專題四 空間向量與立體幾何-2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)核心速學(xué)解答題專題突破（藝體生適用）

核心速學(xué)專題四空間向量與立體幾何【核心考點(diǎn)整合】【思維導(dǎo)引】1.空間中的平行(1)證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行．②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，則其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面．(2)已知線面平行時可利用線面平行的性質(zhì)定理證明線線平行．(3)判定面面平行的方法：①定義法：即證兩個平面沒有公共點(diǎn)．②面面平行的判定定理．③垂直于同一條直線的兩平面平行．④平行平面的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行．(4)面面平行的性質(zhì)：①若兩平面平行，則一個平面內(nèi)的直線平行于另一平面．②若一平面與兩平行平面相交，則交線平行．（5）平行間的轉(zhuǎn)化關(guān)系2.空間的垂直(1)解答空間垂直問題的關(guān)鍵在于熟練把握空間垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)，注意平面圖形中的一些線線垂直關(guān)系的靈活利用，這是證明空間垂直關(guān)系的基礎(chǔ)．（2）線線垂直、線面垂直、面面垂直的轉(zhuǎn)化在關(guān)于垂直問題的結(jié)論中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化，每一種垂直的判定都是開始轉(zhuǎn)向另一種垂直，最終達(dá)到目的，線線垂直是關(guān)鍵.整個證明過程圍繞著線面垂直這個核心而展開，這是化解空間垂直關(guān)系難點(diǎn)的技巧所在．3.立體幾何體中空間角的求法（1）傳統(tǒng)幾何法：根據(jù)空間角（異面直線所成角、線面角、二面角）的定義，通過作輔助線，在幾何體中作出空間角，再解對應(yīng)三角形，即可得出結(jié)果；（2）基向量法：利用向量的線性運(yùn)算結(jié)合空間向量基本定理將向量用基向量表示，應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì)及夾角公式求空間角.（3）法向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量，平面的法向量，通過計算向量夾角（兩直線的方法向量夾角、直線的方向向量與平面的法向量夾角、兩平面的法向量夾角）的余弦值，來求空間角即可.【真題領(lǐng)航】1.（2021·全國新高考Ⅰ卷）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).（1）證明：.（2）若是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.【解析】解法一：（1）證明：因為，為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.（2）取的中點(diǎn)，因為為正三角形，所以，過作與交于點(diǎn)，則，所以，，兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，，1，，設(shè)，0，，則，因為平面，故平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，又，所以由，得，令，則，，故，因為二面角的大小為，所以，解得，所以，又，所以，故．解法二：（1）因為AB=AD,O為BD中點(diǎn)，所以AO⊥BD.因為平面ABD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD，因此AO⊥平面BCD，因為平面BCD，所以AO⊥CD.(2)作EF⊥BD于F,作FM⊥BC于M,連FM.因為AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD,AO⊥CD，所以EF⊥BD,EF⊥CD,,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC.因為FM⊥BC，,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥MF，則為二面角E-BC-D的平面角,.因為,為正三角形,所以為直角三角形.因為,，從而EF=FM=，平面BCD,所以.2.（2020·全國新高考Ⅰ卷）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC.（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．【解析】（1）證明：在正方形中，，因為平面，平面，所以平面，又因為平面，平面平面，所以，因為在四棱錐中，底面是正方形，所以且平面，所以因為，所以平面.（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因為，則有，設(shè)，則有，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個法向量為，則.根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線與平面所成角的正弦值等于，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.【核心考能聚焦】核心考點(diǎn)一空間平行與垂直的證明【例1】如圖，在中，平面平面，，.設(shè)分別為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）試問在線段上是否存在點(diǎn)，使得過三點(diǎn)的平面內(nèi)的任一條直線都與平面平行?若存在，指出點(diǎn)的位置并證明；若不存在，請說明理由.【解析】證明：因為點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，又因為，所以.………………3分證明：因為平面平面，平面，又，，所以平面.所以.又因為，且，所以.………………7分【對點(diǎn)練】如圖，在四棱錐中，平面，（=1\*ROMANI）求證：；（=2\*ROMANII）求證：；（III）設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得平面?說明理由.【解析】（I）因為平面，所以．又因為，所以平面．（III）棱上存在點(diǎn)，使得平面．證明如下：取中點(diǎn)，連結(jié)，，．又因為為的中點(diǎn)，所以．又因為平面，所以平面．核心考點(diǎn)二空間角【例2】(2020屆山西省晉中市高三下學(xué)期一模)已知三棱錐中，為等腰直角三角形，，平面，且，且，分別為的中點(diǎn)．（1）求證：直線平面；（2）求銳二面角的余弦值．【解析】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，，又且，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面．即證.（2）因為，且平面，又平面，故可得，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示：令，則，，，，，，，，，，，，．，平面，平面的一個法向量為．設(shè)平面的一個法向量為，則由，即令，則，，，，由圖知二面角為銳角，二面角的余弦值為．【對點(diǎn)練】(2020屆廣東省珠海市高三三模)如圖，四棱錐，四邊形為平行四邊形，，，，，，，為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求二面角的余弦值.【解析】（1）四邊形為平行四邊形，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，平面，平面，平面；（2）四邊形為平行四邊形，，為、中點(diǎn)，，，，，，平面，平面，，又，，平面，平面，平面平面；（3）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、分別為軸、軸，過且與平面垂直的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，，，，，，、、、，，，，設(shè)平面和平面的法向量分別為，，由，得，令，可得，由，得，令，可得，，由圖形可知，二面角的平面角為鈍角，它的余弦值為.【核心素養(yǎng)集訓(xùn)】1.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，點(diǎn)E、F、G分別是AA1、AC、BB1的中點(diǎn)，且CG⊥C1G．（1）求證：CG//面BEF；（2）求證：面BEF⊥面A1C1G．【解析】（1）法1：連結(jié)A1C，由A1C//EF且A1G//EB可知面A1CG//面EFB，所以CG//面BEF．法2：連結(jié)AG交BE于點(diǎn)H，再連結(jié)FH，在△ACG中，F(xiàn)H是中位線，所以FH//CG，則CG//面BEF．（2）因為，，所以，所以，因為，所以而CG//面BEF，所以面BEF⊥面A1C1G．2.如圖，在三棱錐中，，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)．（1）求證：直線平面；（2）求證：．（2）∵，∴，，又∵，在平面內(nèi)，∴平面，∵平面，∴，∵，為的中點(diǎn)，∴，∵，，，在平面內(nèi)，∴平面，∵平面，∴．3.如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，平面,點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求證：（1）平面；（2）平面平面．【解析】（1）連接BD與AC相交于點(diǎn)O，連結(jié)OE．因為四邊形ABCD為矩形，所以O(shè)為BD中點(diǎn)．因為E為棱PD中點(diǎn)，所以PB∥OE．因為PB平面EAC，OE平面EAC，所以直線PB∥平面EAC．（2）因為PA⊥平面PDC，CD平面PDC，所以PA⊥CD．因為四邊形ABCD為矩形，所以AD⊥CD．因為PA∩AD＝A，PA，AD平面PAD，所以CD⊥平面PAD．因為CD平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD．OOPABCDE4.如圖，在正三棱柱中，分別為中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面．【解析】證明：（1）連交于點(diǎn)，為中點(diǎn)，，為中點(diǎn)，，，四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面；（2）由（1）知，，為中點(diǎn)，所以，所以，又因為底面，而底面，所以，則由，得，而平面，且，所以面，又平面，所以平面平面．5.如圖，四邊形ABEF是等腰梯形，AB∥EF，AF＝BE＝2，EF＝4，AB＝2，ABCD是矩形．AD⊥平面ABEF，其中Q，M分別是AC，EF的中點(diǎn)，P是BM中點(diǎn)．（1）求證：PQ∥平面BCE；（2）求證：AM⊥平面BCM；【解析】（1）因為AB∥EM，且AB＝EM，所以四邊形ABEM為平行四邊形．連接AE，則AE過點(diǎn)P，且P為AE中點(diǎn)，又Q為AC中點(diǎn)，所以PQ是△ACE的中位線，于是PQ∥CE．∵CE?平面BCE，PQ?平面BCE，∴PQ∥平面BCE．（2）AD⊥平面ABEF?BC⊥平面ABEF?BC⊥AM．在等腰梯形ABEF中，由AF＝BE＝2，EF＝，AB＝，可得∠BEF＝45°，BM＝AM＝2，∴AB2＝AM2＋BM2，∴AM⊥BM．又BC∩BM＝B，∴AM⊥平面BCM．6.（2020屆陜西省高三下學(xué)期第二次教學(xué)教學(xué)質(zhì)量檢測）直三棱柱中，，，分別是、的中點(diǎn)，，為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；（2）是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，說明點(diǎn)的位置，若不存在，說明理由．【解析】（1）證明：因為，所以，又因為，所以面，又因為面，所以，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有設(shè)且，即，則，所以，因為，所以，所以（2）結(jié)論：存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為理由如下：由題可知面的法向量設(shè)面的法向量為，則因為，所以，即，令，則因為平面與平面所成銳二面角的余弦值為，所以，即，解得或（舍），所以當(dāng)為中點(diǎn)時滿足要求7.(福建省廈門市2020屆高三畢業(yè)班6月質(zhì)量檢查)如圖，在三棱柱中，平面平面，為正三角形，為線段的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）若與平面所成角的大小為60°，，求二面角的余弦值.【解析】（1）設(shè)，的中點(diǎn)分別為，，連接，，，∵為正三角形，∴，∵平面平面，平