保險(xiǎn)精算學(xué)-躉繳純保費(fèi)

第

五

章人

壽

保

險(xiǎn)

躉

繳

純

保

費(fèi)

的

厘

定本

章

結(jié)

構(gòu)■

人

壽

保

險(xiǎn)

躉

繳

純

保

費(fèi)

厘

定

原

理■

,死

亡年

末賠

付

保

險(xiǎn)

躉

繳

純

保

費(fèi)

的

厘

定■

·死

亡即

刻賠

付

保

險(xiǎn)

躉

繳

純

保

費(fèi)

的

厘

定

遞

歸

方

程第

一

節(jié)人

壽

保

險(xiǎn)躉

繳

純

保

費(fèi)

厘

定

的

原

理人

壽

保

險(xiǎn)

簡(jiǎn)

介■

什么是人壽保險(xiǎn)狹義的人壽保險(xiǎn)是以被保險(xiǎn)人在保障期是否

死亡作為保險(xiǎn)標(biāo)的的一種保險(xiǎn)。廣

義

的

人

壽

保

險(xiǎn)

是

以

被

保

險(xiǎn)

人

的

壽

命

作

為保險(xiǎn)標(biāo)的的一種保險(xiǎn)。它包括以保障期內(nèi)被

保險(xiǎn)人死亡為標(biāo)的的狹義壽險(xiǎn)，

也包括以保

障期內(nèi)被保險(xiǎn)人生存為標(biāo)底的生存保險(xiǎn)和兩全

保

險(xiǎn)

。受

益

金

額

是

否

恒

定

。定額受益保險(xiǎn)。變額受益保險(xiǎn)保單簽約日和保障期

期始日是否同時(shí)進(jìn)行■

非

延

期

保

險(xiǎn)■延期保險(xiǎn)保

障

標(biāo)

的

的

不

同■人壽保險(xiǎn)(狹義)生

存

保

險(xiǎn)■兩全保險(xiǎn)■

保障期是否有限

定

期

壽

險(xiǎn)■

終身壽險(xiǎn)人

壽

保

險(xiǎn)

的

分

類人

壽

保

險(xiǎn)

的

性

質(zhì)■保

障

的

長(zhǎng)

期

性這使得從投保到賠付期間的投資受益(利息)成為

不容忽視的因素?！?/p>

保險(xiǎn)賠付金額和賠付時(shí)間的不確定性人壽保險(xiǎn)的賠付金額和賠付時(shí)間依賴于被保險(xiǎn)人的生命狀況。被保險(xiǎn)人的死亡時(shí)間是一個(gè)隨機(jī)變量。這就意味著保險(xiǎn)公司的賠付額也是一個(gè)隨機(jī)變量，

它依賴于被保險(xiǎn)人剩余壽命分布?！?/p>

被保障人群的大數(shù)性付，

統(tǒng)計(jì)的原理計(jì)躉

繳

純

保

費(fèi)

的

厘

定■

假

定

條

件

：假定

一：

同性別、

同年齡、

同時(shí)參保的被保

險(xiǎn)人的剩余壽命是獨(dú)立同分布的。■

假定二：被保險(xiǎn)人的剩余壽命分布可以用經(jīng)

驗(yàn)

生

命

表

進(jìn)

行

擬

合

?！?/p>

假定三：保險(xiǎn)公司可以預(yù)測(cè)將來的投資受益

(

即

預(yù)

定

利

率

)

。純

保

費(fèi)

厘

定

原

理■

原則保

費(fèi)

凈

均

衡

原

則■解

釋■

所謂凈均衡原則，即保費(fèi)收入的期望現(xiàn)

時(shí)

值

正

好

等

于

將

來

的

保

險(xiǎn)

賠

付

金

的

期

望

現(xiàn)

時(shí)

值

。

它

的

實(shí)

質(zhì)

是

在

統(tǒng)

計(jì)

意

義

上

的

收

支

平

衡

。

是

在

大

數(shù)

場(chǎng)

合

下

，

收

費(fèi)

期

望

現(xiàn)

時(shí)

值

等

于

支

出

期

望

現(xiàn)

時(shí)

值主

要

險(xiǎn)

種

的

躉

繳

純

保

費(fèi)

的

厘

定■

n年期定期壽險(xiǎn)■

終

身

壽

險(xiǎn)■

延

期

m

年

的

終

身

壽

險(xiǎn)

n

年

期

生

存

保

險(xiǎn)n

年

期

兩

全

保

險(xiǎn)■

延

期

m

年

的

n

年

期

的

兩

全

保

險(xiǎn)■

遞

增

終

身

壽

險(xiǎn)■

遞

減n

年

定

期

壽

險(xiǎn)—

—

投

保

年

齡x

的

人

?！?/p>

—

人

的

極

限

年

齡—

—

保

險(xiǎn)

金

給

付

函

數(shù)

。

——貼現(xiàn)函數(shù)。Z.

f

—保

險(xiǎn)

給

付

金

在

保

單

生

效

時(shí)

的

現(xiàn)時(shí)值z(mì),=b,·v,基

本

符

號(hào)(x)COb?躉

繳

純

保

費(fèi)

的

厘

定■

躉繳純保費(fèi)的定義在保單生效日一次性支付將來保險(xiǎn)賠付金的

期望現(xiàn)時(shí)值■

躉繳純保費(fèi)的厘定按照凈均衡原則，躉繳純保費(fèi)就等于E(z,)第

二

節(jié)死

亡年

末理

賠的

死

亡

保

險(xiǎn)的現(xiàn)

值死

亡

年

末

賠

付死亡年末賠付的含義死

亡

年

末

陪

付

是

指

如

果

被

保

險(xiǎn)

人

在

保

障

期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡，保險(xiǎn)公司將

在

死

亡

事

件

發(fā)

生

的

當(dāng)

年

年

末

給

予

保

險(xiǎn)

賠

付。由

于

賠

付

時(shí)

刻

都

發(fā)

生

在

死

亡

事

件

發(fā)

生

的

當(dāng)

年年

末

，

所

以

死

亡

年

末

陪

付

時(shí)

刻

是

一

個(gè)

離

散

隨被

保

險(xiǎn)

人

簽

約

時(shí)

的

整

值

剩

余

壽

命

加

一

。

這

正好

可

以

使

用

以

整

值

年

齡

為

刻

度

的

生

命

表

所

提供

的

生

命

表

函

數(shù)

。所

以

死

亡

年

末

賠

付

方

式

是

保

險(xiǎn)

精

算

師

在

厘

定

躉

繳

保

費(fèi)

時(shí)

通

常

先

假

定

的

理

賠

方

式

。機(jī)變量，它距保單生效日的時(shí)期長(zhǎng)度就等于假設(shè)對(duì)

于x

歲

的人

的

延

期t

年的

1年定期

的

死亡保險(xiǎn)合同規(guī)定：

若被保險(xiǎn)人在時(shí)段(x+t,x+t+l)(達(dá)到x+t

歲，在x+t+1

歲之前)死亡，則保險(xiǎn)公司在死亡年末支付1元保險(xiǎn)金.若

被

保險(xiǎn)

人

在

其

他時(shí)

段

死

亡，

則保險(xiǎn)公司無

支

付。

試

計(jì)

算

該

保

單的

精

算

現(xiàn)

值

。預(yù)

備

1

:

延

期t年

的

1

年

定

期

的

死

亡保

險(xiǎn)1、

計(jì)算原理其計(jì)算原理為：死者保單對(duì)全體保單共有財(cái)產(chǎn)的分享.2、計(jì)算公式

則有平衡關(guān)系式：假設(shè)上述的延期t年的

1年定期的保單的現(xiàn)值為×l×(1+i)+1=1×死者保單對(duì)全體保單共有財(cái)產(chǎn)的分享t

年

末

的

投資積累每

人

交

的

凈

保

費(fèi)死

亡

人

數(shù)初

始

人

數(shù)1

元

賠

償X+tX計(jì)

算

原

理

解

釋

：假設(shè)l=4(人),每人交0.25元，共交

0

.

2

5

×

4

=

1

.

0

0

(

元

)假

設(shè)

利

率

i=100%,

則

1

年

末

變

為0

.

25×4×(1+100%)=2(元)假設(shè)死亡率=50%,則共

亡

2人.則保險(xiǎn)費(fèi)支出=1×2=2(元)于是并

令

D?=v

*l?,

則其

中t=0

表示不延

期

.生

存

年

金

是

以

被

保

險(xiǎn)

人

生

存

為

支

付

條

件

的

年

金

.生

存

年

金

的

精

算

原

理

是

“生

者

利”

原則

.所

謂

生

者

利

，

指生

存

者

對(duì)

共

有

財(cái)

產(chǎn)

中

死者權(quán)利部分的享有權(quán).預(yù)

備2

:

純

粹

生

存

年金

與

生

者

利

原

理(1)建模原理現(xiàn)在考慮關(guān)于x

歲的人的t年期的純粹生存年金：合同規(guī)定，如果被保險(xiǎn)人在t年后仍存活，則保險(xiǎn)公司在其x+t歲時(shí)支付1元.試求該年金的精算

現(xiàn)值.純

粹

生

存

年

金

的

現(xiàn)

值建

模

原

理

可以

用

如

下的

等

式

表

示

：x歲的人群的共有財(cái)產(chǎn)=該人群在(x+t)

歲時(shí)生存的人分

享

的

財(cái)

產(chǎn)

.生者

利

原

理記該年金的精算現(xiàn)值為，a

則可得O時(shí)刻此人群共繳納錢類分假設(shè)年利率為i,

現(xiàn)值因子為

t時(shí)刻還存活的人所領(lǐng)取的保險(xiǎn)金在0時(shí)刻的現(xiàn)值●其

中。p.=1.

可見，

a是

￥1在生存概率，p、下的數(shù)學(xué)

期

望(

均

值

)

.令

D=lv*,

則1元

t

年純粹生存年金的現(xiàn)值

為進(jìn)

一

步

記5.2.1

1

元

保

險(xiǎn)

金

的

終

身

壽

險(xiǎn)記x歲

的人

的

1元

保

險(xiǎn)

金

的

終

身

壽

險(xiǎn)

的

精

算

現(xiàn)

值為

A

·死亡率

9x

119x

219x

nl9xdx

dx+1dx+2

dx+n

1XX+1X+2X+3X+N

X+n+死亡數(shù)年齡A×lx=vdx+v2dx+1+

…+vn+1dx+n+

…Ax=V9x+v2119x+…+Vn+1nl9x+

…vdxV2dx+Vn+1dx+n年齡

X

X+1X+2nl9x=d?

nZ總

收

費(fèi)：

AxIx死亡率死亡數(shù)nl9xd,x+nX+N

X+n+119xdx+1219xdx+29xdx各支出X+3終身壽險(xiǎn)年末付的躉交純保費(fèi)：終

身

壽

險(xiǎn)

精

算

現(xiàn)

值

的

例

子■

例

：假

設(shè)50歲

的人投保了10000

元的終

身

壽險(xiǎn)，保

險(xiǎn)

費(fèi)在

死

亡

年

末

支

付，

假設(shè)年利率

按3%

計(jì)算，

試根據(jù)表IV計(jì)算

其

精

算

現(xiàn)

值

.=

5

1

4

8

.

1

6

(

元

)解

：x=50,i=3%.練

習(xí)

：

變

額

保

險(xiǎn)

金

的

終

身

壽

險(xiǎn)假設(shè)第t年的死亡保險(xiǎn)金為b,,

則相應(yīng)的終身壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值為5

.

2

.

2

定期

壽

險(xiǎn)年

末

付

的

躉

交

純

保

費(fèi)例

：

假

設(shè)

3

0

歲的

人

投

保。

保

單

規(guī)

定

：

被

保

險(xiǎn)

人

在

保50

。死

■

解

：

所

求

躉

繳

純

保

費(fèi)

可以

看

作

保

額

2

0

0

0

元的

終

身壽險(xiǎn)

躉

繳

純

保

費(fèi)與

保

額

1

0

0

0

元

的

5

年

定

期

壽

險(xiǎn)

躉

繳

純

保費(fèi)的

差

額。

則

，·所求躉繳純保費(fèi)=2000

A?o-10004305保

費(fèi)1

0

0純付繳給躉，其時(shí)求亡元內(nèi)0年給

付

2

0險(xiǎn)

開

始=622.095.2.3

延

期

的

終

身

壽

險(xiǎn)5.2.4

n年

生

死

兩

全

保

險(xiǎn)它是指被保險(xiǎn)人于保險(xiǎn)期內(nèi)死亡，或生存到期終

時(shí)，都支付給付金的一種保險(xiǎn)形式。例

：假

設(shè)

2

0

年生

死

兩

全

保

險(xiǎn)的

保

額

為

1

00

0

元

，

試

求

其

在

2

0

歲

簽

發(fā)

保

單

的

躉

繳

純

保

費(fèi)

?！?/p>

解：所求躉繳純保費(fèi)=1000A

20:20|=561.18壽險(xiǎn)的累積費(fèi)用，是期末生存者為亡故者提供的

壽險(xiǎn)保險(xiǎn)金支出的累計(jì)終值.設(shè)投保年齡

為

x,險(xiǎn)

種

為

n年定期壽

險(xiǎn)

，保

險(xiǎn)

金為

1

,

該保

險(xiǎn)

的

累積

費(fèi)

用

為

S,5.2.5

壽

險(xiǎn)

的

累

積

費(fèi)

用X+1

X+2

X+3

X+n-1

X+Ndx+n-1

dx+?(1+i)n-2

dx(1+i)n-1S×lx+n=d(1+i)”-1+d+(1+i)”-2