空間向量的應用【十大題型】

專題1.5空間向量的應用【十大題型】

【人教A版(2019)】

》題型梳理

【題型1求平面的法向量1.....................................................................................................................................2

【題型2利用空間向量證明線線平行】...........................................................5

【題型3利用空間向量證明線面平行】...........................................................7

【題型4利用空間向量證明面面平行】..........................................................12

【題型5利用空間向量證明線線垂直】..........................................................17

【題型6利用空間向量證明線面垂直】..........................................................20

【題型7利用空間向量證明面面垂直】..........................................................24

【題型8利用空間向量研究距離問題】..........................................................30

【題型9利用空間向量求空間角】.............................................................35

【題型10利用空間向量研究存在性問題】......................................................41

，舉一反三

【知識點1空間中點、直線和平面的向量表示】

1.空間中點、直線和平面的向量表示

(1)空間中點的位置向量：如圖，在空間中，我們?nèi)∫欢c。作為基點，那么空間中任意一點尸就可以

用向量5＞來表示.我們把向量稱為點尸的位置向量.

(2)空間中直線的向量表示式：直線/的方向向量為a,且過點A.如圖，取定空間中的任意一點O,可

以得到點P在直線/上的充要條件是存在實數(shù)使舁=殖+市①，把電代入①式得辦=況+港②,

①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.

(3)平面的法向量定義：

直線/La,取直線/的方向向量a,我們稱向量a為平面a的法向量.給定一個點A和一個向量a,那

么過點A,且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{PR?標=0}.

【注】一個平面的法向量不是唯一的，在應用時，可適當取平面的一個法向量.已知一平面內(nèi)兩條相交

直線的方向向量，可求出該平面的一個法向量.

【題型1求平面的法向量】

【例1】(2023春?高二課時練習)已知4(1,1,0),B(l,0,1),C(0,1,1),則平面4BC的一個單位法向量是()

A.(1,1,1)B.(Y，Y，Y)

C.&*)D.四心，一馬

33，k3337

【解題思路】待定系數(shù)法設平面4BC的一個法向量為元，由法向量的性質(zhì)建立方程組解出分析即可.

【解題思路】設平面4BC的一個法向量為元=(x,y,z),

又血==(-1,1,0),

^A31n^(AS-n=0=>(-y^=0

lean(BCn=0l-x+y=0

即x=y=z,

又因為單位向量的模為1,所以B選項正確，

故選：B.

【變式1-1](2023秋?云南昆明?高二昆明一中?？计谀?空間直角坐標系。—xyz中，已知點

A(2,0,2),B(2,l,0),C(0,2,0),則平面ABC的一個法向量可以是()

A.(1,2,1)B.(-1,2,1)C.(2,1,2)D.(2,-1,2)

【解題思路】根據(jù)法向量的求解方法求解即可.

【解題思路】解：由題知近=(0,1,-2),BC=(-2,1,0),

設平面4BC的一個法向量為元=(x,y,z),

所以伊,竺=°,即令x=1得元=(1,2,1)

1元?BC=。(y=2x

所以，平面4BC的一個法向量可以是五=(1,2,1).

故選：A.

【變式1-2](2023?全國?高二專題練習)如圖，四棱柱ABCD-a/iGDi的底面4BCD是正方形，。為底面

中心，&O1平面4BCO,AB=AAX=V2.平面0cBi的法向量五=(x,y,z)為()

A.(0,1,1)B.(1,-1,1)C.(1,0,-1)D.(-1.-1.1)

【解題思路】根據(jù)空間直角坐標系寫出各向量，利用法向量的性質(zhì)可得解.

【解題思路】ABCC是正方形，且

:.AO=OC=1,

OA±=1,

/.71(0,-1,0),B(l,0,0),C(0,l,0),4i(0,0,l),

■.AB=(1,1,0),OC=(0,1,0),

)LA^=AB=(1,1,0),

???81(1,1,1),西=(1,1,1),

???平面0cBi的法向量為元=(x,y,z),

則H=o,得y=。，"-z,

結(jié)合選項，可得ii=(i,o,-i),

故選：c.

【變式l-3](2023秋?北京石景山?高二統(tǒng)考期末)如圖，在三棱錐P-4BC中，P41平面ABC,AB1AC.AB=

AC=1,PA=2,以A為原點建立空間直角坐標系，如圖所示，元為平面PBC的一個法向量，則論的坐標可能

是()

Zj

I

X

A.B.(-及Tc.(1,1,i)D.

【解題思路】先求出近=(1,-1,0),無=(1,0,-2),根據(jù)法向量求解公式列方程即可求解.

【解題思路】依題意得，F(xiàn)(0,l,0),C(l,0,0),P(0,0,2),則前=(1,一1,0),麗=(1,0,—2)

設元=(x,y,z),則

(nBC=x-y=0

取x則y=；,z=%所以五

In-PC=%-2z=0224\224/

故選：D.

【知識點2用空間向量研究直線、平面的平行關系】

1.空間中直線、平面的平行

(1)線線平行的向量表示：設“1，”2分別是直線八，/2的方向向量，則/|〃/2="l〃U2="eR,使得

=2“2.

(2)線面平行的向量表示：設"是直線I的方向向量，〃是平面a的法向量，/《a,則/〃

=0.

(3)面面平行的向量表示：設it],ii2分別是平面a,P的法向量，則a〃40"i使得小

=2"2.

2.利用向量證明線線平行的思路：

證明線線平行只需證明兩條直線的方向向量共線即可.

3.證明線面平行問題的方法：

(1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線向量且直線不在平面內(nèi)；

(2)證明直線的方向向量可以用平面內(nèi)兩個不共線向量表示且直線不在平面內(nèi);

(3)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在平面內(nèi).

4.證明面面平行問題的方法：

(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行.

(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行然后用向量共線進行證明.

【題型2利用空間向量證明線線平行】

【例2】（2023春?高二課時練習）如圖，四邊形ABCQ和ABEF都是平行四邊形，且不共面，M,N分別是

AC,8F的中點，求證：CE"MN.

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用空間向量的線性運算，計算判斷胃與而共線即可推理作答.

【解題思路】（方法1）因為M，N分別是AC,8尸的中點，且四邊形A8CO和ABEF都是平行四邊形，

則有而=~MA+AF+~FN=-CA+AF又麗=--CA+~CE-AF,

2+-27B,2MC+CE+EB2+B/V=

兩式相加得：2而=無，因此正與而共線，而直線CE與MN不重合，

所以CE〃MN.

（方法2）因為M,N分別是AC,"的中點，且四邊形48CD和A8E/都是平行四邊形，

'''?.........?1?,…?1，，，1一,?一?1，，—,'21?，，，1，，

MN=AN-AM=^(AB+AF)—：4c=￡(AB+BE)—；(力8+BC)=|(BE-BC)=；CE,

因此荏與而共線，而直線CE與MN不重合,

所以CE〃MN.

【變式2-1］（2023春?高二課時練習）已知棱長為1的正方體OABO-OiAiBiG在空間直角坐標系中的位

置如圖所示，。,瓦￡6分別為棱。1公,41%,8。,。（7的中點，求證：DE"GF.

【解題思路】由圖中的空間直角坐標系，求出相關點的坐標，證明屁=不，可得DE〃GF.

【解題思路】因為正方體的棱長為1,。,與尸,。分別為棱014，&&,3。,0（7的中點,

所以有0,1)，F(xiàn)(l,i,l).Fg,l,0),G(0,i,0),

所以反=C』,0）,GF=（pj.o）-則有屁=衣，所以CE〃GF.

【變式2-2］（2023春?高二課時練習）如圖，在正方體ABCD中，點M,N分別在線段&B,D/i

上，且=BIN=^BIDI，尸為棱BiG的中點.求證：MN//BP.

【解題思路】利用空間向量共線定理證明.

【解題思路】證明：麗=麗+甌■+瓦W.

因為B］N=/必,

所以而=西+西+1瓦瓦，

=-（甌+初）+兩+家村+曬），

=|881+/也=患81+消4

又因為P為B1G中點，

所以前=西+瓦^=西+泅G=1（1西+汨cj=|而，

從而喬與而為共線向量.

因為直線MN與BP不重合，

所以MN//BP.

【變式2-3］（2023?江蘇?高二專題練習）已知長方體ABCO中，AB=4,AD=3,AAt=3,

點S、P在棱CCi、Aa上，且|CS|=g|SCi|,\AP\=2\PAr\,點R、Q分別為AB、劣6的中點.求證：直

線PQII直線RS.

【解題思路】利用坐標法，利用向量共線定理即得.

【解題思路】以點。為原點，分別以畫、無與西的方向為X、y與Z軸的正方向，建立空間直角坐標系.

則。(0,0,0)、4(3。0)、C(0,4,0),B(3,4,0)、。式0,0,3)、4(3,0,3)、(0,4,3)>(3,4,3),

由題意知P(3,0,2)、Q(0,2,3)'5(0,4,1),/?(3,2,0),

：.PQ=(-3,2,1),RS=(-3,2,1).

：.PQ=RS,又PQ,RS不共線，

：.PQ\\RS.

【題型3利用空間向量證明線面平行】

【例3】(2023?全國?高二專題練習)如圖，在四棱錐P-4BC。中，底面4BCD為直角梯形，其中4D〃BCSD1

AB,AD=3,AB=BC=2,PA_L平面4BC0,且尸4=3,點M在棱PD上，點N為BC中點.若DM=2MP,證明：

直線MN〃平面P4B.

P

【解題思路】建立空間直角坐標系，利用空間向量法證明即可.

【解題思路】如圖所示，以點4為坐標原點，以4B為x軸，4。為y軸，4P為z軸建立空間直角坐標系,

則P(0,0,3),8(200),。(0,3,0),C(2,2,0),N(2,1,0),

若。M=2MP,則M(0,l,2),MN=(2,0,-2),

因為_L平面4BCD,ADu平面ABC。，所以4。1PA,

又因為4DJ.4B,PAHAB=A,PA,ABc^PAB,

所以4。1平面P4B

平面P4B的其中一個法向量為而=(0,3,0),

所以而?而=0,即40J.MN,

又因為MNC平面H4B,

所以MN〃平面P4B.

【變式3-1](2023春?高二課時練習)如圖，已知矩形ABCD和矩形/WEF所在平面互相垂直，點M,N分別

在BD,4E上，S.BM=\BD,AN=^AE,求證：MNU平面COE.

【解題思路】根據(jù)已知條件建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，求出直線MN的方向向量和平面CDE

的法向量，利用直線與平面平行的直線的方向向量與平面的法向量的關系即可求解.

【解題思路】因為矩形力BCD和矩形4CEF所在平面互相垂直，所以互相垂直.

不妨設1的長分別為3a,3b,3c,以｛荏，而，於｝為正交基底，建立空間直角坐標系力-盯z如圖所示,

zA

則8(3a,0,0),D(0,36,0),尸(0,0,3c),E(0,3b,3c),

所以麗=(-3a,3b,0),^4=(0,-3h,-3c).

因為由=[前=(-a,b,0),WA=^EA=(0,-b,-c),

所以而=NA+AB+~BM=(,0,-b,-c)+(3a,0,0)+(-a,b,0)=(2a,0,-c).

又平面CCE的一個法向量是同=(0,3b,0),

由兩AD=2ax0+0x3b+(-c)x0=0,得麗1AD.

因為MNC平面CDE,

所以MN||平面CDE.

【變式3-2](2023春?高二課時練習)如圖，在四棱錐P-4BCO中，以J_底面ABC。，AB1AD,BC//AD,

PA=AB=BC^2,AD=4,E為棱PZ)的中點，~PF=XPC(2為常數(shù)，且0<2<1).若直線BF//平面ACE,

求實數(shù);I的值；

【解題思路】由題意可知，AB,AD,4P兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz,分別求出平

面ACE的法向量沅和直線8尸的方向向量前，由而?訪=0,即可得出答案.

【解題思路】因為P41底面48CD,AB,4Qu平面48CD,所以PA14B,PALAD.

山題意可知，AB,AD,4P兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系。-xyz,

貝必(0,0,0),5(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,2),E(0,2,l),

所以冠=(2,2,0),AE=(0,2,1).BP=(-2,0,2),PC=(2,2,-2),

則方=APC=(2A,2A,-2A),所以麗=BP+PF=(2A-2,24,2—24).

設平面4CE的一個法向量為記=(x,y,z).

嚼票眄｛2#就不妨令』,得—.

因為8/7/平面ACE,所以而?沅=24-2-24+4-4/1=0,解得；I=g

【變式3-3]（2023?全國?高三專題練習）如圖，在四棱錐E—ABCD中，AB//CD,CD=4AB,點F為棱

CO的中點，與E,尸相異的動點P在棱E尸上.

（2）設平面E4。與平面EBC的交線為/,是否存在點P使得〃/平面尸8。？若存在，求言的值；若不存在，

請說明理由.

【解題思路】（1）設點G為棱EC的中點，連接4G,PG,通過證明四邊形4BPG為平行四邊形，得到4G〃PB,

再根據(jù)線面平行的判定定理可證PB〃平面4DE；

（2）延長。A,CB相交于點兒連接EH,則直線為平面EAD與平再jEBC的交線，連接HF,交BD于點/,

若EH〃平面PB。，由線面平行的性質(zhì)可知EH〃P/,設畝=4/，推出麗=（而+2方而，根據(jù)三點共線

的結(jié)論求出4=|,從而可推出,=）

【解題思路】（1）

如圖，設點G為棱ED的中點，連接AG,PG,

「

2

AB

：.GP=渺=：DC,GP//DC,

,JAB//CD,CD=4AB,

：.GP=AB,GPUAB,

：.四邊形ABPG為平行四邊形，

：.AG//PB,

乂PB仁平面4DE,AGu平面ZCE,

.*PB〃平面7WE.

(2)

如圖，延長D4,CB相交于點H,連接EH,則直線E"為平面E4D與平面EBC的交線，連接HF,交8D于點/,

E

H

若EH〃平面PBD,由線面平行的性質(zhì)可知EH〃P/,

設麗=AHF,

?點F為棱C。的中點，AB//CD,CD=4AB,

.?.麗=游/麗+河/近+2漏，

?:D,I,B三點共線,

.,.1+24=i,口m=：,

所以當部號時，舒/=［，?""/"/，

又EHC平面PBC,P/u平面PBD,〃平面PBD,

???存在滿足條件的點P使得〃/平面P8D,此時第=|.

【題型4利用空間向量證明面面平行】

【例4】(2023春?高二課時練習)如圖所示，平面也。，平面ABCC,四邊形ABCO為正方形，△FQ是

直角三角形，且B4=AO=2,E,F,G分別是線段%，PD,8的中點，求證：平面EFG〃平面尸8c.

【解題思路】根據(jù)題意得到AB,AP,兩兩垂直，從而以A為坐標原點，AB,AD,AP所在直線分別為

x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，并確定A,B,C,D,P,E,F,G的坐標，求得而，朋，前,BC,從

而即可確定平面EFG的法向量而，平面P3C的法向量荻，進而即可證明平面EFG〃平面PBC.

【解題思路】因為平面以。_L平面ABCD,四邊形A8CO為正方形，△出。是直角三角形，

所以AB,AP,AQ兩兩垂直，

以A為坐標原點，AB,AD,AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，

則4(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),0(0,2,0),尸(0,0,2),E(0,0,1),F(0,I,1),G(l,2,0).

AZ

所以麗=(2,0,-2),麗=(0,—1,0),FG=(1,1,-1),麗=(0,2,0),

設大=（%,丫1*1）是平面EFG的法向量，

貝E宿再1宿即像惠〉心-71=0

+為一Zi=0

令Z]=1,則％1=1,—0,所以元=(1,0,1)，

設4=（X2，72，Z2）是平面PBC的法向量，

由現(xiàn)而，蟲前,即慎黑:，得產(chǎn)2小。=。

令Z2=1,則刀2=1,y2=0,所以底=（1,0,1）,

所以汨=布，所以平面EFG//平面PBC.

【變式4-1］（2023春?高二課時練習）在正方體ABCD-AiBiGOi中，M,N,P分別是CCiHJGDi的中點,

試建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求證：平面MNP〃平面&BD.

【解題思路】根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，以義為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量的坐標運算證明線

線平行，由面面平行的判定定理證明平面MNP〃平面

【解題思路】證明：如圖，以5為坐標原點，DI4，DIG，DI。所在直線分別為x軸、＞軸、z軸，

建立空間直角坐標系.設正方體的棱長為I,

則有4(1,0,0),8(1,1,1),D(0,0,l),N&L0),M(0,1,0,P(0,i,0),

于是項=(0,1,1),Q=(-1,0,1)，/VM=PM=(O,|,0,

顯然有麗=[砸，PM=^AyB,所以雨〃否方，PM//A^B,

由NM//41。，NMC平面4iBD,ArDNM//平面力iBD,

同理PM〃平面&B。，NM,PMu平面MNP,NMCiPM=M,

所以平面MNP〃平面AiBD.

【變式4-2](2023春?高一課時練習)如圖，從回4BCD所在平面外一點O作向量瓦羽=k耐，oW=kOB,

OC7=kOC,OD7=k函.求證：

(1)4,B',C,?！狞c共面；

(2)平面AB'C'DV/平面4BCD.

【解題思路】(1)利用共面向量定理證明，由和=RN+布可得四點共面；

(2)利用共線向量定理，可得：A'B'//AB,A'C'//AC,從而利用面面平行的判定定理即可證明.

【解題思路】(1)證明：因為從團4BCD所在平面外一點。作向量萬萬=k瓦?，OF=kOB,OC7=kOC,

OD7=kOD,

所以前=近+超，

所以和=0^-0^=k(0C-0^4)=kAC=k(AB+而)=k(0B-OA+OD-OA)

=k(OB+0D-20A)

/I——，1----2——A

=k{-0B'+-0D'--0A')

-?--->---?---?

=OB'-OA'+0D'-0A'

=^47B7+^7D7,

故A,B',C,ZT四點共面，證畢.

(2)證明：A^W=0^-0^=kOB-kOA=kAB,從而A'B'〃AB,

u平面AB'C'D',AB仁平面A'B'C'D',

.?.4B〃平面'4B'C'D',

由⑴知4C'〃AC,

"：A'Cu平面AC<t平面4'B‘C'。'，

〃平面AB'C'D',

因為4BCMC=4,u平面4BCD,

所以平面ABC?！ㄆ矫鍭'BW.

【變式4-3](2023?江蘇?高二專題練習)已知正方體ABCQ-A/B/C/。/的棱長為2,E,F分別是88/,DD)

的中點，

求證：（1）FC/〃平面4DE；

（2）平面AQE〃平面B/C/F.

【解題思路】（1）建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，求得直線的方向向量以及平面的法向量，計算其

數(shù)量積即可證明；

（2）計算兩個平面的法向量，根據(jù)法向量是否平行，即可證明.

【解題思路】證明：如圖，建立空間直角坐標系ZXtyz,

y

則0((),0,0),4(2,0,0),C(0,2,0),C/(0,2,2),

EQ,2,1),F(0,0,1),8/(2,2,2),

所以常=(0,2,1),DA=(2,0,0),荏=(0,2,1).

(1)設濟=(內(nèi)，y/,z/)是平面AOE的法向量，則有_L而，n；lAE,

即一上1得"I令z/=2,則y/=-l,

n^AE=2yl+z1=0,\.zi~-2yi-

所以元=(0,-1,2).因為麗際7=-2+2=O,所以西ln7，

又因為FC/U平面A￡>￡,所以FC/〃平面ADE.

(2)C;X=(2,0,0).

設R=(X2,”，Z2)是平面B/GF的一個法向量.由西，n21C^,

彳號n2'FC]=2y2+Z2=0,得、x2=0>

z

'n2CiB1—2X2=0,\2~'2y2-

令Z2=2,則丫2=-1，所以電=(0,-1,2).

因為五=R,所以平面AOE〃平面BICIF.

【知識點3用空間向量研究直線、平面的垂直關系】

1.空間中直線、平面的垂直

(1)線線垂直的向量表示：設?1，W2分別是直線l\,h的方向向量，則/l_L/2Q"ll■"2="1^"2=0.

(2)線面垂直的向量表示：設”是直線/的方向向量，”是平面a的法向量，/Ca,則/J_a0"〃/1<=>觸

SR,使得

(3)面面垂直的向量表示：設"1，"2分別是平面a,―的法向量,則a_L￡Q"iJ-"2="r〃2=0.

2.證明兩直線垂直的基本步驟：

建立空間直角坐標系一寫出點的坐標T求直線的方向向量T證明向量垂直T得到兩直線垂直.

3.用坐標法證明線面垂直的方法及步驟：

(1)利用線線垂直：①將直線的方向向量用坐標表示；②找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標表示它們

的方向向量；③判斷直線的方向向量與平面內(nèi)兩條直線的方向向量垂直.

(2)利用平面的法向量：①將直線的方向向量用坐標表示；②求出平面的法向量；③判斷直線的方向向

量與平面的法向量平行.

4.證明面面垂直的兩種方法：

(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明.

(2)法向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直.

【題型5利用空間向量證明線線垂直】

【例5】(2023春?高二課時練習)在棱長為1的正方體4BCD-中，E,尸分別是D'D,DB中點，G在

棱上，為的中點，求證：；

COCG=-4CD,HC'GEFIB'C

【解題思路】設方=五,=落則2?BB?^=3?d=0,EF=1(a—6—c),BrC=b—c,計

算前?豆？=0得到證明.

【解題思路】設48=G,=3,44=泊則益?b=/?，1F?2=0,

\a\2=a2=1,\b\2=b2=1,|c|2=c2=1,

~EF=ED^-DF=-jc+j(a-b)=1(a-b-c),

FC=BC-fiF=h-c,

FF-Fc=j(a-fe-c)(b-c)=j(a-h-a-c-62+c-fe-c-h+c2)=0,故EF1BfC.

【變式5?1】(2023秋?廣東廣州?高一校考期中)如圖，AD1AB,ADLAC,481AC,AB=AC=AD=1,

E,廠分別是4B,CD的中點，M,N分別是BC,BD的中點，證明：EF1MN.

B

MC

【解題思路】由題意，利用向量法，根據(jù)空間向量的基本定理，結(jié)合數(shù)量積證明垂直，可得答案.

【解題思路】由題意，連接EC,如下圖：

MN=^CD=^(CA+AD)=^(AD-AC),

同理EF=ED+DF=[-^AB+AD)+；(4C-AD)=^AD+AC-AB),

故而.而=X而一而).久而+而一而)=；而/-所(+AD.AC-AD-AB-AC.AD+AC.

AB)

由40148,AD1AC,AB1AC,AB=AC=AD=1,則麗?麗=0,

故EF1MN.

【變式5-2］（2023秋?高二課時練習）如圖，在棱長為1的正方體4BCD—4B1GD］中，民F分別是DD】、BD

的中點，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，證明：EF1B.C.

【解題思路】建立空間直角坐標系，寫出E,凡名,C的坐標，利用空間向量垂直的坐標表示證明即可.

【解題思路】證明：以。為坐標原點，分別為x,%z軸建立空間直角坐標系，如圖所示:

因為正方體棱長為1,七,F分別是。劣、8。的中點，

所以為(1,1,1),C(O,1,O),E(0,0,B(1,1,0),D(0,0,0),

所以『d，°),

所以前==(一1,0,-1),

由而.瓦？=：x(-1)+gx0+(-：)x(-1)=0,

所以市1瓦

即E尸1BtC.

【變式5-3](2023春?高二課時練習)如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面ABC。，四邊形ABC。是矩

形，PA=AB=\,點F是P8的中點，點E在邊BC上移動.求證：無論點E在邊BC上的何處，都有PELAE

【解題思路】本題建立空間直角坐標系，求出兩直線的方向向量，求數(shù)量積即可判斷.

【解題思路】證明：(方法I)以A為原點，以4。，AB,AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角

坐標系，設

則40，0,0),P(0,0,1),8(0,1,0),C(m1,0),

于是尸(0,[1).

:在8c上，.：設E(m,1,0),.:兩=(孫1,-1),AF=(0,1).

:玩?喬=0,.'.PE1AF.

.：無論點E在邊8c上何處，總有PEJ_AE

rx

（方法2）因為點E在邊上，可設而?麗，

于是而?AF=（PA+AB+BEy^（AP+都）g（PA+AB+/JC）（AB+AP）

=：（PAAB+PAAP+ABAB+AB-AP+ABC-AB+1BC-/4P）=|（O-1+1+0+0+0）=0,

因此而1AF.

故無論點E在邊8c上的何處，都有PE_LAE

【題型6利用空間向量證明線面垂直】

【例6】（2023春?高二課時練習）如圖所示，正三棱柱ABC—4小。的所有棱長都為2,。為CG的中點.求

證：AB/J_平面4/BD

【解題思路】建系，利用空間向量證明線面垂直.

【解題思路】如圖所示，取8c的中點O,連接AO,因為AABC為正三角形,

所以AO_LBC,

因為在正三棱柱A8C—A/B/C/中，CC/L平面ABC,

AOu平面ABC,則4。1eg,

SCOCCj=C,BC,CCxu平面BCCIBI，

所以40，平面BCCIBI，

取3/G的中點0/,以。為坐標原點，

以赤，西，正分別為x軸、），軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系,

則8(1,0,0),D(-1,1,0),4(0,2,V3)M(0,0,V3),&(1,2,0),

所以福=(1,2,-V5),兩=(-1,2,V3),FD=(-2,1,0),

則產(chǎn)*?西=1x(-1)+2x2+(-V3)xV3=0

'I福?麗=1X(-2)+2x1+(-V3)x0=0'

可得福JL西，福1前，BPABILBAI，AB/LBD,

BAiHBD=B,B4i，BDu平面48D,

所以AB/_L平面A/8D

【變式6-1](2023春?江蘇宿遷?高二校考階段練習)如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相

垂直，AB=丘,AF=1,M是線段EF的中點.

(2)求證：AM!_平面BDF.

【解題思路】(1)利用面面垂直性質(zhì)定理證明CE_L平面4BCD,然后以點C為坐標原點建立空間直角坐標

系，利用空間向量坐標法證明線線垂直；

(2)先求出平面BDF的法向量，然后利用直線AM的方向向量與法向量共線即可證明線面垂直.

【解題思路】(1)因為四邊形4CEF為矩形，則CE_L4C,

因為平面4BCC，平面ACEF,平面ABC。n平面4CEF=AC,CEu平面4CEF,

所以CE_L平面ABC。，又四邊形48CD為正方形，

以點C為坐標原點，CD、CB、CE所在直線分別為％、y、z軸，

由=AF=1,得C(0,0,0),?l(V2,V2,0),e(0,V2,0),￡)(V2,0,0),

￡(0,0,1).F(V2,V2,1).M俘,￥，1).

所以宿=(-乎，—今1),FD=(V2,-V2,0),

所以府?麗=企工(一4)+(一企)x(一當+Oxl=0,所以前J.而,

所以AM1BD

(2)由⑴知，AM=前=(0,夜,1)，BD=(V2,-V2,o).

設元=(x,y,z)是平面8DF的法向量，則記1前，nlDF,

所以上嗎=缶一歷=°

.n-DF=V2y+z=0\z——V2y，

取y=l,得x=l,z=―a,則元=(1,L—a).

因為施=(一日，一日,1),所以日=一低而，即元與祠共線.

所以AM_L平面BDF.

【變式6-2](2023春?廣西柳州?高二?？茧A段練習)已知平行六面體ABC。-48道1。1的所有棱長均為1,

4BAD=/B44i=NZM4=60°.用向量解決下面的問題

(1)求4G的長；

(2)求證：力&_1平面480.

【解題思路】(I)利用轉(zhuǎn)化法將?！鰮Q成而+而+標，利用而+AD+近求模長即可;

(2)利用向量垂直來證明4G_L&B,Ag1DB,再利用線面垂直的判定定理證明即可.

【解題思路】(1)設荏=a,AD=b,AAl=c,

則db=b-c=c-a=lxlxcos600=

又或=b2=c2=LAC1=a+b+c,

所以MG|2=(d+b+c)2=a2+b2+c2+2d-b+2b-c+2c-a

=l+l+l+2x—F2X—F2X—=6,

222

即甌二倔

(2)因為砧=/一3

22

所以4cl-AXB—(^a+b+c)-(a—c)=a—c+a.-b—b-c

=1—1+---=0.

22

所以宿1砧，同理可得斯1而，

又nOB=B,AXB,DBu平面從血

所以AGL平面&BD.

【變式6-3](2023春?高二課時練習)如圖，在四棱錐P-4BCD中，P。J■底面ABCD,底面ABC。為正方

形，PD=DC,E,尸分別是4B,PB的中點.

(1)求證：EF1CD；

(2)在平面PAC內(nèi)求一點G,使GF1平面PCB.

【解題思路】(1)建立空間宜角坐標系，設AL?=a,寫出各點坐標，求得向量，由方?反=0即得；

(2)設G(x,0,z),求出平面PCB內(nèi)兩個不共線向量而，市，由而?而=0和同?而=0求得x,z確定。點位

置.

【解題思路】(1)因為PDJ■底面4BCD,ZMu平面48c0,DCu平面4BCD,

所以PD1CM,PD1DC,又底面4BCD為正方形，

所以。41DC,

以。為原點，分別以D4,DC,OP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，

設4D=a,則0(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E(a,^,0),P(0,0,a),

.?.麗=(一畀0,》DC=(0,a,0),

：.~EFDC=0,

：.EFLDC,HPEF±CD；

(2)設G(x,O,z),則而=(x-L，z—7CB=(a,0,0),CP=(0,-a,a),

若使GFJ_平面PCB,則需而?CB=0且后CP=0,

由閑.而=(萬一,一經(jīng)一柒.(a,0,0)=a(x-^)=0,

解得x=p

由麗.而=(x-p-pz-(0,-a,a)=y+a(z-|)=0,

解得z=0）

因為CB,CP為平面PCB內(nèi)兩條相交直線，故GF1平面PC8,

，G點坐標為G，0,0），即G為4。的中點.

【題型7利用空間向量證明面面垂直】

【例7】（2023春?高二課時練習）如圖所示，△ABC是一個正三角形，ECJ_平面ABC,BD//CE,且CE

=CA=2BD,M是EA的中點.求證：平面DE4_L平面ECA.

【解題思路】建系，分別求平面。E4、平面ECA的法向量，利用空間向量證明面面垂直.

【解題思路】建立如圖所示的空間直角坐標系C—xyz,不妨設CA=2,則CE=2,BD=\,

則C(0,0,0),4(百,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,l),

所以育=(V3,1,-2),CE=(0,0,2),ED=(0,2,-1),

設平面ECA的一個法向量是元=01，丫1，2力，

則jX?麗=今i+yi-2zi=o,

[n7,CE=2zj=0

取X]=1,則y1=一圾,z、=0,即4=(1,—V3,0),

設平面DEA的一個法向量是力=(%2,丁2'22)，

則@-EA=^3X2+-2Z2=0,

I-DE=2y2—z2=0

?。?=V3,則=1*2=2,即布—(V3,1,2),

因為溫-nJ=1xV3+(-V3)xl+0x2=0,所以近1nJ,

所以平面OE4_L平面ECA.

【變式7-1](2023?全國?高三專題練習)如圖，在五面體ABCDEF中，^_L平面ABCD,2DIIBC||FE,AB1

B~~C

⑴求五面體ABCDEF的體積；

(2)若M為EC的中點，求證：平面CZ)E_L平面AMD

【解題思路】(1)取AD中點M連接EN,CN,易證得平面A3CQ,五面體4BCDEF的體積=棱柱

ABF-NCE的體積+棱錐E-CON的體積，分別求出棱柱4BF-NCE的體積和棱錐E-CDN的體積即可得出

答案.

(2)證法1：以A為坐標原點，以荏，AD,而為x,y,z軸正半軸建立空間直角坐標系.由垂直向量的坐標運

算可證得CE14D,CE1MD,即可得出CEJ_平面再由面面垂直的判定定理即可證明；證法2：由

題意證得4MleE,MNJ.CE即可得出CEL平面AM。，再由面面垂直的判定定理即可證明;

【解題思路】(1)因為4D=2,AF=AB=BC=FE=1,取4。中點N,連接EMCN,

因為AD〃BC//FE,所以EN〃人F,EN=AF=l,CN=AB=1,

又,，平面ABC。，ANc￥ffiABCD,FALAN,

所以EN_L平面ABC。，又因為4B1AC,即ABIAN,ABC\FA=A,

AB,FAu平面尸4B,所以4VJ■平面FAB,

所以ABF-NCE為底面是等腰直角三角形的直棱柱，

高等于1,三棱錐E-CDN是高等于1底面是等腰直角三角形.

五面體4BCCE尸的體積=棱柱4BF-NCE的體積+棱錐E-CCN的體積.

即：F=ixlxlxl4-ixixlxl=-.

2323

(2)證法1：以A為坐標原點，以四，AD,Q為x,y,z軸正半軸建立空間直角坐標系.

點￡?(0,2,0),E(O,1,1).M

所以而=(0,2,0),MD=(-pl,-0,C￡=(-1,0,1)

所以CEJ.AD,CE_LMD,ADCMD=D,AD,MDu平面AM。,

所以CE_L平面AMD,又CEu平面CDE,所以平面CDE1平面AMD.

證法2：因為4c=AE=VL所以△4CE為等腰三角形，M為EC的中點，所以AM_LCE；

同理在△NCE中，MN1CE,(N為AQ中點)又AM、MNu平面AW。，

AMQMN=M,所以CEJ_平面AMD,又CEu平面CDE,

平面CCEJ_平面AMD.

【變式7-2](2023秋?新疆昌吉?高二?？计谀?如圖，在四棱錐P—ABC￡＞中，a_L底面ABCZ),AD1AB,

AB//DC,AD=DC=AP=2,AB=1,點E為棱PC的中點.證明：

(1)BE〃平面PAD；

(2)平面尸CDJ_平面RAD.

【解題思路】(1)根據(jù)題意，先證明A8,AD,AP兩兩垂直，從而建立對應的空間直角坐標系，再利用空

間向量法證明平面勿。的一個法向量而與近垂直，進而即可證明結(jié)論；

(2)結(jié)合(1),先證明平面PCO的一個法向量與平面力。的一個法向量垂直，進而即可證明結(jié)論.

【解題思路】(1)因為粗，平面A8CD,且48u平面A8a),所以48_L/M,

又因為AB_LAO,KPAC}AD=A,PA,4。u平面以。，所以A8_L平面

依題意，以點4為原點，以AB,AD,AP分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

貝IJ8(1,0,0),C(2,2,0),。(0,2,0),P(0,0,2),

由E為棱尸C的中點,f#￡(1,1,1),則屁=(0,1,1),

所以而=(1,0,0)為平面PAD的一個法向量，

又南?AB=(0,1,1)-(1,0,0)=0,所以BE1AB,

又BE<4平面以。，所以BE〃平面

(2)由(1)知平面以。的法向量前=(1,0,0),PD=(0,2,-2),DC=(2,0,0),

設平面尸CD的一個法向量為元=(x,y,z),

則低空=0,=°,令y=l,可得z=l,所以元=(0,1,1),

vn-DC—0ilx—U

又元?同=（0,1,1）-（1,0,0）=0,

所以元1荏，所以平面以平面PCD.

【變式7-3］（2023?全國?高三專題練習）如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=AC,。是BC的中點，尸0,平

面ABC,垂足。落在線段A。上，已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.

⑴求證：APA.BC；

（2）若點例是線段AP是一點，且4M=3.試證明平面AMC_L平面BMC.

【解題思路】（1）建立空間直角坐標系，求出相關點坐標，求出向量而，麗的坐標，計算而?麗，即可證

明結(jié)論；

（2）求出平面平面AMC和平面8MC的法向量，計算法向量的數(shù)量積，結(jié)果為0,即可證明結(jié)論.

【解題思路】（1）

證明：以。為原點，過點。作C8的平行線為x軸，以AO方向為y軸正方向，以射線OP的方向為Z軸正

方向，建立空間直角坐標系，如圖所示：

則0(0,0,0)*(0,—3,0),8(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4)，

故ZP=(0,3,4),BC=(-8,0,0),

：.APBC=Ox(-8)+3x0+4x0=0,

：.AP1.^C,即4P1.BC；

(2)

證明：因為PO_L平面A8C,4。u平面ABC,所以P014。，

因為P0=4,40=3,故4P=5,為4P上一點，且ZM=3,

.?.M(0，T，y),：.AM=(0,1,y)，

BM=(-4,-y,y),CM=(4,-y,y);

設平面BMC的法向量為元=(a,b,c),

16,,12

—4Aa-----bH——c=0n

則n-BM=0即55

.16,,12八

n-CM=0，、4a——h4--c=0

令6=1,則元=(0,1,》；

設平面AMC的法向量為沆=(x,y,z),則m-AM=0

m-CM=0