專(zhuān)題19 二次函數(shù)中定值、定點(diǎn)問(wèn)題（原卷版）

二次函數(shù)中定值、定點(diǎn)問(wèn)題解題思路：二次函數(shù)中的定值定點(diǎn)問(wèn)題通常涉及到二次函數(shù)在特定點(diǎn)或特定條件下的性質(zhì)。這類(lèi)問(wèn)題一般會(huì)要求找出某個(gè)特定的值（定值）或某個(gè)特定的點(diǎn)（定點(diǎn)），使得二次函數(shù)滿(mǎn)足某種條件。解決這類(lèi)問(wèn)題的一般步驟是：1.根據(jù)題目條件，設(shè)出二次函數(shù)的一般形式。2.利用題目給出的條件（如定點(diǎn)、定值等），建立方程或不等式。3.解方程或不等式，找出滿(mǎn)足條件的值或點(diǎn)。1．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）探究函數(shù)的圖象和性質(zhì)，探究過(guò)程如下：

(1)自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，與的幾組對(duì)應(yīng)值列表如下其中，________．根據(jù)上表數(shù)據(jù)，在圖1所示的平面直角坐標(biāo)系中，通過(guò)描點(diǎn)畫(huà)出了函數(shù)圖象的一部分，請(qǐng)畫(huà)出該函數(shù)圖象的另一部分．觀察圖象，寫(xiě)出該函數(shù)的一條性質(zhì)；(3)在圖2中，當(dāng)在一切實(shí)數(shù)范圍內(nèi)時(shí)，拋物線交軸于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于拋物線頂點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，不平行軸的直線分別交線段，（不含端點(diǎn)）于，兩點(diǎn)．當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，與的和是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2023·遼寧大連·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上有兩點(diǎn)、，其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，拋物線過(guò)點(diǎn)、．過(guò)作軸交拋物線另一點(diǎn)為點(diǎn)．以、長(zhǎng)為邊向上構(gòu)造矩形．

(1)求拋物線的解析式；(2)將矩形向左平移個(gè)單位，向下平移個(gè)單位得到矩形，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在拋物線上．①求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出自變量的取值范圍；②直線交拋物線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，求的值；③拋物線與邊、分別相交于點(diǎn)、，點(diǎn)、在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸同側(cè)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上有兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，拋物線過(guò)點(diǎn)．過(guò)作軸交拋物線另一點(diǎn)為點(diǎn)．以長(zhǎng)為邊向上構(gòu)造矩形．3．（2023·遼寧·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．

(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)是線段長(zhǎng)度的2倍時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到拋物線頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作直線，連接并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)M．當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．4．（2023·四川德陽(yáng)·中考真題）已知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(3)如圖2，如果把直線沿y軸向上平移至經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與拋物線的交點(diǎn)分別是，，直線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，若．求點(diǎn)的坐標(biāo)．5．（2023·湖北·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，連接．

(1)拋物線的解析式為_(kāi)_________________；（直接寫(xiě)出結(jié)果）(3)如圖2，若動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn)（直線與不重合），連接，直線與交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．（2023·福建·中考真題）已知拋物線交軸于兩點(diǎn)，為拋物線的頂點(diǎn)，為拋物線上不與重合的相異兩點(diǎn)，記中點(diǎn)為，直線的交點(diǎn)為．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若，且，求證：三點(diǎn)共線；(3)小明研究發(fā)現(xiàn)：無(wú)論在拋物線上如何運(yùn)動(dòng)，只要三點(diǎn)共線，中必存在面積為定值的三角形．請(qǐng)直接寫(xiě)出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說(shuō)明理由．7．（2023·湖北武漢·中考真題）拋物線交軸于兩點(diǎn)（在的左邊），交軸于點(diǎn)．

(1)直接寫(xiě)出三點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖（2），將拋物線平移得到拋物線，其頂點(diǎn)為原點(diǎn)．直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過(guò)的中點(diǎn)作直線（異于直線）交拋物線于兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．問(wèn)點(diǎn)是否在一條定直線上？若是，求該直線的解析式；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．（2023·湖南·中考真題）如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，連接，過(guò)B、C兩點(diǎn)作直線．

(1)求a的值．(2)將直線向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，交拋物線于、兩點(diǎn)．在直線上方的拋物線上是否存在定點(diǎn)D，無(wú)論m取何值時(shí)，都是點(diǎn)D到直線的距離最大，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由9.（2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A在y軸正半軸上．

(1)如果四個(gè)點(diǎn)中恰有三個(gè)點(diǎn)在二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）的圖象上．①________；②如圖1，已知菱形的頂點(diǎn)B、C、D在該二次函數(shù)的圖象上，且軸，求菱形的邊長(zhǎng)；③如圖2，已知正方形的頂點(diǎn)B、D在該二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B、D在y軸的同側(cè)，且點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n，試探究是否為定值．如果是，求出這個(gè)值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)已知正方形的頂點(diǎn)B、D在二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）的圖象上，點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n，直接寫(xiě)出m、n滿(mǎn)足的等量關(guān)系式．10．（2023·四川南充·中考真題）如圖1，拋物線（）與軸交于，