（幾何壓軸大題）2020年中考數(shù)學(xué)考點必殺題(四川專用)（解析版）

專練13(幾何壓軸大題)(30道)

1.(2019?四川省初三)如圖，在aABC中，ZABC=ZACB,以AC為直徑的。O分別交AB、BC于點M、

N,點P在AB的延長線上，且NCAB=2NBCP.

(1)求證：直線CP是。O的切線；

(2)若BC=2。，sinNBCP=t,求點B到AC的距離；

(3)在第(2)的條件下，求4ACP的周長.

【答案】(1)證明見解析；(2)4；(3)20.

【解析】

解：(1)VZABC=ZACB,

；.AB=AC,

???AC為③O的直徑，

ZANC=90°,

，ZCAN+ZACN=90°,2ZBAN=2ZCAN=ZCAB,

■:ZCAB=2ZBCP,

...NBCP=NCAN,

/ACP=/ACN+/BCP=/ACN+/CAN=90°,

?點D在。O上，

...直線CP是。。的切線;

(2)如圖，作BF±AC

ACN--CB=J5,

2

NBCP=/CAN,sinZBCP=—,

5

.".sinZCAN=—，

5

.CN75

?a-----=-----

AC5

，AC=5,

.?.AB=AC=5,

設(shè)AF=x,則CF=5-x,

在RtAABF中，BF2=AB2-AF2=25-x2,

在RtMBF中，BF2=BC2-CF2=2O-(5-x)2,

/.25-x2=2O-(5-x)2,

x=3,

.,出尸=25-32=16,

；.BF=4,

即點B到AC的距離為4

(3)在RtABCF中，CF=7BC2-BF2=2

:.AF=AC-CF=5-2=3,

??，BF〃CP,

.BF_AFAF_AB

^~CP~~AC~CF~~BP^

/.△APC的周長是AC+PC+AP=20.

【點睛】

此題是圓的綜合題，主要考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的

判定和性質(zhì)，構(gòu)造出直角三角形RtZ\ABF和RtZ\CBF是解本題的關(guān)鍵.

2.(2019?四川省成都市簇錦中學(xué)中考模擬)如圖，四邊形ABC。的頂點在。。上，8。是。。的直徑，延

長C。、BA交于點E,連接AC、30交于點/，作垂足為點H,已知NAOE=NACB.

(1)求證：A”是的切線；

(2)若。3=4,AC=6,求sinNACB的值；

DF2

(3)若——=一，求證：CD=DH.

FO3

【解析】

(1)證明：連接。A,

由圓周角定理得，NACB=NADB,

,：ZADE=ZACB,

：.ZADE=ZADB,

：8。是直徑，

/D4B=NO4E=90。，

在△D4B和△￡)?!￡：中，

'/BAD=NEAD

<DADA,

NBDA=ZEDA

J.AB^AE,又.：OB=OD,

：.OA//DE,XVAH±D￡,

：.OA±AH,

???A〃是。。的切線；

（2）解：由（1）知，NE=NDBE,/DBE=NACD,

：.NE=NACO,

：.AE=AC=AB=6.

在中，A8=6,BD=8,NADE=NACB,

633

sinZADB=———,B|JsinZACB——：

844

（3）證明：由（2）知，0A是ABOE的中位線，

：.0A//DE,OA^-DE.

2

：./\CDF^^AOF,

.CDDF_2

"^O~'OF~3,

211

Z.CD=-OA=-DE,即CD=-CE,

334

?：AC^AE,AHICE,

1

:.CH=HE=-CE,

2

I

：.CD=-CH,

2

：.CD=DH.

本題考查的是圓的知識的綜合應(yīng)用，掌握圓周角定理、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、三角形中位

線定理是解題的關(guān)鍵.

3.(2019?四川省初三期末)在矩形ABCD中，AB=12,P是邊AB上一點，把APBC沿直線PC折疊，頂

點B的對應(yīng)點是點G,過點B作BEJ_CG,垂足為E且在AD上，BE交PC于點F

(1)如圖1,若點E是AD的中點，求證：AAEB^ADEC；

（2）如圖2,①求證：BP=BF；

②當(dāng)AD=25,且AEVDE時，求cosNPCB的值;

③當(dāng)BP=9時，求BE?EF的值.

圖1圖2圖2備用圖

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②酒；③108.

10

【解析】

(1)在矩形ABCD中，ZA=ZD=90°,AB=DC,

是AD中點，

，AE=DE,

AB=DC

在AABEfilADCE中，，乙4=NO=90°,

AE=DE

.,.△ABE絲ZXDCE(SAS)；

(2)①在矩形ABCD,NABC=90°,

VABPC沿PC折疊得到AGPC,

ZPGC=ZPBC=90°,NBPC=NGPC,

VBE1CG,

；.BE〃PG,

/.ZGPF=ZPFB,

NBPF=NBFP,

，BP=BF；

②當(dāng)AD=25時，

VZBEC=90°,

ZAEB+ZCED=90°,

：/AEB+NABE=90°,

二ZCED=ZABE,

,?NA=/D=90。，

.,.△ABE^ADEC,

.ABDE

'AE-CD'

設(shè)AE=x,

；.DE=25-x,

.1225—x

.?一，

x12

/.x=9或x=l6,

VAE<DE,

AAE=9,DE=16,

ACE=20,BE=15,

由折疊得，BP二PG,

.\BP=BF=PG,

?.?BE〃PG,

AAECF^AGCP,

.EFCE

??----=-----，

PGCG

設(shè)BP=BF=PG=y,

.15-y20

??，

y25

.25

..y=一，

)3

._25

??DRIP—?

3

生叵-B=/=題;

在RtaPBC中，PC=

3PC10

③如圖，連接FG,

G

1

VZGEF=ZBAE=90°,

：BF〃PG,BF=PG=BP,

...oBPGF是菱形，

，BP〃GF,

ZGFE=ZABE,

/.△GEF^AEAB,

.EFAB

"GF-BE'

.,.BE?EF=AB?GF=12x9=108.

【點睛】

此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折

疊的性質(zhì)，利用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵.

4.(2019?綿陽市第二中學(xué)中考模擬)如圖，在正方形A3C。中,E是48上一點，連接OE.過點4作A凡LOE,

垂足為尸，。。經(jīng)過點C、F,與AO相交于點G.

(1)求證：尸Gs△。尸C；

(2)若正方形43c。的邊長為4,AE=1,求。。的半徑.

【答案】(1)詳見解析；(2)。。的半徑為2.

2

【解析】

(1)證明：在正方形A6CO中，ZADC=90°,

???/COF+N4。產(chǎn)=90°,

VAF±D￡,

:.ZAFD=90%

：.ZDAF+ZADF=90°,

:?/DAF=/CDF,

?/四邊形GFCD是。。的內(nèi)接四邊形，

AZFCD+ZDGF=180°,

VZFGA+ZDGF=180°,

：.ZFGA=ZFCD,

:.AAFG^ADFC.

（2）解：如圖，連接CG.

VZ￡AD=ZAFD=90°,ZEDA=ZADFf

.?.△EDASAADF,

EADAEAAF

..-----——-------,[.IJn-n-------——------,

AFDFDADF

'：/\AFGsXDFC,

.AGAF

"~DC~~DF'

.AG_EA

"~DC~~DA

在正方形A8CO中，DA^DC,

.\AG=EA—l,DG—DA-AG—4-1=3,

,CG=^DG2+DC2=5,

'：ZCDG=90°,

；.CG是。。的直徑，

二。。的半徑為

2

.4G,----------

B

【點睛】

考查相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決

問題，學(xué)會添加常用輔助線.

5.(2019?四川省中考模擬)已知一個矩形紙片OAC5,將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點A(4,0),

點B(0,3),點尸為5c邊上的動點(點尸不與點3、C重合)，經(jīng)過點0、尸折疊該紙片，得點方和折痕

OP.設(shè)5尸=人

(1)如圖1,當(dāng)N8OP=30。時，求點P的坐標(biāo)；

(2)如圖2,經(jīng)過點P再次折疊紙片，使點C落在直線PB，上，得點。和折痕PQ,設(shè)試用含有

t的式子表示m；

(3)在(2)的條件下，連接0Q,當(dāng)0。取得最小值時，求點。的坐標(biāo)；

(4)在(2)的條件下，點。能否落在邊上？如果能，直接寫出點尸的坐標(biāo)；如果不能，請說明理由.

【答案】⑴(6,3):⑵m=#-?+3；(3)Q(4,§；(4)點C不能落在邊。4上.

【解析】

解：(1)V4(4,0),B(0,3),

：.OA=4,08=3,

在RSO8尸中,

；NBOP=3Q°,

:"B嚼$

.?.點P的坐標(biāo)為(祗，3),

(2)由題意,得BP=i,PC=4-r,CQ=3-mf

由折疊可知：NOPB=NOPB',NCPQ=NC'PQ,

又ZOPB+ZOPB'+ZCPQ+ZC'PQ=\W0,

：./OP8+NCPQ=90°,

XVNOPB+NBOP=90°,

：.ZOPB=ZCPQ,

又,.?/O8P=/C=90°,

：.XOBPs/\pCQ,

,OB_BP

"PC~CQ1

3_t

4-t3-m

1+3；

(3)。。2=OA2+AQ2^42+AQ2=16+AQ2,

，當(dāng)AQ最短時，0Q最短,

：22

?AQ=m=-3t--3t+3=3-(r-2)+3-,

.?.當(dāng)r=2時，AQ最短，OQ最短，

此時點Q(4,|),

(4)點C不能落在邊OA上，

理由：假設(shè)點C能落在邊OA上，由折疊可得

PB=PB'=t,PC=PC'=4-t,OB=OB'=3,NOPB=NOPC',NOB'P=NOBP=90°,

?：BC//OA,

:.NBPO=NPOC',

.'.ZOPC'=ZPOC,

：.OC'=PC'=4-f,

:.B'C'=PC-PB，=(4-/)-Z=4-It,

在RtAOB'C'中，；B'O-+B'C"2=OC'2,

.\32+(4-2f)2=(4-z)2,

整理，得3產(chǎn)-8r+9=0,

：△=(-8)2-4x3x9<0,

，該方程無實數(shù)解，

...點。不能落在邊OA上.

【點睛】

本題考查一次函數(shù)圖象及性質(zhì)，圖形的折疊，三角形的相似，最短路徑問題；借助三角形相似求，〃與，

的關(guān)系，利用二次函數(shù)求最短距離，利用勾股定理和一元二次方程根的存在性判斷點的位置關(guān)系是解決

本題的關(guān)鍵.

6.(2019?四川省中考模擬)若一個三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個三角形叫做比例

(1)已知ABC是比例三角形，AB=2,BC=3,請直接寫出所有滿足條件的AC的長;

(2)如圖1,在四邊形ABCD中，AD//BC,對角線BD平分/ABC,/BAC=/ADC.求證：ABC

是比例三角形.

RD

（3）如圖2,在（2）的條件下，當(dāng)NADC=90時，求一的值.

AC

【答案】（1）當(dāng)AC=&或2或逐時，ABC是比例三角形；（2）證明見解析；（3）—=72.

32AC

【解析】

（1）ABC是比例三角形，旦AB=2、AC=3，

4

①當(dāng)AB?=BC-AC時，得：4=3AC，解得：AC=-;

9

②當(dāng)BC?=AB-AC時，得：9=2AC,解得：AC=-

2;

③當(dāng)AC2=AB-BC時，得：AC=6,解得：AC=Jd（負值舍去）；

49l

所以當(dāng)AC=］或萬或卡時，ABC是比例三角形；

（2）AD//BC.

../ACB=/CAD，

又4AC=/ADC,

ABCsDCA，

?_B_C_=_C_A_

即CA2=BCAD，

,CA-AD

AD//BC.

.../ADB=/CBD，

BD平分/ABC，

../ABD二NCBD，

NADB=NABD，

/.AB=AD，

.?,CA2=BCAB.

ABC是比例三角形；

（3）如圖，過點A作AH_LBD于點H,

B

AB=AD-

2

AD//BC./ADC=90，

.../BCD=90，

."BHA=/BCD=90，

又NABH=/DBC,

ABHsDBC.

ABBH

----，即AB,BC=BH,DB，

DBBC

.-.ABBC=-BD2，

2

又ABBC=AC2.

.-.-BD2=AC2,

2

??黑s

AC

【點睛】本題考查了相似三角形的綜合問題，理解比例三角形的定義，熟練掌握和運用相似三角

形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.（2018?四川省中考模擬）如圖，在RrABC中，AB=AC,點。為AC延長線上一點，連接BD,過A

作垂足為交8c于點N

（1）如圖1,若乙4。8=30，BC=3g，求AM的長；

（2）如圖2,點E在C4的延長線上，且AE=CZ）,連接EN并延長交80于點尸，求證：EF=FD:

⑶在⑵的條件下，當(dāng)=時，請求出給的值.

【答案】（1）土；（2）證明見解析；（3）—

23

【解析】

解：（1）在汝ABC中，A3=AC，

A8C是等腰直角三角形，

BC=3叵'

AB=3.

ZADB=30，

:.BD=6,AD=36.

根據(jù)等面積法可得：ABAD=AMBD，

：.3X3^3=6-AM，

爪3出

AM=------

2

（2）證明：作AHJ.BC,垂足為H,延長A”交BD于P,連接CP,如圖3所示.

ABC是等腰直角三角形，

；.AH=BH=CH,BP=CP，/PBC=NPCB.

AMAH±BC,

:"BMN=ZAHN=9。，

/BNM=ZANH，

：.ZNBM=ZNAH=/PBH.

在BHP和AHN中,

Z.BHP=ZAHN=90

<BH=AH,

Z.PBH=NNAH

BHP=AHN(ASA),

:.BP=AN,

：.CP^AN.

ZPCB^ZPAM,

：.ZMAD=ZPAM+45=ZPCB+45=NPG4，

:.NEAN=/PCD,

在AEN和CDP中，

CD=AE

<4EAN=4DCP,

AN=CP

AEN=CDP(SAS),

；.ZE=ZD，

:.EF=DF.

(3)過點尸作尸Q，AC「Q,由(2)可得，。是。E的中點，過N作NR_LAC于K,如圖4所示.

設(shè)A￡=a,AE=-AC,

3

/.AC=3a,

EQ=^a,AD=4a,

NR//FQ//AB,

ANR-FDQ~BAD，

?_N_R___A_D___4_a__4

.瓦一耘一五一屋

4

：.NR=-AR.

3

NRC為等腰直角三角形

4

「.一AH+A/?=3a，

3

AR^-a,

7

RQ=EQ-AE-AR=：5a-a-；9a=q3a.

NR//FQ,

：.ENRMEFQ、

16

ENER亍"32

上一a

14

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積、等腰直角三角形以及解

含30度角的直角三角形，解題的關(guān)鍵是：（1）利用面積法求出AM的長；（2）利用全等三角形的性質(zhì)找出

NE=ND：⑶利用相似三角形的性質(zhì)用含a的代數(shù)式表示HIAQ、RQ的長.

8.（2017?四川省中考模擬）如圖，AB是。。的直徑，點C為。O上一點，AE和過點C的切線互相垂直，

垂足為E,AE交。O于點D,直線EC交AB的延長線于點P,連接AC,BC,PB：PC=1：2.

（1）求證：AC平分NBAD；

（2）探究線段PB,AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

（3）若AD=3,求△ABC的面積.

【答案】（1）證明見試題解析；（2）AB=3PB,理由見試題解析；（3）5.

【解析】

解：（1）連接OC,YPE是。O的切線，???OCJ_PE,

VAE±PE,???OC〃AE,.\ZDAC=ZOCA,

VOA=OC,

AZOCA=ZOAC,

.\ZDAC=ZOAC,

???AC平分NBAD；

（2）線段PB,AB之間的數(shù)量關(guān)系為：AB=3PB.理由:

TAB是。O的直徑，/.ZACB=90°,

.*.ZBAC+ZABC=90°,

VOB=OC,

/.ZOCB=ZABC,

VZPCB+ZOCB=90°,AZPCB=ZPAC,

YNP是公共角，AAPCB^APAC,

PCPR

：.——=—,PC2=PB*PA,

PAPC

VPB：PC=1：2,

/.PC=2PB,.'.PA=4PB,

，AB=3PB：

13

（3）過點。作OHJ_AD于點H,則AH=-AD=-,四邊形OCEH是矩形,

22

3

/.OC=HE,AAE=-+OC,

2

VOC/7AE,/.△PCO^APEA,

.OCPO

~AE~~PA

3

VAB=3PB,AB=2OB,AOB=-PB,

2

OC3

PB+OBPB+-PB

?a二

?\+OCPB+AB2

PB+3PB

5

.\OC=-,AAB=5,

2

VAPBC^APCA,

.PBBC

'PC-AC-2'

，AC=2BC,

在RsABC中，AC2+BC2=AB'，

A(25C)2+BC2=52,

；.BC=6:.AC=2亞.

9.(2018?四川省中考模擬)已知：BD為。O的直徑，O為圓心，點A為圓上一點，過點B作。O的切線

交DA的延長線于點F,點C為。O上一點，且AB=AC,連接BC交AD于點E,連接AC.

(D如圖1,求證：NABF=NABC；

(2)如圖2,點H為。O內(nèi)部一點，連接OH,CH若NOHC=NHCA=90°時，求證：CH=-DA；

2

(3)在(2)的條件下，若OH=6,。。的半徑為10,求CE的長.

圖1圖2

21

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)y.

【解析】

(1)BD為。的直徑，

/.NBA。=90

/.ZD+ZABD=90，

FB是。的切線，

:.NFBD=90，

:.NFBA+NABD=90，

:.NFBA=ZD，

AB=AC，

ZC=ZABC,

ZC=ZD,

:.ZABF=ZABC；

（2）如圖2,連接OC,

ZOHC=ZHCA=90，

ACIIOH,

：.ZACO=ZCOH，

OB=OC，

:./OBC=/OCB,

ZABC+ZCBO=ZACB+Z.OCB,

即NABO=NACO,

：.ZABC=ZCOH,

NH=NBAD=90，

ABD-HOC,

ADBD-

/.==2,

CHOC

：.CH=-DA；

2

（3）由⑵知,ABC-HOC,

ABBD-

-----------2,

OHOC

OH=6,。的半徑為10,

.?.A3=2O"=12,BD=23

AD=ylBD2-AB2=16>

在ABR與ABE中，

ZABF=NABE

<AB=AB,

NBAF=NBAE=90

ABF=ABE，

：.BF=BE，AF=AE，

NFS。=NBA。=90，

AB2=AFAD^

：.AE=AF=9,

：DE=7，BE=^AB2+AE2=15-

AD,BC交于E,

:.AEDE=BECE,

AEDE9x721

/.CE=---------=------=—.

BE155

【點睛】

本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性

質(zhì)，勾股定理，射影定理，相交弦定理，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

10.（2019?四川省中考模擬）已知，在矩形ABCD中，連接對角線AC,將AABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90。

得到4EFG,并將它沿直線AB向左平移，直線EG與BC交于點H,連接AH,CG.

(1)如圖①，當(dāng)AB=BC,點F平移到線段BA上時，線段AH,CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？直接

寫出你的猜想；

(2)如圖②，當(dāng)AB=BC,點F平移到線段BA的延長線上時，(1)中的結(jié)論是否成立，請說明理由；

(3)如圖③，當(dāng)AB=nBC(n#l)時，對矩形ABCD進行如已知同樣的變換操作，線段AH,CG有怎樣

的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？直接寫出你的猜想.

【答案】(1)AH=CG,AH1CG:(2)仍然成立，理由詳見解析；(3)AH=nCG,AH±CG.理由詳見解析.

【解析】

(1)AH=CG,AH1CG.

證明：延長AH與CG交于點T,如圖①，

由旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)可得：EF=AB,FG=BC,ZEFG=ZABC.

:四邊形ABCD是矩形，AB=BC,

；.EF=GF,NEFG=NABC=90。.

AZCBG=90°,ZEGF=45°.

...ZBHG=90°-45°=45°=ZEGF.

，BH=BG.

在^ABH和^CBG中，

AB=BC,ZABH=ZCBG,BH=BG,

.,.△ABH^ACBG(SAS).

，AH=CG,ZHAB=ZGCB.

，ZHAB+ZAGC=ZGCB+ZAGC=90°.

ZATC=90°.

AAHICG.

圖①

(2)(1)中的結(jié)論仍然成立.

證明：延長CG與AH交于點Q,如圖②，

由旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)可得：EF=AB,FG=BC,ZEFG=ZABC.

?四邊形ABCD是矩形，AB=BC,

AEF=GF,ZEFG=ZABC=90°.

AZABH=90°,ZEGF=45°.

:.ZBGH=ZEGF=45°.

???NBHG=90。-45°=45°=ZBGH.

ABH=BG.

在^ABH和aCBG中，

AB=BC,ZABH=ZCBG,BH=BG,

AAABH^ACBG(SAS).

AAH=CG,ZHAB=ZGCB.

JZGCB+ZCHA=ZHAB+ZCHA=90°.

???ZCQA=90°.

???CG_LAH.

(3)AH=nCG,AH±CG.理由如下:

延長AH與CG交于點N,如圖③，

由旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)可得：EF=AB,FG=BC,ZEFG=ZABC.

???四邊形ABCD是矩形，AB=nBC,

/.EF=nGF,ZEFG=ZABC=90°.

AZEFG+ZABC=180°.

，BH〃EF.

/.△GBH^AGFE.

.BHFE

BG-FG,

.FEAB

?------n-------，

FGBC

.BHAB

BG-BC,

VZABH=ZCBG,

AAABH^ACBG.

AHAB

/------=-----=n,ZHAB=ZGCB.

CGCB

AAH=nCG,ZHAB+ZAGC=ZGCB+ZAGC=90°.

???ZANC=90°.

???AH_LCG.

圖③

IL(2018?四川省中考模擬)如圖，Z\ABC和ABEC均為等腰直角三角形，KZACB=ZBEC=90°,點P

為線段BE延長線上一點，連接CP,以CP為直角邊向下作等腰直角aCPD,線段BE與CD相交于點F.

PCCE

求證:

(1)~CD~CB

(2)連接BD,請你判斷AC與BD有什么位置關(guān)系？并說明理由.

E.

【答案】（1）證明見解析；（2）AC〃BD,理由見解析.

【解析】

（1）V,△A8C和△BEC均為等腰直角三角形，且/AC8=N8EC=90。,

ZECB=ZPCD=45°,NCEB=NCPD=90°,

PCCE

:ABCEsADCP,——=—

CDCB

(2)AC//BD,

理由：VZPCE+ZECD=ZBCD+ZECD=45°,:.NPCE=NBCD,

PCCE

—=—,:APCEsADCB,.,./CBC=NCE尸=90°,

CDCB

,：/AC8=90°,NACB=NCBD,

J.AC//BD.

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，判定兩個三角形相似的方法有：①平行于三角形一邊的直線和其他

兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；②三邊成比例的兩個三角形相似；③兩邊成

比例且夾角相等的兩個三角形相似；④有兩個角相等的三角形相似.

12.（2019?四川省中考模擬）如圖，^ABC內(nèi)接于。0,BC=2,AB=AC,點。為AC上的動點，且

cosB=?

10

⑴求AB的長度；

⑵在點D運動的過程中，弦AD的延長線交BC的延長線于點E,問AD?AE的值是否變化？若不變，請求出

AD?AE的值；若變化，請說明理由.

（3）在點D的運動過程中，過A點作AHJ_BD,求證：BH^CD+DH.

【答案】(I)AB=JI6；(2)AD-AE=10；(3)證明見解析.

【解析】

(1)過A作AF，BC,垂足為F,交。。于G,

1

VAB=AC,AF_LBC,，BF=CF=-BC=1,

2

BF1_師

在RtAAFB中，BF=1,AAB=COSB>/10；

1(T

(2)連接DG,

VAF1BC,BF=CF,；.AG為。O的直徑，二NADG=NAFE=90。，

又；NDAG=NFAE,AADAG^AFAE,

AAD：AF=AG：AE,

；.AD?AE=AF,AG,

連接BG,則NABG=90°,VBF1AG,BF2=AF?FG,

???AF=L-護=3,

1

，F(xiàn)G=-,

3

10

；.AD?AE=AF?AG=AF?(AF+FG)=3x—=10；

3

(3)連接CD,延長BD至點N,使DN=CD,連接AN,

VZADB=ZACB=ZABC,ZADC+ZABC=180°,ZADN+ZADB=180°,

...NADC=/ADN,

VAD=AD,CD=ND,

AAADC^AADN,

，AC=AN,

：AB=AC,；.AB=AN,

VAHIBN,

，BH=HN=HD+CD.

【點睛】本題考查了垂徑定理、三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)

等，綜合性較強，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

13.（2019?四川省中考模擬）已知：如圖，A3為。。的直徑，AC與。。相切于點A,連接8c交圓于點。,

過點。作。。的切線交AC于E.

(1)求證：AE=CE

（2）如圖，在弧80上任取一點尸連接A尸，弦GF■與A8交于與5c交于M,求證：ZFAB+ZFBM

=ZEDC.

339

（3）如圖，在（2）的條件下，當(dāng)G//=FH,時，tanNA3C=—,OE=一時，N為圓上一點,

44

連接FN交AB于L,滿足/NF”+NC4F=ZAHG,求LN的長.

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）NL=h3

13

【解析】

解：

（1）證明：如圖1中，連接AD.

c

B

圖1

???A8是直徑，

/./ADB=ZADC=90°,

V￡A.EO是。。的切線,

:?EA=ED,

：.ZEAD=ZEDAf

'：ZC+ZEAD=90°fZEDC+ZEDA=90°f

：?4C=4EDC,

：?ED=EC,

：.AE=EC.

(2)證明：如圖2中，連接AD

圖2

〈AC是切線，4?是直徑，

ZBAC=ZADB=90°,

：.ZBAIHZCAD=90°fNC4O+NC=90。，

:./BAD=/C,

?：ZEDC=NC,

：?4BAD=4EDC,

?：NDBF=NDAF,

1/FBM+NFAB=NFBM+/DAF=NBAD,

：.NFAB+NFBM=ZEDC.

B

圖3

39

由(1)可知，DE=AE=EC,*/DE=——

4

39

：.AC=-

2f

八3AC

VtanZABC=-=----

4AB

39

???32，

4AB

???A8=26,

4

,:GH=FH,HM=FN,設(shè)HM=FM=a,GH=HF=2a,BH=-

3

GH?HF=BH?AH,

i44

4"=一〃(26--a).

33

...4=6,

:?FH=12,BH=8,AH=l8f

?:GH=HF,

：?AB_LGF,

JZAHG=90°f

???NNFH+NCAF=4AHG,

：.NNFH+NCAF=9。。,

.：NNFH+NHLF=9U。,

：.ZHLF=ZCAFt

9：AC//FG,

：.ZCAF=/AFH,

:?/HLF=NAFH,

■:/FHL=/AHF,

:.△HFLSAHAF,

J.FbP^HL-HA,

二122=518,

：.HL=8,

.,.AL=\O,BL=16,FL=y/fH2+HI3=4V13,

■:LN?LF=AL,BL,

???49吆川=10?16,

：.LN=

13

【點睛】

本題考查了圓的綜合問題，涉及到的知識有：切線的性質(zhì)；切線長定理；圓周角定理；相交弦定理；相

似三角形性質(zhì)與判定等，熟練掌握圓的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

14.（201%四川省中考模擬）等腰AABC中，A8=AC,AOJ_BC于點O,點E是AO上的一點，連接CE,

將線段EC繞點E順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使得點C落在了點尸處，且滿足NCE尸=/C4B,連接8戶

（1）如圖，若NA4c=60。，則線段AE與8廠的數(shù)量關(guān)系為；

（2）如圖，若NA4c=90。，求證：8F=&AE：（寫出證明過程）

（3）如圖.在（2）的條件下，連接尸O并延長分別交CE、C4于點M,N,BC=8,FD=廂DE,求

△OCN和△CMN的面積

54

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）—

13

【解析】

解：（1）AE=BF,理由如下，

連接CF,

當(dāng)N8AC=60。時，EllAB=AC,可得△ABC是等邊三角形,

,.,ZCEF=ZCAfi=60°,CE=FE,

...△CEF是等邊三角形，

，ZACB=ZECF=60°,

，NACE=NBCF,

在△ACE和△BC尸中

'AC=BC

<NACE=NBCF,

CE=CF

:.△ACE9XBCF(SAS),

：.AE=BF,

(2)連接C尸,

當(dāng)N8AC=90。時，由A8=AC,可得△ABC是等腰直角三角形,

.ACW

,：ZCEF=ZCAB=90°,CE=FE,

.二△CE尸是等腰直角三角形，

.￡C=V2且NAC8=NECF=45°,

FC2

ACEC

—=—,ZACE=ZBCF,

BCFC

:.AACEsABCF,

BFFC

及，

AEEC

即BF=y/2AEf

(3)過點F作尸G_LBC于G,連接GE,

由(2)可得NFBC=NEAC=45。，

...△2GF是等腰直角三角形，

：.BG=FG,且BF=&BG,

又?：BF=血AE,

：.BG=AEf

,等腰直角三角形ABC中，AD=BD=-BC^4,

2

:.DG=DE,

,:FD=回DE,

：.FD^y/\QDG,

設(shè)DG=x,則GF=GB=4-x,DF=-y/\0x,

...RtAQGF中，/+(4-x)2=(VlOt)2,

解得X|=l,X2-(舍去)，

2

:.DG=DE=l,

：.AD=BG=FG=4-1=3,

???BF=d?+32=3夜，

由/廠BC=NACD=45°,BD=CD,ZBDF=ZCDN,可得△BD尸也(ASA),

:.BF=CN=3五,

?.?RtzMCO中，AC="2+42=4近,

???AN=0，

33

.?.△。。%的面積=一乂八4<7￡>的面積=-*8=6,

44

過N作AW〃AO,交CETH,

AACNH^ACAE,

NHCN??NH3

------=——，即----=-,

AECA34

9

:.NH=一,

4

…MNNH,MN9

由NH〃皿可得——=-----,即——

MDDEMD4

/\CMN的面積=—xADCN的面積=—x6=—.

【點睛】

本題考查了三角形的綜合問題，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性

質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)等相關(guān)性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.

15.（2018?四川省中考模擬）已知：如圖，在梯形48co中，AB//CD,ZD=90°,AD=CD=2,點E在

邊40上（不與點4、。重合），NCEB=45。,E8與對角線AC相交于點尸，設(shè)OE=x.

（1）用含x的代數(shù)式表示線段CF的長；

C

（2）如果把△C4E的周長記作CKAE,△A4F的周長記作CAB”,設(shè)音m=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，

并寫出它的定義域；

4x+2

【解析】

(1)VAD=CD.

ZDAC=ZACD=45°,

VZCEB=45°,

AZDAC=ZCEB,

,:ZECA=ZECA,

.?.△CEF^ACAE,

.CECF

??-，

CACE

在RSCDE中，根據(jù)勾股定理得，CE=&+4，

?.?CA=2近，

?.CF=&廠+4);

4

(2)VZCFE=ZBFA,ZCEB=ZCAB,

???ZECA=180°-ZCEB-ZCFE=180°-ZCAB-ZBFA,

VZABF=180°-ZCAB-ZAFB,

AZECA=ZABF,

VZCAE=ZABF=45°,

AACEA^ABFA,

CC4FAE2-x2^2

y=----c=-----=--------------------------=--------

??CMA/20口C?+4)X+2(0<X<2),

(3)由(2)知，ACEA^ABFA,

AE_AF

2-x2,^/2,—+4)

20—AB

AB=x+2,

3

???/ABE的正切值是g,

AE2-x3

tan/ABE=-----=--------

AB2+x5

1

x=—,

2

5

AB=x+2=—.

2

16.（2019?四川省中考模擬）感知：如圖①，在四邊形ABCD中，AB/7CD,ZB=90°,點P在BC邊上,

當(dāng)NAPD=90。時，可知△ABPsapcD.（不要求證明）

探究：如圖②，在四邊形ABCD中，點P在BC邊上，當(dāng)NB=NC=NAPD時，求證：△ABPs^PCD.

拓展:如圖③，在4ABC中，點P是邊BC的中點，點D、E分別在邊AB、AC上.若NB=NC=NDPE=45。,

BC=6&,CE=4,則DE的長為.

圖①圖②圖③

【答案】探究：成立；拓展：

2

【解析】

感知：VZAPD=90°,

，ZAPB+ZDPC=90°,

VZB=90°,

.*.ZAPB+ZBAP=90°,

/.ZBAP=ZDPC,

VAB/7CD,ZB=90°,

.*.ZC=ZB=90°,

.,.△ABP^ADCP.

探究：VZAPC=ZBAP+ZB,ZAPC=ZAPD+ZCPD,

二ZBAP+ZB=ZAPD+ZCPD.

VZB=ZAPD,

AZBAP-ZCPD.

VZB=ZC,

/.△ABP^APCD,

拓展：同探究的方法得出，ABDPSZXCPE,

.BDBP

CPCE

???點P是邊BC的中點，

.?.BP=CP=3V5,

；CE=4,

.BD372

..第二丁

9

，BD=一,

2

<?,ZB=ZC=45°,

；.NA=180。-ZB-ZC=90°,

即AC_LAB且AC=AB=6,

93

二AD=AB-BD=6--=AE=AC-CE=6-4=2,

22

在Rt/kADE中，DE=JAD?+AE?=+22=|.

故答案是：--

2

【點睛】

此題是相似綜合題.主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角

定理.解本題的關(guān)鍵是△ABPSAPCD.

17.(2019?四川省中考模擬)在矩形ABQ7中，A8=3,AO=4,點尸為A5邊上的動點(尸與A、B

不重合)，將△5CP沿CP翻折，點5的對應(yīng)點Bi在矩形外，PB1交AO于E,C8i交AO于點尸.

(1)如圖1,求證：△APES/IQFC；

(2)如圖1,如果Ef=PE,求BP的長；

(3)如圖2,連接B5'交AO于點。，EQ：”=8：5,求tanNPCB.

2

【答案】(1)見解析；(2)8尸=2.4；(3)lanNPC8=-.

3

【解析】

(1),?,四邊形46C。是矩形

???ZA=ZD=ZABC=ZBCD=90°

/.ZAPE+ZAEP=90°,NDCF+NDFC=90°,

;折疊

JZABC=ZPBiC=90°,

.\ZBiEF+ZBiFE=90°,

又?；NBiEF=NAEP,/BiFE=/DFC,

:"DFC=/APE,且NA=NO,

J/\APE^/\DFC

(2)?:PE=EF,ZA=ZBi=90°,NAEP=NBiEF,

：./XAPE^/\B\FE(AAS),

：.AE=B\E,AP=B\F,

:?AE+EF=PE+BiE,

：.AF=B\P,

設(shè)8P=a,則AP=3-a=8i凡

??,折疊

；?BP=BiP=a,BC=BiC=4,

*.AF=a,CF=4-(3-Q)=〃+l

：.DF=AD-AF=4-a,

在Rt^OFC中，。產(chǎn)=。產(chǎn)+C02,

???(〃+l)2=(4-Q)2+9,

；?a=2.4

即8P=2.4

(3)???折疊

：.BC=B\C,BP=BTP,NBCP=NBTCP,

???C尸垂直平分33],

：.ZBiBC+ZBCP=90°,

,:BC=BC

:?NB1BC=NBB、C,且/BBIC+NPBTB=90。

:?/PB\B=/PCB,

???四邊形ABC。是矩形

：.AD//BC

，N'8C=NB