四川省雅安市2024屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（文）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省雅安市2024屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（文）第I卷一、選擇題1.若集合，，則B中元素的最小值為（）A. B. C. D.32〖答案〗A〖解析〗由題意可得，，所以B中元素的最小值為.故選：A.2.若向量，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，解?故選：A.3.若圓與圓外切，則（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗由圓與圓知，圓心分別為，半徑為1，，因?yàn)閮蓤A外切，所以，解得.故選：C.4.設(shè)，為兩個不同的平面，為兩條不同的直線，且，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗D〖解析〗如圖1，當(dāng)時，與不一定垂直，如圖2，當(dāng)時，m與n不一定垂直，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故選：D.5.若復(fù)數(shù)的實(shí)部為4，則點(diǎn)的軌跡是（）A.短軸長為4的橢圓 B.實(shí)軸長為4的雙曲線C.長軸長為4的橢圓 D.虛軸長為4的雙曲線〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋?，即，所以點(diǎn)的軌跡是長軸長為4的橢圓.故選：C.6.函數(shù)是（）A.最小正周期為的奇函數(shù) B.最小正周期為的奇函數(shù)C.最小正周期為的偶函數(shù) D.最小正周期為的偶函數(shù)〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以該函數(shù)為奇函數(shù)，故C,D項(xiàng)錯誤；因?yàn)?顯然在上不能恒成立，故A,C項(xiàng)錯誤；又，即是的周期，故B項(xiàng)正確.故選：B.7.設(shè)的整數(shù)部分為，則數(shù)列的前30項(xiàng)和為（）A.465 B.466 C.467 D.468〖答案〗D〖解析〗當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，，故數(shù)列的前30項(xiàng)和為.故選：D.8.若函數(shù)的值域?yàn)镽，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，取遍所有正數(shù)，則，而，解得，所以.故選：B9.一質(zhì)點(diǎn)的速度（單位：）與時間（單位：s）滿足函數(shù)關(guān)系式，其中為常數(shù).當(dāng)時，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時加速度為，則當(dāng)時，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時加速度為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，當(dāng)時，，解得.當(dāng)時，，所以該質(zhì)點(diǎn)的瞬時加速度為.故選：A.10.已知函數(shù)，，則（）A.當(dāng)有2個零點(diǎn)時，只有1個零點(diǎn)B.當(dāng)有3個零點(diǎn)時，有2個零點(diǎn)C.當(dāng)有2個零點(diǎn)時，有2個零點(diǎn)D.當(dāng)有2個零點(diǎn)時，有4個零點(diǎn)〖答案〗D〖解析〗兩個函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象與的圖象的公共點(diǎn)的個數(shù)，作出，的大致圖象，如圖所示.由圖可知，當(dāng)有2個零點(diǎn)時，無零點(diǎn)或只有1個零點(diǎn)；當(dāng)有3個零點(diǎn)時，只有1個零點(diǎn)；當(dāng)有2個零點(diǎn)時，有4個零點(diǎn).故選：D.11.的最小值為（）A. B.5 C. D.6〖答案〗B〖解析〗設(shè)，，，易知點(diǎn)的軌跡是拋物線的上半部分，又，因?yàn)闉閽佄锞€的焦點(diǎn)，由拋物線的定義知，等于到準(zhǔn)線的距離，所以的最小值為，故選：A.12.在四棱錐中，底面為矩形，底面與底面所成角分別為，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，設(shè)，因?yàn)樵诰匦沃?，，所以，因?yàn)榈酌?，所以分別是與底面所成的角，即，所以.因?yàn)?，所以，解?負(fù)根舍去)，所以.故選：D.第Ⅱ卷二、填空題13.一組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為______，中位數(shù)為______．〖答案〗〖解析〗將樣本數(shù)據(jù)，從小排到大得到，由眾數(shù)及中位數(shù)的定義知：眾數(shù)為，中位數(shù)為，故〖答案〗為：，.14.若x，y滿足約束條件則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗作出約束條件表示可行域，設(shè)，即，聯(lián)立，解得，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，縱截距取得最大值3，所以的取值范圍是.故〖答案〗為：.15.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的座位要進(jìn)行調(diào)整，且四位同學(xué)的座位就在他們四人之間隨機(jī)調(diào)整（每人不能坐回自己的原位），則調(diào)整座位之后，甲和乙的座位恰好交換的概率為____________〖答案〗〖解析〗四位同學(xué)的所有換位情況如下圖所示：由圖知甲和乙的座位恰好交換的情況只有一種，故甲和乙的座位恰好交換的概率為，故〖答案〗為：16.已知定義在上的函數(shù)滿足，，則______.〖答案〗〖解析〗令，得.設(shè)數(shù)列滿足，，則，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比也為2的等比數(shù)列，則，即，所以.故〖答案〗為：三、解答題（一）必考題17.已知甲社區(qū)有120人計劃去四川旅游，他們每人將從峨眉山與青城山中選擇一個去旅游，將這120人分為東、西兩小組，兩組的人數(shù)相等，已知東小組中去峨眉山的人數(shù)是去青城山人數(shù)的兩倍，西小組中去峨眉山的人數(shù)比去青城山的人數(shù)少10.（1）完成下面的2×2列聯(lián)表

去峨眉山旅游去青城山旅游合計東小組

西小組

合計

（2）判斷是否有99%的把握認(rèn)為游客的選擇與所在的小組有關(guān)，說明你的理由.參考公式：，.0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）因?yàn)闁|西兩組的人數(shù)相等，故兩小組各有60人，已知東小組中去峨眉山的人數(shù)是去青城山人數(shù)的兩倍，故東小組中去峨眉山的有人，去青城山的有人，設(shè)西小組中去峨眉山的人數(shù)為x,則，故，則青城山人數(shù)為35人，2×2列聯(lián)表如下：

去峨眉山旅游去青城山旅游合計東小組402060西小組253560合計6555120（2）因?yàn)?，所以?9%的把握認(rèn)為游客的選擇與所在的小組有關(guān).18.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，.（1）求A；（2）若D為邊上一點(diǎn)，且，證明：外接圓的周長為.（1）解：因，所以，即，又，所以.因?yàn)?，所?（2）證明：在中，由正弦定理，得，則，則設(shè)外接圓的半徑為，則，所以外接圓的周長為.19.如圖，在直三棱柱中，，，D為的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）若以為直徑的球的表面積為，求三棱錐的體積.（1）證明：連接交于點(diǎn)E，則E為的中點(diǎn)，連接，而為的中點(diǎn)，則，又平面，平面，所以平面.（2）解：由，為的中點(diǎn)，得，且，由以為直徑的球的表面積為，得，解得，因此，解得，顯然面積，所以.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間;（2）定義表示不超過的最大整數(shù)，當(dāng)時，證明:有兩個零點(diǎn)，，并求的值.參考數(shù)據(jù):，，.解：（1）的定義域?yàn)椋?令，得.當(dāng)時，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時，，的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）證明：當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.，，，，由零點(diǎn)存在性定理知有兩個零點(diǎn)，，且，，則，所以.21.雙曲線上一點(diǎn)到左?右焦點(diǎn)的距離之差為6，（1）求雙曲線的方程，（2）已知，過點(diǎn)的直線與交于（異于）兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，試問點(diǎn)到直線的距離是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由，解：（1）依題意可得，解得，故雙曲線的方程為.（2）由題意可得直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去，得，則，，設(shè)，則，又，直線，直線，聯(lián)立，兩式相除，得，即，解得，所以點(diǎn)在定直線上，因?yàn)橹本€與直線之間的距離為，所以點(diǎn)到直線的距離為定值，且定值為.（二）選考題[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，曲線M的方程為，曲線N的方程為，其中m為常數(shù).（1）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系，求曲線M與N的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)，曲線M與N的兩個交點(diǎn)為A，B，點(diǎn)C的極坐標(biāo)為，若的重心G的極角為，求t的值.解：（1）由，得，則，所以，所以曲線M的直角坐標(biāo)方程為.曲線N的直角坐標(biāo)方程為.（2）因?yàn)椋郧€N的直角坐標(biāo)方程