角動(dòng)量與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)

§3.7角動(dòng)量力矩 角動(dòng)量定理

角動(dòng)量（動(dòng)量矩angularmomentum）概念是在動(dòng)量概念的基礎(chǔ)上建立起來的描述質(zhì)點(diǎn)相對(duì)某定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量依賴于參考系的選擇，確定質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量還要再增加一個(gè)根據(jù)——在確定動(dòng)量的參考系中選擇一個(gè)固定參考點(diǎn)。角動(dòng)量反映轉(zhuǎn)動(dòng)的特征。一、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量

它的模

按矢量叉乘的規(guī)定它的方向：，，即垂直于和所決定的平面，且與和成右手螺旋。角動(dòng)量與參考點(diǎn)的選擇有關(guān)。

在給定的參考系中，質(zhì)點(diǎn)的速度為，相對(duì)固定參考點(diǎn)（可以是坐標(biāo)原點(diǎn)，也可以是其它任意的固定點(diǎn)）的位置矢量為。定義質(zhì)點(diǎn)相對(duì)定點(diǎn)的角動(dòng)量矢量

與和成右手螺旋二、力（對(duì)點(diǎn)之）矩

力作用于質(zhì)點(diǎn)，在給定參考系中，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)固定參考點(diǎn)O的位置矢量為。定義力對(duì)定點(diǎn)O的力矩為力矩的模

是O到力作用線的垂直距離

力矩的方向：力矩垂直于和所決定的平面，且與，成右手螺旋。

力矩與參考點(diǎn)的選擇有關(guān)。

如果固定點(diǎn)位于力的作用線上，對(duì)這個(gè)參考點(diǎn)的力矩為零。

相對(duì)于圖中參考點(diǎn)兩個(gè)力的力矩如何？三、

質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理

——Newton第二定律的矩變形設(shè)o為選定慣性系中的固定參考點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)o的位置矢量為，速度為。

以表示作用于質(zhì)點(diǎn)的合外力，故用叉乘上式兩側(cè)

由于

角動(dòng)量為力矩為立即得到——稱為質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理式中

是合外力相對(duì)慣性系中固定參考點(diǎn)的力矩。

是質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于同一參考點(diǎn)的角動(dòng)量。表明相對(duì)于同一參考點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)受到的合(外)力矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的時(shí)間變化率。這個(gè)定理把質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩和它角動(dòng)量的瞬時(shí)變化率聯(lián)系起來了。即質(zhì)點(diǎn)相對(duì)某定點(diǎn)角動(dòng)量守恒的條件是相對(duì)該點(diǎn)的合外力矩為零。顯然，若則常矢量——稱為質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒注意在角動(dòng)量守恒中，和應(yīng)該相對(duì)同一個(gè)參考點(diǎn)而言。常矢量[例題1]

質(zhì)量為的滑塊沿直線軌道，以速度 勻速滑動(dòng)。求它相對(duì)于原點(diǎn)O和固定點(diǎn)A（0，b，0）的角動(dòng)量解：在指定參考系中質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量以原點(diǎn)O為固定參考點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)位置矢量質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量以點(diǎn)A（0，b，0）為固定參考點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)位置矢量質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量[例題2]

質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)以速率繞原點(diǎn)O逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。圓周軌道半徑為，求它相對(duì)于原點(diǎn)O的角動(dòng)量。解：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矢量隨時(shí)變化，但它相對(duì)于原點(diǎn)O的角動(dòng)量卻是個(gè)常矢量。

這個(gè)例子表明，對(duì)于一個(gè)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)，在指定參考系中，相對(duì)不同的固定參考點(diǎn)，有不同的角動(dòng)量。質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的方向不指向參考點(diǎn)時(shí)，它具有繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的傾向，角動(dòng)量不為零。如果質(zhì)點(diǎn)作慣性運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量是守恒量。[例題3]

我國第一顆人造地球衛(wèi)星近地點(diǎn)高度439km，遠(yuǎn)地點(diǎn)高度2384km，地球平均半徑6370km。求衛(wèi)星在近地點(diǎn)與遠(yuǎn)地點(diǎn)速率之比。解：以地球?yàn)閰⒖枷?，地心O為固定參考點(diǎn)。衛(wèi)星在地球引力作用下做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，相對(duì)O點(diǎn)衛(wèi)星的角動(dòng)量守恒。地心O在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，衛(wèi)星過近地點(diǎn)p，遠(yuǎn)地點(diǎn)a時(shí)，其速度垂直于位置矢量。由于力過圓心，因此相對(duì)圓心的力矩為零，角動(dòng)量守恒。解：繩對(duì)小球的拉力沿繩方向，是個(gè)變矢量。如果取O為固定參考點(diǎn)，拉力的力矩始終為零。在小球軌道半徑與速率變化的過程中，它相對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒[例題4]光滑的水平桌面上開有一個(gè)小孔。穿過小孔的細(xì)繩，一端系著一個(gè)質(zhì)量為的小球，一端在桌面下被人用力拉住，如圖，小球在桌面上以速率沿半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)。然后，向下拉繩，使小球軌道半徑減小到，求小球線速率及動(dòng)能變化。小球只受徑向力的作用，橫向速率為什么增大？

在小球與點(diǎn)距離縮短的過程中，軌道是緩慢收縮的螺旋線，徑向拉力并不垂直于軌道切線，正是拉力的切向分量使小球有切向加速度，速率增加。小球動(dòng)能變化

小球軌道半徑由收縮到的過程中，拉力所作的功§3.8 質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律一、力矩矢量和研究質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)所受力矩的矢量和。

設(shè)質(zhì)點(diǎn)受到的合力為的力矩相對(duì)于定點(diǎn)的位矢為作用于系統(tǒng)的所有力對(duì)定點(diǎn)力矩的矢量和[例題6]

計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系所受重力力矩解：重力是徹體力，作用于系統(tǒng)中每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。重力力矩其中及對(duì)于定點(diǎn)，系統(tǒng)所受重力矩等于集中了質(zhì)點(diǎn)系總質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)位于系統(tǒng)質(zhì)心時(shí)相對(duì)點(diǎn)所受重力力矩?；蛘哒f，物體所有質(zhì)量元受重力作用，就重力矩的整體效果而言，與總重力作用于物體質(zhì)心等效。[例題7]

力偶的力矩分別作用于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的大小相等，方向相反的一對(duì)力和稱為力偶。

但和不一定是一對(duì)作用力和反作用力。在一般情形下，和并不沿兩質(zhì)點(diǎn)的連線。以為參考點(diǎn)，力偶的力矩為所以力偶矩與參考點(diǎn)選擇無關(guān)。矢量由兩質(zhì)點(diǎn)連線決定，與參考點(diǎn)的選擇無關(guān)。不難看出：

一對(duì)作用力和反作用力相對(duì)任何參考點(diǎn)的力矩矢量和必然為零。系統(tǒng)內(nèi)力相對(duì)任何固定參考點(diǎn)的力矩矢量和恒為零。

顯然，作用于質(zhì)點(diǎn)系上的一切力的力矩矢量和只是外力矩的矢量和，即注意：外力矩與參考點(diǎn)的選擇有關(guān)。二、系統(tǒng)內(nèi)力性質(zhì)的小結(jié)⑴內(nèi)力成對(duì)出現(xiàn)，所有內(nèi)力的矢量和為零。⑵

一對(duì)內(nèi)力的功與參考系的選擇無關(guān)，一對(duì)保守內(nèi)力的功還與路徑無關(guān)且等于系統(tǒng)相關(guān)勢(shì)能的減少，非保守內(nèi)力的功是系統(tǒng)機(jī)械能和其它形式能量轉(zhuǎn)換的量度。⑶在任一過程中，所有內(nèi)力沖量的矢量和為零。⑷

內(nèi)力不影響系統(tǒng)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，不改變系統(tǒng)的總動(dòng)量。內(nèi)力的沖量使總動(dòng)量在系統(tǒng)內(nèi)部重新分配。⑸系統(tǒng)內(nèi)力相對(duì)任一固定參考點(diǎn)的力矩矢量和為零，內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的總角動(dòng)量。三、質(zhì)點(diǎn)系的總角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系的總角動(dòng)量是所有質(zhì)點(diǎn)相對(duì)同一固定參考點(diǎn)角動(dòng)量的矢量和一般說來，系統(tǒng)總角動(dòng)量是與參考系和固定參考點(diǎn)的選擇有關(guān)的。但是，如果在給定參考系中質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)量為零（其實(shí)這個(gè)參考系就是系統(tǒng)的質(zhì)心系），那么系統(tǒng)總角動(dòng)量與參考點(diǎn)的選擇無關(guān)。四、

質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理讓我們對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)取和，得設(shè)有質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，取o為慣性系中的固定參考點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)受到的合外力矩與它的角動(dòng)量滿足質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理左側(cè)為質(zhì)點(diǎn)系受到的所有內(nèi)力力矩與外力力矩之和，記為為系統(tǒng)所受外力矩的矢量和。上式要求被選用的參考系是慣性系，和應(yīng)相對(duì)于同一固定參考點(diǎn)計(jì)算。右側(cè)為質(zhì)點(diǎn)系的總角動(dòng)量

由于相對(duì)于任意參考點(diǎn)，內(nèi)力力矩的矢量和為零，即，因此，有質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理表明相對(duì)于慣性系中同一固定參考點(diǎn)，系統(tǒng)所受到的合外力矩等于系統(tǒng)總角動(dòng)量的時(shí)間變化率。五、角動(dòng)量守恒定律從質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理可知，若系統(tǒng)所受到的合外力矩為零，即，則系統(tǒng)的總角動(dòng)量守恒反之，若質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)持續(xù)處于靜止?fàn)顟B(tài)，也可以根據(jù)系統(tǒng)角動(dòng)量恒為零而認(rèn)定：相對(duì)任一固定參考點(diǎn)(同一慣性系中)外力矩矢量和為零。常矢量表明系統(tǒng)角動(dòng)量守恒的條件是外力矩矢量和為零。應(yīng)該指出，研究角動(dòng)量守恒首先需要關(guān)注參考點(diǎn)，要恰當(dāng)選擇參考點(diǎn)。⑵如果外力矩矢量在一個(gè)方向上的投影為零，角動(dòng)量矢量在同一方向上的投影守恒。⑴確定外力矩矢量和為零的參考點(diǎn)與確定角動(dòng)量守恒的參考點(diǎn)必須一致。注意：在物理學(xué)中，守恒定律是最強(qiáng)有力的分析手段。究其實(shí)質(zhì)是：在某一確定環(huán)境下，相互作用的物體無論發(fā)生什么樣的變化，仍然有這種或那種可量度的量(如質(zhì)量、能量、動(dòng)量、角動(dòng)量等)的總和在整個(gè)觀察期間保持不變。守恒定律能夠透過紛亂蕪雜的表面變化，令人信服地指出一種或幾種潛在的內(nèi)部穩(wěn)定性。這種穩(wěn)定性一旦被辨認(rèn)出來，事件就由一團(tuán)混沌立即變得井然有序。[例題7]宇宙飛船去考察一質(zhì)量為，半徑為的行星，當(dāng)飛船相對(duì)行星靜止且距離其中心為時(shí)，以速度發(fā)射角發(fā)射探測(cè)儀器，如圖所示。儀器質(zhì)量遠(yuǎn)小于飛船質(zhì)量，要使儀器掠過行星表面，發(fā)射速度與發(fā)射角應(yīng)滿足什么條件？MRq0vmR5MRq0vmR5解：把行星作為慣性系。儀器發(fā)射后，只受行星引力作用，以行星中心為固定參考點(diǎn)，儀器角動(dòng)量守恒。儀器發(fā)射角如圖，它將掠過行星表面，故MRq0vmR5MRq0vmR5儀器——行星系統(tǒng)機(jī)械能守恒

解⑵有，儀器掠過行星表面的速度為⑴⑵代入⑴式，則發(fā)射角應(yīng)滿足由上述關(guān)系，知道發(fā)射速度應(yīng)滿足MRq0vmR5MRq0vmR5第四章剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué) 剛體是按物體實(shí)際形狀建立起來的理想模型。它既忽略物體在運(yùn)動(dòng)過程中的形變，又拒絕物體內(nèi)部存在質(zhì)量流動(dòng)。我們把剛體看作質(zhì)量連續(xù)分布的質(zhì)點(diǎn)系，而且是受到剛性約束的質(zhì)點(diǎn)系。剛體中各質(zhì)點(diǎn)之間的距離保持不變。剛體的最基本運(yùn)動(dòng)形式就是平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)以及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(繞確定點(diǎn)運(yùn)動(dòng))。1.

剛體的平動(dòng)設(shè)為靜止的坐標(biāo)系，為固定在剛體上且與相應(yīng)軸平行的坐標(biāo)系。剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)隨之運(yùn)動(dòng)，如果對(duì)應(yīng)軸和，和，和始終保持平行，則稱剛體作平動(dòng)。

剛體平動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)所有的質(zhì)點(diǎn)有相同的速度和加速度。所以平動(dòng)剛體上任何一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都具有代表性，都反映著剛體的平動(dòng)，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的軌道，并不一定是直線，它可以是任意曲線。平動(dòng)作為剛體的一種基本運(yùn)動(dòng)形式，完全排斥了轉(zhuǎn)動(dòng)，排除了剛體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的差異，排除了質(zhì)點(diǎn)相對(duì)剛體質(zhì)心系的運(yùn)動(dòng)。剛體作平動(dòng)時(shí)它的：總動(dòng)量總動(dòng)能總角動(dòng)量 研究剛體的平動(dòng)時(shí)，可以將剛體看成質(zhì)量集中于質(zhì)心的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。2.剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置始終不改變，那么，這兩個(gè)點(diǎn)的連線形成一條固定不動(dòng)的軸線。其余質(zhì)點(diǎn)均繞此軸線作圓周運(yùn)動(dòng)。在指定參考系中，這個(gè)剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)軸線可能是剛體的對(duì)稱軸，也可能不是，可能在剛體上，也可能不在剛體上；轉(zhuǎn)動(dòng)軸線也不一定是實(shí)在的機(jī)械軸。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都在垂直于固定軸線的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)。通常將與轉(zhuǎn)動(dòng)軸垂直的平面稱為轉(zhuǎn)動(dòng)平面。轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)剛體截面的運(yùn)動(dòng)具有一定的代表性。研究截面的運(yùn)動(dòng)是個(gè)二維問題，但足以透視三維空間中的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。將剛體的固定軸線取作軸，并取的正方向與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)正方向成右手螺旋。質(zhì)點(diǎn)在轉(zhuǎn)動(dòng)平面中，以為圓心，為半徑作圓周運(yùn)動(dòng)。將矢徑作為剛體取向的標(biāo)志，用表示剛體的角位置角加速度

、、對(duì)剛體中的所有質(zhì)元都是一致的。剛體的角速度前面一直沒有涉及角速度的方向，實(shí)際上角速度也是有方向的，并且定義角速度的方向與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的方向成右手螺旋關(guān)系，如圖所示。定義剛體的角速度矢量

是轉(zhuǎn)動(dòng)軸線上的單位矢量，與轉(zhuǎn)動(dòng)正方向成右手螺旋。規(guī)定了角速度的方向后，我們可以給出剛體上任一點(diǎn)的速度為其中速率速度

因此看作相對(duì)轉(zhuǎn)軸的“位矢”

剛體的平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由于剛體可以看成是一個(gè)剛性質(zhì)點(diǎn)系，因此前面關(guān)于質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理仍然適用于剛體，只是剛體要求系統(tǒng)內(nèi)任何兩點(diǎn)之間距離保持不變。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律是質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理的直接推論如圖所示，剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為是剛體上的任一個(gè)質(zhì)元，它在平面(轉(zhuǎn)動(dòng)平面)內(nèi)繞點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為

1.

剛體總角動(dòng)量在轉(zhuǎn)軸上的投影以固定軸上的原點(diǎn)為參考點(diǎn)剛體的總角動(dòng)量為質(zhì)點(diǎn)的速度速率為則剛體角動(dòng)量在軸上的投影為注：式中，由剛體質(zhì)量相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的分布所唯一確定，稱為剛體繞指定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，記為因此，剛體的總角動(dòng)量在轉(zhuǎn)軸上的投影為2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能

與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能相比較，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問題中起到的作用，類似于質(zhì)量在質(zhì)點(diǎn)問題中作為慣性量度起到的作用。按質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)能的概念，剛體(剛性質(zhì)點(diǎn)系)的總動(dòng)能應(yīng)為即3.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定理

——質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理在固定軸上的投影式

將質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理應(yīng)用于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，可以得到剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理。

取質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理 在轉(zhuǎn)軸上的投影為得

即這就是在慣性系中剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理。

此式不是矢量方程而是矢量方程的投影式

式中是外力矩在軸上的投影。

可看出

此外，根據(jù)

當(dāng)時(shí)，角動(dòng)量在軸上的投影為常量，即

常量——稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒。表明剛體相對(duì)某固定軸所受到的合外力矩為零時(shí)，此剛體相對(duì)該軸的角動(dòng)量將保持不變。

這意味著保持角速度不變是定軸剛體固有的屬性，稱之為轉(zhuǎn)動(dòng)慣性。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量正是剛體繞指定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度。

兩個(gè)剛體，如果受到相同的外力矩作用，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大的，角加速度小，角速度變化慢；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小的，角速度變化快。要使兩個(gè)剛體產(chǎn)生相同的角加速度，所需的外力矩將正比于它們的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。角加速度為

在角動(dòng)量守恒時(shí)，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量增加，則轉(zhuǎn)動(dòng)角速度減小，反之增加。從轉(zhuǎn)動(dòng)定律中可以看出，當(dāng)時(shí)，質(zhì)量元是到指定軸線距離等于的所有的點(diǎn)具有的微小質(zhì)量(這是選取質(zhì)量元的依據(jù))，積分對(duì)所有質(zhì)量元進(jìn)行。

4.剛體對(duì)指定軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

如果剛體由若干離散的質(zhì)點(diǎn)組成，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為質(zhì)點(diǎn)到指定軸線的距離。

質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量仍然是所有質(zhì)量元對(duì)指定軸線轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的積累，取和過渡到積分剛體相對(duì)于給定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量取決于剛體本身質(zhì)量的大小和質(zhì)量相對(duì)指定軸線的分布。計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)不能認(rèn)為總質(zhì)量全部集中于質(zhì)心，遠(yuǎn)離軸線的質(zhì)量對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的貢獻(xiàn)更大一些。⑴質(zhì)量分別為和的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)被長為的輕桿連接，求繞過質(zhì)心且垂直于桿軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。由于點(diǎn)為質(zhì)心，故若軸過桿中點(diǎn)且垂直于桿，則這意味著什么？繞過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。⑵質(zhì)量為半徑為的薄圓柱殼繞其對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量⑶質(zhì)量為半徑為的勻質(zhì)圓盤（柱）繞其對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。取以軸為中心，半徑為，厚度為的薄圓柱形環(huán)為質(zhì)量元。距軸為的點(diǎn)形成了以為半徑，厚度為，高為的一個(gè)薄圓柱殼，這樣一個(gè)質(zhì)量元的質(zhì)量為故⑷內(nèi)半徑為外半徑為質(zhì)量為的勻質(zhì)中空?qǐng)A柱繞其對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量故⑸質(zhì)量為長為的勻質(zhì)細(xì)桿繞過質(zhì)心且垂直于桿的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如圖，取質(zhì)元繞過桿一端且垂直于桿的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量⑹質(zhì)量為半徑為的勻質(zhì)薄球殼繞過中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。如圖，在球面取一圓環(huán)帶，半徑⑺質(zhì)量為半徑為的勻質(zhì)球體繞過球心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量把球體看作無數(shù)個(gè)同心薄球殼的組合[思考題]

兩個(gè)剛性板被一垂直于它們的軸穿過形成一個(gè)組合體。如圖改變兩板夾角，組合體相對(duì)這軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是否改變，質(zhì)心相對(duì)組合體的位置是否改變。5.平行軸定理一個(gè)剛體繞不同的軸線有不同的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。在一組彼此平行的軸線中，剛體繞各軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之間存在簡單的聯(lián)系。若剛體繞通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，那么剛體繞平行于該軸的任意軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量式中為剛體質(zhì)量，為質(zhì)心到任意軸的距離。[例題]

質(zhì)量為，長為的均勻細(xì)桿一端連接著一個(gè)質(zhì)量為直徑為的均勻球體，求該組合體繞過桿另一端且與桿垂直軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解：組合體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量應(yīng)是各部分相對(duì)同一軸線轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的和。[例題]

半徑為的勻質(zhì)圓盤，在互相垂直兩半徑中點(diǎn)各開一個(gè)半徑為的圓形透孔。所余部分質(zhì)量為，求它繞過O且垂直盤面軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，以及質(zhì)心位置。解：若將圓盤復(fù)原，每個(gè)園孔所需填充的質(zhì)量為被復(fù)原的勻質(zhì)圓盤質(zhì)心坐標(biāo)為(0,0),故三、力矩的功和功率轉(zhuǎn)動(dòng)定理的空時(shí)積分作用于定軸剛體上的外力矩（矢量）只有轉(zhuǎn)軸方向的分量才可能作功,有效力矩僅與外力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分量和受力質(zhì)點(diǎn)相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的“位矢”有關(guān)。

我們?cè)谵D(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)計(jì)算力的元功

轉(zhuǎn)動(dòng)平面是剛體的元角位移在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，力矩的元功

力矩的功率

即一般說來，功是廣義力在廣義位移上的積分。廣義力可以是力矩、壓強(qiáng)；廣義位移可以是角位移、體積增量，等等。1.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理

——轉(zhuǎn)動(dòng)定律的空間積分按力矩作功的概念，在剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，作用于剛體的合外力矩要作功，并且合外力矩的元功為

兩側(cè)對(duì)空間積分有

表明在一個(gè)過程中合外力矩的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。即——稱為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理可以給出合外力矩的時(shí)間效應(yīng)

取轉(zhuǎn)動(dòng)定理的時(shí)間積分，有

2.剛體的沖量矩定理

——轉(zhuǎn)動(dòng)定律的時(shí)間積分根據(jù)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律表明在一個(gè)過程中剛體受到的合外力矩的沖量矩等于剛體角動(dòng)量的增量。上式左側(cè)稱為剛體受到的合外力矩的沖量矩，右側(cè)為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角動(dòng)量的增量。[例題]被電機(jī)帶動(dòng)的半徑為的圓輪A以恒定角速度繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，將A輪放置在質(zhì)量為的勻質(zhì)圓輪B上，B輪是從動(dòng)輪，可以繞過中心的水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，開始是靜止的。已知兩輪間的滑動(dòng)摩擦力為，求經(jīng)過多少時(shí)間兩輪之間沒有了相對(duì)滑動(dòng)。BABA解：在B輪和A輪之間的相對(duì)滑動(dòng)消失之前，切向接觸力（滑動(dòng)摩擦力）對(duì)B輪的外力矩引起B(yǎng)輪的角加速度，使它從靜止開始加速。設(shè)B輪的半徑為，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理設(shè)經(jīng)過時(shí)間相對(duì)滑動(dòng)消失，兩輪接觸點(diǎn)有相同的線速度，即是B輪正常轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。BA⑴過渡過程持續(xù)的時(shí)間反比于滑動(dòng)摩擦力，正比于轉(zhuǎn)速。⑵在B輪達(dá)到正常轉(zhuǎn)速后，與A輪之間沒有相對(duì)滑動(dòng)。但是，由于負(fù)載或阻力矩它與A輪可能出現(xiàn)相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)，這將在接觸點(diǎn)產(chǎn)生靜摩擦力，靜摩擦力矩與阻力矩平衡。A輪通過靜摩擦力力矩作功,向B輪傳遞功率。但是這個(gè)靜摩擦力不能超過最大靜摩擦力的限度。討論：兩側(cè)取積分，有[例題]半徑為,質(zhì)量為的勻質(zhì)圓輪可繞水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，圓輪上沿恰與水平桌面持平，如圖所示。桌面上有一質(zhì)量為的長方體滑塊，左右移動(dòng)滑塊可帶動(dòng)圓輪轉(zhuǎn)動(dòng)。假設(shè)滑塊與圓輪間的最大靜摩擦力足