2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)全國版知識點(diǎn)55 涉及內(nèi)心外心的試題含答案

2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)全國版知識點(diǎn)55涉及內(nèi)心外心的試題一、選擇題湖北省7．【2023·仙桃】如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上的圖形稱為格點(diǎn)圖形，圖中的圓弧為格點(diǎn)△ABC外接圓的一部分，小正方形邊長為1，圖中陰影部分的面積為（）A．52π?74 B．52π?72 C．54【分析】作AB的垂直平分線MN，作BC的垂直平分線PQ，設(shè)MN與PQ相交于點(diǎn)O，連接OA，OB，OC，則點(diǎn)O是△ABC外接圓的圓心，先根據(jù)勾股定理的逆定理證明△AOC是直角三角形，從而可得∠AOC＝90°，然后根據(jù)圖中陰影部分的面積＝扇形AOC的面積﹣△AOC的面積﹣△ABC的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【答案】D【解析】如圖：作AB的垂直平分線MN，作BC的垂直平分線PQ，設(shè)MN與PQ相交于點(diǎn)O，連接OA，OB，OC，則點(diǎn)O是△ABC外接圓的圓心，由題意得：OA2＝12+22＝5，OC2＝12+22＝5，AC2＝12+32＝10，∴OA2+OC2＝AC2，∴△AOC是直角三角形，∴∠AOC＝90°，∵AO＝OC=5，∴圖中陰影部分的面積＝扇形AOC的面積﹣△AOC的面積﹣△ABC=90π×(5)2360?12OA?OC?【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓與外心，扇形面積的計(jì)算，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．黑龍江7．【2023·綏化】下列命題中敘述正確的是（）A．若方差s甲2＞s乙2，則甲組數(shù)據(jù)的波動(dòng)較小 B．直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做點(diǎn)到直線的距離 C．三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心 D．角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上【分析】直接利用方差的意義以及點(diǎn)到直線的距離、重心、角平分線的性質(zhì)分別分析得出答案．【答案】D【解析】A．若方差s甲2＞s乙2，則乙組數(shù)據(jù)的波動(dòng)較小，故此選項(xiàng)不合題意；B．直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段長度，叫做點(diǎn)到直線的距離，故此選項(xiàng)不合題意；C．三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心，故此選項(xiàng)不合題意；D．角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評】此題主要考查了方差的意義以及點(diǎn)到直線的距離、重心、角平分線的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．山東省6．【2023·聊城】如圖，點(diǎn)O是△ABC外接圓的圓心，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，連接OB，IA．若∠CAI＝35°，則∠OBC的度數(shù)為（）A．15° B．17.5° C．20° D．25°【分析】連接IC，IB，OC，根據(jù)點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，得到AI平分∠BAC，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAC＝2∠CAI＝70°，根據(jù)圓周角定理得到∠BOC＝2∠BAC＝140°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【答案】C【解析】連接IC，IB，OC，∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∴AI平分∠BAC，∵∠CAI＝35°，∴∠BAC＝2∠CAI＝70°，∵點(diǎn)O是△ABC外接圓的圓心，∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，∵OB＝OC，∴∠OBC=∠OCB=12×(180°?∠BOC)=【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的外接圓與外心，角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．10.【2023·威?！吭谥?，，下列說法錯(cuò)誤的是（）A. B.C.內(nèi)切圓的半徑 D.當(dāng)時(shí)，是直角三角形【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系、三角形面積、內(nèi)切圓半徑的計(jì)算以及勾股定理逆定理逐一求解即可．【答案】C【解析】∵，∴即，故A說法正確；當(dāng)時(shí)，，若以底，高，∴，故B說法正確；設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則，∵，∴，，∵，∴，∴，故C說法錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，∴是直角三角形，故D說法正確；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了三角形三邊關(guān)系，三角形面積，三角形內(nèi)切圓半徑以及勾股定理的逆定理，掌握內(nèi)切圓半徑與圓的面積周長之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．二、填空題三、解答題山東省22．【2023·濱州】如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線與邊BC相交于點(diǎn)F，與△ABC的外接圓交于點(diǎn)D．（1）求證：S△ABF：S△ACF＝AB：AC；（2）求證：AB：AC＝BF：CF；（3）求證：AF2＝AB?AC﹣BF?CF；（4）猜想：線段DF，DE，DA三者之間存在的等量關(guān)系．（直接寫出，不需證明．）【分析】（1）過點(diǎn)D作DH⊥AC，DG⊥AB，垂足分別為H、G，則DG＝DH，進(jìn)而表示出兩個(gè)三角形的面積即可求解．（2）過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，表示出兩個(gè)三角形的面積即可，（3）連接DB、DC，證明△BFD∽△AFC得出BF?CF＝AF?DF，證明△ABF∽△ADC，得出AB?AC＝AD?AF，即AB?AC＝（AF+DF）?AF，恒等變形即可求解．（4）連接BE，證明△ABD∽△BFD，得出DB2＝DA?DF，證明∠BED＝∠DBE，得出DB＝DE即可．（1）解：過點(diǎn)D作DH⊥AC，DG⊥AB，垂足分別為H、G，如圖：∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，∴AD是∠BAC的平分線，∵DH⊥AC，DG⊥AB，∴DG＝DH，∵S△ABF=12AB?DG，S△∴S△ABF：S△ACF＝AB：AC．（2）證明：過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，如圖，∵S△ABF=12BF×AM，S△∴S△ABF：S△ACF＝BF：FC，由（1）可得S△ABF：S△ACF＝AB：AC．∴AB：AC＝BF：FC，（3）證明：連接DB、DC，如圖，∵AB=AB，∴∠ACF＝∠BDF，∠FAC＝∠FBD，∴△BFD∽△AFC，∴BF?CF＝AF?DF，∵AC=AC，∴∠FBA＝∠又∠BAD＝∠DAC，∴△ABF∽△ADC，∴ABAD=AFAC，∴AB?AC＝∴AB?AC＝（AF+DF）?AF＝AF2+AF?DF，∴AF2＝AB?AC﹣BF?CF．（4）連接BE，如圖，∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，∴BE是∠ABC的平分線，∴∠ABE＝∠FBE，∵∠CAB＝∠CAD＝∠BAD，∠ADB＝∠BDF，∴△ABD∽△BFD，∴DBDF=DADB，∴DB2＝∵∠BED＝∠BAE+∠ABE=1∠DBE＝∠DBC+∠FBE＝∠DAC+∠FBE=1∴∠BED＝∠DBE，∴DB＝DE，∴DE2＝DA?DF，【點(diǎn)評】本題考查三角形內(nèi)心的定義，圓周角定理，角平分線的定義與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積等知識，熟練掌握性質(zhì)是解題關(guān)鍵．一、選擇題浙江省10．【2023·溫州】【素材1】某景區(qū)游覽路線及方向如圖1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③兩路段路程相等．【素材2】設(shè)游玩行走速度恒定，經(jīng)過每個(gè)景點(diǎn)都停留20分鐘，小溫游路線①④⑤⑥⑦⑧用時(shí)3小時(shí)25分鐘；小州游路線①②⑧，他離入口的路程s與時(shí)間t的關(guān)系（部分?jǐn)?shù)據(jù)）如圖2所示，在2100米處，他到出口還要走10分鐘．【問題】路線①③⑥⑦⑧各路段路程之和為（）A．4200米 B．4800米 C．5200米 D．5400米【答案】B【解析】方法1：由圖象可知，小州游玩的速度為210075?2×20=60（米/分）.設(shè)①④⑥各路段路程所用時(shí)間為x分鐘，⑤⑦⑧各路段路程所用時(shí)間為y分鐘，②③各路段路程所用時(shí)間為z分鐘，則3x+3y＝3×60+25?5×20=105，x+y+z=75+10?2×2=45，兩式相減得z=10.①③⑥⑦⑧各路段所用時(shí)間∵游玩行走速度恒定，小州的游玩速度為60（米/分），∴路線①③⑥⑦⑧各路段路程之和為80×60=4800（米）.方法2：由圖象可知：小州游玩行走的時(shí)間為75+10﹣2×20＝45（分鐘），小溫游玩行走的時(shí)間大3×60+25﹣100＝105（分鐘）.設(shè)①④⑥各路段路程為x米，⑤⑦⑧各路段路程為y米，②③各路段路程為z米,小州的速度為x+y+z45=x+y+z?210010，解得x+y+z＝2700，∴游玩行走的速度為（2700﹣2100）÷10＝60（米/分）.由于游玩行走速度恒定，則小溫游路線①④⑤⑥⑦⑧的路程為3x+3y＝105×60＝6300，∴x+y＝2100.∴路線①③⑥⑦⑧各路段路程之和為：2x+2y+z＝x+y+z+【點(diǎn)評】本題主要考查三元一次方程組的應(yīng)用及函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是理解題中所給信息，找到它們之間的等量關(guān)系．10．【2023·寧波】如圖，以鈍角三角形ABC的最長邊BC為邊向外作矩形BCDE，連結(jié)AE，AD，設(shè)△AED，△ABE，△ACD的面積分別為S，S1，S2，若要求出S﹣S1﹣S2的值，只需知道（）A．△ABE的面積B．△ACD的面積 C．△ABC的面積 D．矩形BCDE的面積【答案】C【解析】作AG⊥ED于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F，則S=ED?AG=BC?AG.S1+S2＝BE?EG+CD?DG＝CD?BC..∴S﹣S1﹣S2＝BC?AG﹣CD?BCG＝BC?AF＝S△ABC.∴只需知道S△ABC，就可求出S﹣S1﹣S2的值，故選C．二、填空題浙江省16．【2023·溫州】圖1是4×4方格繪成的七巧板圖案，每個(gè)小方格的邊長為2，現(xiàn)將它剪拼成一個(gè)“房子”造型（如圖2），過左側(cè)的三個(gè)端點(diǎn)作圓，并在圓內(nèi)右側(cè)部分留出矩形CDEF作為題字區(qū)域（點(diǎn)A，E，D，B在圓上，點(diǎn)C，F(xiàn)在AB上），形成一幅裝飾畫，則圓的半徑為．若點(diǎn)A，N，M在同一直線上，AB∥PN，DE=6EF，則題字區(qū)域的面積為【分析】根據(jù)不共線三點(diǎn)確定一個(gè)圓，根據(jù)對稱性得出圓心的位置，進(jìn)而垂徑定理、勾股定理求得r，連接OE，取ED的中點(diǎn)T，連接OT，在Rt△OET中，根據(jù)勾股定理即可求解．564256【解析】如圖所示，依題意，圖1中正方形的邊長為42，GH∵過左側(cè)的三個(gè)端點(diǎn)Q，K，L作圓，QH＝HL＝4.又NK⊥QL，∴O在KN上，連接OQ，則OQ為半徑.∵OH＝r﹣KH＝r﹣2.在Rt△OHQ中，OH2+QH2＝QO2，∴（r﹣2）2+42＝r2，解得r＝5.連接OE，取ED的中點(diǎn)T，連接OT，交AB于點(diǎn)S，連接PB，AM，∵AB∥PN，∴AB⊥OT.∴AS＝SB.∵點(diǎn)A，N，M在同一直線上，∴ANMM=ASSB.∴MN＝AN.∵∠ABM＝90°，∴MN＝AN＝NB.∵NP⊥MP，∴MP＝PB＝2.∴NS=12MB＝2.∵KH+HN＝2+4＝6，∴ON＝6﹣5＝1.∴OS＝3.設(shè)EF＝ST＝a，∵DE=6EF，則ET=12DE=62a.在Rt△OET中，OE2＝OT2+TE2，即52=(3+a)2+(【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理，平行線分線段成比例，勾股定理，七巧板，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．三、解答題浙江省23．【2023·溫州】根據(jù)背景素材，探索解決問題．測算發(fā)射塔的高度背景素材某興趣小組在一幢樓房窗口測算遠(yuǎn)處小山坡上發(fā)射塔的高度MN（如圖1），他們通過自制的測傾儀（如圖2）在A，B，C三個(gè)位置觀測，測傾儀上的示數(shù)如圖3所示．經(jīng)討論，只需選擇其中兩個(gè)合適的位置，通過測量、換算就能計(jì)算發(fā)射塔的高度問題解決任務(wù)1分析規(guī)劃選擇兩個(gè)觀測位置：點(diǎn)A和點(diǎn)B（答案不唯一）．獲取數(shù)據(jù)寫出所選位置觀測角的正切值，并量出觀測點(diǎn)之間的圖上距離．任務(wù)2推理計(jì)算計(jì)算發(fā)射塔的圖上高度MN．任務(wù)3換算高度樓房實(shí)際寬度DE為12米，請通過測量換算發(fā)射塔的實(shí)際高度．注：測量時(shí)，以答題紙上的圖上距離為準(zhǔn)，并精確到1mm．解:由以下兩種規(guī)劃，任選一種作答即可.規(guī)劃一：【任務(wù)1】選擇點(diǎn)A和點(diǎn)B，tan∠1=18，tan∠2=14，tan∠3=1【任務(wù)2】如圖1，過點(diǎn)A作AF⊥MN于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BG⊥MN于點(diǎn)G，則FG＝AB＝4mm.設(shè)MF＝xmm，則MG＝（x+4）mm.∵tan∠MAF=xAF=1∴AF＝4x，BG＝3x+12.∵AF＝BG，即4x＝3x+12，解得x＝12，∴AF＝BG＝4x＝48（mm）.∵tan∠FAN=FN48=18，∴FN＝6mm.∴MN＝MF+【任務(wù)3】測得圖上DE＝5mm，設(shè)發(fā)射塔的實(shí)際高度為hm.由題意，得512=18?，解得h＝43.2（23．【2023·金華】問題：如何設(shè)計(jì)“倍力橋”的結(jié)構(gòu)？圖1是搭成的“倍力橋”，縱梁a，c夾住橫梁b，使得橫梁不能移動(dòng)，結(jié)構(gòu)穩(wěn)固．圖2是長為l（cm），寬為3cm的橫梁側(cè)面示意圖，三個(gè)凹槽都是半徑為1cm的半圓，圓心分別為O1，O2，O3，O1M＝O1N，O2Q＝O3P＝2cm，縱梁是底面半徑為1cm的圓柱體，用相同規(guī)格的橫梁、縱梁搭“橋”，間隙忽略不計(jì)．探究1：圖3是“橋”側(cè)面示意圖，A，B為橫梁與地面的交點(diǎn)，C，E為圓心，D，H1，H2是橫梁側(cè)面兩邊的交點(diǎn)，測得AB＝32cm，點(diǎn)C到AB的距離為12cm，試判斷四邊形CDEH1的形狀，并求l的值．探究2：若搭成的“橋”剛好能繞成環(huán)，其側(cè)面示意圖的內(nèi)部形成一個(gè)多邊形．①若有12根橫梁繞成環(huán)，圖4是其側(cè)面示意圖，內(nèi)部形成十二邊形H1H2H3…H12，求l的值；②若有n根橫梁繞成的環(huán)（n為偶數(shù)，且n≥6），試用關(guān)于n的代數(shù)式表示內(nèi)部形成的多邊形H1H2H3…Hn的周長．解：探究1：①四邊形CDEH1是菱形，理由如下：由圖1可知，CD∥EH1，ED∥CH1，∴CDEH1為平行四邊形，∵橫梁的規(guī)格是相同的，∴橫梁的寬度相同，即四邊形CDEH1每條邊上的高相等，∵平行四邊形CDEH1的面積等于邊長乘這條邊上的高，∴CDEH1每條邊相等.∴CDEH1為菱形．②如圖1，過點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M．由題意，得CA＝CB，CM＝12cm，AB＝32cm，∴AM=12AB＝16在Rt△CAM中，CA2＝AM2+CM2，∴CA=162+122=400=20（探究2：①如圖2，過點(diǎn)C作CN⊥H1H2于點(diǎn)N，由題意，得∠H1CH2＝120°，CH1＝CH2，CN＝3cm，∴∠CH1N＝30°.∴CH1＝2CN＝6cm，H1N=CNtan30°又∵四邊形CDEH1是菱形，∴EH1＝CH1＝6cm.∴l(xiāng)＝2（2+6+33）＝（16+63）cm.②如圖3，過點(diǎn)C作CN⊥H1H2于點(diǎn)N．由題意，形成的多邊形為正n邊形，∴外角∠CH1H2=360°在Rt△CNH1中，H1N=CNtan∠CH1又∵CH1＝CH2，CN⊥H1H2，∴H1H2＝2H1N=6tan360°ncm.∴形成的多邊形的周長為（【點(diǎn)評】實(shí)際應(yīng)用題，考查的是菱形的性質(zhì)和判定、銳角三角函數(shù)、勾股定理，解題的關(guān)鍵在于將生活實(shí)際和有關(guān)數(shù)學(xué)知識有效結(jié)合以及熟練掌握相關(guān)性質(zhì)．24．【2023·臺(tái)州】【問題背景】“刻漏”是我國古代的一種利用水流計(jì)時(shí)的工具．綜合實(shí)踐小組準(zhǔn)備用甲、乙兩個(gè)透明的豎直放置的容器和一根帶節(jié)流閥（控制水的流速大?。┑能浌苤谱骱喴子?jì)時(shí)裝置．【實(shí)驗(yàn)操作】綜合實(shí)踐小組設(shè)計(jì)了如下的實(shí)驗(yàn)：先在甲容器里加滿水，此時(shí)水面高度為30cm，開始放水后每隔10min觀察一次甲容器中的水面高度，獲得的數(shù)據(jù)如表：流水時(shí)間t/min010203040水面高度h/cm（觀察值）302928.12725.8任務(wù)1：分別計(jì)算表中每隔10min水面高度觀察值的變化量．【建立模型】小組討論發(fā)現(xiàn)：“t＝0，h＝30”是初始狀態(tài)下的準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，水面高度值的變化不均勻，但可以用一次函數(shù)近似地刻畫水面高度h與流水時(shí)間t的關(guān)系．任務(wù)2：利用t＝0時(shí)，h＝30；t＝10時(shí)，h＝29這兩組數(shù)據(jù)求水面高度h與流水時(shí)間t的函數(shù)解析式；【反思優(yōu)化】經(jīng)檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)有兩組表中觀察值不滿足任務(wù)2中求出的函數(shù)解析式，存在偏差，小組決定優(yōu)化函數(shù)解析式，減少偏差．通過查閱資料后知道：t為表中數(shù)據(jù)時(shí)，根據(jù)解析式求出所對應(yīng)的函數(shù)值，計(jì)算這些函數(shù)值與對應(yīng)h的觀察值之差的平方和，記為w；w越小，偏差越?。蝿?wù)3：（1）計(jì)算任務(wù)2得到的函數(shù)解析式的w值；（2）請確定經(jīng)過（0，30）的一次函數(shù)解析式，使得w的值最?。弧驹O(shè)計(jì)刻度】得到優(yōu)化的函數(shù)解析式后，綜合實(shí)踐小組決定在甲容器外壁設(shè)計(jì)刻度，通過刻度直接讀取時(shí)間．任務(wù)4：請你簡要寫出時(shí)間刻度的設(shè)計(jì)方案．解：任務(wù)1：變化量分別為：29﹣30＝﹣1（cm）；28.1﹣29＝﹣0.9（cm）；27﹣28.1＝﹣1.1（cm）；25.8﹣27＝﹣1.2（cm），∴每隔10min水面高度觀察值的變化量分別為：﹣1，﹣0.9，﹣1.1，﹣1.2．任務(wù)2：設(shè)h＝kt+b，∵t＝0時(shí)，h＝30；t＝10時(shí)，h＝29；∴b=3010k+b=29，解得k=?0.1∴水面高度h與流水時(shí)間t的函數(shù)解析式為h＝﹣0.1t+30.任務(wù)3：（1）w＝（30﹣30）2+（29﹣29）2+（28﹣28.1）2+（27﹣27）2+（26﹣25.8）2＝0.05．（2）設(shè)h＝kt+30，則w＝（30﹣30）2+（10k+30﹣29）2+（10k+30﹣28.1）2+（10k+30﹣27）2+（40k+30﹣25.8）2＝3000k2﹣+612k+12+12+1.92+32+4.22..當(dāng)k＝﹣6122×3000=-0.102時(shí)，w最小，∴優(yōu)化后的函數(shù)解析式任務(wù)4：時(shí)間刻度方案要點(diǎn)：①時(shí)間刻度的0刻度在水位最高處；②刻度從上向下均勻變大；③每0.102cm表示1min(1cm變式時(shí)間約為908min).22．【2023·嘉興、舟山】圖1是某住宅單元樓的人臉識別系統(tǒng)（整個(gè)頭部需在攝像頭視角范圍內(nèi)才能被識別），其示意圖如圖2，攝像頭A的仰角、俯角均為15°，攝像頭高度OA＝160cm，識別的最遠(yuǎn)水平距離OB＝150cm．（1）身高208cm的小杜，頭部高度為26cm，他站在離攝像頭水平距離130cm的點(diǎn)C處，請問小杜最少需要下蹲多少厘米才能被識別？（2）身高120cm的小若，頭部高度為15cm，踮起腳尖可以增高3cm，但仍無法被識別，社區(qū)及時(shí)將攝像頭的仰角、俯角都調(diào)整為20°（如圖3），此時(shí)小若能被識別嗎？請計(jì)算說明．（精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）解：（1）如圖2，過C作OB的垂線分別交仰角、俯角線于點(diǎn)E，D，交水平線于點(diǎn)F，在Rt△AEF中，tan∠EAF＝，∴EF＝AF?tan15°≈130×0.27＝35.1（cm）.∵AF＝AF，∠EAF＝∠DAF，∠AFE＝∠AFD＝90°，∴△ADF≌△AEF（SAS），∴EF＝DE＝35.1（cm）.∴CE＝160+35.1＝195.1（cm），ED=35.1×2=70.2（cm）>26（cm），∴小杜需要下蹲的最小距離為208﹣195.1＝12.9（cm）.（2）如圖3，過B作OB的垂線分別交仰角、俯角線于M．N．交水平線于P.在Rt△APM中，tan∠MAP＝，∴MP＝AP?tan20°≈150×0.36＝54.0（cm）.∵AP＝AP，∠MAP＝∠NAP，∠APM＝∠APN＝90°，∴△AMP≌△ANP（ASA）.∴PN＝MP＝54.0（cm）.∴BN＝160﹣54.0＝106.0（cm）.小若踮起腳尖后頭頂?shù)母叨葹?20+3＝123（cm），∴小若頭頂超出點(diǎn)N的高度為123﹣106.0＝17.0（cm）＞15（cm）.∴小若踮起腳尖后能被識別．21．【2023·寧波】某綜合實(shí)踐研究小組為了測量觀察目標(biāo)時(shí)的仰角和俯角，利用量角器和鉛錘自制了一個(gè)簡易測角儀，如圖1所示．（1）如圖2，在P點(diǎn)觀察所測物體最高點(diǎn)C，當(dāng)量角器零刻度線上A，B兩點(diǎn)均在視線PC上時(shí)，測得視線與鉛垂線所夾的銳角為α，設(shè)仰角為β，請直接用含α的代數(shù)式示β．（2）如圖3，為了測量廣場上空氣球A離地面的高度，該小組利用自制簡易測角儀在點(diǎn)B，C分別測得氣球A的仰角∠ABD為37°，∠ACD為45°，地面上點(diǎn)B，C，D在同一水平直線上，BC＝20m，求氣球A離地面的高度AD．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）解：（1）β＝90°﹣α（2）在Rt△ABD中，BD=ADtan370≈43AD，在Rt△ACD中，CD=∴BC=BD-CD=43AD-AD=20，解得AD＝60答：氣球A離地面的高度AD是60米．湖南省24．【2023·湘潭】問題情境：筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保．明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都按逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒．問題設(shè)置：把筒車抽象為一個(gè)半徑為r的⊙O．如圖②，OM始終垂直于水平面，設(shè)筒車半徑為2米．當(dāng)t＝0時(shí)，某盛水筒恰好位于水面A處，此時(shí)∠AOM＝30°，經(jīng)過95秒后該盛水筒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B處．問題解決：（1）求該盛水筒從A處逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到B處時(shí)，∠BOM的度數(shù)；（2）求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時(shí)，它到水面的距離．（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)2≈1.414，3【分析】（1）求出筒車每秒轉(zhuǎn)過的度數(shù)，再根據(jù)周角的定義進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系分別求出OD、OC即可．解：（1）由于筒車每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒．所以每秒轉(zhuǎn)過360°÷120＝3°，∴∠BOM＝360°﹣3°×95﹣30°＝45°；（2）如圖，過點(diǎn)B、點(diǎn)A分別作OM的垂線，垂足分別為點(diǎn)C、D，在Rt△AOD中，∠AOD＝30°，OA＝2米，∴OD=32OA在Rt△BOC中，∠BOC＝45°，OB＝2米，∴OC=22OB∴CD＝OD﹣OC=3即該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時(shí)到水面的距離約為0.3米．【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理、垂徑定理的應(yīng)用，熟練掌握圓的基本性質(zhì)是正確解答的前提．一、選擇題湖南省9．【2023·懷化】已知壓力F（N）、壓強(qiáng)p（Pa）與受力面積S（m2）之間有如下關(guān)系式：F＝pS．當(dāng)F為定值時(shí)，如圖中大致表示壓強(qiáng)p與受力面積S之間函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C． D．【答案】D遼寧省7.【2023·大連】已知蓄電池兩端電壓為定值，電流與成反比例函數(shù)關(guān)系．當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的值為（）A. B. C. D.【分析】利用待定系數(shù)法求出的值，由此即可得．【答案】B【解析】由題意得：，∵當(dāng)時(shí)，，，解得，，則當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)，熟練掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．二、填空題廣東省13.【2023·廣東】某蓄電池的電壓為，使用此蓄電池時(shí)，電流(單位：)與電阻(單位：)的函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，的值為_______．【答案】4四川省14．【2023·南充】小偉用撬棍撬動(dòng)一塊大石頭，已知阻力和阻力臂分別為1000N和0.6m，當(dāng)動(dòng)力臂由1.5m增加到2m時(shí)，撬動(dòng)這塊石頭可以節(jié)省N的力．（杜桿原理：阻力×阻力臂＝動(dòng)力×動(dòng)力臂）【分析】根據(jù)杠桿定律求得函數(shù)的解析式后代入l＝1.5和l＝2求得力的大小即可．【答案】100【解析】根據(jù)“杠桿定律”有FL＝1000×0.6，∴函數(shù)的解析式為F=600L，當(dāng)L＝1.5時(shí)，F(xiàn)=6001.5=400，當(dāng)L＝2時(shí)，【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中抽象出反比例函數(shù)模型，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)思想，難度不大．13．【2023·遂寧】烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物，在生產(chǎn)生活中可作為燃料、潤滑劑等原料，也可用于動(dòng)、植物的養(yǎng)護(hù)．通常用碳原子的個(gè)數(shù)命名為甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（當(dāng)碳原子數(shù)目超過10個(gè)時(shí)即用漢文數(shù)字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化學(xué)式為CH4，乙烷的化學(xué)式為C2H6，丙烷的化學(xué)式為C3H8…，其分子結(jié)構(gòu)模型如圖所示，按照此規(guī)律，十二烷的化學(xué)式為．【分析】根據(jù)圖形，可以寫出C和H的個(gè)數(shù)，然后即可發(fā)現(xiàn)C和H的變化特點(diǎn)，從而可以寫出十二烷的化學(xué)式．【答案】C12H26【解析】由圖可得，甲烷的化學(xué)式中的C有1個(gè)，H有2+2×1＝4（個(gè)），乙烷的化學(xué)式中的C有2個(gè)，H有2+2×2＝6（個(gè)），丙烷的化學(xué)式中的C有3個(gè)，H有2+2×3＝8（個(gè)），…，∴十二烷的化學(xué)式中的C有12個(gè)，H有2+2×12＝26（個(gè)），即十二烷的化學(xué)式為C12H26．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)C和H的變化特點(diǎn)．三、解答題湖南省24．【2023·郴州】在實(shí)驗(yàn)課上，小明做了一個(gè)試驗(yàn)．如圖，在儀器左邊托盤A（固定）中放置一個(gè)物體，在右邊托盤B（可左右移動(dòng)）中放置一個(gè)可以裝水的容器，容器的質(zhì)量為5g．在容器中加入一定質(zhì)量的水，可以使儀器左右平衡．改變托盤B與點(diǎn)C的距離x（cm）（0＜x≤60），記錄容器中加入的水的質(zhì)量，得到下表：托盤B與點(diǎn)C的距離x/cm3025201510容器與水的總質(zhì)量y1/g1012152030加入的水的質(zhì)量y2/g57101525把上表中的x與y1各組對應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出這些點(diǎn)，并用光滑的曲線連接起來，得到如圖所示的y1關(guān)于x的函數(shù)圖象．（1）請?jiān)谠撈矫嬷苯亲鴺?biāo)系中作出y2關(guān)于x的函數(shù)圖象；（2）觀察函數(shù)圖象，并結(jié)合表中的數(shù)據(jù)：①猜測y1與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求y1關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；②求y2關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；③當(dāng)0＜x≤60時(shí)，y1隨x的增大而（填“增大”或“減小”），y2隨x的增大而（填“增大”或“減小”），y2的圖象可以由y1的圖象向（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．（3）若在容器中加入的水的質(zhì)量y2（g）滿足19≤y2≤45，求托盤B與點(diǎn)C的距離x（cm）的取值范圍．解：（1）作出y2關(guān)于x的函數(shù)圖象如下：（2）①觀察表格可知，y1是x的反比例函數(shù)．設(shè)y1=kx，把（30，10）代入得10∴k＝300，．∴y1關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是y1=300②∵y1＝y(tǒng)2+5，∴y2+5=300∴y2=300③減小減小下（3）∵y2=300x?5，19≤∴19≤300x?∴6≤x≤12.5．吉林省20.【2023·吉林】笑笑同學(xué)通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和物理知識，知道了電磁波的波長（單位：m）會(huì)隨著電磁波的頻率f（單位：）的變化而變化．已知波長與頻率f是反比例函數(shù)關(guān)系，下面是它們的部分對應(yīng)值：頻率f（）101550波長（m）30206（1）求波長關(guān)于頻率f的函數(shù)解析式．（2）當(dāng)時(shí)，求此電磁波的波長．【分析】（1）設(shè)解析式為，用待定系數(shù)法求解即可；（2）把值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此電磁波的波長．解：（1）設(shè)波長關(guān)于頻率f的函數(shù)解析式為，把點(diǎn)代入上式中得：，解得：，.（2）當(dāng)時(shí)，.答：當(dāng)時(shí)，此電磁波的波長為．【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)的應(yīng)用問題，考查了求反比例函數(shù)的解析式及求反比例函數(shù)的函數(shù)值等知識，利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．浙江省15．【2023·溫州】在溫度不變的條件下，通過一次又一次地對汽缸頂部的活塞加壓，加壓后氣體對汽缸壁所產(chǎn)生的壓強(qiáng)p（kPa）與汽缸內(nèi)氣體的體積V（mL）成反比例，p關(guān)于V的函數(shù)圖象如圖所示．若壓強(qiáng)由75kPa加壓到100kPa，則氣體體積壓縮了mL．【答案】20【解析】設(shè)這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為V=kP，∵V＝100時(shí)，p＝60，∴k＝PV＝6000.∴V=6000P.當(dāng)P＝75時(shí)，V=600075=80，當(dāng)P＝100時(shí)，20．【2023·臺(tái)州】科學(xué)課上，同學(xué)用自制密度計(jì)測量液體的密度．密度計(jì)懸浮在不同的液體中時(shí)，浸在液體中的高度h（單位：cm）是液體的密度ρ（單位：g/cm3）的反比例函數(shù)，當(dāng)密度計(jì)懸浮在密度為1g/cm3的水中時(shí)，h＝20cm．（1）求h關(guān)于ρ的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)密度計(jì)懸浮在另一種液體中時(shí)，h＝25cm，求該液體的密度ρ．解：（1）設(shè)h關(guān)于ρ的函數(shù)解析式為?=k把ρ＝1，h＝20代入解析式，得k＝1×20＝20，∴h關(guān)于ρ的函數(shù)解析式為?=20（2）把h＝25代入?=20ρ，得25=20ρ答：該液體的密度ρ為0.8g/cm3．一、選擇題甘肅省10．【2023·甘肅省卷10題】如圖1，正方形ABCD的邊長為4，E為CD邊的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB→BC勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，線段PE的長為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）A．（4，23） B．（4，4） C．（4，25） D．（4，5）【答案】C【解析】由題意可知，當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)，y的值先減小后增大，當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，y的值逐漸減小，∴M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為AB的長度，縱坐標(biāo)為BE的長度.∵AB＝4，EC＝ED=12AB=2，∴BE=BC2+CE四川省9．【2023·遂寧】如圖，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)．以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止．過點(diǎn)P作PM⊥AC于點(diǎn)M．作PN⊥BC于點(diǎn)N，連結(jié)MN，線段MN的長度y與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則函數(shù)圖象最低點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）A．（5，5） B．（6，） C．（，） D．（，5）【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，可以得到CP⊥AB時(shí)，CP取得最小值，此時(shí)MN取得最小值，然后即可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】C【解析】連接CP，∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，∴AC2+BC2＝82+62＝102＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∵PM⊥AC，PN⊥BC，∴∠PMC＝∠PNC＝90°，∴∠PMC＝∠PNC＝∠ACB＝90°，∴四邊形CMPN是矩形，∴MN＝CP，當(dāng)CP⊥AB時(shí)，CO取得最小值，此時(shí)CP＝＝＝，AP＝＝＝，∴函數(shù)圖象最低點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，），故選：C．【點(diǎn)評】本題考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．遼寧省【2023·本溪】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝3cm．動(dòng)點(diǎn)P從