直線與平面、平面與平面相對(duì)位置課件

直線與平面、平面與平面相對(duì)位置一、直線與平面以及兩平面平行問(wèn)題二、直線與平面以及兩平面相交問(wèn)題三、直線與平面以及兩平面垂直問(wèn)題四、綜合作圖題一、直線與平面以及兩平面平行1、直線與平面平行2、平面與平面平行EFABQQPABCDMNEF3、基本作圖1、直線與平面平行

幾何條件:

直線必需平行于平面上的某一直線。PHaba'b'PVPHCDcdABabPEFABQ

若平面具有積聚性，則平面的積聚性投影應(yīng)平行于直線的同面投影。2、平面與平面平行幾何條件：一平面上的兩相交直線對(duì)應(yīng)平行于另一平面上的兩條相交直線。QPABCDMNEFPPHQHQPHQH若兩個(gè)同一投影面垂直面平行，則兩平面的積聚性投影相互平行。3、基本作圖

（1）判別直線與平面是否平行（2）過(guò)空間一點(diǎn)作平面的平行線（3）過(guò)空間一直線作已知直線的平行面（4）判別平面與平面是否平行（5）過(guò)空間一點(diǎn)作已知平面的平行面【例一】判別直線與平面是否平行；efe′f′abca′b′c′d′d作a′d′∥e′f′EF不平行△ABC【例二】過(guò)空間一點(diǎn)作平面的平行線aa′deff′e′d′g′gb′b作ab∥fg并量取ab=35mm過(guò)空間點(diǎn)A作一條水平線AB=35mm，且平行于△DEF?！纠窟^(guò)空間一直線作已知直線的平行面aba′b′eff′e′c′c過(guò)空間直線AB作EF的平行面?！纠摹颗袆e平面與平面是否平行？abca′b′c′hefgg′f′e′h′d′dAD∥HGBC∥HE兩平面平行【例五】過(guò)空間一點(diǎn)作已知平面的平行面b′bcc′a′adefd′f′e′二、直線與平面以及兩平面相交1、利用積聚性求交2、無(wú)積聚性時(shí)求交

直線與平面相交于一點(diǎn)，交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)；兩平面相交于一直線，交線是兩平面的共有線。

在畫法幾何中平面圖形通常被當(dāng)作是不透明的，所以在投影圖中還要表明直線被平面遮擋以及平面與平面互相遮擋的情況，即判斷其投影的可見(jiàn)性。

求共有元素方法:1、利用積聚性求交HacbkmnNMABCKHMmnlPABCacPHkfFKNL

直線與平面或平面與平面相交的投影圖中有積聚投影時(shí)，交點(diǎn)或交線的一個(gè)投影一定包含在該積聚投影中。根據(jù)交點(diǎn)或交線是相交元素所共有這一條件，便能直接從積聚投影中得出交點(diǎn)或交線的一個(gè)投影，而另一投影則可由此求得?？梢?jiàn)性也可根據(jù)積聚投影直接加以判斷?；咀鲌D①一般線與投影面垂直面相交②投影面垂直線與一般面相交③一般面與投影面垂直面相交④兩個(gè)同一投影面垂直面相交【例一】一般線與投影面垂直面相交xb′ba′acc′m′mnn′kVHacbkmnNMABCKk′k【例二】投影面垂直線與一般面相交1′1abce′f′c′b′e(f)a′(k)k′VHEFABCEe′f′a′b′e(f)bcaKk′(k)【例三】一般面與投影面垂直面相交VHMmnlPABCacPHkfFKNLnlmm′l′n′bacc′a′b′f′k′fk【例三】一般面與投影面垂直面相交aa′bb′cc′d′dee′ff′nn′m0m0′m′m【例四】?jī)蓚€(gè)同一投影面垂直面相交m(n)m′n′PHQHPVQVNMPQQVQHPVPH2、無(wú)積聚性時(shí)求交

由于相交的兩元素各投影均無(wú)積聚性，所以它們的共有元素(交點(diǎn)或交線)，不能直接利用積聚性進(jìn)行求解。解決辦法：引入一個(gè)能產(chǎn)生積聚投影的輔助平面（一般為投影面垂直面或投影面平行面），從而作出所求的共有元素。這種方法可稱為輔助平面法。可見(jiàn)性問(wèn)題，也因原投影圖中沒(méi)有積聚投影可以利用，通常要借助交錯(cuò)直線的重影點(diǎn)來(lái)解決。MBCAFKNLFEABCQMNK

求作交線的步驟：1.含直線DE作輔助平面

2.求輔助平面與平面ABC的交線3.求交線與已知直線DE的交點(diǎn)

為便于在投影圖上求作交線應(yīng)選特殊位置輔助平面。1、一般位置直線與一般位置平面相交

4.判別可見(jiàn)性【例五】一般線與一般面相交m′n′QV

解題步驟：1、過(guò)EF作正垂面Q。2、求Q平面與ΔABC的交線MN。3、求交線MN與EF的交點(diǎn)K。f′e′efba′acb′c′mnFECABQMNKk′k4、可見(jiàn)性判別以正垂面為輔助平面作圖利用重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性f′e′efba′acb′c′kk′12

1′2′4′3′43()()判別可見(jiàn)性的原理是利用重影點(diǎn)。以鉛垂面為輔助平面作圖

1.含直線DE

作輔助

平面P2.求輔助平面P

與平

面ABC

的交線MN3.求交線MN

與已知

直線DE

的交點(diǎn)K【例五】一般線與一般面相交解題步驟：判別可見(jiàn)性【例五】一般線與一般面相交兩平面的交線是一條直線，只要求得直線上的兩點(diǎn)即可確定該交線，而這些點(diǎn)可以看作是一個(gè)平面上的直線與另一平面的交點(diǎn)。這樣便把求平面與平面的交線問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求直線與平面的交點(diǎn)問(wèn)題。

2.兩一般位置平面相交【例六】?jī)梢话阄恢闷矫嫦嘟?/p>

求交線步驟：

1、用直線與平面求交點(diǎn)的方法求兩平面的共有點(diǎn)；

n′bacc′b′a′hh′nmm′QV1′2′21PVkk′ee′2、判別可見(jiàn)性。MBCAKENH判別兩平面的可見(jiàn)性n′bacc′b′a′hh′nmm′（）1′2′1

2()3

4

3′

4′判別可見(jiàn)性的原理是利用重影點(diǎn)。

在求直線與平面的交點(diǎn)時(shí)所選擇的兩條直線，位于同一平面上還是分別在兩個(gè)平面上，對(duì)最后結(jié)果沒(méi)有影響；判斷各投影的可見(jiàn)性，需分別進(jìn)行，各投影中皆以交線投影為可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界線，在分界線的任何一側(cè)只需選一重影即可。另外，由于作圖線較多，為避免差錯(cuò)，對(duì)作圖過(guò)程中的各點(diǎn)最好加以標(biāo)記。三面共點(diǎn)法求兩平面的交線

用水平面作輔助面用三面共點(diǎn)法求兩平面的交線三、直線與平面以及兩平面垂直1、直線與平面垂直2、平面與平面垂直ABCDL1L2EFPHPV1、直線與平面垂直幾何條件:直線必須垂直于該平面上的任意兩相交直線；ABCDL1L2EFPHPV*垂直于一平面的直線，其投影垂直于該平面上投影面平行線的相應(yīng)投影，也垂直于該平面的同面跡線。線面垂直定理基本作圖：①判別直線是否與平面垂直②過(guò)空間一點(diǎn)作已知平面的垂線③過(guò)空間一點(diǎn)作已知直線的垂面【例一】判別直線是否與平面垂直1′122′e′ef′fa′abb′cc′KK′PHg′h′ghEF⊥△ABCGH⊥P平面【例二】過(guò)空間一點(diǎn)作已知平面的垂線1′122′f′fe′ea′abb′cc′【例三】過(guò)空間一點(diǎn)作已知直線的垂面bb′cc′faa′ef′e′2、平面與平面垂直幾何條件：

一個(gè)平面上有一條直線垂直于另一平面或一平面通過(guò)另一平面的法線。基本作圖：④判別兩平面是否垂直⑤過(guò)空間一直線作已知平面的垂面QPL1L2NM【例四】判別兩平面是否垂直e′ea′abb′cc′ff′gg′11′22′△ABC⊥△EFGd′d【例五】過(guò)空間一直線作已知平面的垂面1′122′f′fe′ea′abb′cc′gg′空間幾何元素之間相對(duì)位置問(wèn)題的求解方法小結(jié)1.若所求為點(diǎn)，則該點(diǎn)一定在某直線或平面上，找出這樣的直線或平面，再在這些直線或平面上求點(diǎn)。

2.若所求為直線，①根據(jù)定理或已歸納的投影特性直接求出。②在包含該直線的平面上找出該直線，解題時(shí)，找出符合條件的兩個(gè)點(diǎn)（或一點(diǎn)一方向）確定該直線即可。

3.若所求為平面，則求出構(gòu)成該平面的兩條相交（或平行）直線即可。

四、綜合作圖題示例

1、審題

明確題意、已知條件和作圖要求。

2、空間分析

逆推分析法：假設(shè)滿足題目要求的幾何元素已經(jīng)給出，將它和題目所給的幾何元素一起，按題目要求的幾何條件逐一分析，綜合研究它們之間的相對(duì)位置和從屬關(guān)系，進(jìn)而探求由給定的幾何元素確定所求的幾何元素的途徑，進(jìn)而得出解題方法。軌跡分析法：根據(jù)題目要滿足的若干幾何條件逐個(gè)地運(yùn)用空間幾何元素軌跡的概念，分析所求的幾何元素在該條件下的空間幾何軌跡，然后綜合這些空間幾何軌跡取公共元素，進(jìn)而得出解題方案。

3、確定作圖步驟，運(yùn)用基本作圖完成投影圖

解題方案選定后，就要決定作圖步驟，先做什么，后做什么。并熟練運(yùn)用各種基本作圖方法，完成投影圖。【例題1】求點(diǎn)K到直線AB的距離。a′bab′kk′m′mn′nKL真長(zhǎng)l′l△ZKL△ZKL作圖步驟1、過(guò)點(diǎn)K作直線AB的垂面KM*KN；2、求所作垂面與直線AB的交點(diǎn)L；3、連接KL，用直角三角形法求KL的實(shí)長(zhǎng)?！纠}2】已知直角三角形ABC的水平投影，及直角邊AB的V投影，試完成其正面投影。b′cbaa′c′1′12′2作圖步驟1、過(guò)點(diǎn)Ａ作直線AB的垂直面AⅠⅡ；2、在垂直面AⅠⅡ上，運(yùn)用平面定線方法確定AC邊；3、連線完成直角三角形ABC的投影?！纠}3】作一直線與兩交叉直線AB和CD相交，同時(shí)與直線EF平行。f2′211′nmm′n′abb′a′e′f′c′d′c′deABCDEF1MN【例題4】過(guò)點(diǎn)M作直線，使其與△ABC平行，且與直線EF相交。eff′e′m′ma′b′bacc′2′21′1nn′作圖步驟1、過(guò)點(diǎn)M作平面MⅠⅡ平行于已知平面ABC；2、求平面MⅠⅡ與已知直線EF的交點(diǎn)N；3、連接MN【例題5】已知等邊△ABC與H面的傾角α=30°，試完成該等邊△ABC的兩面投影。caa′c′bb′B0等邊△ABC高BD的實(shí)長(zhǎng)d′dα△ZBD△ZBD作圖步驟1、求作等邊△ＡＢＣ高的實(shí)長(zhǎng)2、直角三角形法求作ＢＤ的Ｚ坐標(biāo)差【例題6】過(guò)點(diǎn)K作直線KL與直線MN垂直，并與△ABC平行。gg′l′laa′bcc′b′k′kmnn′m′作圖步驟1、過(guò)MN作平面MNG