數(shù)學(xué)強(qiáng)化班(武忠祥)-高數(shù)第九章-多元函數(shù)積分學(xué)

PAGEPAGE219第九章多元積分學(xué)及其應(yīng)用第一節(jié)三重積分1定義.2性質(zhì):3計(jì)算:1)直角坐標(biāo):i)先一后二;ii)先二后一.2)柱坐標(biāo):3)球坐標(biāo):4)利奇偶性若積分域關(guān)于坐標(biāo)面對(duì)稱,關(guān)于有奇偶性,則5)利用變量的對(duì)稱性.題型一計(jì)算三重積分例9.1計(jì)算,其中由所確定.解原式.例9.2計(jì)算,其中由和所確定.解法1原式解法2設(shè)，則.由于與的計(jì)算方法完全一樣，以下僅以說明其三種較簡單的計(jì)算方法：方法1直角坐標(biāo)下先二后一：（其中）.方法2由形心計(jì)算公式得（其中為的形心坐標(biāo)）方法3利奇偶性.注意關(guān)于平面上下對(duì)稱，則從而有.例9.3計(jì)算,其中由曲線，繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面和平面，所圍的立體.解法1解法2例9.4計(jì)算,解（奇偶性）（變量對(duì)稱性）例9.5設(shè)連續(xù),,其中由,所確定.求.解..題型二更換三重積分次序例9.6計(jì)算解先交換和的次序，則.第二節(jié)對(duì)弧長的線積分（第一類線積分）計(jì)算方法1．直接法：1)若，，則.2)若，，則3)若，，則2.利用奇偶性.1)若積分曲線關(guān)于軸對(duì)稱,則.2)若積分曲線關(guān)于軸對(duì)稱,則3．利用對(duì)稱性若積分曲線關(guān)于直線對(duì)稱,則=特別的題型計(jì)算對(duì)弧長的線積分例9.7設(shè)是橢圓，其周長為，則解（奇偶性）例9.8計(jì)算,其中為解:其中計(jì)算積分可以用直接法，以下介紹兩種簡單方法方法1（奇偶性）方法2（形心公式）例9.9計(jì)算,其中為雙紐線解雙紐線的極坐標(biāo)方程為例9.10計(jì)算,其中為。解法1:直接法參數(shù)方程為：,解法2:對(duì)稱性.（對(duì)稱性）第三節(jié)對(duì)坐標(biāo)的線積分(第二類線積分)1.計(jì)算方法(平面)1)直接法;2)格林公式.3)補(bǔ)線用格林公式4)利用線積分與路徑無關(guān)（1）判定:.（2）計(jì)算:改換路徑;利用原函數(shù),其中,求原函數(shù)方法:①偏積分;②湊微分.2.兩類線積分的聯(lián)系:.題型計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的線積分例9．11計(jì)算.其中為從到的曲線段.分析由于，則本題中的線積分與路徑無關(guān).解法1改換路徑，點(diǎn)為點(diǎn)。原式.也可將路徑改換為另一折線、，其中點(diǎn)為點(diǎn)，則原式.解法2利用原函數(shù)，由于則.故.例9.12設(shè)為橢圓沿逆時(shí)針方向,則.解由格林公式得其中是由圍成的橢圓域，為其面積，該橢圓方程可改寫為，則其面積.故.例9.13計(jì)算,其中為正常數(shù),為從點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)的弧.解補(bǔ)線段，則，其中為與圍成的半圓域，則例9.14計(jì)算,其中(1)為的正向;(2)為的正向.解（1），由格林公式得（其中為曲線所圍圓域）.（2），此時(shí)不能直接用格林公式，因?yàn)樵邳c(diǎn)條件不滿足.因此，作以為中心的圓且取順時(shí)針方向，在和圍成的環(huán)形域上用格林公式得，即.則（這里用了格林公式）.注：由本題可看出，對(duì)線積分，除原點(diǎn)外，有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，且.此時(shí)有以下結(jié)論：1）沿任何一條不包含原點(diǎn)在內(nèi)的分段光滑閉曲線的積分為零.2）沿任何一條包含原點(diǎn)在內(nèi)的分段光滑閉曲線的積分均相等.事實(shí)上，線積分都屬于這個(gè)類型.例9.15計(jì)算,其中是以為中心,為半徑的圓周取逆時(shí)針方向.解本題中的，除原點(diǎn)外，和都有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，且.由例8.19的討論知，以下應(yīng)分點(diǎn)在曲線所圍區(qū)域之內(nèi)以和之外兩種情況進(jìn)行計(jì)算.（1）若，則點(diǎn)不在曲線圍成區(qū)域內(nèi)，則.（2）若，則點(diǎn)在曲線所圍區(qū)域內(nèi)，由例8.19中的討論知，此時(shí)沿繞原點(diǎn)的任一分段光滑閉曲線的積分相等，根據(jù)本題被積函數(shù)分母之特點(diǎn)，我們選為橢圓且取逆時(shí)針方向，則例9.16已知曲線積分(常數(shù)),其中有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且.是繞(0,0)一周的任一分段光滑正向閉曲線,試求及.(，)例9.17設(shè)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),,且其中是右半平面內(nèi)任一分段光滑簡單閉曲線,求解由題設(shè)條件知，在處，即.令，則.這是關(guān)于的一階線性方程，由通解公式知.由知，.于是.由知，，則.例9.18計(jì)算,其中弧為連結(jié)與點(diǎn)的線段的下方的任意分段光滑簡單曲線,且該曲線與線段所圍圖形面積為2,解法1補(bǔ)線段，則直線的方程為：，則故解法2,其中故例9.19設(shè)圓周的逆時(shí)針方向,為連續(xù)正值函數(shù),試證:.證由格林公式知由于區(qū)域關(guān)于對(duì)稱，則，于是.原題得證. 例9.20計(jì)算,其中是曲線從軸正向往z軸負(fù)向看去為順時(shí)針方向。解法1直接法曲線的參數(shù)方程為：，則解法2斯托克斯公式;解法3化為平面線積分.將代入原積分得（為）第四節(jié)對(duì)面積的面積分(第一類面積分)計(jì)算方法1.直接法:設(shè)曲面,2.利用奇偶性若曲面關(guān)于面對(duì)稱,則3．利用對(duì)稱性題型計(jì)算對(duì)面積的面積分例9.21設(shè)曲面則解原式（奇偶性，為在第一卦限的部分）計(jì)算積分有以下三種方法：方法1=方法2方法3（形心公式）則原式例9.22計(jì)算,其中為錐面被圓柱面所截下的部分.解（奇偶性）.則.例9.23計(jì)算,其中為柱面夾在和()之間的部分.解法1，（奇偶性）其中為在面前側(cè)的部分，方程為，則，則（）.故.解法2例9.24計(jì)算,其中為球面.解.例9.25計(jì)算,其中為球面.解.由于球面關(guān)于平面對(duì)稱，則則.事實(shí)上，計(jì)算還有一個(gè)較為簡單的方法，利用形心計(jì)算公式得第五節(jié)對(duì)坐標(biāo)的面積分（第二類面積分）1．計(jì)算方法1)直接法:設(shè)曲面,2)高斯公式:3)補(bǔ)面用高斯公式.2.兩類面積分的聯(lián)系題型計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的面積分例9.26計(jì)算,其中是由曲面及平面所圍成立體表面外側(cè).解設(shè)依次為的上、下底和圓柱面部分，則故原式例9.27計(jì)算,其中是曲面()的上側(cè).解取為圓域的下側(cè)，記為由和所圍成的區(qū)域，則由高斯公式得：，而，故.例9.28計(jì)算,其中1)為的上側(cè).2)為上半橢球面的上側(cè).解1）2）其中為上半球面的下側(cè)，為面上介于與之間的平面域的下側(cè)。例9.29設(shè)有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù),計(jì)算.其中為由,所確定區(qū)域表面外側(cè).解由高斯公式得例9.30設(shè)半空間內(nèi)任意的光滑有向封閉曲面都有其中函數(shù)在內(nèi)具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù),且,求.解由題設(shè)及高斯公式得，其中是由圍成的有界閉區(qū)域.由的任意性知，即.于是.由于，則，.故第六節(jié)多元函數(shù)積分的應(yīng)用幾所幾所量何形體求平面板空間體曲線曲面幾何度量面積:體積:弧長面積質(zhì)量質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變力作功:力..2.通量:向量場(chǎng):通量:題型一求幾何量例9.31計(jì)算曲面和所圍立體體積.解法1:利用二重積分;解法2:利用三重積分()例9.32求柱面被平面所截部分的面積.解法1利用面積分解法2利用線積分例9.33設(shè)半徑為的球面的球心在定球面上,問當(dāng)為何值時(shí),球面在定球面內(nèi)部的那部分面積最大？解:=，其中，題型二計(jì)算物理量例9.34設(shè)均勻平面薄板由的確定，求該薄板關(guān)于過的重心和點(diǎn)的直線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解設(shè)的重心為，則，.過點(diǎn)和的直線方程為.點(diǎn)到直線的距離為.則關(guān)于直線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為例9.35設(shè)有半徑為的球體,是球表面上的一個(gè)定點(diǎn),球體上任一點(diǎn)的密度與該點(diǎn)到距離的平方成正比(比例系數(shù)),求球體重心位置.解設(shè)所考慮的球體的球心為，坐標(biāo)為，點(diǎn)為原點(diǎn)，則球面方程為，設(shè)的重心位置為，由對(duì)稱性知.則.而，，故.例9.36求底半徑為,高為,密度為的均勻柱體對(duì)底面圓直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解法1.解法2.而，故.例9.37設(shè)位于點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為為質(zhì)點(diǎn)與之間的距離),質(zhì)點(diǎn)沿曲線自運(yùn)動(dòng)到,求在此運(yùn)動(dòng)過程中質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力所作的功.解:..例9.38在變力的作用下,質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到橢球面上第一卦限點(diǎn),問當(dāng)取何值時(shí),力所作的功最大?并求的最大值.解:.第七節(jié)場(chǎng)論初步1.梯度:1)定義:2)計(jì)算.2.散度:沒有向量場(chǎng)