新版中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第六章空間與圖形6.1圖形的軸對稱平移與旋轉(zhuǎn)試卷部分市賽課公開課一等獎省名師獲

第六章空間與圖形§6.1圖形軸對稱、平移與旋轉(zhuǎn)中考數(shù)學(xué)

(湖南專用)第1頁A組—年湖南中考題組五年中考考點一圖形軸對稱1.(湖南邵陽,4,3分)以下圖形中,是軸對稱圖形是()

答案

B

第2頁2.(湖南永州,2,4分)譽為全國第三大露天碑林“浯溪碑林”,摩崖上銘刻著500多方古今

名家碑文,其中懸針篆文含有較高歷史意義和研究價值,下面四個懸針篆文文字顯著不是軸

對稱圖形是

()

答案

C依據(jù)軸對稱圖形概念進行判斷即可.第3頁3.(湖南郴州,2,3分)以下圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形是

()

答案

B

A中圖形是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,故本選項錯誤;B中圖形既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,故本選項正確;C中圖形不是軸對稱圖形,是中心對稱圖形,故本選項錯誤;D中圖形是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,故本選項錯誤.故選B.思緒分析

依據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形概念對各選項進行判斷即可.第4頁4.(湖南湘西,10,4分)以下圖形中,是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形是

()A.平行四邊形

B.等腰三角形C.矩形

D.正方形答案

B

A項,平行四邊形不一定是軸對稱圖形,是中心對稱圖形,故本選項不符合;B項,等腰

三角形是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,故本選項符合;C項,矩形是軸對稱圖形,也是中心對

稱圖形,故本選項不符合;D項,正方形是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形,故本選項不符合.故選B.思緒分析

區(qū)分軸對稱圖形與中心對稱圖形含義.在特殊四邊形(平行四邊形、矩形、菱形

和正方形)中,它們都是中心對稱圖形,但只有平行四邊形不一定是軸對稱圖形.5.(湖南邵陽,2,3分)下面四個手機應(yīng)用圖標中是軸對稱圖形是

()

答案

D依據(jù)軸對稱圖形定義,即假如一個圖形沿一條直線對折后兩部分完全重合,這么

圖形叫做軸對稱圖形,故選D.第5頁6.(湖南郴州,8,3分)如圖,在矩形ABCD中,AB=3,將△ABD沿對角線BD對折,得到△EBD,DE

與BC交于點F,∠ADB=30°,則EF=

()

A.

B.2

C.3

D.3

答案

A∵在矩形ABCD中,AD∥BC,∴∠DBC=∠ADB=30°,由題意知∠DBE=∠DBA=60°,∠E=∠A=90°,BE=AB=3,∴∠FBE=30°.在Rt△BEF中,EF=BE·tan∠EBF=3×

=

.故選A.思緒分析

由折疊知AB=BE,∠ABD=∠DBE,又由矩形性質(zhì)知在Rt△BEF中,BE=3,∠EBF=30°,

從而可求EF.易錯警示

①不了解折疊性質(zhì);②記錯特殊角三角函數(shù)值;③不會合理利用三角函數(shù)來解題.評析

本題考查了矩形性質(zhì),折疊性質(zhì)以及解直角三角形,屬輕易題.第6頁考點二圖形平移1.(湖南益陽,8,3分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,半徑為2☉P圓心P坐標為(-3,0),

將☉P沿x軸正方向平移,使☉P與y軸相切,則平移距離為

()

A.1

B.1或5

C.3

D.5答案

B當☉P位于y軸左側(cè)且與y軸相切時,平移距離為1;當☉P位于y軸右側(cè)且與y軸

相切時,平移距離為5.故選B.第7頁2.(湖南邵陽,18,3分)如圖,A點初始位置位于數(shù)軸上原點,現(xiàn)對A點做以下移動:第1次

從原點向右移動1個單位長度至B點,第2次從B點向左移動3個單位長度至C點,第3次從C點向

右移動6個單位長度至D點,第4次從D點向左移動9個單位長度至E點,……,依這類推,這么最少

移動

次后該點到原點距離大于41.

答案28第8頁解析由題意可得移動1次后該點對應(yīng)數(shù)為0+1=1,到原點距離為1;移動2次后該點對應(yīng)數(shù)為1-3=-2,到原點距離為2;移動3次后該點對應(yīng)數(shù)為-2+6=4,到原點距離為4;移動4次后該點對應(yīng)數(shù)為4-9=-5,到原點距離為5;移動5次后該點對應(yīng)數(shù)為-5+12=7,到原點距離為7;移動6次后該點對應(yīng)數(shù)為7-15=-8,到原點距離為8;……故移動(2n-1)(n≥1,n為整數(shù))次后該點到原點距離為3n-2;移動2n次后該點到原點距離為3n-1.①當3n-2≥41時,解得n≥

,∵n是正整數(shù),∴n最小值為15,此時移動了29次.②當3n-1≥41時,解得n≥14.∵n是正整數(shù),∴n最小值為14,此時移動了28次.總而言之,最少移動28次后該點到原點距離大于41.思緒分析

從特殊到普通,找出規(guī)律.解題關(guān)鍵

從特殊到普通,列舉第1次,第2次,第3次,第4次,第5次,第6次,找出規(guī)律,分為兩種情

況:即移動次數(shù)為奇數(shù)次和偶數(shù)次時,分別用含n代數(shù)式表示出移動后該點到原點距離.第9頁考點三圖形旋轉(zhuǎn)1.(湖南衡陽,3,3分)以下生態(tài)環(huán)境保護標志中,是中心對稱圖形是

()

答案

B

A、C、D是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,B是中心對稱圖形,旋轉(zhuǎn)180°后與本身

重合.第10頁2.(湖南株洲,4,3分)如圖,在三角形ABC中,∠ACB=90°,∠B=50°,將此三角形繞點C沿順時

針方向旋轉(zhuǎn)后得到三角形A'B'C,若點B'恰好落在線段AB上,AC、A'B'交于點O,則∠COA'度

數(shù)是

()

A.50°

B.60°

C.70°

D.80°答案

B∵在三角形ABC中,∠ACB=90°,∠B=50°,∴∠A=180°-∠ACB-∠B=40°.由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知BC=B'C,∴∠B=∠BB‘C=50°.又∵∠BB'C=∠A+∠ACB'=40°+∠ACB',∴∠ACB'=10°,∴∠COA'=∠OB'C+∠ACB'=∠B+∠ACB'=60°.故選B.思緒分析

依據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì),旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等,并結(jié)合外角性質(zhì)來處理此題.解題關(guān)鍵

掌握旋轉(zhuǎn)性質(zhì),三角形外角性質(zhì).第11頁3.(湖南長沙,9,3分)以下四個圓形圖案中,分別以它們所在圓圓心為旋轉(zhuǎn)中心,順時針旋

轉(zhuǎn)120°后,能與原圖形完全重合是

()

答案

A若順時針旋轉(zhuǎn),與原圖形完全重合,則A項,最小旋轉(zhuǎn)角度=

=120°;B項,最小旋轉(zhuǎn)角度=

=90°;C項,最小旋轉(zhuǎn)角度=

=180°;D項,最小旋轉(zhuǎn)角度=

=72°,故選A.思緒分析

依據(jù)旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)方向,旋轉(zhuǎn)角大小來處理此題.易錯警示

易與中心對稱圖形混同,錯選C.第12頁4.(湖南衡陽,13,3分)如圖,點A、B、C、D、O都在方格紙格點上,若△COD是由△AOB

繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)而得到,則旋轉(zhuǎn)角度為

.

答案90°解析∵△COD是由△AOB繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)而得到,∴旋轉(zhuǎn)角度是∠BOD度數(shù),∵∠BOD=90°,∴旋轉(zhuǎn)角度為90°.第13頁5.(湖南張家界,12,3分)如圖,將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)150°,得到△ADE,這時點B、C、D

恰好在同一直線上,則∠B度數(shù)為

.

答案15°解析因為△ADE是由△ABC旋轉(zhuǎn)而得到,所以∠BAD=150°,AB=AD,所以∠B=∠ADC=15°.6.(湖南懷化,12,4分)旋轉(zhuǎn)不改變圖形

和

.答案形狀;大小解析旋轉(zhuǎn)不改變圖形形狀和大小,只改變圖形位置,故答案為形狀,大小.第14頁7.(湖南湘潭,15,3分)如圖,將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AED,若線段AB=3,則BE=

.

答案3解析∵將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AED,AB=3,∴∠BAE=60°,AB=AE,∴△BAE是

等邊三角形,∴BE=AB=3.故答案為3.思緒分析

依據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和等邊三角形性質(zhì)來處理此題.解題關(guān)鍵

本題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì),解題關(guān)鍵是明確旋轉(zhuǎn)前后,對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等,圖

形大小、形狀都不改變.要注意旋轉(zhuǎn)三要素:①旋轉(zhuǎn)點;②旋轉(zhuǎn)方向;③旋轉(zhuǎn)角度.第15頁8.(湖南衡陽,23,6分)如圖,在平面直角坐標系中,△ABC三個頂點坐標分別為A(3,2)、B

(3,5)、C(1,2).(1)在平面直角坐標系中畫出△ABC關(guān)于x軸對稱△A1B1C1;(2)把△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定角度,得圖中△AB2C2,點C2在AB上.①旋轉(zhuǎn)角為多少度?②寫出點B2坐標.

第16頁解析(1)△ABC關(guān)于x軸對稱△A1B1C1如圖所表示.

(2)①由圖可知,旋轉(zhuǎn)角為90°.②點B2坐標為(6,2).第17頁9.(湖南長沙,22,8分)如圖,在菱形ABCD中,AB=2,∠ABC=60°,對角線AC、BD相交于點O,將

對角線AC所在直線繞點O順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)后得到直線l,直線l與AD、BC兩邊分別相

交于點E和點F.(1)求證:△AOE≌△COF;(2)當α=30°時,求線段EF長度.

第18頁解析(1)證實:∵四邊形ABCD為菱形,∴AD∥BC,AO=CO,∴∠OAE=∠OCF.又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF.(2)∵AB=BC=2,∠ABC=60°,∴△ABC為等邊三角形.∴AC=AB=2,OC=1.當α=30°時,∵∠ACB=60°,∴OF⊥BC.在Rt△OFC中,∵OC=1,∠COF=30°,∴OF=

OC=

.又由(1)可得OE=OF,∴EF=2OF=

.第19頁B組—年全國中考題組考點一圖形軸對稱1.(河北,3,3分)圖中由“

”和“

”組成軸對稱圖形,該圖形對稱軸是直線

()

A.l1

B.l2

C.l3

D.l4

答案

C假如一個圖形沿一條直線折疊,直線兩旁部分能夠完全重合,這個圖形叫做軸對

稱圖形,由此知該圖形對稱軸是直線l3,故選C.第20頁2.(天津,4,3分)以下圖形中,能夠看作是中心對稱圖形是()

答案

A在平面內(nèi),把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180°,假如旋轉(zhuǎn)后圖形能與原來圖形重

合,那么這個圖形叫做中心對稱圖形,選項A中圖形符合中心對稱圖形定義,故選A.第21頁3.(北京,5,3分)以下圖形中,是軸對稱圖形但

中心對稱圖形是

()

答案

A選項A中圖形是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形;選項B、D中圖形既是軸對

稱圖形又是中心對稱圖形;選項C中圖形是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形.故選A.第22頁4.(四川成都,5,3分)以下圖標中,既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形是

()

答案

D依據(jù)圖形特點知,A中圖形既不是軸對稱圖形,也不是中心對稱圖形;B中圖形僅是

中心對稱圖形;C中圖形僅是軸對稱圖形,D中圖形既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形.故選D.5.(山東青島,3,3分)以下四個圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形是

()

答案

B選項A中圖形是中心對稱圖形,不是軸對稱圖形;選項B中圖形既是中心對稱圖

形,也是軸對稱圖形;選項C中圖形是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形;選項D中圖形既不是

中心對稱圖形,也不是軸對稱圖形.所以選B.第23頁6.(河北,3,3分)一張菱形紙片按圖1、圖2依次對折后,再按圖3打出一個圓形小孔,則展開

鋪平后圖案是

()

答案

C能夠動手操作,也可依據(jù)對折次序及菱形對稱性來判斷.選C.第24頁考點二圖形平移1.(河北,15,2分)如圖,點I為△ABC內(nèi)心,AB=4,AC=3,BC=2,將∠ACB平移使其頂點與I重

合,則圖中陰影部分周長為

()

A.4.5

B.4

C.3

D.2第25頁答案

B如圖,連接AI,BI,∵點I為△ABC內(nèi)心,∴AI平分∠BAC,BI平分∠ABC,∵AC∥IE,∴

∠CAI=∠AIE,∴∠EAI=∠AIE,∴AE=EI.同理,BF=FI,∴陰影部分周長=EI+FI+EF=AE+BF+

EF=AB,∵AB=4,∴陰影部分周長為4,故選B.

第26頁2.(寧夏,14,3分)如圖,在平面直角坐標系中,點A坐標為(0,4),將△OAB沿x軸向右平移后

得到△O'A'B',點A對應(yīng)點A'是直線y=

上一點,則點B與其對應(yīng)點B'間距離為

.

答案5解析因為將△OAB沿x軸向右平移得△O'A'B',所以點A與A'縱坐標相同,把y=4代入y=

x,得x=5,則點A與A'距離是5,所以點B與B'距離也是5.評析本題考查了平移性質(zhì),屬輕易題.第27頁3.(安徽,17,8分)如圖,在邊長為1個單位長度小正方形組成網(wǎng)格中,給出了格點△ABC

(頂點是網(wǎng)格線交點).(1)請畫出△ABC關(guān)于直線l對稱△A1B1C1;(2)將線段AC向左平移3個單位,再向下平移5個單位,畫出平移得到線段A2C2,并以它為一邊

作一個格點△A2B2C2,使A2B2=C2B2.

第28頁解析(1)△A1B1C1如圖所表示.

(4分)(2)線段A2C2和△A2B2C2如圖所表示.(符合條件△A2B2C2不唯一)

(8分)第29頁考點三圖形旋轉(zhuǎn)1.(河北,16,2分)已知正方形MNOK和正六邊形ABCDEF邊長均為1,把正方形放在正六邊

形中,使OK邊與AB邊重合,如圖所表示,按以下步驟操作:將正方形在正六邊形中繞點B順時針旋轉(zhuǎn),使KM邊與BC邊重合,完成第一次旋轉(zhuǎn);再繞點C順時

針旋轉(zhuǎn),使MN邊與CD邊重合,完成第二次旋轉(zhuǎn);……在這么連續(xù)6次旋轉(zhuǎn)過程中,點B,M間

距離可能是

()

A.1.4

B.1.1

C.0.8

D.0.5第30頁答案

C在第一次旋轉(zhuǎn)過程中,BM=1;在第二次旋轉(zhuǎn)過程中,點M位置不變,BM=1;在第三次旋

轉(zhuǎn)過程中,BM長由1逐步變小為

-1;在第四次旋轉(zhuǎn)過程中,點M在以點E為圓心,

為半徑圓弧上,BM長由

-1逐步變小為2-

,然后逐步變大為

-1;在第五次旋轉(zhuǎn)過程中,BM長由

-1逐步變大為1;在第六次旋轉(zhuǎn)過程中,點M位置不變,BM=1.顯然連續(xù)6次旋轉(zhuǎn)過程中,點B,M間距離可能是0.8,故選C.解題關(guān)鍵

處理本題關(guān)鍵是求出每個旋轉(zhuǎn)過程中BM長改變范圍.第31頁2.(吉林長春,8,3分)如圖,在平面直角坐標系中,點A(-1,m)在直線y=2x+3上.連接OA,將線段

OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°,點A對應(yīng)點B恰好落在直線y=-x+b上,則b值為

()

A.-2

B.1

C.

D.2答案

D把A(-1,m)代入y=2x+3,得m=2×(-1)+3=1,∴A點坐標為(-1,1).將線段OA繞點O順時針

旋轉(zhuǎn)90°,點A對應(yīng)點B坐標是(1,1),把B(1,1)代入y=-x+b,得-1+b=1,∴b=2.故選D.評析本題考查了一次函數(shù)與旋轉(zhuǎn),需要經(jīng)過旋轉(zhuǎn)性質(zhì)準確求出對應(yīng)點坐標,屬輕易題.第32頁3.(黑龍江哈爾濱,9,3分)如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后

得到△AB'C'(點B對應(yīng)點是點B',點C對應(yīng)點是點C'),連接CC',若∠CC'B'=32°,則∠B大小

是

()

A.32°

B.64°

C.77°

D.87°答案

C∵AC=AC',∠CAC'=90°,∴∠CC'A=45°,∴∠AC'B'=45°-32°=13°,又∵∠ACB=∠AC'B',∴∠B=90°-∠ACB=90°-13°=77°.故選C.第33頁4.(河南,14,3分)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,將△ABC繞AC中點D逆時針旋

轉(zhuǎn)90°得到△A'B'C',其中點B運動路徑為?,則圖中陰影部分面積為

.

第34頁解析如圖,連接B'D,BD,作DE⊥A'B'于點E.

在Rt△BCD中,BC=2,CD=

AC=1,∴BD=

=

.由旋轉(zhuǎn)得A'B'⊥AB,∠B'DB=90°,DE=

AA'=

AB=

,B'C=

,∴S陰影=S扇形B'DB-S△B'CD-S△BCD=

-

×

×

-

×2×1=

-

.答案

-

思緒分析

首先確定?所在圓圓心為點D,依據(jù)題意求出半徑DB和圓心角∠B'DB度數(shù),然后經(jīng)過S扇形B'DB-S△B'CD-S△BCD可求得陰影部分面積.第35頁5.(云南昆明,5,3分)如圖,點A坐標為(4,2).將點A繞坐標原點O旋轉(zhuǎn)90°后,再向左平移1個

單位長度得到點A',則過點A'正百分比函數(shù)解析式為

.

第36頁答案

y=-4x或y=-

x解析分情況討論:①當點A繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°時,旋轉(zhuǎn)后得點A'(2,-4),向左平移1個單位

長度得點(1,-4),代入y=kx(k≠0)中,得k=-4,所以y=-4x;②當點A繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°時,旋轉(zhuǎn)

后得點A'(-2,4),向左平移1個單位長度得點(-3,4),代入y=kx(k≠0)中,得k=-

,所以y=-

x.所以過點A'正百分比函數(shù)解析式為y=-4x或y=-

x.思緒分析

點A繞坐標原點O旋轉(zhuǎn)90°,要分順時針和逆時針兩種情況分別求旋轉(zhuǎn)后所得點

坐標,從而得平移后點坐標,再將平移后點坐標代入y=kx(k≠0)求解即可.易錯警示

本題考查了點在平面直角坐標系內(nèi)旋轉(zhuǎn)和平移、正百分比函數(shù)解析式求法,題

中旋轉(zhuǎn)未指出旋轉(zhuǎn)方向,需分情況討論,若考慮不全,則易造成錯誤,造成失分.第37頁C組教師專用題組考點一圖形軸對稱1.(廣東,5,3分)以下所述圖形中,是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形是

()A.圓

B.菱形C.平行四邊形

D.等腰三角形答案

D圓和菱形都是軸對稱圖形,也都是中心對稱圖形,所以A、B都不符合題意;平行四

邊形是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形,所以C不符合題意;等腰三角形是軸對稱圖形但不是

中心對稱圖形,故選D.方法總結(jié)

本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形概念.假如一個圖形沿著一條直線對折

后兩部分完全重合,這么圖形叫做軸對稱圖形,這條直線叫做對稱軸.假如一個圖形繞某一點

旋轉(zhuǎn)180°后能夠與本身重合,那么這個圖形就叫做中心對稱圖形,這個點叫做對稱中心.易錯警示

這類問題輕易混同平行四邊形對稱性和特殊平行四邊形對稱性.等邊三角形

對稱性是最輕易弄錯,一不小心就會看成中心對稱圖形.第38頁2.(廣東廣州,2,3分)如圖所表示五角星是軸對稱圖形,它對稱軸共有

()A.1條

B.3條

C.5條

D.無數(shù)條答案

C如圖所表示,五角星對稱軸共有5條.

思緒分析

依據(jù)軸對稱圖形定義:“假如一個圖形沿一條直線折疊,直線兩旁部分能夠互

相重合,這個圖形叫做軸對稱圖形,這條直線叫做對稱軸”分析、了解題目.方法總結(jié)

軸對稱圖形和中心對稱圖形是經(jīng)?？疾榭键c.考生需要正確了解其概念:軸對稱

圖形是沿直線翻折后直線兩旁部分能夠相互重合,中心對稱圖形是在平面內(nèi)一個圖形繞某

個點旋轉(zhuǎn)180°后能夠與原圖形重合.第39頁3.(重慶,2,4分)以下圖形中一定是軸對稱圖形是

()

答案

D依據(jù)軸對稱圖形概念可得矩形一定是軸對稱圖形.故選D.解題關(guān)鍵

判斷軸對稱圖形關(guān)鍵是尋找對稱軸.4.(湖南長沙,4,3分)在以下圖形中,既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形是

()

答案

C

A中圖形既不是軸對稱圖形,又不是中心對稱圖形;B中圖形是軸對稱圖形,但

不是中心對稱圖形;C中圖形既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形;D中圖形不是軸對稱圖

形,不過中心對稱圖形.故選C.第40頁5.(江西,3,3分)以下圖形中,是軸對稱圖形是

()

答案

C依據(jù)軸對稱圖形概念可得選項A、B、D都不是軸對稱圖形,只有選項C是軸對稱

圖形,故選C.6.(福建,5,4分)以下關(guān)于圖形對稱性命題,正確是

()A.圓既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形B.正三角形既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形C.線段是軸對稱圖形,但不是中心對稱圖形D.菱形是中心對稱圖形,但不是軸對稱圖形答案

A圓是軸對稱圖形,每一條經(jīng)過圓心直線都是它對稱軸,圓又是中心對稱圖形,對

稱中心是圓心,故選A.第41頁7.(內(nèi)蒙古呼和浩特,3,3分)下列圖中序號(1)(2)(3)(4)對應(yīng)四個三角形,都是△ABC這個圖形

進行了一次變換之后得到,其中是經(jīng)過軸對稱得到是

()A.(1)

B.(2)

C.(3)

D.(4)答案

A依據(jù)軸對稱性質(zhì)可知,序號(1)對應(yīng)三角形與△ABC對應(yīng)點所連線段被一

條直線(對稱軸)垂直平分,故選A.第42頁8.(湖南長沙,4,3分)以下圖形中,是軸對稱圖形,但不是中心對稱圖形是

()

答案

B依據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形定義可得A,C,D項中圖形既是軸對稱圖形,也

是中心對稱圖形,只有B項中圖形是軸對稱圖形,但不是中心對稱圖形.9.(湖南株洲,4,3分)以下幾何圖形中,既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形是

()A.等腰三角形

B.正三角形C.平行四邊形

D.正方形答案

D

A、B項中圖形是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形;C項中圖形是中心對稱圖形,

不一定是軸對稱圖形,故選D.第43頁10.(廣西南寧,2,3分)以下圖形中,是軸對稱圖形是

()

答案

D依據(jù)軸對稱圖形概念,“假如把一個圖形沿某直線折疊,直線兩旁部分能夠重

合,那么這個圖形是軸對稱圖形”,可知選項A、B、C中圖形均不是軸對稱圖形,只有選項D

中圖形是軸對稱圖形,故選D.11.(湖南婁底,5,3分)以下圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形是

()

答案

D四個選項中圖形只有圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形,故選D.第44頁12.(湖南永州,2,3分)永州文化底蘊深厚,永州人民生活健康向上,如瑤族長鼓舞、東

安武術(shù)、寧遠舉重等,下面四幅簡筆畫是從永州文化活動中抽象出來,其中是軸對稱圖

形是

()

答案

C由軸對稱圖形定義可知選項C中圖形是軸對稱圖形,故選C.第45頁13.(寧夏,15,3分)如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,在CD上任取一點E,連接BE,將△BCE沿

BE折疊,使點C恰好落在AD邊上點F處,則CE長為

.

答案

解析設(shè)CE=x,在矩形ABCD中,∵AB=3,BC=5,∴AD=BC=5,CD=AB=3,則ED=3-x.由折疊性

質(zhì)可知,BF=BC=5,FE=CE=x.在Rt△ABF中,AF=

=

=4,∴FD=5-4=1.在Rt△DEF中,有DF2+DE2=EF2,即12+(3-x)2=x2,解得x=

,即CE長為

.第46頁14.(廣西南寧,21,8分)如圖,在平面直角坐標系中,△ABC三個頂點分別為A(-1,-2),B(-2,-

4),C(-4,-1).(1)把△ABC向上平移3個單位后得到△A1B1C1,請畫出△A1B1C1,并寫出點B1坐標;(2)已知點A與點A2(2,1)關(guān)于某直線l成軸對稱,請畫出直線l及△ABC關(guān)于直線l對稱△A2B2C2,

并直接寫出直線l函數(shù)解析式.

第47頁解析(1)△A1B1C1如圖所表示.

(3分)點B1坐標為(-2,-1).

(4分)

(2)畫出直線l如圖所表示.

(5分)△A2B2C2如圖所表示.

(7分)直線l函數(shù)解析式為y=-x.

(8分)第48頁考點二圖形平移1.(江西,5,3分)小軍同學(xué)在網(wǎng)格紙上將一些圖形進行平移操作,他發(fā)覺平移前后兩個圖

形所組成圖形能夠是軸對稱圖形.如圖所表示,現(xiàn)在他將正方形ABCD從當前位置開始進行一

次平移操作,平移后正方形頂點也在格點上,則使平移前后兩個正方形組成軸對稱圖形

平移方向有

()

A.3個

B.4個

C.5個

D.無數(shù)個第49頁答案

C如圖所表示,正方形ABCD能夠向上、向下、向右以及沿射線AC或BD方向平移,平移

后兩個正方形組成軸對稱圖形.故選C.

第50頁2.(江蘇鎮(zhèn)江,12,2分)如圖,△ABC和△DBC是兩個含有公共邊全等等腰三角形,AB=

AC=3cm,BC=2cm.將△DBC沿射線BC平移一定距離得到△D1B1C1,連接AC1、BD1.假如四邊

形ABD1C1是矩形,那么平移距離為

cm.

第51頁答案7解析作AE⊥BC于點E,則BE=EC=1cm.

設(shè)平移距離為xcm,在Rt△ABE中,AE=

=

=2

cm,當四邊形ABD1C1為矩形時,∠BAC1=90°,在Rt△ABC1中,AC1=

=

cm,

AB·AC1=

AE·BC1,所以

×3

=

×2

(x+2),整理得x2+4x-77=0,解得x1=7,x2=-11(舍去),所以平移距離為7cm.評析本題是在平移中結(jié)構(gòu)矩形,綜合考查了矩形性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)以及勾股定理

和解方程,屬中等題.第52頁3.(江西,11,3分)如圖,在△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,將△ABC沿射線BC方向平移2個

單位后,得到△A'B'C',連接A'C,則△A'B'C周長為

.

答案12解析由題意得,B'C'=BC=6,CC'=2,∴B'C=B'C'-CC'=4,∵A'B'=AB=4,∴B'C=A'B',又∵∠A'B'C=∠B=60°,∴△A'B'C是等邊三角形,∴△A'B'C周長是12.評析

本題考查了平移變換和等邊三角形性質(zhì),屬輕易題.第53頁考點三圖形旋轉(zhuǎn)1.(福建,10,4分)如圖,網(wǎng)格紙上正方形小格邊長為1.圖中線段AB和點P繞著同一個點做

相同旋轉(zhuǎn),分別得到線段A'B'和點P',則點P'所在單位正方形區(qū)域是

()

A.1區(qū)

B.2區(qū)

C.3區(qū)

D.4區(qū)答案

D連接AA',BB',分別作AA',BB'垂直平分線,兩條直線相交于點O,點O就是旋轉(zhuǎn)中心,

旋轉(zhuǎn)角為90°,連接OP,OP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°即可得到OP',可知點P'落在4區(qū),故選D.第54頁2.(天津,7,3分)在平面直角坐標系中,把點P(-3,2)繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)180°,所得到對應(yīng)

點P'坐標為()A.(3,2)

B.(2,-3)C.(-3,-2)

D.(3,-2)答案

D在平面直角坐標系中,任意一點A(x,y)繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)180°,所得到對稱點是

A'(-x,-y),故點P(-3,2)關(guān)于原點對稱點是P'(3,-2).故選D.第55頁3.(山東煙臺,10,3分)如圖,將△ABC繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'B'C',則點P坐標是

()

A.(1,1)

B.(1,2)

C.(1,3)

D.(1,4)答案

B分別連接AA'、CC',并分別作它們垂直平分線,交點即為點P.評析此題考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì),即對應(yīng)點所連線段垂直平分線交點是旋轉(zhuǎn)中心.第56頁4.(江西,10,3分)如圖,在矩形ABCD中,AD=3,將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn),得到矩形AE-

FG,點B對應(yīng)點E落在CD上,且DE=EF,則AB長為

.

答案3

解析依據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì),得BC=EF,AB=AE,又四邊形ABCD為矩形,DE=EF,∴AD=DE=3,∠D=9

0°,即△ADE為等腰直角三角形,依據(jù)勾股定理得AE=

=3

,所以AB=AE=3

.解題關(guān)鍵

熟練掌握旋轉(zhuǎn)性質(zhì)是處理本題關(guān)鍵.第57頁5.(廣西南寧,18,3分)如圖,把正方形鐵片OABC置于平面直角坐標系中,頂點A坐標為(3,

0),點P(1,2)在正方形鐵片上,將正方形鐵片繞其右下角頂點按順時針方向依次旋轉(zhuǎn)90°,第一

次旋轉(zhuǎn)至圖中①位置,第二次旋轉(zhuǎn)至圖中②位置,……,則正方形鐵片連續(xù)旋轉(zhuǎn)2017次后,點P

坐標為

.

第58頁答案(6053,2)解析由題意知旋轉(zhuǎn)1次得P1(5,2),旋轉(zhuǎn)2次得P2(8,1),類似地,P3(10,1),P4(13,2),P5(17,2),P6(20,1),

……,故點P縱坐標旋轉(zhuǎn)4次為一循環(huán),因2017÷4=504……1,故P2017縱坐標與P1縱坐標相

同,設(shè)Pn縱坐標為

,則旋轉(zhuǎn)奇數(shù)次時點Pn橫坐標為3n+

,偶數(shù)次時為3(n+1)-

,故P2017橫坐標為3×2017+2=6053,∴連續(xù)旋轉(zhuǎn)2017次后,點P坐標為(6053,2).解題關(guān)鍵

確定點P縱坐標和橫坐標改變規(guī)律是處理本題關(guān)鍵.第59頁6.(湖南永州,16,3分)如圖,在平面直角坐標系中,點A坐標為(-2,0),△ABO是直角三角形,

∠AOB=60°,現(xiàn)將Rt△ABO繞原點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)到Rt△A'B'O位置,則此時邊OB掃過

面積為

.

答案

π解析在Rt△ABO中,∵∠AOB=60°,∴∠BAO=30°,∠A'OB=30°,∴OB=

OA=1.由旋轉(zhuǎn)可知OB=OB'=1,∠A'OB'=∠AOB=60°,∴∠BOB'=∠A'OB'+∠A'OB=90°,∴邊OB掃過

面積為

×π×12=

π.第60頁7.(福建福州,16,4分)如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=

.將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△MNC,連接BM,則BM長是

.

第61頁答案

+1解析如圖,連接AM,易知△AMC是等邊三角形,所以CM=AM,易證△BMC≌△BMA,所以∠

CBM=∠ABM=45°,∠CMB=∠AMB=30°,又∠ABC=90°,AB=BC,所以∠BCD=45°,所以∠CDB=1

80°-∠CBD-∠BCD=90°,所以∠CDM=∠CDB=90°.在Rt△CDB中,CD=CB·sin45°=1,所以BD=

CD=1.在Rt△CDM中,DM=CM·sin60°=

,所以BM=DM+BD=

+1.

評析處理本題關(guān)鍵是證出BM⊥AC,再利用含有特殊角直角三角形分別求得BD、DM

長,從而求出BM,綜合性較強,屬于難題.第62頁8.(江蘇南京,16,2分)如圖,在矩形ABCD中,AB=5,BC=4,以CD為直徑作☉O.將矩形ABCD繞

點C旋轉(zhuǎn),使所得矩形A'B'CD'邊A'B'與☉O相切,切點為E,邊CD'與☉O相交于點F,則CF長

為

.

答案4第63頁解析連接OE,延長EO交CD‘于點G,作OH⊥B’C于點H,則∠OEB'=∠OHB'=90°.∵矩形ABCD繞點C旋轉(zhuǎn)得矩形A'B'CD',∴∠B'=∠B'CD'=90°,AB=CD=5,BC=B'C=4,∴四邊形OEB'H和四邊形EB'CG都是矩形,OE=OC=2.5,∴B'H=OE=2.5,∴CH=B'C-B'H=1.5,∴CG=B'E=OH=

=

=2.∵四邊形EB'CG是矩形,∴∠OGC=90°,即OG⊥CD',∴CF=2CG=4.故答案為4.解后反思

本題主要考查圓切線性質(zhì),解題關(guān)鍵是掌握矩形判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)性

質(zhì)、切線性質(zhì)、垂徑定理等知識點.第64頁9.(天津,18,3分)如圖,在每個小正方形邊長為1網(wǎng)格中,△ABC頂點A,B,C均在格點

上.(1)∠ACB大小為

°;(2)在如圖所表示網(wǎng)格中,P是BC邊上任意一點,以A為中心,取旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC,把點P逆時針

旋轉(zhuǎn),點P對應(yīng)點為P‘,當CP’最短時,請用無刻度直尺,畫出點P‘,并簡明說明點P’位置是如

何找到(不要求證實)

.

第65頁答案(1)90(2)如圖,取格點D,E,連接DE交AB于點T;取格點M,N,連接MN交BC延長線于點G;取格點F,連接

FG交TC延長線于點P',則點P'即為所求

第66頁解析(1)∵每個小正方形邊長為1,∴AC=3

,BC=4

,AB=5

,∵(3

)2+(4

)2=50=(5

)2,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°.(2)在射線AC上取格點F,使AF=AB=5

,則點F為點B對應(yīng)點,依據(jù)直線BC位置,取格點M,N,連接MN交BC延長線于點G,可求得CG=

+

=

,連接GF,CF,易得△ACB∽△GCF,則GF所在直線即為BC旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)邊所在直線.取格點D,E,連接DE交AB于點T,則點T為線段AB中點,作直線CT,所以TC=TA,∠ACT=∠CAT,

記直線CT交FG于點P',因為∠P'CF+∠P'FC=∠ACT+∠ABC=90°,所以∠FP'C=90°,即CP'⊥FG,

所以點P'即為所求作點.思緒分析

(1)由勾股定理求得AC,BC,AB長,依據(jù)勾股定理逆定理判斷出直角三角形;(2)P

是BC邊上任意一點,把△ACB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn),使旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC,那么點P對應(yīng)點P'在

邊CB旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)邊上,當CP'垂直于CB旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)邊時,線段CP'最短,確定CB旋轉(zhuǎn)后對

應(yīng)邊位置,作出垂線,即可確定點P'位置.第67頁10.(廣東,25,9分)已知Rt△OAB,∠OAB=90°,∠ABO=30°,斜邊OB=4,將Rt△OAB繞點O順時

針旋轉(zhuǎn)60°,如圖1,連接BC.(1)填空:∠OBC=

°;(2)如圖1,連接AC,作OP⊥AC,垂足為P,求OP長度;(3)如圖2,點M、N同時從點O出發(fā),在△OCB邊上運動,M沿O→C→B路徑勻速運動,N沿O→B→

C路徑勻速運動,當兩點相遇時停頓運動.已知點M運動速度為1.5單位/秒,點N運動速度為

1單位/秒.設(shè)運動時間為x秒,△OMN面積為y,求當x為何值時y取得最大值,最大值為多少?(結(jié)

果分母可保留根號)第68頁解析(1)60.(2)依據(jù)題意,得OB=OC,∵∠BOC=60°,∴△OBC為等邊三角形,∴BC=OB=4,在Rt△OAB中,∵∠ABO=30°,∴OA=

OB=2,AB=

OB=2

,在Rt△ABC中,AC=

=2

.∵sin∠ACB=

=

,∴sin∠PAO=sin∠ACB=

,∴sin∠PAO=

=

,第69頁∴OP=

OA=

.(3)①當0≤x≤

時,點M在邊OC上,點N在邊OB上,∵ON邊上高為OMsin∠MON,∴y=

·ON·OMsin∠MON=

·x·

xsin60°=

x2.當x=

時,y取得最大值

.②當

≤x≤4時,如圖1,點M在邊BC上,點N在邊OB上,BM=8-

x.

圖1第70頁∵ON邊上高為BMsin∠MBN,∴y=

·x·

sin60°=

x(16-3x)=-

+

.當x=

時,y取得最大值

.③當4≤x≤

時,如圖2,點M、N均在BC上,

圖2∴MN=12-

x,第71頁∵MN邊上高等于AB長,∴y=

·MN·AB=

·

·2

=

(24-5x).當x=4時,y取得最大值2

.總而言之,當x=

時,y取得最大值

.思緒分析

(1)依據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知OB=OC,∠BOC等于60°,從而△OBC是等邊三角形,可得∠

OBC=60°.(2)分別求出AO,AB,BC,AC長,利用∠ACB=∠PAO,且其三角函數(shù)值也相等求解.(3)首先按點M、N所在邊分三類進行討論,然后可依據(jù)三角形面積公式去求三角形OMN

面積y與時間x函數(shù)關(guān)系式,最終求一次函數(shù)與二次函數(shù)最值即可.解后反思

本題是代數(shù)與幾何綜合應(yīng)用,主要考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函

數(shù)、一次函數(shù)與二次函數(shù)最值等知識,也考查了分類討論等解題思想.在處理動態(tài)幾何問題

時,我們通常依據(jù)題意確定一個分類標準,比如,依據(jù)幾何圖形形狀、運動對象相對位置、

數(shù)量關(guān)系改變趨勢等不一樣進行分類討論.難點在于怎樣“化動為靜”,所以畫出各個分類

圖形對處理問題有著很大幫助,當圖形畫出來后,動態(tài)幾何問題也就轉(zhuǎn)化為靜態(tài)幾何問題了.第72頁11.(福建,21,8分)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8.線段AD由線段AB繞點A按逆

時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到,△EFG由△ABC沿CB方向平移得到,且直線EF過點D.(1)求∠BDF大小;(2)求CG長.

第73頁解析(1)∵線段AD由線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到,∴∠DAB=90°,AD=AB=10.∴∠ABD=45°.∵△EFG由△ABC沿CB方向平移得到,∴AB∥EF,∴∠BDF=∠ABD=45°.(2)由平移性質(zhì)可得AE∥CG,AB∥EF,且AE=CG.∴∠DEA=∠DFC=∠ABC,∠ADE+∠DAB=180°,∵∠DAB=90°,∴∠ADE=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ADE=∠ACB,∴△ADE∽△ACB,∴

=

,∵AC=8,AB=AD=10,∴AE=

,∴CG=AE=

.解后反思

本題考查圖形平移與旋轉(zhuǎn)、平行線性質(zhì)、等腰直角三角形判定與性質(zhì)、

解直角三角形、相同三角形判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運算能力、推理能力、數(shù)形結(jié)合

思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.第74頁12.(河北,25,11分)平面內(nèi),如圖,在?ABCD中,AB=10,AD=15,tanA=

.點P為AD邊上任意一點,連接PB,將PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ.(1)當∠DPQ=10°時,求∠APB大小;(2)當tan∠ABP∶tanA=3∶2時,求點Q與點B間距離(結(jié)果保留根號);(3)若點Q恰好落在?ABCD邊所在直線上,直接寫出PB旋轉(zhuǎn)到PQ所掃過面積(結(jié)果保留

π).

備用圖

第75頁解析(1)當點Q與B在PD異側(cè)時,由∠DPQ=10°,∠BPQ=90°得∠BPD=80°,∴∠APB=180°-∠BPD=100°.當點Q與B在PD同側(cè)時,如圖1,∠APB=180°-∠BPQ-∠DPQ=80°.∴∠APB是80°或100°.

(4分)(2)如圖1,過點P作PH⊥AB于點H,連接BQ.∵tan∠ABP∶tanA=

∶

=3∶2,

圖1∴AH∶HB=3∶2.而AB=10,∴AH=6,HB=4.

(6分)第76頁在Rt△PHA中,PH=AH·tanA=8.∴PQ=PB=

=

=4

.∴在Rt△PQB中,QB=

PB=4

.

(8分)(3)16π或20π或32π.

(11分)[注:下面是(3)一個解法,僅供參考,解答過程以下:①點Q在AD上時,如圖2,由tanA=

得PB=AB·sinA=8,∴S陰影=16π.

圖2②點Q在CD上時,如圖3,過點P作PH⊥AB于點H,第77頁交CD延長線于點K,由題意得∠K=90°,∠KDP=∠A.設(shè)AH=x(x>0),則PH=AH·tanA=

x,AP=

x.∵∠BPH=∠KQP=90°-∠KPQ,PB=QP,∴Rt△HPB≌Rt△KQP.∴KP=HB=10-x,∴PD=

(10-x),AD=15=

x+

(10-x),解得x=6.∴PH=8,HB=4,∴PB2=80,∴S陰影=20π.

圖3第78頁③點Q在BC延長線上時,如圖4,過點B作BM⊥AD于點M,由①得BM=8.

圖4又∠MPB=∠PBQ=45°,∴PB=8

,∴S陰影=32π]思緒分析

(1)分以下兩種情形求解:①點Q和點B在PD同側(cè),②點Q和點B在PD異側(cè);(2)過點P

作PH⊥AB于H.當tan∠ABP∶tanA=3∶2時,AH∶HB=3∶2,進而得出AH,HB長,在Rt△APH

中,利用tanA=

求出PH長,在Rt△PBH中,依據(jù)勾股定理求出PB長,進而可得BQ長;(3)分以下三種情形求解:①點Q落在直線AD上,②點Q落在直線DC上,③點Q落在直線BC上.難點分析

本題是以旋轉(zhuǎn)為背景探究題,這類問題圖形發(fā)生改變,要善于從動態(tài)位置中尋找

不變關(guān)系.點Q位置確實定是處理問題關(guān)鍵.第79頁13.(江西,23,12分)我們定義:如圖1,在△ABC中,把AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<180°)得到

AB',把AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)β得到AC',連接B'C'.當α+β=180°時,我們稱△AB'C'是△ABC“旋

補三角形”,△AB'C'邊B'C'上中線AD叫做△ABC“旋補中線”,點A叫做“旋補中心”.特例感知(1)在圖2,圖3中,△AB'C'是△ABC“旋補三角形”,AD是△ABC“旋補中線”.①如圖2,當△ABC為等邊三角形時,AD與BC數(shù)量關(guān)系為AD=

BC;②如圖3,當∠BAC=90°,BC=8時,則AD長為

.猜測論證(2)在圖1中,當△ABC為任意三角形時,猜測AD與BC數(shù)量關(guān)系,并給予證實.

第80頁拓展應(yīng)用(3)如圖4,在四邊形ABCD中,∠C=90°,∠D=150°,BC=12,CD=2

,DA=6.在四邊形內(nèi)部是否存在點P,使△PDC是△PAB“旋補三角形”?若存在,給予證實,并求△PAB“旋補中線”長;

若不存在,說明理由.

圖4第81頁解析(1)①

.

(1分)②4.

(3分)(2)猜測:AD=

BC.

(4分)證實:證法一:如圖,延長AD至E,使DE=AD,連接B'E,C'E.

∵AD是△ABC“旋補中線”,∴B'D=C'D,∴四邊形AB'EC'是平行四邊形,∴EC'∥B'A,EC'=B'A,∴∠AC'E+∠B'AC'=180°.由定義可知∠B'AC'+∠BAC=180°,B'A=BA,AC=AC',第82頁∴∠AC'E=∠BAC,EC'=BA.∴△AC'E≌△CAB.∴AE=CB.

(6分)∵AD=

AE,∴AD=

BC.

(7分)證法二:如圖,延長B'A至F,使AF=B'A,連接C'F.

∴∠B'AC'+∠C'AF=180°.由定義可知∠B'AC'+∠BAC=180°,B'A=BA,AC=AC',∴∠CAB=∠C'AF,AB=AF,∴△ABC≌△AFC',∴BC=FC'.

(6分)第83頁∵B'D=C'D,B'A=AF,∴AD是△B'FC'中位線,∴AD=

FC',∴AD=

BC.

(7分)證法三:如圖,將△AB'C'繞點A順時針旋轉(zhuǎn)∠C'AC度數(shù),得到△AEC,此時AC'與AC重合,設(shè)D

對應(yīng)點為D',連接AD'.

由定義可知∠B'AC'+∠BAC=180°,由旋轉(zhuǎn)得∠B'AC'=∠EAC,∴∠BAC+∠EAC=180°,∴E,A,B三點在同一直線上.

(6分)第84頁∵AB=AB'=AE,ED'=D'C,∴AD'是△EBC中位線,∴AD'=

BC,∴AD=

BC.

(7分)(注:其它證法參考給分)(3)存在.

(8分)如圖,以AD為邊在四邊形ABCD內(nèi)部作等邊△PAD,連接PB,PC,延長BP交AD于點F,

則有∠ADP=∠APD=60°,PA=PD=AD=6.第85頁∵∠CDA=150°,∴∠CDP=90°.過點P作PE⊥BC于點E,易知四邊形PDCE為矩形,∴CE=PD=6,∴tan∠1=

=

=

,∴∠1=30°,∴∠2=60°.

(9分)∵PE⊥BC,且易知BE=EC,∴PC=PB,∠3=∠2=60°,∴∠APD+∠BPC=60°+120°=180°.又PA=PD,PB=PC,∴△PDC是△PAB“旋補三角形”.

(10分)∵∠3=60°,∠DPE=90°,∴∠DPF=30°.∵∠ADP=60°,第86頁∴BF⊥AD,∴AF=

AD=3,PF=

AD=3

.在Rt△PBE中,PB=

=

=

=4

.∴BF=PB+PF=7

.在Rt△ABF中,AB=

=

=2

.

(11分)∵△PDC是△PAB“旋補三角形”,∴由(2)知,△PAB“旋補中線”長為

AB=

.

(12分)求解“旋補中線”補充解法以下:如圖,分別延長AD,BC相交于點G,第87頁

∵∠ADC=150°,∠BCD=90°,∴∠GDC=30°,∠GCD=90°.∴在Rt△GDC中,GD=

=2

÷

=4.∴GC=

GD=2,∴GA=6+4=10,GB=2+12=14.過A作AH⊥GB交GB于點H,在Rt△GAH中,AH=GA·sin60°=10×

=5

,GH=

AG=5.∴HB=GB-GH=14-5=9,∴在Rt△ABH中,AB=

=

=2

.

(10分)∵△PDC是△PAB“旋補三角形”,∴由(2)知,△PAB“旋補中線”長為

AB=

.

(12分)(注:其它解法參考給分)第88頁14.(內(nèi)蒙古包頭,25,12分)如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,將矩形ABCD繞點C按順時針

方向旋轉(zhuǎn)α角,得到矩形A'B'CD',B'C與AD交于點E,AD延長線與A'D'交于點F.

(1)如圖①,當α=60°時,連接DD',求DD'和A'F長;(2)如圖②,當矩形A'B'CD'頂點A'落在CD延長線上時,求EF長;(3)如圖③,當AE=EF時,連接AC,CF,求AC·CF值.

第89頁解析(1)∵矩形ABCD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角得到矩形A'B'CD',∴A'D'=AD=B'C=BC=4,

CD'=CD=A'B'=AB=3,∠A'D'C=∠ADC=90°.∵α=60°,∴∠DCD'=60°.∴△CDD'是等邊三角形,∴DD'=CD=3.

(2分)如圖,連接CF.

在Rt△CDF和Rt△CD'F中,

∴Rt△CDF≌Rt△CD'F.∴∠DCF=∠D'CF=

∠DCD'=30°.在Rt△CD'F中,tan∠D'CF=

=

,∴FD'=

.第90頁∴A'F=A'D'-FD'=4-

.

(4分)(2)在Rt△A'CD'中,∵∠D'=90°,∴A'C2=A'D'2+CD'2.∴A'C=5,A'D=2.∵∠DA'F=∠D'A'C,∠A'DF=∠D',∴△A'DF∽△A'D'C.∴

=

,∴

=

.∴DF=

.同理,可證△CDE∽△CB'A',∴

=

.∴

=

.∴ED=

.∴EF=ED+DF=

.

(8分)(3)如圖,過點F作FG⊥CE于點G.第91頁

∵四邊形A'B'CD'是矩形,∴GF=CD'=CD=3.∵S△ECF=

EF·CD=

CE·GF,∴EF=CE.又∵AE=EF,∴AE=EC=EF,∴∠EAC=∠ECA,∠ECF=∠EFC.∴2∠ECA+2∠ECF=180°.∴∠ACF=90°,∴∠ADC=∠ACF=90°.又∵∠CAD=∠FAC,∴△CAD∽△FAC.∴

=

.∴AC2=AD·AF.第92頁在Rt△ABC中,AC=

=5.∴AF=

=

.∵S△ACF=

AC·CF=

AF·CD,∴AC·CF=AF·CD=

.

(12分)方法規(guī)律

圖形旋轉(zhuǎn)變換是全等變換,變換過程中不改變圖形形狀和大小,要緊緊抓住圖

形變換前后不變量來處理問題.第93頁15.(江蘇連云港,26,12分)在數(shù)學(xué)興趣小組活動中,小明進行數(shù)學(xué)探究活動.將邊長為2正

方形ABCD與邊長為2

正方形AEFG按圖1位置放置,AD與AE在同一條直線上,AB與AG在同一條直線上.(1)小明發(fā)覺DG⊥BE,請你幫他說明理由;(2)如圖2,小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn),當點B恰好落在線段DG上時,請你幫他求出此

時BE長;(3)如圖3,小明將正方形ABCD繞點A繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn),線段DG與線段BE將相交,交點為H,寫出

△GHE與△BHD面積之和最大值,并簡明說明理由.

圖1

圖2

圖3第94頁解析(1)理由:∵四邊形ABCD與四邊形AEFG是正方形,∴AD=AB,∠DAG=∠BAE=90°,AG=AE,∴△ADG≌△ABE(SAS),∴∠AGD=∠AEB.如圖①,延長EB交DG于點H,在△ADG中,∠AGD+∠ADG=90°,∴∠AEB+∠ADG=90°.在△DEH中,∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°,∴∠DHE=90°,∴DG⊥BE.

(4分)

圖①第95頁(2)∵四邊形ABCD與四邊形AEFG是正方形,∴AD=AB,∠DAB=∠GAE=90°,AG=AE,∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG,∴∠DAG=∠BAE.∵AD=AB,∠DAG=∠BAE,AG=AE,∴△ADG≌△ABE(SAS),∴DG=BE.如圖②,過點A作AM⊥DG交DG于點M,∠AMD=∠AMG=90°.∵BD是正方形ABCD對角線,∴∠MDA=45°.圖②第96頁

在Rt△AMD中,∵∠MDA=45°,∴cos45°=

,∴DM=

,∴AM=

.在Rt△AMG中,∵AM2+GM2=AG2,∴GM=

=

=

.∵DG=DM+GM=

+

,∴BE=DG=

+

.

(8分)(3)△GHE與△BHD面積之和最大值為6.理由以下:

(10分)對于△EGH,點H在以EG為直徑圓上,所以當點H與點A重合時,△EGH邊EG上高最大,

對于△BDH,點H在以BD為直徑圓上,所以當點H與點A重合時,△BDH邊BD上高最大,所

以△GHE與△BHD面積之和最大值是2+4=6.

(12分)第97頁16.(湖南益陽,20,12分)已知點P是線段AB上與點A不重合一點,且AP<PB.AP繞點A逆時

針旋轉(zhuǎn)角α(0°<α≤90°)得到AP1,BP繞點B順時針也旋轉(zhuǎn)角α得到BP2,連接PP1、PP2.(1)如圖1,當α=90°時,求∠P1PP2度數(shù);(2)如圖2,當點P2在AP1延長線上時,求證:△P2P1P∽△P2PA;(3)如圖3,過BP中點E作l1⊥BP,過BP2中點F作l2⊥BP2,l1與l2交于點Q,連接PQ,求證:P1P⊥

PQ.

第98頁解析(1)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得:AP=AP1,BP=BP2,∵α=90°,∴△PAP1和△PBP2均為等腰直角三角形,∴∠APP1=∠BPP2=45°,∴∠P1PP2=180°-∠APP1-∠BPP2=90°.(2)證實:由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知△APP1和△BPP2均為頂角為α等腰三角形,∴∠APP1=∠BPP2=90°-

,∴∠P1PP2=180°-(∠APP1+∠BPP2)=180°-2

=α.在△P2P1P和△P2PA中,∠P1PP2=∠PAP2=α,又∠PP2P1=∠AP2P,∴△P2P1P∽△P2PA.(3)證實:如圖,連接QB.∵l1,l2分別為PB,P2B中垂線,∴EB=

BP,FB=

BP2.第99頁又BP=BP2,∴EB=FB.

在Rt△