大學(xué)物理(下)典型題

（一）電磁學(xué)共23題（二）相對(duì)論共3題（三）量子物理共6題2021/5/91大學(xué)物理電磁學(xué)

共23題2021/5/921均勻帶電圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。設(shè)半徑為R的細(xì)圓環(huán)均勻帶電，總電量為q，P是軸線上一點(diǎn)，離圓心O的距離為x，求P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。dqrOxRxP解：(3)(4)積分求解:

由于對(duì)稱性(1)(2)將分解為在圓環(huán)上任意取一線元dl，其帶電量為dq

2021/5/93dqrOPxRx在積分過(guò)程中，r和保持不變，可以提到積分號(hào)外，即2021/5/94dqrOPxRx討論(1)環(huán)心處，x=0，E=0；即遠(yuǎn)離環(huán)心處的電場(chǎng)相當(dāng)于一個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。(3)當(dāng)x>>R時(shí)，思考如果把圓環(huán)去掉一半，P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)是否等于原來(lái)的一半？(2)當(dāng)q>0時(shí)，沿軸線指向遠(yuǎn)離軸線的方向，當(dāng)q<0時(shí)，沿軸線指向環(huán)心；2021/5/952求均勻帶電無(wú)限長(zhǎng)圓柱體(λ,R)的電場(chǎng)分布。OREE

rE1/rrOR解：在柱體內(nèi)(r

R),選長(zhǎng)為l

的同軸柱形高斯面，利用高斯定律在柱體外(r>R)，取同樣高斯面，所以得電場(chǎng)分布的矢量表達(dá)l2021/5/96OabR1R2rbra3：均勻帶電球?qū)樱瑑?nèi)半徑為R1，外半徑為R2，體電荷密度為。求圖中a點(diǎn)和b點(diǎn)電勢(shì)。解：取薄球殼，半徑為r，厚為dr，可視為均勻帶電球面，其帶電量為rdr對(duì)a點(diǎn)，此帶電球面產(chǎn)生的電勢(shì)為2021/5/97對(duì)b點(diǎn)，當(dāng)球殼半徑r<rb時(shí)，其產(chǎn)生的電勢(shì)為OabR1R2rbrardr當(dāng)球殼半徑r>

rb時(shí)，其產(chǎn)生的電勢(shì)為2021/5/984：有一塊大金屬平板，面積為S，帶有總電量Q，今在其近旁平行地放置第二塊大金屬平板，此板原來(lái)不帶電。(1)求靜電平衡時(shí)，金屬板上的電荷分布及周圍空間的電場(chǎng)分布。(2)如果把第二塊金屬板接地，最后情況又如何？（忽略金屬板的邊緣效應(yīng)。）σ1σ2σ3σ4解：（1）由于靜電平衡時(shí)導(dǎo)體內(nèi)部無(wú)凈電荷，所以電荷只能分布在兩金屬板的表面上。設(shè)四個(gè)表面上的面電荷密度分別為σ1、σ2、σ3和σ4。QS2021/5/99由電荷守恒定律可知：閉曲面作為高斯面。由于板間電場(chǎng)與板面垂直，且板內(nèi)的電場(chǎng)為零，所以通過(guò)此高斯面的電通量為零。選一個(gè)兩底分別在兩個(gè)金屬板內(nèi)而側(cè)面垂直于板面的封金屬板內(nèi)任一點(diǎn)P的場(chǎng)強(qiáng)是4個(gè)帶電平面的電場(chǎng)的疊加，并且為零，所以σ1σ2σ3σ4QSP(1)(2)(3)(4)2021/5/910即：聯(lián)立求解可得：電場(chǎng)的分布為：在Ⅰ區(qū)，在Ⅱ區(qū)，在Ⅲ區(qū)，方向向左方向向右方向向右ⅠEⅡEⅢEIⅡIIIⅠⅡⅢσ1σ2σ3σ4QS1234由有2021/5/911（2）如果把第二塊金屬板接地，其右表面上的電荷就會(huì)分散到地球表面上，所以第一塊金屬板上的電荷守恒仍給出由高斯定律仍可得金屬板內(nèi)P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為零，所以聯(lián)立求解可得：ⅡIⅡIIIσ1σ2σ3σ4SP電場(chǎng)的分布為：ⅠE=0，ⅡE方向向右EIII=02021/5/912O直線+λd導(dǎo)體板5如圖，求O點(diǎn)處感應(yīng)電荷密度σ。xO/解：取導(dǎo)體板內(nèi)很鄰近O點(diǎn)的O/點(diǎn)，直線在O/點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)感應(yīng)電荷在O/點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)，由總電場(chǎng)得2021/5/913解：兩極面間的電場(chǎng)在電場(chǎng)中取體積元?jiǎng)t在dV中的電場(chǎng)能量為：6一圓柱形電容器，兩個(gè)極面的半徑分別為R1和R2，兩極面間充滿相對(duì)介電常數(shù)為的電介質(zhì)。求此電容器帶有電量Q時(shí)所儲(chǔ)存的電能。L+Q–QεrR1R22021/5/914S解:根據(jù)電荷分布對(duì)壁的平分面的面對(duì)稱性，可知電場(chǎng)分布也具有這種對(duì)稱性。由此可選平分面與壁的平分面重合的立方盒子為高斯面，如圖所示，高斯定理給出：7一無(wú)限大均勻帶電厚壁，壁厚為D，體電荷密度為ρ，求其電場(chǎng)分布，并畫(huà)出

E-d曲線，d為垂直于壁面的坐標(biāo)，原點(diǎn)在厚壁的中心。DdE-d曲線如圖EdO2021/5/9158兩個(gè)同心金屬球殼，內(nèi)球殼半徑為R1，外球殼半徑為R2，中間充滿相對(duì)介電常數(shù)為er的均勻介質(zhì)，構(gòu)成一個(gè)球形電容器。

(1)

求該電容器的電容；(2)設(shè)內(nèi)外球殼上分別帶有電荷+Q和-Q，求電容器儲(chǔ)存的能量。解:(1)已知內(nèi)球殼上帶正電荷Q，則兩球殼中間的場(chǎng)強(qiáng)大小為

：兩球殼間電勢(shì)差

電容(2)電場(chǎng)能量：OR1R22021/5/9169兩個(gè)同心的均勻帶電球面，半徑分別為R1=5.0cm，R2=20.0cm，已知內(nèi)球面的電勢(shì)為，外球面的電勢(shì)為。

(1)

求內(nèi)外球面所帶電量；(2)兩個(gè)球面之間何處電勢(shì)為零。解:(1)以q1和q2分別表示內(nèi)外球所帶電量，由電勢(shì)疊加原理：聯(lián)立可得

可得(2)由：OR1R22021/5/91710.在均勻磁場(chǎng)中放置一半徑為R的半圓形導(dǎo)線，電流強(qiáng)度為I，導(dǎo)線兩端連線與磁感應(yīng)強(qiáng)度方向夾角

=30°，求此段圓弧電流受的磁力。Iab解：在電流上任取電流元方向2021/5/91811.如圖所示，在均勻磁場(chǎng)中，半徑為R的薄圓盤(pán)以角速度ω繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，圓盤(pán)電荷面密度為σ。求它的磁矩、所受的磁力矩以及磁矩的勢(shì)能。解：取半徑為r的環(huán)狀面元，圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，它相當(dāng)于一個(gè)載流圓環(huán)，其電流：磁矩：Rrdrω受的力矩：圓盤(pán)磁矩：方向向上磁矩的勢(shì)能為2021/5/91912.一半徑為R的無(wú)限長(zhǎng)半圓柱面導(dǎo)體，其上電流與其軸線上一無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線的電流等值反向。電流I在半圓柱面上均勻分布。(1)求軸線上導(dǎo)線單位長(zhǎng)度所受的力；(2)若將另一無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線(通有大小、方向與半圓柱面相同的電流I)代替圓柱面，產(chǎn)生同樣的作用力，該導(dǎo)線應(yīng)放在何處？解：(1)在半圓柱面上沿母線取寬為dl的窄條，其電流IIR它在軸線上一點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度:方向如圖dIdlxy2021/5/920由電流分布的對(duì)稱性可知：方向沿x軸方向沿y軸，是斥力dIdlxy(2)另一無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線應(yīng)平行放置于y軸負(fù)半軸上，以d表示兩直導(dǎo)線間的距離，則2021/5/92113.將一均勻分布著的電流的無(wú)限大載流平面放入均勻磁場(chǎng)中，電流方向與此磁場(chǎng)垂直。已知平面兩側(cè)的磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B1和B2，如圖所示，求該載流平面單位面積所受磁場(chǎng)力的大小和方向。解:載流平面自身在其兩側(cè)產(chǎn)生的磁場(chǎng)為：方向相反。均勻外磁場(chǎng)B0

在平面兩側(cè)方向相同。由圖，載流平面產(chǎn)生磁場(chǎng)與外磁場(chǎng)在左側(cè)方向相反，在右側(cè)方向相同。載流平面單位面積所受的磁場(chǎng)力考慮長(zhǎng)dl，寬ds的電流元，其在外磁場(chǎng)中受的磁場(chǎng)力2021/5/92214.半徑為R的圓片上均勻帶電，面密度為，該圓片以勻角速度繞它的軸線旋轉(zhuǎn)，求圓片中心O處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。

O解:取

r處

dr

寬度的圓環(huán)，其以作圓周運(yùn)動(dòng)，相當(dāng)于一圓電流dI，dI

的大小為：此圓電流在圓心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：整個(gè)圓板在圓心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：2021/5/923xORx由對(duì)稱性θθ解:方向:+x15：圓電流（I，R）軸線上的磁場(chǎng)。方向：右手定則

x=0圓心處

x>>R2021/5/92416：求無(wú)限長(zhǎng)均勻載流圓柱體(I,R)的磁場(chǎng)。I柱外：r>R柱內(nèi)：r<RLLrRBO解：2021/5/92517.長(zhǎng)直導(dǎo)線中通有電流I=5A，另一矩形線圈共1103匝，寬a=10cm，長(zhǎng)L=20cm，以v=2m/s的速度向右平動(dòng)，求當(dāng)d=10cm時(shí)線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度為advIL解：方向如圖

1方向如圖

2方向順時(shí)針2021/5/92618.在半徑為R的圓柱形體積內(nèi)，充滿磁感強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)，有一長(zhǎng)為L(zhǎng)的金屬棒放在磁場(chǎng)中,設(shè)磁場(chǎng)在增強(qiáng)，并且dB/dt已知，求金屬棒中的感生電動(dòng)勢(shì)，并指出哪端電勢(shì)高。解：由法拉第定律計(jì)算設(shè)想一回路，如OABO，則該回路的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小為lABO

B均勻dB/dt>0，則回路中電動(dòng)勢(shì)方向?yàn)槟鏁r(shí)針，B端高。由于OA和OB兩段沿徑向，渦旋電場(chǎng)垂直于段元，這兩段不產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)。該電動(dòng)勢(shì)就是金屬棒上的電動(dòng)勢(shì)。2021/5/927x19.導(dǎo)體CD以恒定速率在一個(gè)三角形的導(dǎo)體框架MON上運(yùn)動(dòng)，它的速度的方向垂直于CD向右，磁場(chǎng)的方向如圖，B=Kxcosωt,求：CD運(yùn)動(dòng)到x處時(shí)，框架COD內(nèi)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小、方向。（設(shè)

t=0,x=0)解：選定回路正向，順時(shí)針?lè)较騢dx,x,CD

MON2021/5/928CDx

MONhdx

x

解二、2021/5/92920.矩形螺繞環(huán)共有N匝，尺寸如圖，求：L=?D2D1hIL解：設(shè)電流為I，取回路L若矩形螺繞環(huán)中充滿磁導(dǎo)率為μ的介質(zhì)，L=?dshr2021/5/93021.一邊長(zhǎng)為l和b

的矩形線框。在其平面內(nèi)有一根平行于AD邊的長(zhǎng)直導(dǎo)線OO’，導(dǎo)線半徑為a。求：該系統(tǒng)的互感系數(shù)．O′Obl.××××××××××××××××××××....I12解：dsABCD2021/5/93122.傳輸線由兩個(gè)同軸圓筒組成，內(nèi)、外半徑分別為R1,R2,其間介質(zhì)的磁導(dǎo)率為μ，電流由內(nèi)筒一端流入，由外筒的另一端流回，當(dāng)電流強(qiáng)度為I時(shí)，求:l

長(zhǎng)度傳輸線內(nèi)儲(chǔ)存的磁能。I解：a單位長(zhǎng)度L*l2021/5/932求:任意時(shí)刻t在矩形線框內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)并討論的方向.ab23.如圖,真空中一長(zhǎng)直導(dǎo)線通有電流有一帶滑動(dòng)邊的矩形導(dǎo)線框與其平行共面,二者相距a.滑動(dòng)邊長(zhǎng)為b,以勻速滑動(dòng).若忽略線框中的自感電動(dòng)勢(shì),并設(shè)開(kāi)始時(shí)滑動(dòng)邊與對(duì)邊重合.aOxya+bds建立坐標(biāo)xoy.取ds,其內(nèi)的磁通量L順時(shí)針L2021/5/933在t時(shí)刻,矩形線框內(nèi)的磁通量

2021/5/934a0xya+ba0xya+b的方向當(dāng)時(shí),為順時(shí)針?lè)较?當(dāng)時(shí),為逆時(shí)針?lè)较?2021/5/935大學(xué)物理相對(duì)論共3題2021/5/9361.一發(fā)射臺(tái)向東西兩側(cè)距離均為L(zhǎng)0

的兩個(gè)接收站E與W發(fā)射訊號(hào),如圖,今有一飛機(jī)以勻速度v沿發(fā)射臺(tái)與兩接收站的連線由西向東,

求:在飛機(jī)上測(cè)得兩接收站收到發(fā)射臺(tái)同一訊號(hào)的時(shí)間間隔是多少?解:

設(shè)東西接收到訊號(hào)為兩個(gè)事件,時(shí)空坐標(biāo)為地面為S系(xE,tE),(xW,tW)飛機(jī)為S'系(xE',tE'),(xW',tW')負(fù)號(hào)表示東先接收到訊號(hào)。由洛侖茲時(shí)空變換得2021/5/9372.兩只宇宙飛船,彼此以0.98c的相對(duì)速率相對(duì)飛過(guò)對(duì)方;宇宙飛船1中的觀察者測(cè)得另一只宇宙飛船2的長(zhǎng)度為自己宇宙飛船長(zhǎng)度的2/5。求:(1)宇宙飛船2與1中的靜止長(zhǎng)度之比?(2)飛船2中的觀察者測(cè)得飛船1的長(zhǎng)度與自己飛船長(zhǎng)度之比?解:(1)設(shè)飛船1為S,飛船2為S',靜長(zhǎng)分別為L(zhǎng)10,L20'飛船1測(cè)飛船2的長(zhǎng)度為L(zhǎng)2,飛船2測(cè)飛船1的長(zhǎng)度為L(zhǎng)1'

由題意:由長(zhǎng)度收縮:(2)2021/5/9383.已知二質(zhì)點(diǎn)A,B靜止質(zhì)量均為m0,若質(zhì)點(diǎn)A靜止質(zhì)點(diǎn)B以6m0c2的動(dòng)能向A運(yùn)動(dòng),碰撞后合成一粒子,無(wú)能量釋放。求:合成粒子的靜止質(zhì)量M0?解:

二粒子的能量分別為由能量守恒,合成后粒子的總能量為由質(zhì)能關(guān)系:E=Mc2由質(zhì)速關(guān)系:關(guān)鍵求復(fù)合粒子的速度v=?由動(dòng)量守恒:2021/5/939對(duì)B應(yīng)用能量與動(dòng)量關(guān)系,即2021/5/940大學(xué)物理量子物理共6題2021/5/9411.在光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得某金屬的截止電壓Uc和入射光頻率的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下：6.5016.3036.0985.8885.6640.8780.8000.7140.6370.541試用作圖法求：(1)該金屬光電效應(yīng)的紅限頻率；(2)普朗克常量。圖Uc和

的關(guān)系曲線4.05.06.00.00.51.0Uc[V]

1014Hz解：以頻率

為橫軸,以截止電壓Uc為縱軸，畫(huà)出曲線如圖所示(注意:)。2021/5/942(1)曲線與橫軸的交點(diǎn)就是該金屬的紅限頻率，由圖上讀出的紅限頻率(2)由圖求得直線的斜率為對(duì)比上式與有精確值為圖Uc和

的關(guān)系曲線4.05.06.00.00.51.0Uc[V]

1014Hz2021/5/9432.一維無(wú)限深勢(shì)阱中的粒子的定態(tài)物質(zhì)波相當(dāng)于兩端固定的弦中的駐波，因而勢(shì)阱寬度a必須等于德布羅意波的半波長(zhǎng)的整數(shù)倍。(1)試由此求出粒子能量的本征值為：(2)

在核(線度1.0×10-14m)內(nèi)的質(zhì)子和中子可以當(dāng)成是處于無(wú)限深的勢(shì)阱中而不能逸出，它們?cè)诤酥械倪\(yùn)動(dòng)是自由的。按一維無(wú)限深方勢(shì)阱估算，質(zhì)子從第一激發(fā)態(tài)到基態(tài)轉(zhuǎn)變時(shí)，放出的能量是多少M(fèi)eV？解：在勢(shì)阱中粒子德布羅意波長(zhǎng)為

粒子的動(dòng)量為：2021/5/944

粒子的能量為：(2)由上式，質(zhì)子的基態(tài)能量為(n=1):第一激發(fā)態(tài)的能量為：n=1,2,3…2021/5/945從第一激發(fā)態(tài)轉(zhuǎn)變到基態(tài)所放出的能量為：討論：實(shí)驗(yàn)中觀察到的核的兩定態(tài)之間的能量差一般就是幾MeV,上述估算和此事實(shí)大致相符。n=1n=2n=32021/5/9463.

設(shè)粒子處于由下面波函數(shù)描述的狀態(tài)：當(dāng)當(dāng)A是正的常數(shù)。求粒子在x軸上分布的概率密度;粒子在何處出現(xiàn)的概率最大?解：首先把給定的波函數(shù)歸一化做積分得2021/5/947因此，歸一化的波函數(shù)為當(dāng)當(dāng)歸一化之后，就代表概率密度了，即當(dāng)當(dāng)概率最大處:即x=02021/5/948討論：波函數(shù)本身無(wú)物理意義,“測(cè)不到，看不見(jiàn)”，是一個(gè)很抽象的概念，但是它的模的平方給我們展示了粒子在空間各處出現(xiàn)的概率密度分布的圖像。Eoa/2x-a/2E1n=14E1n=29E1n=3Enψn|ψn|2無(wú)限深方勢(shì)阱內(nèi)粒子的能級(jí)、波函數(shù)和概率密度2021/5/9494.氫原子的直徑約10-10m，求原子中電子速度的不確定量。按照經(jīng)典力學(xué)，認(rèn)為電子圍繞原子核做圓周運(yùn)動(dòng)，它的速度是多少？結(jié)果說(shuō)明什么問(wèn)題？解：由不確定關(guān)系估計(jì)，有速度與其不確定度同數(shù)量級(jí)?？梢?jiàn)，對(duì)原子內(nèi)的電子，談?wù)撈渌俣葲](méi)有意義，描述其運(yùn)動(dòng)必須拋棄軌道概念，代之以電子云圖象。按經(jīng)典力學(xué)計(jì)算2021/5/9505.(1)用4個(gè)量子數(shù)描述原子中電子的量子態(tài)，這4個(gè)量子數(shù)各稱做什么，它們?nèi)≈捣秶鯓樱?/p>

(2)4個(gè)量子數(shù)取值的不同組合表示不同的量子態(tài)，當(dāng)n=2時(shí)，包括幾個(gè)量子態(tài)？

(3)寫(xiě)出磷(P)的電子排布，并求每個(gè)電子