廣東省揭陽(yáng)市張武幫中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

廣東省揭陽(yáng)市張武幫中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知點(diǎn)P在正△ABC所確定的平面上，且滿足，則△ABP的面積與△BCP的面積之比為（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4參考答案：B【考點(diǎn)】向量的加法及其幾何意義．【分析】由，可得=2，即點(diǎn)P為線段AC的靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，即可得出．【解答】解：∵，∴==，∴=2，即點(diǎn)P為線段AC的靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，∴△ABP的面積與△BCP的面積之比==，故選：B．2.已知，則的值是（

）A．

B．

C．2

D．－2參考答案：A3.函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)________.參考答案：(2,-2)略4.已知全集

Z,那么等于(

)

參考答案：C略5.下面的函數(shù)中，周期為的偶函數(shù)是（

▲

）

A．

B.

C．

D．參考答案：C略6.如圖，在同一直角坐標(biāo)系中，表示直線y＝ax與y＝x＋a正確的是()參考答案：C當(dāng)a>0時(shí)，直線y＝ax的斜率k＝a>0，直線y＝x＋a在y軸上的截距等于a>0，此時(shí)，選項(xiàng)A、B、C、D都不符合；當(dāng)a<0時(shí)，直線y＝ax的斜率k＝a<0，直線y＝x＋a在y軸上的截距等于a<0，只有選項(xiàng)C符合，故選C.7.若a,b是異面直線，且a∥平面α，則b和α的位置關(guān)系是（

）

A．平行

B．相交

C．b在α內(nèi)

D．平行、相交或b在α內(nèi)

參考答案：D8.已知平面向量=（3,1），=（x,-3），且⊥，則x等于（

）A．3

B.1

C.-1

D.-3參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.B

解：=（3,1），=（x,-3），由⊥?3x+1×（-3）=0，即x=1．故選B．【思路點(diǎn)撥】由兩向量垂直，直接用橫坐標(biāo)乘橫坐標(biāo)加縱坐標(biāo)乘縱坐標(biāo)等于0求解．9.若方程的解集為,方程的解集為,則的關(guān)系為（

）

參考答案：B10.（5分）若向半徑為1的圓內(nèi)隨機(jī)撒一粒米，則它落到此圓的內(nèi)接正方形的概率是（） A． B． C． D． 參考答案：考點(diǎn)： 幾何概型．專(zhuān)題： 計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì)．分析： 首先確定正方形的面積在整個(gè)圓中占的比例，根據(jù)這個(gè)比例即可求出豆子落到圓內(nèi)接正方形（陰影部分）區(qū)域的概率．解答： 由題意，圓的面積為π，由勾股定理得圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)，其面積為2，故豆子落到圓內(nèi)接正方形（陰影部分）區(qū)域的概率是．故選：B．點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了幾何概率、圓的面積求法以及正方形的特殊性質(zhì)，求出兩圖形的面積是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.關(guān)于函數(shù)，有下列命題：①函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；②函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；③函數(shù)的最小值是0；④函數(shù)沒(méi)有最大值；⑤函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。其中正確命題的序號(hào)是___________________。參考答案：①③④略12.已知是定義在上的奇函數(shù)。當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集用區(qū)間表示為_(kāi)_______________.參考答案：13.函數(shù)f（x）=ax2+（a﹣2b）x+a﹣1是定義在（﹣a，0）∪（0，2a﹣2）上的偶函數(shù)，則=．參考答案：3【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可求a及b的值，然后把a(bǔ)及b的值代入函數(shù)f（x）進(jìn)行計(jì)算即可【解答】解：∵函數(shù)f（x）=ax2+（a﹣2b）x+a﹣1是定義在（﹣a，0）∪（0，2a﹣2）上的偶函數(shù)，∴a=2a﹣2，解得a=2，由f（x）=f（﹣x）得，a﹣2b=0，即b=1，則f（x）=2x2+1．故=．故答案為3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了偶函數(shù)的定義的應(yīng)用，解題中不要漏掉對(duì)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的考慮14.若x>0，則函數(shù)的最小值是________．參考答案：215.若tanα=,則tan(α+)=

.參考答案：3略16.y=﹣x2+2ax+3在區(qū)間上為減函數(shù)．則a的取值范圍為．參考答案：a≤2【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】函數(shù)y=﹣x2+2ax+3的圖象開(kāi)口朝下，且以直線x=a為對(duì)稱(chēng)軸，由y=﹣x2+2ax+3在區(qū)間上為減函數(shù)，可得a的取值范圍．【解答】解：函數(shù)y=﹣x2+2ax+3的圖象開(kāi)口朝下，且以直線x=a為對(duì)稱(chēng)軸，若y=﹣x2+2ax+3在區(qū)間上為減函數(shù)．則a≤2，故答案為：a≤2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．17.在平面直角坐標(biāo)系中，橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)為整點(diǎn)，若函數(shù)f（x）的圖象恰好通過(guò)n（n∈N*）個(gè)整點(diǎn)，則稱(chēng)函數(shù)f（x）為n階整點(diǎn)函數(shù)，有下列函數(shù)：①f（x）=sinx；②g（x）=x2；③h（x）=（）x；④φ（x）=lnx，其中一階整點(diǎn)函數(shù)的是．參考答案：①④【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)新定義的“一階整點(diǎn)函數(shù)”的要求，對(duì)于四個(gè)函數(shù)一一加以分析，它們的圖象是否通過(guò)一個(gè)整點(diǎn)，從而選出答案即可．【解答】解：對(duì)于函數(shù)f（x）=sin2x，它只通過(guò)一個(gè)整點(diǎn)（0，0），故它是一階整點(diǎn)函數(shù)；對(duì)于函數(shù)g（x）=x2，當(dāng)x∈Z時(shí)，一定有g(shù)（x）=x3∈Z，即函數(shù)g（x）=x3通過(guò)無(wú)數(shù)個(gè)整點(diǎn)，它不是一階整點(diǎn)函數(shù)；對(duì)于函數(shù)h（x）=，當(dāng)x=0，﹣1，﹣2，時(shí)，h（x）都是整數(shù)，故函數(shù)h（x）通過(guò)無(wú)數(shù)個(gè)整點(diǎn)，它不是一階整點(diǎn)函數(shù)；對(duì)于函數(shù)φ（x）=lnx，它只通過(guò)一個(gè)整點(diǎn)（1，0），故它是一階整點(diǎn)函數(shù)，故答案為：①④．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查新定義，函數(shù)的圖象特征，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（12分）已知=（2，3），=（﹣1，2）當(dāng)k為何值時(shí)，（Ⅰ）k+與﹣3垂直？（Ⅱ）k+與﹣3平行？平行時(shí)它們是同向還是反向？參考答案：k+=k（2，3）+（﹣1，2）=（2k﹣1，3k+2），﹣3=（5，﹣3）（1）k+與﹣3垂直，得（k+）?（﹣3）=10k﹣5﹣9k﹣6=k﹣11=0，k=11（2）k+與﹣3平行，得15k+10=﹣6k+3，k=﹣此時(shí)kk+=（﹣，1），﹣3=（5，﹣3），所以方向相反．19.如圖，四棱錐S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）證明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB與平面SBC所成的角的大?。畢⒖即鸢福骸究键c(diǎn)】LW：直線與平面垂直的判定；MI：直線與平面所成的角．【分析】（1）利用線面垂直的判定定理，即證明SD垂直于面SAB中兩條相交的直線SA，SB；在證明SD與SA，SB的過(guò)程中運(yùn)用勾股定理即可（Ⅱ）求AB與平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，當(dāng)為銳角時(shí)，所求的角即為它的余角；當(dāng)為鈍角時(shí)，所求的角為【解答】（Ⅰ）證明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1∴AD==∵側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=2∴SA=2∵SD=1∴AD2=SA2+SD2∴SD⊥SA同理：SD⊥SB∵SA∩SB=S，SA，SB?面SAB∴SD⊥平面SAB（Ⅱ）建立如圖所示的空間坐標(biāo)系則A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，則由四棱錐S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形知，M點(diǎn)一定在x軸上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，從而解得SM=，故可得S（，0，）則設(shè)平面SBC的一個(gè)法向量為則，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一個(gè)法向量為=（0，，1）又=（0，2，0）cos＜，＞===∴＜，＞=arccos即AB與平面SBC所成的角的大小為arcsin20.定義對(duì)于兩個(gè)量A和B，若A與B的取值范圍相同，則稱(chēng)A和B能相互置換．例如f（x）=x+1，x∈和，易知f（x）和g（x）能相互置換．（1）已知f（x）=x2+bx+c對(duì)任意x∈Z恒有f（x）≥f（0），又，判斷a與b能否相互置換．（2）已知對(duì)于任意正數(shù)a，b，c，f（a），f（b），f（c）能構(gòu)成三角形三邊，又，若k與g（x）能相互置換，求m+n的值．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題．【分析】（1）根據(jù)定義，即函數(shù)的值域相同，由此即可判斷；（2）利用三角形三邊的性質(zhì)，得f（a）+f（b）＞f（c），通過(guò)分類(lèi)討論求得到三邊之間的關(guān)系不等式，解出不等式的解集，可得k的范圍，利用函數(shù)的值域相同，即可函數(shù)的值域相同，【解答】解：（1）已知f（x）=x2+bx+c對(duì)任意x∈Z恒有f（x）≥f（0），即x2+bx≥0，對(duì)任意x∈Z恒成立，∵，∴a∈∴a與b不能相互置換．（2）：∵x2+x+1＞0恒成立，f（a），f（b），f（c）為三角形三邊，∴f（x）＞0恒成立，即x2+kx+1＞0（x≥0）恒成立x=0時(shí)，結(jié)論成立；x＞0時(shí)，﹣k＜x+，∵x＞0，∴x+≥2∴﹣k＜2∴k＞﹣2f（x）=1+（x＞0）由k＞﹣2①當(dāng)k=1時(shí)，滿足題意；②當(dāng)k＞1時(shí)，f（x）∈（1，1+]，由題意知：1+1＞1+，∴1＜k＜4③當(dāng)k＜1時(shí)，f（x）∈[，1），于是有2×＞1，∴1＞k＞﹣綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為﹣＜k＜4．又，k與g（x）能相互置換，即g（x）的值域?yàn)?，∵g（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，∴2m﹣=﹣，2n﹣=4，∴m=0，n=，∴m+n=．21.已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的最小正周期，并求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換可以得到函數(shù)的圖象.參考答案：解：（1）

,,.即，

（2）由正弦的單調(diào)增區(qū)間可知：，解得，即在每個(gè)閉區(qū)間

單調(diào)遞增（3）將函數(shù)y=2sinx的圖象向左平移個(gè)單位，再將得到的函數(shù)圖象上的所有的點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的22.已知函數(shù)f（x）=x+．（1）求解不等式f（x）≥2x；（2）+x2+2mf（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，求m的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)g（x）=x2+（﹣3+c）x+c2，若方程g（f（x））=0有6個(gè)實(shí)根，求c的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】（1）對(duì)x討論，分x＞0，x＜0，由分式不等式的解法，即可得到解集；（2）由題意可得+x2+2m（x+）≥0在x∈[1，2]上恒成立，即有（x+）2﹣2+2m（x+）≥0，令t=x+，2≤t≤，可得t2+2mt﹣2≥0，再由參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性，可得不等式的右邊的最大值，可得m的范圍；（3）可令t=f（x），則g（t）=0，即有方程t=f（x）有6個(gè)實(shí)根，作出f（x）的圖象，可得當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）有最小值2，則方程g（t）=0有兩個(gè)大于2的不等實(shí)根，由二次方程實(shí)根分布解決方法，可得判別式大于0，g（2）大于0，對(duì)稱(chēng)軸大于2，解不等式即可得到所求范圍．【解答】解：（1）f（x）≥2x，當(dāng)x＞0時(shí)，x+≥2x，即有x﹣=≤0，解得0＜x≤1；當(dāng)當(dāng)x＜0時(shí)，x﹣≥2x，即為x+=≤0，解得x＜0．故原不等式的解集為{x|x≤1且x≠0}；（2）+x2+2mf（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，即為+x2+2m（x+）≥0在x∈[1，2]