根與系數(shù)的關(guān)系練習(xí)題-2

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系習(xí)題主編：閆老師[準(zhǔn)備知識(shí)回憶]：一元二次方程的求根公式為。一元二次方程根的判別式為：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。反之：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么；方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么；方程沒有實(shí)數(shù)根，那么。[韋達(dá)定理相關(guān)知識(shí)]1假設(shè)一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么，。我們把這兩個(gè)結(jié)論稱為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，簡稱韋達(dá)定理。2、如果一元二次方程的兩個(gè)根是，那么，。3、以為根的一元二次方程〔二次項(xiàng)系數(shù)為1〕是4、在一元二次方程中，有一根為0，那么；有一根為1，那么；有一根為，那么；假設(shè)兩根互為倒數(shù),那么；假設(shè)兩根互為相反數(shù)，那么。5、二次三項(xiàng)式的因式分解(公式法)

在分解二次三項(xiàng)式的因式時(shí)，如果可用公式求出方程的兩個(gè)根，那么．如果方程無根,那么此二次三項(xiàng)式不能分解.[根底運(yùn)用]例1：方程的一個(gè)根是1，那么另一個(gè)根是，。解：變式訓(xùn)練：1、是方程的一個(gè)根，那么另一根和的值分別是多少？2、方程的兩個(gè)根都是整數(shù)，那么的值是多少？例2：設(shè)是方程，的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)關(guān)系求以下各式的值：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕變式訓(xùn)練：關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，求滿足以下條件的值：〔1〕有兩個(gè)實(shí)數(shù)根?！?〕有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根。〔3〕有一個(gè)正數(shù)根和一個(gè)負(fù)數(shù)根?！?〕兩個(gè)根都小于2。2、關(guān)于的方程。〔1〕求證：方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?！?〕取何值時(shí)，方程有兩個(gè)正根?！?〕取何值時(shí)，方程有兩異號(hào)根，且負(fù)根絕對(duì)值較大?！?〕取何值時(shí)，方程到少有一根為零？選用例題：例3：方程的兩根之比為1：2，判別式的值為1，那么是多少？例4、關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)根的平方和比兩個(gè)根的積大16，求的值。例5、假設(shè)方程與有一個(gè)根相同，求的值。根底訓(xùn)練：1．關(guān)于的方程中，如果，那么根的情況是〔〕〔A〕有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根〔B〕有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根〔C〕沒有實(shí)數(shù)根〔D〕不能確定2．設(shè)是方程的兩根，那么的值是〔〕〔A〕15〔B〕12〔C〕6〔D〕33．以下方程中，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的是〔〕2y2+5=6y〔B〕x2+5=2eq\r(,5)x〔C〕eq\r(,3)x2－eq\r(,2)x+2=0〔D〕3x2－2eq\r(,6)x+1=04．以方程x2＋2x－3＝0的兩個(gè)根的和與積為兩根的一元二次方程是〔〕y2+5y－6=0〔B〕y2+5y＋6=0〔C〕y2－5y＋6=0〔D〕y2－5y－6=05．如果x1，x2是兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)，且滿足x12－2x1＝1，x22－2x2＝1，那么x1·x2等于〔〕〔A〕2〔B〕－2〔C〕1〔D〕－16.關(guān)于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情況是〔〕〔A〕有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根〔B〕有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根〔C〕沒有實(shí)數(shù)根〔D〕不能確定7.設(shè)x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的兩根，那么x12＋x22的值是〔〕〔A〕15〔B〕12〔C〕6〔D〕38．如果一元二次方程x2＋4x＋k2＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么k＝9．如果關(guān)于x的方程2x2－(4k+1)x＋2k2－1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是10．x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的兩根，那么x1＋x2＝，x1·x2＝，〔x1－x2〕2＝11．假設(shè)關(guān)于x的方程(m2－2)x2－(m－2)x＋1＝0的兩個(gè)根互為倒數(shù)，那么m＝.二、能力訓(xùn)練：不解方程，判別以下方程根的情況：〔1〕x2－x=5(2)9x2－6EQ\R(,2)+2=0(3)x2－x+2=0當(dāng)m=時(shí)，方程x2+mx+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)m=時(shí)，方程mx2+4x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；關(guān)于x的方程10x2－(m+3)x+m－7=0，假設(shè)有一個(gè)根為0，那么m=，這時(shí)方程的另一個(gè)根是；假設(shè)兩根之和為－EQ\F(3,5)，那么m=，這時(shí)方程的兩個(gè)根為.3－EQ\R(,2)是方程x2+mx+7=0的一個(gè)根，求另一個(gè)根及m的值。求證：方程(m2+1)x2－2mx+(m2+4)=0沒有實(shí)數(shù)根。求作一個(gè)一元二次方程使它的兩根分別是1－EQ\R(,5)和1+EQ\R(,5)。設(shè)x1,x2是方程2x2+4x－3=0的兩根，利用根與系數(shù)關(guān)系求以下各式的值：(1)(x1+1)(x2+1)(2)EQ\F(x2,x1)+EQ\F(x1,x2)〔3〕x12+x1x2+2x18、如果x2－2(m+1)x+m2+5是一個(gè)完全平方式，那么m=;9、方程2x(mx－4)=x2－6沒有實(shí)數(shù)根，那么最小的整數(shù)m=;10、方程2(x－1)(x－3m)=x(m－4)兩根的和與兩根的積相等，那么m=;11、設(shè)關(guān)于x的方程x2－6x+k=0的兩根是m和n，且3m+2n=20，那么k值為;12、設(shè)方程4x2－7x+3=0的兩根為x1,x2，不解方程，求以下各式的值:(1)x12+x22(2)x1－x2〔3〕〔4〕x1x22＋EQ\F(1,2)x113、實(shí)數(shù)ｓ、ｔ分別滿足方程19ｓ2＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ2＝0求代數(shù)式EQ\F(ｓｔ＋4ｓ＋1,ｔ)的值。14、a是實(shí)數(shù)，且方程x2+2ax+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，試判別方程x2+2ax+1－EQ\F(1,2)(a2x2－a2－1)=0有無實(shí)根？15、求證：不管k為何實(shí)數(shù)，關(guān)于x的式子(x－1)(x－2)－k2都可以分解成兩個(gè)一次因式的積。16、實(shí)數(shù)K在什么范圍取值時(shí)，方程有實(shí)數(shù)正根？訓(xùn)練〔一〕不解方程，請(qǐng)判別以下方程根的情況；(1)2t2+3t－4=0,;(2)16x2+9=24x,;(3)5(u2+1)－7u=0,;假設(shè)方程x2－(2m－1)x+m2+1=0有實(shí)數(shù)根，那么m的取值范圍是;一元二次方程x2+px+q=0兩個(gè)根分別是2+EQ\R(,3)和2－EQ\R(,3)，那么p=,q=;方程3x2－19x+m=0的一個(gè)根是1，那么它的另一個(gè)根是，m=;假設(shè)方程x2+mx－1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，那么m的值是;m,n是關(guān)于x的方程x2-(2m-1)x+m2+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么代數(shù)式mn=。關(guān)于x的方程x2－(k+1)x+k+2=0的兩根的平方和等于6，求k的值;如果α和β是方程2x2+3x－1=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)關(guān)系，求作一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別等于α+EQ\F(1,β)和β+EQ\F(1,α);a,b,c是三角形的三邊長，且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求證：這個(gè)三角形是正三角形10.取什么實(shí)數(shù)時(shí)，二次三項(xiàng)式2x2－(4k+1)x+2k2－1可因式分解.11.關(guān)于X的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2〔3－ｍ〕ｘ＋1＝0的兩實(shí)數(shù)根為α,β，假設(shè)ｓ＝EQ\F(1,α)＋EQ\F(1,β)，求ｓ的取值范圍。訓(xùn)練〔二〕方程x2－3x+1=0的兩個(gè)根為α,β，那么α+β=,αβ=;如果關(guān)于x的方程x2－4x+m=0與x2－x－2m=0有一個(gè)根相同，那么m的值為;方程2x2－3x+k=0的兩根之差為2EQ\F(1,2)，那么k=;假設(shè)方程x2+(a2－2)x－3=0的兩根是1和－3，那么a=;方程4x2－2(a-b)x－ab=0的根的判別式的值是;假設(shè)關(guān)于x的方程x2+2(m－1)x+4m2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)根互為倒數(shù)，那么m的值為p<0,q<0，那么一元二次方程x2+px+q=0的根的情況是;以方程x2－3x－1=0的兩個(gè)根的平方為根的一元二次方程是;設(shè)x1,x2是方程2x2－6x+3=0的兩個(gè)根，求以下各式的值：(1)x12x2+x1x22(2)EQ\F(1,x1)－EQ\F(1,x2)10．m取什么值時(shí)，方程2x2－(4m+1)x+2m2－有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，〔2〕有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，〔3〕沒有實(shí)數(shù)根；11．設(shè)方程x2+px+q=0兩根之比為1:2，根的判別式Δ=1，求p,q的值。12．是否存在實(shí)數(shù)，使關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，滿足＝EQ\F(3,2)，如果存在，試求出所有滿足條件的的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由。一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系專題訓(xùn)練主編：閆老師1、如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根是x1、x2，那么x1+x2=，x1·x2=。2、x1、x2是方程2x2+3x－4=0的兩個(gè)根，那么：x1+x2=；x1·x2=；；x21+x22=；(x1+1)(x2+1)=；｜x1－x2｜=。3、以2和3為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是。4、如果關(guān)于x的一元二次方程x2+x+a=0的一個(gè)根是1－，那么另一個(gè)根是，a的值為。5、如果關(guān)于x的方程x2+6x+k=0的兩根差為2，那么k=。6、方程2x2+mx－4=0兩根的絕對(duì)值相等，那么m=。7、一元二次方程px2+qx+r=0(p≠0)的兩根為0和－1，那么q∶p=。8、方程x2－mx+2=0的兩根互為相反數(shù)，那么m=。9、關(guān)于x的一元二次方程(a2－1)x2－(a+1)x+1=0兩根互為倒數(shù)，那么a=。10、關(guān)于x的一元二次方程mx2－4x－6=0的兩根為x1和x2，且x1+x2=－2，那么m=，(x1+x2)=。11、方程3x2+x－1=0，要使方程兩根的平方和為，那么常數(shù)項(xiàng)應(yīng)改為。12、一元二次方程的兩根之和為5，兩根之積為6，那么這個(gè)方程為。13、假設(shè)α、β為實(shí)數(shù)且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，那么以α、β為根的一元二次方程為。(其中二次項(xiàng)系數(shù)為1)14、關(guān)于x的一元二次方程x2－2(m－1)x+m2=0。假設(shè)方程的兩根互為倒數(shù)，那么m=；假設(shè)方程兩根之和與兩根積互為相反數(shù)，那么m=。15、方程x2+4x－2m=0的一個(gè)根α比另一個(gè)根β小4，那么α=；β=；m=。16、關(guān)于x的方程x2－3x+k=0的兩根立方和為0，那么k=17、關(guān)于x的方程x2－3mx+2(m－1)=0的兩根為x1、x2，且，那么m=。18、關(guān)于x的方程2x2－3x+m=0，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)正數(shù)根；當(dāng)m時(shí)，方程有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根；當(dāng)m時(shí)，方程有一個(gè)根為0。19、假設(shè)方程x2－4x+m=0與x2－x－2m=0有一個(gè)根相同，那么m=。20、求作一個(gè)方程，使它的兩根分別是方程x2+3x－2=0兩根的二倍，那么所求的方程為。21、一元二次方程2x2－3x+1=0的兩根與x2－3x+2=0的兩根之間的關(guān)系是。22、方程5x2+mx－10=0的一根是－5，求方程的另一根及m的值。23、2+是x2－4x+k=0的一根，求另一根和k的值。24、證明：如果有理系數(shù)方程x2+px+q=0有一個(gè)根是形如A+的無理數(shù)(A、B均為有理數(shù))，那么另一個(gè)根必是A－。25、不解方程，判斷以下方程根的符號(hào)，如果兩根異號(hào)，試確定是正根還是負(fù)根的絕對(duì)值大?26、x1和x2是方程2x2－3x－1=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求以下各式的值：x31x2+x1x3227、x1和x2是方程2x2－3x－1=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求以下各式的值：28、x1和x2是方程2x2－3x－1=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求以下各式的值：(x21－x22)229、x1和x2是方程2x2－3x－1=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求以下各式的值：x1－x230、x1和x2是方程2x2－3x－1=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求以下各式的值：31、x1和x2是方程2x2－3x－1=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求以下各式的值：x51·x22+x21·x5232、求一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根是2+和2－。33、兩數(shù)的和等于6，這兩數(shù)的積是4，求這兩數(shù)。34、造一個(gè)方程，使它的根是方程3x2－7x+2=0的根；(1)大3；(2)2倍；(3)相反數(shù)；(4)倒數(shù)。35、方程x2+3x+m=0中的m是什么數(shù)值時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足：(1)一個(gè)根比另一個(gè)根大2；(2)一個(gè)根是另一個(gè)根的3倍；(3)兩根差的平方是17。36、關(guān)于x的方程2x2－(m－1)x+m+1=0的兩根滿足關(guān)系式x1－x2=1，求m的值及兩個(gè)根。37、α、β是關(guān)于x的方程4x2－4mx+m2+4m=0的兩個(gè)實(shí)根，并且滿足，求m的值。38、一元二次方程8x2－(2m+1)x+m－7=0，根據(jù)以下條件，分別求出m的值：(1)兩根互為倒數(shù)；(2)兩根互為相反數(shù)；(3)有一根為零；(4)有一根為1；(5)兩根的平方和為。39、方程x2+mx+4=0和x2－(m－2)x－16=0有一個(gè)相同的根，求m的值及這個(gè)相同的根。40、關(guān)于x的二次方程x2－2(a－2)x+a2－5=0有實(shí)數(shù)根，且兩根之積等于兩根之和的2倍，求a的值。41、方程x2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，兩根之差等于3，兩根的平方和等于29，求b、c的值。42、設(shè)：3a2－6a－11=0，3b2－6b－11=0且a≠b，求a4－b4的值。43、試確定使x2+(a－b)x+a=0的根同時(shí)為整數(shù)的整數(shù)a的值。44、一元二次方程(2k－3)x2+4kx+2k－5=0，且4k+1是腰長為7的等腰三角形的底邊長，求：當(dāng)k取何整數(shù)時(shí)，方程有兩個(gè)整數(shù)根。45、：α、β是關(guān)于x的方程x2+(m－2)x+1=0的兩根，求(1+mα+α2)(1+mβ+β2)的值。46、x1,x2是關(guān)于x的方程x2+px+q=0的兩根，x1+1、x2+1是關(guān)于x的方程x2+qx+p=0的兩根，求常數(shù)p、q的值。47、x1、x2是關(guān)于x的方程x2+m2x+n=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；y1、y2是關(guān)于y的方程y2+5my+7=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x1－y1=2,x2－y2=2，求m、n的值。48、關(guān)于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0有兩個(gè)乘積為1的實(shí)根，x2+2(a+m)x+2a－m2+6m－4=0有大于0且小于2的根。求a的整數(shù)值。49、關(guān)于x的一元二次方程3x2－(4m2－1)x+m(m+2)=0的兩實(shí)根之和等于兩個(gè)實(shí)根的倒數(shù)和，求m50、：α、β是關(guān)于x的二次方程：(m－2)x2+2(m－4)x+m－4=0的兩個(gè)不等實(shí)根。(1)假設(shè)m為正整數(shù)時(shí)，求此方程兩個(gè)實(shí)根的平方和的值；(2)假設(shè)α2+β2=6時(shí)，求m的值。51、關(guān)于x的方程mx2－nx+2=0兩根相等，方程x2－4mx+3n=0的一個(gè)根是另一個(gè)根的3倍。求證：方程x2－(k+n)x+(k－m)=0一定有實(shí)數(shù)根。52、關(guān)于x的方程=0，其中m、n分別是一個(gè)等腰三角形的腰長和底邊長。(1)求證：這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；(2)假設(shè)方程兩實(shí)根之差的絕對(duì)值是8，等腰三角形的面積是12，求這個(gè)三角形的周長。53、關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+p2=0有兩個(gè)實(shí)根x1和x2(x1≠x2)，在數(shù)軸上，表示x2的點(diǎn)在表示x1的點(diǎn)的右邊，且相距p+1，求p的值。54、關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為α、β，且兩個(gè)關(guān)于x的方程x2+(α+1)x+β2=0與x2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根，求a、b、c的關(guān)系式。55、如果關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根α、β，那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少?56、方程2x2－5mx+3n=0的兩根之比為2∶3，方程x2－2nx+8m=0的兩根相等(mn≠0)。求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)k，方程mx2+(n+k－1)x+k+1=0恒有實(shí)數(shù)根。57、(1)方程x2－3x+m=0的一個(gè)根是，那么另一個(gè)根是。(2)假設(shè)關(guān)于y的方程y2－my+n=0的兩個(gè)根中只有一個(gè)根為0，那么m，n應(yīng)滿足。58、不解方程,求以下各方程的兩根之和與兩根之積x2+3x+1=0；59、不解方程,求以下各方程的兩根之和與兩根之積3x2－2x－1=0；60、不解方程,求以下各方程的兩根之和與兩根之積－2x2+3=0；61、不解方程,求以下各方程的兩根之和與兩根之積2x2+5x=0。62、關(guān)于x的方程2x2+5x=m的一個(gè)根是－2，求它的另一個(gè)根及m的值。63、關(guān)于x的方程3x2－1=tx的一個(gè)根是－2，求它的另一個(gè)根及t的值。64、設(shè)x1，x2是方程3x2－2x－2=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求以下各式的值：(1)(x1－4)(x2－4)；(2)x13x24+x14x23；(3)；(4)x13+x23。65、設(shè)x1，x2是方程2x2－4x+1=0的兩個(gè)根，求｜x1－x2｜的值。66、方程x2+mx+12=0的兩實(shí)根是x1和x2，方程x2－mx+n=0的兩實(shí)根是x1+7和x2+7，求m和n的值。67、以2，－3為根的一元二次方程是()A.x2+x+6=0B.x2+x－6=0C.x2－x+6=0D.x2－x－6=068、以3，－1為根，且二次項(xiàng)系數(shù)為3的一元二次方程是()A.3x2－2x+3=0B.3x2+2x－3=0C.3x2－6x－9=0D.3x2+6x－9=069、兩個(gè)實(shí)數(shù)根的和為2的一元二次方程可能是()A.x2+2x－3=0B.x2－2x+3=0C.x2+2x+3=0D.x2－2x－3=070、以－3，－2為根的一元二次方程為，以，為根的一元二次方程為，以5，－5為根的一元二次方程為，以4，為根的一元二次方程為。71、兩數(shù)之和為－7，兩數(shù)之積為12，求這兩個(gè)數(shù)。72、方程2x2－3x－3=0的兩個(gè)根分別為a，b，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別是：(1)a+1.b+1(2)73、一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長的和為6cm，面積為cm2，求這個(gè)直角三角形斜邊的長。74、在解方程x2+px+q=0時(shí)，小張看錯(cuò)了p，解得方程的根為1與－3；小王看錯(cuò)了q，解得方程的根為4與－2。這個(gè)方程的根應(yīng)該是什么?75、關(guān)于x的方程x2－ax－3=0有一個(gè)根是1，那么a=，另一個(gè)根是。76、假設(shè)分式的值為0，那么x的值為()A.－1B.3C.－1或3D.－3或177、假設(shè)關(guān)于y的一元二次方程y2+my+n=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，那么()A.m=0且n≥0B.n=0且m≥0C.m=0且n≤0D.n=0且m≤078、x1，x2是方程2x2+3x－1=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求以下各式的值：(1)(2x1－3)(2x2－3)；(2)x13x2+x1x23。79、a2=1－a，b2=1－b，且a≠b，求(a－1)(b－1)的值。80、如果x=1是方程2x2－3mx+1=0的一個(gè)根，那么m=，另一個(gè)根為。81、m2+m－4=0，，m，n為實(shí)數(shù)，且，那么=。82、兩根為3和－5的一元二次方程是