2022-2023高中物理競賽課件：薛定諤方程的建立

薛定諤方程的建立

薛定諤方程的建立1、一維自由粒子薛定諤方程（薛定諤方程是量子力學(xué)基本假設(shè)之一，不能理論推導(dǎo)證明）以一維自由粒子為例：（1）式對t

求導(dǎo)：（1）式對x求二階偏導(dǎo)數(shù)：(適用條件v<<c，非相對論條件下討論，低速微觀粒子)薛定諤方程的建立自由粒子非相對論條件下的能量：（4）、（5）式比較：一維自由粒子的含時(shí)薛定諤方程1、一維自由粒子薛定諤方程薛定諤方程的建立2、一維勢場中運(yùn)動(dòng)粒子薛定諤方程若粒子處在勢場中，勢能函數(shù)為Ep(x，t)，其能量：一維運(yùn)動(dòng)粒子含時(shí)薛定諤方程薛定諤方程的建立3、一維定態(tài)薛定諤方程若粒子的勢能EP

(x)

與t無關(guān)，僅是坐標(biāo)的函數(shù)分離變量:薛定諤方程的建立3、一維定態(tài)薛定諤方程等式右邊是t的函數(shù)，左邊是坐標(biāo)x的函數(shù)，但兩邊又相等，故只有等式兩邊都等于常數(shù)才成立，令常數(shù)為E指數(shù)應(yīng)是無量綱的數(shù)，的單位是“焦?fàn)柮搿?，故E的單位只能是能量，實(shí)際上是粒子總能量E薛定諤方程的建立3、一維定態(tài)薛定諤方程指數(shù)應(yīng)是無量綱的數(shù)，的單位是“焦?fàn)柮搿?，故E的單位只能是能量，實(shí)際上是粒子總能量E一維定態(tài)薛定諤方程：稱為定態(tài)波函數(shù)：薛定諤方程的建立3、一維定態(tài)薛定諤方程若粒子的勢能EP

(x)

與t無關(guān)，僅是坐標(biāo)的函數(shù)分離變量:粒子在空間各處出現(xiàn)的概率不隨時(shí)間變化的。定態(tài)：若粒子的勢能EP

(x)

與t無關(guān)，僅是坐標(biāo)的函數(shù)，微觀粒子在各處出現(xiàn)的概率與時(shí)間無關(guān)薛定諤方程的建立4、一般的薛定諤方程一維薛定諤方程：推廣到三維情況，拉普拉斯算符：一般的薛定諤方程：一般定態(tài)薛定諤方程：薛定諤方程的建立5、薛定諤方程的意義薛定諤方程在量子力學(xué)中的地位與牛頓方程在經(jīng)典物理中的地位相當(dāng)。

薛定諤方程本身并不是實(shí)驗(yàn)規(guī)律的總結(jié)，也沒有什么更基本的原理可以證明它的正確性。從薛定諤方程得到的結(jié)論正確與否，需要用實(shí)驗(yàn)事實(shí)去驗(yàn)證。

薛定諤方程是量子力學(xué)的一條基本假設(shè)。例:設(shè)一粒子在一維空間運(yùn)動(dòng)，其定態(tài)波函數(shù)為：

求：1)歸一化的波函數(shù)；2)粒子的概率密度函數(shù)；3)在何處發(fā)現(xiàn)粒子的概率最大？解：1）歸一化的波函數(shù):2)粒子的概率密度函數(shù)：由歸一化條件:例:設(shè)一粒子在一維空間運(yùn)動(dòng)，其定態(tài)波函數(shù)為：

求：1)歸一化的波函數(shù)；2)粒子的概率密度函數(shù)；3)在何處發(fā)現(xiàn)粒子的概率最大？解：3）粒子出現(xiàn)的概率最大的位置:概率最小能量和時(shí)間也存在不確定度關(guān)系能量與時(shí)間的不確定性關(guān)系設(shè)一個(gè)粒子在一段時(shí)間?t內(nèi)的動(dòng)量為p，能量為E根據(jù)相對論，有：在時(shí)間?t內(nèi)，粒子可能發(fā)生的位移：能量和時(shí)間也存在不確定度關(guān)系，即:能量與時(shí)間的不確定性關(guān)系1）若一體系處于某狀態(tài)的時(shí)間不確定量為

t

那么，這個(gè)狀態(tài)的能量也有不確定范圍

E。