，因而

腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.

【解】5.

14.已知直角梯形ABCD中，AD//BC,,,,P是

x

解法1.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線(xiàn)為x軸，DC所在直線(xiàn)為y軸，建立如圖的直角

坐標(biāo)系.

由題設(shè)，，設(shè)，，貝I.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，于是，當(dāng)時(shí)，有最小值5.

44

解法2.以相互垂直的向量DP,DA為基底表示，得

2

DP

又P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，即與共線(xiàn)，于是可設(shè)，有

5

2

14

所以

即

由于P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，顯然當(dāng)，即時(shí),

33

所以有最小值5.

解法3.如圖,,設(shè)E為AF的中點(diǎn)，Q為AB的

中點(diǎn)，則

2

①

D

F

因?yàn)?/p>

則

.②

（實(shí)際上，就是定理：“平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)的平方和等于各邊的平方和“）設(shè)T為DC

的中點(diǎn)，則TQ為梯形的中位線(xiàn)，設(shè)P為CT的中點(diǎn)，且設(shè)，

13

.22

則，，，

44

代入式②得

于是，于是當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成

立.

由式①，，

所以有最小值5.

三、解答題:本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.（本

小題滿(mǎn)分13分）已知函數(shù)I）求函數(shù)的定義域與最小正周期；（II）設(shè)

.若

,求的大小.

15

【解】(I)函數(shù)的定義域滿(mǎn)足

所以函數(shù)的定義域?yàn)?，，解?/p>

.最小正周期為.

(II)解法1.因?yàn)?，所?/p>

,所以

于是，

因?yàn)?/p>

,所以，所以，

11,,22因而因?yàn)?/p>

,所以，所以，.___________解法2.因?yàn)?/p>

,所以，

所以

因?yàn)?/p>

,所以，

22于是，整理得

162

所以

1,所以

解法3.

因?yàn)?所以s

.故得

于是

.所以.4312

16.(本小題滿(mǎn)分13分)學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個(gè)白球，2個(gè)

黑球，乙箱子里裝有1個(gè)白球，2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱

子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，若摸出的白球不少于2個(gè).則獲獎(jiǎng).(每次游戲結(jié)束后將球放回原

箱)

(I)求在1次游戲中，

(i)摸出3個(gè)白球的概率；

(ii)獲獎(jiǎng)的概率；

(II)求在2次游戲中，獲獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望

【解】(I)(i)設(shè)“在1次游戲中摸出i個(gè)白球”為事件，則

2C3C11.

(ii)設(shè)“在1次游戲中獲獎(jiǎng)”為事件B,則，

,C5C3C5C32

因?yàn)锳2和A3互斥，所以

(II)X的所有可能值為.2510

17

2

所以X的分布列是

數(shù)學(xué)期望.100501005

17.(本小題滿(mǎn)分13分)如圖，在三棱柱中中,

H

是正方形的中心，AA1B1B,且平面

AAC1H

(I)求異面直線(xiàn)AC與A1B1所成角的余弦值；(II)求二面角的正弦值;

11(111)設(shè)N為棱B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)M在平面AA1BC11,求線(xiàn)段1B1B內(nèi)，且平面

ABM的長(zhǎng).

【解】解法1.如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，其中點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA所在直線(xiàn)為

x軸，BB1所在直線(xiàn)為y軸.

C由題意，B

,A

A

1,B

(I

,c.

Ill

所以

II

設(shè)平面AAC的法向量為，則即

令

0,

設(shè)平面A1B1C1的法向量為

,則

即

令

0,

于是

,所以所以二面角

B1的正弦值為.7

III）由N為棱B1C

1的中點(diǎn)，得,設(shè)點(diǎn)

則

因?yàn)槠矫鍭,則

即

解得

故.向量

所以線(xiàn)段BM

的長(zhǎng)與A1B1所成的角.解法2.(I)由于AC//AC11,故是異

面直線(xiàn)

19

H

是正方形的中心，因?yàn)槠矫鍭A1B1B,

C

1

1

所以

1

Bl

此

(H)連接AC1,因?yàn)榧癏是AB1的中點(diǎn).則，又AA1

,所以

S

R,連B1R,于是過(guò)點(diǎn)A作，11于

所以為二面角的平面角.

在中，，連AB1,在中，

,從而

所以二面角的正弦值為

.7

D,連接ND.(Ill)因?yàn)槠矫鍭1BC11,所以，取HB1的中點(diǎn)

由于N為棱B1C1的中點(diǎn)，所以ND//C1H,且又平面AA1B1,1B1B,故

.22

MD并延長(zhǎng)交A1B1于點(diǎn)E,因?yàn)?，所以平面MND,連接

則.故NE//AA1.

20

由

,得，連接NE.2

2延長(zhǎng)EM交AB于F

,可得在中，ME,由直角三角形的射影定理,

ND2所以

DE44

連接BM,在

BFM中，.18.（本小題滿(mǎn)分13分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)

為動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1,

x2y2

F2分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，已知為等腰三角形.ab

（I）求橢圓的離心率e；

是直線(xiàn)PF2上的點(diǎn)，（H）設(shè)直線(xiàn)PF2與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)，

滿(mǎn)足，

求點(diǎn)M的軌跡方程.

【解】（I）設(shè)F1PF2為等腰三角形，，.因?yàn)?/p>

P在y軸上，與矛盾，若，則點(diǎn)

若

F1F2由，,C122,有，即

或，不合題意，a2所以

F1F2由，，C122,有,即

（舍去）或.a2

1所以橢圓的離心率為?2

1222(11)解法1.因?yàn)?，所以a

,.所以橢圓方程為.2

,則直線(xiàn)

PF2的方程為.直線(xiàn)PF2

的斜率

B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組

21

2

消去y并整理得.則

8c.

5

于是不妨設(shè),B0,.

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為

.則

由

得

y.貝iJ

由,得

化簡(jiǎn)得

，所以.將

代入得

16x3因此點(diǎn)M

的軌跡方程為解法2.因?yàn)?/p>

2

1

,所以

2c,.2

2

2

x

橢圓方程為

b

,則直線(xiàn)PF2的方程

為直線(xiàn)PF2的斜

率

A,B

兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組

消去y并整理得.則

8c.

5

于是不妨設(shè)，B0,.

22

因而點(diǎn)B為橢圓短軸的下頂點(diǎn).

如圖，因?yàn)椋渣c(diǎn)M在線(xiàn)段AB的①

,5

23

則②

因?yàn)?，所?/p>

③

將①，②代入式③得

529

,@5

將并整理得

y代入④

3

，所以.將

代入得因此點(diǎn)M

的軌跡方程為，

219.(本小題滿(mǎn)分14分)已知，函數(shù)，.(的圖象

連續(xù)不斷)

(I)求的單調(diào)區(qū)間；

(II)當(dāng)時(shí)，證明：存在，使

（in）若存在屬于區(qū)間的，且，使f

,證明：

.In2

【解】（I，.XX

令

0,則

當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表:

24

所以的單