二根軌跡繪制基本準則

第二節(jié)根軌跡繪制的基本準則5/14/202411、根軌跡的連續(xù)性：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的某些系數(shù)是增益的函數(shù)。當從0到無窮變化時，這些系數(shù)是連續(xù)變化的。故特征方程的根是連續(xù)變化的，即根軌跡曲線是連續(xù)曲線。2、根軌跡的對稱性：一般物理系統(tǒng)特征方程的系數(shù)是實數(shù)，其根必為實根或共軛復根。即位于復平面的實軸上或?qū)ΨQ于實軸。

用解析法或試探法繪制根軌跡很煩瑣。下面討論的內(nèi)容通過研究根軌跡和開環(huán)零極點的關(guān)系，根軌跡的特殊點，漸進線和其他性質(zhì)將有助于減少繪圖工作量，能夠較迅速地畫出根軌跡的大致形狀和變化趨勢。以下的討論是針對參數(shù)的180度根軌跡的性質(zhì)。根軌跡的連續(xù)性和對稱性5/14/202423、根軌跡的支數(shù)：

n階特征方程有n個根。當從0到無窮大變化時，n個根在復平面內(nèi)連續(xù)變化組成n支根軌跡。即根軌跡的支數(shù)等于系統(tǒng)階數(shù)。當時，只有時，上式才能成立。而是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點，所以根軌跡起始于開環(huán)極點。n階系統(tǒng)有n個開環(huán)極點，分別是n支根軌跡的起點。4、根軌跡的起點和終點：

根軌跡方程為：

時為起點，時為終點。根軌跡的支數(shù)和起始點5/14/20243當時，①，上式成立。是開環(huán)傳遞函數(shù)有限值的零點，由m個。故n階系統(tǒng)有m支根軌跡的終點在m個有限零點處。②若n>m，那么剩余的n-m個終點在哪里呢？在無窮遠處。

我們稱系統(tǒng)有n-m個無限遠零點。有限值零點加無窮遠零點的個數(shù)等于極點數(shù)。

那么，n-m支根軌跡是如何趨于無限遠呢？根軌跡的支數(shù)由根軌跡方程知：當時5/14/202445.根軌跡的漸近線：漸近線包括兩個內(nèi)容：漸近線的傾角和漸近線與實軸的交點。傾角：設根軌跡在無限遠處有一點，則s平面上所有得開環(huán)有限零點和極點到的相角都相等，即為漸近線的傾角。代入根軌跡的相角條件得：約定：相角逆時針為正，順時針為負。根軌跡漸進線的傾角若開環(huán)零點數(shù)m小于開環(huán)極點數(shù)n，則當系統(tǒng)的開環(huán)增益Kg→∞時趨向無窮遠處的根軌跡共有n-m條。這n-m條根軌跡趨向無窮遠的方位可由漸近線決定。5/14/202455/14/20246漸近線與實軸的交點假設根軌跡在無限遠處有一點，則s平面上所有開環(huán)有限零點和極點到的矢量長度都相等?？梢哉J為：對無限遠閉環(huán)極點而言，所有的開環(huán)有限零點、極點都匯集在一起，其位置為，這就是漸近線與實軸的交點。幅值條件：根軌跡漸進線與實軸的交點5/14/20247根軌跡漸進線與實軸的交點5/14/20248由根軌跡方程可得：式中，漸進線與實軸的交點，傾角推導方法二5/14/20249根軌跡的漸近線當Kg→∞，由于m<n，故s→∞滿足根軌跡方程，上式近似為兩邊開n-m次方利用二項式定理當時，，令，5/14/202410根軌跡的漸近線設s=x+jy,利用－1=cos(2k+1)π+jsin(2k+1)π，并根據(jù)德莫弗(DeMoive)代數(shù)定理(cosq+jsinq)n=cos(nq)+jsin(nq)，上式可寫為5/14/202411根軌跡的漸近線這是與實軸交點為－s，斜率為的直線方程。也就是漸近線方程。漸近線與實軸的夾角(稱為漸近線的傾斜角)為5/14/202412[例4-2]系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：，試確定根軌跡支數(shù)，起點和終點。若終點在無窮遠處，求漸進線與實軸的交點和傾角。[解]：根軌跡有3支。起點為開環(huán)極點無有限值零點，所以三支根軌跡都趨向無窮遠。漸進線與實軸的交點：漸進線與實軸的傾角：零極點分布和漸進線（紅線）如圖所示。5/14/2024136、實軸上的根軌跡：

實軸上具有根軌跡的區(qū)間是：其右方開環(huán)系統(tǒng)的零點數(shù)和極點數(shù)的總和為奇數(shù)。[說明]：在實軸上有兩個開環(huán)極點，復平面上還有一對共軛極點。s1,s2和s3是實軸上的任意點。它們是根軌跡上的點嗎？先看s1點：相角條件， 滿足根軌跡相角條件，所以是根軌跡上的點。再看s2點：相角條件， 不滿足根軌跡相角條件，所以不是根軌跡上的點。同樣s3點也不是根軌跡上的點。實軸上的根軌跡5/14/202414[例4-3]設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試求實軸上的根軌跡。[解]：開環(huán)零、極點分布如下：紅線所示為實軸上根軌跡，為：[-10，-5]和[-2，-1]。注意在原點有兩個極點，雙重極點用“”表示。5/14/2024157、根軌跡的會合點和分離點：若干支根軌跡在復平面上某一點相遇后又分開，稱該點為分離點或會合點。有開環(huán)極點，零點從即處出發(fā)在A點相遇分離，到B點相遇會合。當 時根軌跡一支走向另一支走向，A、B點稱為根軌跡在實軸上的分離點和會合點。一般，若實軸上兩相鄰開環(huán)極點之間有根軌跡，則這兩相鄰極點之間必有分離點；如果實軸上相鄰開環(huán)零點（其中一個是可能是無限大零點）之間有根軌跡，則這相鄰零點之間必有會合點。例：實軸上的會合點和分離點5/14/202416[分離點和會合點的求法]：由重根法，求極值法和作圖法等。根軌跡在實軸上的分離點或會合點表示這些點是閉環(huán)特征方程的重根點。這時的根軌跡增益設為：設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：則閉環(huán)特征方程為：若該方程有個重根，則：[分離角]：在分離點或會合點上，根軌跡的切線和實軸的夾角稱為分離角。與相分離的根軌跡的支數(shù)k有關(guān)：。實軸上的會合點和分離點的求法5/14/202417由此得：即：由上式可求得分離點和會合點，以及這些點的根軌跡增益。實軸上的會合點和分離點的求法5/14/202418②極值法：參見教材p118圖4-11。若以Kg為縱坐標，以實軸為橫坐標，在根軌跡的分離點和會合點上，Kg具有極值。實軸上的會合點和分離點的求法即5/14/202419③求分離回合點的另一個公式實軸上的會合點和分離點的求法設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：因閉環(huán)特征方程為：即閉環(huán)特征方程為：重根時還滿足5/14/202420實軸上的會合點和分離點的求法5/14/202421[例4-4]單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試確定實軸上根軌跡的會合點和分離點的位置。[解]：實軸上根軌跡區(qū)間是：注意：分離點和會合點也可能出現(xiàn)在復平面上，由于根軌跡對稱于實軸，所以，復平面上的分離點和會合點必對稱于實軸。顯然，分離點為-0.33，會合點為-1.67。對應的為：5/14/2024228、根軌跡的出射角和入射角：當開環(huán)零、極點處于復平面上時，根軌跡離開的出發(fā)角稱為出射角；根軌跡趨于復零點的終止角成為入射角。如圖：圖中有四個開環(huán)極點，一個開環(huán)零點。

為共軛極點，現(xiàn)計算 的出射角。設為。在離開附近的根軌跡上取一點s1,則s1點應滿足相角條件：當時，即為離開根軌跡上的出射角，，則：根軌跡的出射角和入射角5/14/202423式中：為除了以外的開環(huán)極點到的矢量的相角；為開環(huán)零點到的矢量的相角。同樣，進入復零點的根軌跡入射角為：式中：為除了以外的開環(huán)零點到的矢量相角；為各開環(huán)極點到的矢量相角。的出射角應與的出射角關(guān)于實軸對稱。根軌跡的出射角和入射角5/14/202424[例4-5]如圖，試確定根軌跡離開復數(shù)共軛極點的出射角。[解]：根據(jù)對稱性，可知點的出射角為：請根據(jù)相角條件自行計算。相角要注意符號；逆時針為正，順時針為負；注意矢量的方向。[注意]：5/14/2024259、根軌跡和虛軸的交點：根軌跡和虛軸相交時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。則閉環(huán)特征方程至少有一對共軛虛根。這時的增益稱為臨界根軌跡增益。交點和的求法：在閉環(huán)特征方程中令，然后使特征方程的實、虛部為零即可求出和。由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求解。根軌跡和虛軸的交點5/14/202426方法一：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：將代入得：當當[例4-6]開環(huán)傳遞函數(shù)為：，試求根軌跡與虛軸的交點和。5/14/202427方法二：用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定的值。勞斯陣列為：勞斯陣列中某一行全為零時，特征方程可出現(xiàn)共軛虛根。勞斯陣列中可能全為零的行有二。共軛虛根為輔助方程的根。5/14/20242810、閉環(huán)系統(tǒng)極點之和與之積：開環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：，即：（1）設閉環(huán)系統(tǒng)的極點為：，則（2）閉環(huán)系統(tǒng)極點之和與之積5/14/202429比較（1）、（2）式得：當n-m>=2時，，即：對于任意的，閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和，為常數(shù)。表明：當變化時，部分閉環(huán)極點在復平面上向右移動（變大），則另一些極點必然向左移動（變?。?。閉環(huán)極點之積為：

根據(jù)上述10個性質(zhì)（或準則），可以大致畫出根軌跡的形狀。為了準確起見，可以用相角條件試探之。閉環(huán)系統(tǒng)極點之和與之積（1）（2）5/14/202430根軌跡作圖步驟一、標注開環(huán)極點和零點，縱橫坐標用相同的比例尺；二、實軸上的根軌跡；三、n-m條漸近線；四、根軌跡的出射角、入射角；

實軸上具有根軌跡的區(qū)間是：其右方開環(huán)系統(tǒng)的零點數(shù)和極點數(shù)的總和為奇數(shù)。5/14/202431五、根軌跡與虛軸的交點；六、根軌跡的分離點、會合點；結(jié)合根軌跡的連續(xù)性、對稱性、根軌跡的支數(shù)、起始點和終點，閉環(huán)極點與閉環(huán)極點之和及之積等性質(zhì)畫出根軌跡。用勞斯判據(jù)或用s=jw代入特征方程求得。5/14/202432⒊漸近線[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：

，畫根軌跡。解:⒈求出開環(huán)零極點，即：⒉實軸上的根軌跡：(－∞，0]⒋出射角5/14/202433⒌求與虛軸的交點，此時特征方程為將代入得：5/14/202434⒍求分離會合點：由特征方程由圖知這兩點并不在根軌跡上，所以并非分離會合點，這也可將代入得為復數(shù)。5/14/202435⒊漸近線[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：

，畫根軌跡。⒋出射角解:⒈求出開環(huán)零極點，即：⒉實軸上的根軌跡：(－∞，0]5/14/202436⒌求與虛軸的交點，此時特征方程為將代入得：5/14/202437⒍求分離會合點：由特征方程由圖知這兩點都在根軌跡上，所以都是分離會合點。5/14/202438⒊漸近線[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：

，畫根軌跡。⒋出射角，⒌求與虛軸的交點，此時特征方程為解：⒈求出開環(huán)零極點，即：⒉實軸上的根軌跡：(－∞，0]將代入得：，5/14/202439⒍求分離會合點：由特征方程由圖知這點在根軌跡上，所以是分離會合點。而且是三重根點。此時分離角為5/14/202440二、根軌跡繪圖的幾個特點⒈在開環(huán)傳遞函數(shù)增加極點和零點對根軌跡的影響①增加極點對根軌跡的影響一般情況下，在原開環(huán)傳遞函數(shù)零極點的左邊增加極點會使原根軌跡向右半部移動，雖然很難作出確切的說明和提供必要的證明，但可以用幾個例子說明。[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：畫根軌跡。5/14/202441[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：畫根軌跡。⒊漸近線解:⒈求出開環(huán)零極點，即：⒉實軸上的根軌跡:(－∞,－4],[－2,0]⒋求與虛軸的交點，此時特征方程為將代入得：⒌求分離會合點：由特征方程可得由圖知只有Kg>0的點在根軌跡上，所以-0.845是分離會合點。5/14/2024425/14/202443[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：畫根軌跡。⒊漸近線解:⒈求出開環(huán)零極點，即：⒉實軸上的根軌跡：[－6,－4][－2,0]⒋求與虛軸的交點，此時特征方程為將代入得：⒌求分離會合點：由特征方程可得只有Kg>0的點在根軌跡上。5/14/2024445/14/202445②增加零點對根軌跡的影響一般情況下，在原開環(huán)傳遞函數(shù)零極點的左邊增加零點會使原根軌跡向左半部移動，舉例說明如下。[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：畫根軌跡。⒊漸近線只有一條，即負實軸。解:⒈求出開環(huán)零極點，即：⒉實軸上的根