高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第13練 空間幾何體精準(zhǔn)提分練習(xí) 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

第13練空間幾何體[明晰考情]1.命題角度：空間幾何體的三視圖，球與多面體的組合，一般以計(jì)算面積、體積的形式出現(xiàn).2.題目難度：中等或中等偏上.考點(diǎn)一空間幾何體的三視圖與直觀圖要點(diǎn)重組(1)三視圖畫法的基本原則：長對正，高平齊，寬相等；畫圖時(shí)看不到的線畫成虛線.(2)由三視圖還原幾何體的步驟eq\x(定底面)—eq\x(根據(jù)俯視圖確定)eq\x(定形狀)—eq\x(確定幾何體的形狀)(3)直觀圖畫法的規(guī)則：斜二測畫法.1.一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正(主)視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到的正(主)視圖為()答案A解析在空間直角坐標(biāo)系中作出四面體OABC的直觀圖如圖所示，作頂點(diǎn)A，C在xOz平面的投影A′，C′，可得四面體的正(主)視圖.故選A.2.(2018·北京)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.4答案C解析由三視圖得到空間幾何體，如圖所示，則PA⊥平面ABCD，平面ABCD為直角梯形，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，所以PA⊥AD，PA⊥AB，PA⊥BC.又BC⊥AB，AB∩PA＝A，AB，PA?平面PAB，所以BC⊥平面PAB.又PB?平面PAB，所以BC⊥PB.在△PCD中，PD＝2eq\r(2)，PC＝3，CD＝eq\r(5)，所以△PCD為銳角三角形.所以側(cè)面中的直角三角形為△PAB，△PAD，△PBC，共3個(gè).故選C.3.如圖所示是一個(gè)幾何體的三視圖，則此三視圖所描述幾何體的直觀圖是()答案D解析先觀察俯視圖，由俯視圖可知選項(xiàng)B和D中的一個(gè)正確，由正(主)視圖和側(cè)(左)視圖可知選項(xiàng)D正確.4.已知正三棱錐V－ABC的正(主)視圖和俯視圖如圖所示，則該正三棱錐側(cè)(左)視圖的面積是________.答案6解析如圖，由俯視圖可知正三棱錐底面邊長為2eq\r(3)，則AO＝eq\f(2,3)×2eq\r(3)sin60°＝2.所以VO＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)，則VA′＝2eq\r(3).所以該正三棱錐的側(cè)(左)視圖的面積為eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2eq\r(3)＝6.考點(diǎn)二空間幾何體的表面積與體積方法技巧(1)求三棱錐的體積時(shí)，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上.(2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解.(3)已知幾何體的三視圖，可去判斷幾何體的形狀和各個(gè)度量，然后求解表面積和體積.5.已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為eq\r(3)，D為BC的中點(diǎn)，則三棱錐A－B1DC1的體積為()A.3 B.eq\f(3,2)C.1 D.eq\f(\r(3),2)答案C解析∵D是等邊三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC.又ABC－A1B1C1為正三棱柱，∴AD⊥平面BB1C1C.∵四邊形BB1C1C為矩形，∴＝eq\f(1,2)S四邊形BB1C1C＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3).又AD＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴＝·AD＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.故選C.6.(2018·渭南質(zhì)檢)一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的體積是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.1答案B解析根據(jù)題意得到原四面體是底面為等腰直角三角形，高為1的三棱錐，故得到體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×1＝eq\f(1,3).7.如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A.12B.15C.18D.21答案C解析由三視圖可得該幾何體是一個(gè)長、寬、高分別為4,3,3的長方體切去一半得到的，其直觀圖如圖所示.其體積為eq\f(1,2)×4×3×3＝18，故選C.8.已知一個(gè)圓錐的母線長為2，側(cè)面展開圖是半圓，則該圓錐的體積為________.答案eq\f(\r(3),3)π解析由題意，得圓錐的底面周長為2π，設(shè)圓錐的底面半徑是r，則2πr＝2π，解得r＝1，∴圓錐的高為h＝eq\r(22－12)＝eq\r(3).∴圓錐的體積為V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(\r(3),3)π.考點(diǎn)三多面體與球要點(diǎn)重組(1)設(shè)球的半徑為R，球的截面圓半徑為r，球心到球的截面的距離為d，則有r＝eq\r(R2－d2).(2)當(dāng)球內(nèi)切于正方體時(shí)，球的直徑等于正方體的棱長，當(dāng)球外接于長方體時(shí)，長方體的體對角線長等于球的直徑；當(dāng)球與正方體各棱都相切時(shí)，球的直徑等于正方體底面的對角線長.(3)若正四面體的棱長為a，則正四面體的外接球半徑為eq\f(\r(6),4)a，內(nèi)切球半徑為eq\f(\r(6),12)a.9.已知三棱錐S－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2eq\r(3)，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，則球O的表面積為()A.4πB.12πC.16πD.64π答案C解析在△ABC中，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，∴AC2＝AB2＋BC2，即AB⊥BC.又SA⊥平面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥BC，∴三棱錐S－ABC可補(bǔ)成分別以AB＝1，BC＝eq\r(3)，SA＝2eq\r(3)為長、寬、高的長方體，∴球O的直徑為eq\r(12＋\r(3)2＋2\r(3)2)＝4，故球O的表面積為4π×22＝16π.10.(2017·全國Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為()A.π B.eq\f(3π,4)C.eq\f(π,2) D.eq\f(π,4)答案B解析設(shè)圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R＝1，由圓柱的兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上可知，r，R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形.∴r＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(3),2).∴圓柱的體積為V＝πr2h＝eq\f(3,4)π×1＝eq\f(3π,4).11.正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為()A.eq\f(81π,4) B.16πC.9π D.eq\f(27π,4)答案A解析由圖知，R2＝(4－R)2＋2，∴R2＝16－8R＋R2＋2，∴R＝eq\f(9,4).∴S表＝4πR2＝4π×eq\f(81,16)＝eq\f(81π,4)，故選A.12.一個(gè)圓錐過軸的截面為等邊三角形，它的頂點(diǎn)和底面圓周在球O的球面上，則該圓錐的體積與球O的體積的比值為________.答案eq\f(9,32)解析設(shè)等邊三角形的邊長為2a，球O的半徑為R，則V圓錐＝eq\f(1,3)·πa2·eq\r(3)a＝eq\f(\r(3),3)πa3.又R2＝a2＋(eq\r(3)a－R)2，所以R＝eq\f(2\r(3),3)a，故V球＝eq\f(4π,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)a))3＝eq\f(32\r(3),27)πa3，故其體積比值為eq\f(9,32).1.如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是eq\f(28π,3)，則它的表面積是()A.17πB.18πC.20πD.28π答案A解析由三視圖可知，該幾何體是球截去eq\f(1,8)后所得幾何體，則eq\f(7,8)×eq\f(4π,3)×R3＝eq\f(28π,3)，解得R＝2，所以它的表面積為eq\f(7,8)×4πR2＋eq\f(3,4)×πR2＝14π＋3π＝17π.2.如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，則三棱錐P－BCD的正(主)視圖與側(cè)(左)視圖的面積之比為()A.1∶1 B.2∶1C.2∶3 D.3∶2答案A解析由題意可得正(主)視圖的面積等于矩形ADD1A1面積的eq\f(1,2)，側(cè)(左)視圖的面積等于矩形CDD1C1面積的eq\f(1,2).又底面ABCD是正方形，所以矩形ADD1A1與矩形CDD1C1的面積相等，即正(主)視圖與側(cè)(左)視圖的面積之比是1∶1.3.已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，C為該球面上的動點(diǎn).若三棱錐O－ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A.36π B.64πC.144π D.256π答案C解析易知△AOB的面積確定，若三棱錐O－ABC的底面OAB上的高最大，則其體積最大.因?yàn)楦咦畲鬄榘霃絉，所以VO－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)R2×R＝36，解得R＝6.故S球＝4πR2＝144π.解題秘籍(1)三視圖都是幾何體的投影，要抓住這個(gè)根本點(diǎn)確定幾何體的特征.(2)多面體與球的切、接問題，要明確切點(diǎn)、接點(diǎn)的位置，利用合適的截面圖確定兩者的關(guān)系，要熟悉長方體與球的各種組合.1.(2018·浙江)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A.2 B.4C.6 D.8答案C解析由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面為直角梯形，高為2的直四棱柱，直角梯形的上、下底邊長分別為2,1，高為2，∴該幾何體的體積為V＝2×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2＋1×2))＝6.故選C.2.某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是半圓，則該幾何體的表面積為()A.eq\r(2)＋eq\f(3π,2) B.π＋eq\r(3)C.eq\f(3π,2)＋eq\r(3) D.eq\f(5π,2)＋eq\r(3)答案C解析該幾何體為半圓錐，其表面積為eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2π×1＋π×12))＋eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\f(3π,2)＋eq\r(3).3.如圖是棱長為2的正方體的表面展開圖，則多面體ABCDE的體積為()A.2B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,3)D.eq\f(8,3)答案D解析多面體ABCDE為四棱錐(如圖)，利用割補(bǔ)法可得其體積V＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3)，故選D.4.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，下圖畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A.12eq\r(13)＋6eq\r(2)＋18 B.9eq\r(13)＋6eq\r(2)＋18C.9eq\r(13)＋8eq\r(2)＋18 D.9eq\r(13)＋6eq\r(2)＋12答案B解析作出該幾何體的直觀圖如圖所示(所作圖形進(jìn)行了一定角度的旋轉(zhuǎn))，故所求幾何體的表面積S＝2×3×eq\r(13)＋2×eq\f(1,2)×3×eq\r(13)＋eq\f(1,2)×4×6＋eq\f(1,2)×3×4＋eq\f(1,2)×4×3eq\r(2)＝9eq\r(13)＋6eq\r(2)＋18，故選B.5.某錐體的三視圖如圖所示，用平行于錐體底面的平面把錐體截成體積相等的兩部分，則截面面積為()A.2 B.2eq\r(2)C.2eq\r(3,2) D.2eq\r(3,4)答案C解析三視圖表示的幾何體(如圖)是四棱錐(鑲嵌入棱長為2的正方體中)，且四棱錐F－ABCD的底面為正方形ABCD，面積為4，設(shè)截面面積為S，所截得小四棱錐的高為h，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(S,4)＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2，,\f(1,3)Sh＝\f(1,2)×\f(1,3)×4×2，))解得S＝2eq\r(3,2).6.(2018·丹東期末)某幾何體的三視圖如圖所示，其中正(主)視圖、側(cè)(左)視圖均是由三角形與半圓構(gòu)成，俯視圖由圓與內(nèi)接三角形構(gòu)成，則該幾何體的體積為()A.eq\f(\r(2)π,6)＋eq\f(1,6) B.eq\f(\r(2)π,6)＋eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2)π,3)＋eq\f(1,6) D.eq\f(\r(2)π,3)＋eq\f(1,2)答案A解析該幾何體是一個(gè)半球，上面有一個(gè)三棱錐，體積為V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＋eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))3＝eq\f(1,6)＋eq\f(\r(2)π,6)，故選A.7.(2018·全國Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如右圖.圓柱表面上的點(diǎn)M在正(主)視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在側(cè)(左)視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為()A.2eq\r(17) B.2eq\r(5)C.3 D.2答案B解析先畫出圓柱的直觀圖，根據(jù)題中的三視圖可知，點(diǎn)M，N的位置如圖①所示.圓柱的側(cè)面展開圖及M，N的位置(N為OP的四等分點(diǎn))如圖②所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑.|ON|＝eq\f(1,4)×16＝4，|OM|＝2，∴|MN|＝eq\r(|OM|2＋|ON|2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).故選B.8.如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1是棱長為1的正方體，四棱錐S－ABCD是高為1的正四棱錐，若點(diǎn)S，A1，B1，C1，D1在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為()A.eq\f(9,16)πB.eq\f(25,16)πC.eq\f(49,16)πD.eq\f(81,16)π答案D解析作如圖所示的輔助線，其中O為球心，設(shè)OG1＝x，則OB1＝SO＝2－x，由正方體的性質(zhì)知，B1G1＝eq\f(\r(2),2)，則在Rt△OB1G1中，由OBeq\o\al(2,1)＝G1Beq\o\al(2,1)＋OGeq\o\al(2,1)，得(2－x)2＝x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2，解得x＝eq\f(7,8)，所以球的半徑R＝OB1＝eq\f(9,8)，所以球的表面積為S＝4πR2＝eq\f(81,16)π，故選D.9.如圖，側(cè)棱長為2eq\r(3)的正三棱錐V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，過點(diǎn)A作截面△AEF，則截面△AEF的周長的最小值為____________.答案6解析沿著側(cè)棱VA把正三棱錐V－ABC展開在一個(gè)平面內(nèi)，如圖，則AA′即為截面△AEF周長的最小值，且∠AVA′＝3×40°＝120°，VA＝VA′＝2eq\r(3).在△VAA′中，由余弦定理可得AA′＝6.10.(2018·三門峽期末)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就.書中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”，若某“陽馬”的三視圖如圖所示(網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1)，則該“陽馬”最長的棱長為________.答案5eq\r(2)解析由三視圖知，幾何體是四棱錐，且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，如圖所示.其中PA⊥平面ABCD，∴