高一年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試卷

高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

姓名:年級(jí):學(xué)號(hào):

題型選擇題填空題解答題判斷題計(jì)算題附加題總分

得分

評(píng)卷人得分

一、選擇題（共6題，共30分）

1、過直線y=X+2上的點(diǎn)向圓（X-4）2+（y+2）2=1引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為（）

A,存B.，網(wǎng).忤D.犧

【考點(diǎn)】

【答案】C

【解析】

要使切線長(zhǎng)最小，則直線y=x+2上的點(diǎn)到圓心的距離最小，此最小值即為圓心到直線的距離，求

出后再利用勾股定理求得切線長(zhǎng)的最小值.

要使切線長(zhǎng)最小，必須直線上的點(diǎn)到圓心的距離最小，

此最小值為圓心（4,一2）到直線的距離d,

I設(shè)c的坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式求重心，代入歐拉線得方程，求出AB的垂直平分線，聯(lián)立歐拉線方

程得三角形外心，外心到三角形兩頂點(diǎn)距離相等可得另一方程，兩方程聯(lián)立求得C點(diǎn)的坐標(biāo).

2+m4+打

設(shè)C（m,n）,由重心坐標(biāo)公式得重心為（3'3）,

代入歐拉線方程得：加一八+4=°①

_4-0_

AB的中點(diǎn)為（12）,AB~0-2-2,

所以AB的中垂線方程為x一2），+3=°

x-2y+3=0X=—1

解得

聯(lián)立,"+2=°,,y=1

所以三角形ABC的外心為（一1，D,

則（771+1產(chǎn)+=32+I2=]0,化簡(jiǎn)得：山2,|_八2+2）n—2n=8②

聯(lián)立①②得：m=-4,n=0或rn=O,n=4,

當(dāng)時(shí)，B,C重合，舍去，

所以頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是(-4,0)

故選A.

3、數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距

離是重心到垂心距離的一半?這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線若△ABC的頂點(diǎn)A(2,0),B(0,4),

且的歐拉線的方程為x-y+2=0,則頂點(diǎn)c的坐標(biāo)為()

A(-4,0)B(-4,-2)c(-2.2)D(-3,0)

【考點(diǎn)】

【答案】A

【解析】

設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式求得重心，代入歐拉線得一方程，求出AB的垂直平分線，和歐拉線

方程聯(lián)立求得三角形的外心，由外心到兩個(gè)頂點(diǎn)的距離相等得另一方程，兩方程聯(lián)立求得點(diǎn)C的坐標(biāo).

設(shè)C(m,n),由重心坐標(biāo)公式得，

2+m44-n

三角形ABC的重心為(3,),

2+m4+n

------------I-

代入歐拉線方程得：33十2=0,

整理得：m-n+4=0①

_4-0_

AB的中點(diǎn)為(1,2),直線AB的斜率k一二支一―2,

1

AB的中垂線方程為y-2-(x-1),即x-2y+3=0.

%-2y+3=0(x=-1

聯(lián)立[x-y+2=0,解得.

「.△ABC的外心為(-1,1).

貝I](m+1)2+(n-1)2=32+12=10,

整理得：m2+n2+2m-2n=8②

聯(lián)立①②得：m=-4,n=0或m=0,n=4.

當(dāng)m=0,n=4時(shí)B,C重合，舍去.

二頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是(-4,0).

故選：A.

4、在四面體「—ABC的四個(gè)面中，是直角三角形的至多有()

A.0個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【考點(diǎn)】

【答案】D

【解析】

作出圖形，能夠做到PA與AB,AC垂直，BC與BA,BP垂直，得解.

如圖，PAJ■平面ABC,

CB±AB,

貝I]CB_L即，

故四個(gè)面均為直角三角形.

故選：D.

I圓C1：x2+y2-2x=0化為標(biāo)準(zhǔn)形式是（x-1）2+y2=1,

圓心是C1（1,0）,半徑是八=1；

圓C2：x2+y2-4y+3=0化為標(biāo)準(zhǔn)形式是x2+（y-2）2=1,

圓心是C2（0,2）,半徑是r2=1；

則|C1C2|=將＞r1+r2,

二兩圓外離，公切線有4條.

故選：D.

二、填空題（共2題，共10分）

7、在空間直角坐標(biāo)系中，一點(diǎn)到三個(gè)坐標(biāo)軸的距離都是1,則該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是

【考點(diǎn)】

I

【答案】2

【解析】

設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)題意列出方程組，從而求得該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.

設(shè)該點(diǎn)的坐標(biāo)

因?yàn)辄c(diǎn)到三個(gè)坐標(biāo)軸的距離都是1

所以=y2+z2=1,/+z2=l,

所以，+y2+z24

/v2.2.2

故該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為“】vz一=2,

故填.

8、在空間直角坐標(biāo)系中，一點(diǎn)到三個(gè)坐標(biāo)軸的距離都是1,則該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是

E

（答案）2

【考點(diǎn)】

I

【答案】2

【解析】

設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列方程組，從而求得該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.

設(shè)該點(diǎn)的坐標(biāo)是（x,y,z）,

.??該點(diǎn)到三個(gè)坐標(biāo)軸的距離都是1,

.,.x2+y2=1,

x2+z2=1,

y2+z2=1,

_3

.*.x2+y2+z22,

/x2,2+z2=E=

，該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是小-?

故答案為：.

三、解答題（共3題，共15分）

9、如圖,在圓錐P0中，已知「°=J?,圓o的直徑力8=2,c是弧AB的中點(diǎn),D為AC的中點(diǎn).

（1）求異面直線PD和BC所成的角的正切值;

（2）求直線0C和平面PAC所成角的正弦值.

【考點(diǎn)】

【答案】（1）2；（2）3

【解析】

試題（1）異面直線所成的角，往往通過平移轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形內(nèi)求解.本題轉(zhuǎn)化到直角三角形PDO中

求解.（2）直線與平面所成的角，應(yīng)先作出直線在平面內(nèi)的射影，則斜線與射影所成的角即為所求.本題

過點(diǎn)0向平面PAC作垂線，則NOCH即為直線與平面所成的角，進(jìn)而求出其正弦值.

試題解析：（1）---0,D分別是AB和AC的中點(diǎn)

---0D//BC異面直線PD和BC所成的角為NPD0

I-I

在.ABC中，八8=2,C是48的中點(diǎn),,D為力。的中點(diǎn)

?1,AC=BC=?QD=#又...po=樞...pgj_面力8c二tanzPDO=9=2

（2）因?yàn)椤懔?。。,0是力。的中點(diǎn),所以4。-LOD.

又PO1底面OOACc底面O0,所以4c1。。.所以4c1平面POD；

又4cc平面pjC,所以平面POD1平面PNC,在平面POD中，過。作OH1PD于H,

則。H_L平面PAG連結(jié)CH,則是0C在平面/MC上的射影,

所以上℃"是直線°C和平面P/C所成的角.

—POOD

R”POD中,。“府r

在

c-,…，OHJ2

在Rt△OHC中,sinz_OCH=oc=T

10、有兩直線期-2y-2a+4=。和2x-(1一a?)y-2-2a?=0,當(dāng)a在區(qū)間(°，2)內(nèi)變化時(shí)，求

直線與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形面積的最小值.

【考點(diǎn)】

11

【答案】

【解析】

利用直線方程，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用直線系解得yE=2.根據(jù)S四邊形0CEA=S4BCE-SZi0AB即

可得出.

■,,0<a<2,

4

可得11：ax-2y=2a-4,與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A(0,-a+2),B(2一10).

-2-2a2

I2：2x-(1-a2)y-2-2a2=0,與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)C(a2+1,0),D(0,1-).

兩直線ax-2y-2a+4=0和2x-(1-a2)y-2-2a2=0,都經(jīng)過定點(diǎn)(2,2),即yE=2.

11

-

.1.S四邊形OCEA=SZ\BCE-SZkOAB2|BC|.yE2|0A|?|0B|

44

+————

(a2。1)X2(2-a)X(。2)

=a2-a+3

1111

=(a)2T4—4,當(dāng)a時(shí)取等號(hào).

.■.H,12與坐標(biāo)軸圍成的四邊形面積的最小值為.

11、已知Lx+my+6=0,%：(m-2)x+3y+2m=0,分別求m的值，使得和：

(1)垂直;

(2)平行;

(3)重合;

(4)相交.

【考點(diǎn)】

1

【答案】(1)7;(2)-1；