極限與導(dǎo)數(shù)的概念

極限是微積分的基石一、實例引入：例：戰(zhàn)國時代哲學(xué)家莊周所著的《莊子·天下篇》引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！币簿褪钦f一根長為一尺的木棒，每天截去一半，這樣的過程可以無限制地進(jìn)行下去。〔1〕求第天剩余的木棒長度(尺)，并分析變化趨勢；〔2〕求前天截下的木棒的總長度(尺)，并分析變化趨勢。觀察以上兩個數(shù)列都具有這樣的特點：當(dāng)項數(shù)無限增大時，數(shù)列的項無限趨近于某個常數(shù)A〔即無限趨近于0〕。無限趨近于常數(shù)A，意指“可以任意地靠近A，希望它有多近就有多近，只要充分大，就能到達(dá)我們所希望的那么近。”即“動點到A的距離可以任意小。二、新課講授1、數(shù)列極限的定義：一般地，如果當(dāng)項數(shù)無限增大時，無窮數(shù)列的項無限趨近于某個常數(shù)A〔即無限趨近于0〕，那么就說數(shù)列的極限是A，記作注：①上式讀作“當(dāng)趨向于無窮大時，的極限等于A”?！啊蕖北硎尽摆呄蛴跓o窮大”，即無限增大的意思。有時也記作當(dāng)∞時，A②引例中的兩個數(shù)列的極限可分別表示為_____________________，____________________③思考：是否所有的無窮數(shù)列都有極限？例1：判斷以下數(shù)列是否有極限，假設(shè)有，寫出極限；假設(shè)沒有，說明理由〔1〕1，，，…，，…；〔2〕，，，…，，…；〔3〕－2，－2，－2，…，－2，…；〔4〕－0.1，0.01，－0.001，…，，…；〔5〕－1,1，－1，…，，…；注：幾個重要極限：〔1〕〔2〕〔C是常數(shù)〕〔3〕無窮等比數(shù)列〔〕的極限是0，即：2、當(dāng)時函數(shù)的極限Oyx〔1〕畫出函數(shù)的圖像，觀察當(dāng)自變量取正值且無限增大時，函數(shù)值的變化情況：函數(shù)值無限趨近于0，這時就說，當(dāng)趨向于正無窮大時，函數(shù)Oyx的極限是0，記作：一般地，當(dāng)自變量取正值且無限增大時，如果函數(shù)的值無限趨近于一個常數(shù)A，就說當(dāng)趨向于正無窮大時，函數(shù)的極限是A，記作：也可以記作，當(dāng)時，〔2〕從圖中還可以看出，當(dāng)自變量取負(fù)值而無限增大時，函數(shù)的值無限趨近于0，這時就說，當(dāng)趨向于負(fù)無窮大時，函數(shù)的極限是0，記作：一般地，當(dāng)自變量取負(fù)值而無限增大時，如果函數(shù)的值無限趨近于一個常數(shù)A，就說當(dāng)趨向于負(fù)無窮大時，函數(shù)的極限是A，記作：也可以記作，當(dāng)時，〔3〕從上面的討論可以知道，當(dāng)自變量的絕對值無限增大時，函數(shù)的值都無限趨近于0，這時就說，當(dāng)趨向于無窮大時，函數(shù)的極限是0，記作一般地，當(dāng)自變量的絕對值無限增大時，如果函數(shù)的值無限趨近于一個常數(shù)A，就說當(dāng)趨向于無窮大時，函數(shù)的極限是A，記作：也可以記作，當(dāng)時，特例：對于函數(shù)〔是常數(shù)〕，當(dāng)自變量的絕對值無限增大時，函數(shù)的值保持不變，所以當(dāng)趨向于無窮大時，函數(shù)的極限就是，即例2：判斷以下函數(shù)的極限：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕三、練習(xí)與作業(yè)1、判斷以下數(shù)列是否有極限，假設(shè)有，寫出極限〔1〕1，，，…，，…；〔2〕7，7，7，…，7，…；〔3〕；〔4〕2，4，6，8，…，2n，…；〔5〕0.1，0.01，0.001，…，，…；〔6〕0，…，，…；〔7〕…，，…；〔8〕…，，…；〔9〕－2,0，－2，…，,…，2、判斷以下函數(shù)的極限：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕一、引入：一些簡單函數(shù)可從變化趨勢找出它們的極限，如.假設(shè)求極限的函數(shù)比擬復(fù)雜，就要分析函數(shù)是由哪些簡單函數(shù)經(jīng)過怎樣的運算結(jié)合而成的，函數(shù)的極限與這些簡單函數(shù)的極限有什么關(guān)系，這樣就能把復(fù)雜函數(shù)的極限計算轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)的極限的計算.對于函數(shù)極限有如下的運算法那么：如果，那么也就是說，如果兩個函數(shù)都有極限，那么這兩個函數(shù)的和、差、積、商組成的函數(shù)極限，分別等于這兩個函數(shù)的極限的和、差、積、商〔作為除數(shù)的函數(shù)的極限不能為0〕.說明：當(dāng)C是常數(shù)，n是正整數(shù)時，這些法那么對于的情況仍然適用.三典例剖析例1求 例2求 例3求分析：當(dāng)時，分母的極限是0，不能直接運用上面的極限運用法那么.注意函數(shù)在定義域內(nèi)，可以將分子、分母約去公因式后變成，由此即可求出函數(shù)的極限.例4求分析：當(dāng)時，分子、分母都沒有極限，不能直接運用上面的商的極限運算法那么.如果分子、分母都除以，所得到的分子、分母都有極限，就可以用商的極限運用法那么計算?？偨Y(jié)：例5求分析：同例4一樣，不能直接用法那么求極限.如果分子、分母都除以，就可以運用法那么計算了。三、練習(xí)〔利用函數(shù)的極限法那么求以下函數(shù)極限〕〔1〕；〔2〕〔3〕；〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕一、復(fù)習(xí)引入：函數(shù)極限的運算法那么：如果那么＿＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿〔B〕二、新授課：數(shù)列極限的運算法那么與函數(shù)極限的運算法那么類似：如果那么推廣：上面法那么可以推廣到有限多個數(shù)列的情況。例如，假設(shè)，，有極限，那么：特別地，如果C是常數(shù)，那么二.例題：例1.，求例2.求以下極限：〔1〕；〔2〕例3.求以下有限：〔1〕〔2〕分析：〔1〕〔2〕當(dāng)無限增大時，分式的分子、分母都無限增大，分子、分母都沒有極限，上面的極限運算法那么不能直接運用。例4.求以下極限：〔1〕〔2〕說明：1.數(shù)列極限的運算法那么成立的前提的條件是：數(shù)列的極限都是存在，在進(jìn)行極限運算時，要特別注意這一點。當(dāng)無限增大時，分式的分子、分母都無限增大，分子、分母都沒有極限，上面的極限運算法那么不能直接運用。2.有限個數(shù)列的和〔積〕的極限等于這些數(shù)列的極限的和〔積〕。3.兩個〔或幾個〕函數(shù)〔或數(shù)列〕的極限至少有一個不存在，但它們的和、差、積、商的極限不一定不存在。小結(jié)：在數(shù)列的極限都是存在的前提下，才能運用數(shù)列極限的運算法那么進(jìn)行計算；數(shù)列極限的運算法那么是對有限的數(shù)列是成立的。練習(xí)與作業(yè)：1.，求以下極限〔1〕；〔2〕3.求以下極限〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕。4.求以下極限:(1).(2).(3).〔4〕〔5〕〔6〕.求無窮等比數(shù)列各項的和1、等比數(shù)列的前n項和公式是_________________________________________________2、設(shè)AB是長為1的一條線段，等分AB得到分點A1，再等分線段A1B得到分點A2，如此無限繼續(xù)下去，線段AA1，A1A2，…，An－1An，…的長度構(gòu)成數(shù)列①可以看到，隨著分點的增多，點An越來越接近點B，由此可以猜測，當(dāng)n無窮大時，AA1+A1A2+…+An－1An的極限是________.下面來驗證猜測的正確性，并加以推廣1、無窮等比數(shù)列各項的和：公比的絕對值小于1的無窮等比數(shù)列前n項的和當(dāng)n無限增大時的極限，叫做這個無窮等比數(shù)列各項的和.設(shè)無窮等比數(shù)列的公比的絕對值小于1，那么其各項的和S為例1、求無窮等比數(shù)列0.3，0.03，0.003，…各項的和.例2、將無限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù).練習(xí)1、求以下無窮等比數(shù)列各項的和：〔1〕〔2〕2、化循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)：〔1〕 〔2〕〔3〕3、如圖，等邊三角形ABC的面積等于1，連結(jié)這個三角形各邊的中點得到一個小三角形，又連結(jié)這個小三角形各邊的中點得到一個更小的三角形，如此無限繼續(xù)下去，求所有這些三角形的面積的和.4、如圖，三角形的一條底邊是a,這條邊上的高是h〔1〕過高的5等分點分別作底邊的平行線，并作出相應(yīng)的4個矩形，求這些矩形面積的和〔2〕把高n等分，同樣作出n－1個矩形，求這些矩形面積的和；〔3〕求證：當(dāng)n無限增大時，這些矩形面積的和的極限等于三角形的面積ah/21.瞬時速度問題1：一個小球自由下落，它在下落3秒時的速度是多少？一般地，設(shè)物體的運動規(guī)律是s＝s〔t〕，那么物體在t到〔t＋〕這段時間內(nèi)的平均速度為.如果無限趨近于0時，無限趨近于某個常數(shù)a，就說當(dāng)趨向于0時，的極限為a，這時a就是物體在時刻t的瞬時速度.2.切線的斜率問題2：P〔1,1〕是曲線上的一點，Q是曲線上點P附近的一個點，當(dāng)點Q沿曲線逐漸向點P趨近時割線PQ的斜率的變化情況.一般地，函數(shù)的圖象是曲線C，P〔〕，Q〔〕是曲線C上的兩點，當(dāng)點Q沿曲線逐漸向點P接近時，割線PQ繞著點P轉(zhuǎn)動.當(dāng)點Q沿著曲線無限接近點P，即趨向于0時，如果割線PQ無限趨近于一個極限位置PT，那么直線PT叫做曲線在點P處的切線.此時，割線PQ的斜率無限趨近于切線PT的斜率k，也就是說，當(dāng)趨向于0時，割線PQ的斜率的極限為k.3.邊際本錢問題3：設(shè)本錢為C，產(chǎn)量為q，本錢與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為，一般地，設(shè)C是本錢，q是產(chǎn)量，本錢與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為C＝C〔q〕，當(dāng)產(chǎn)量為時，產(chǎn)量變化對本錢的影響可用增量比刻劃.如果無限趨近于0時，無限趨近于常數(shù)A，經(jīng)濟(jì)學(xué)上稱A為邊際本錢.它說明當(dāng)產(chǎn)量為時，增加單位產(chǎn)量需付出本錢A〔這是實際付出本錢的一個近似值〕.瞬時速度是平均速度當(dāng)趨近于0時的極限；切線是割線的極限位置，切線的斜率是割線斜率當(dāng)趨近于0時的極限；邊際本錢是平均本錢當(dāng)趨近于0時的極限.我們討論了瞬時速度、切線的斜率和邊際本錢。雖然它們的實際意義不同，但從函數(shù)角度來看，卻是相同的，都是研究函數(shù)的增量與自變量的增量的比的極限。由此我們引出下面導(dǎo)數(shù)的概念。1.設(shè)函數(shù)在處附近有定義，當(dāng)自變量在處有增量時，那么函數(shù)相應(yīng)地有增量，如果時，與的比〔也叫函數(shù)的平均變化率〕有極限即無限趨近于某個常數(shù)，我們把這個極限值叫做函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作，即注：1.函數(shù)應(yīng)在點的附近有定義，否那么導(dǎo)數(shù)不存在。2.在定義導(dǎo)數(shù)的極限式中，趨近于0可正、可負(fù)、但不為0，而可能為0。3.是函數(shù)對自變量在范圍內(nèi)的平均變化率，它的幾何意義是過曲線上點〔〕及點〕的割線斜率。4.導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在點的處瞬時變化率，它反映的函數(shù)在點處變化的快慢程度，它的幾何意義是曲線上點〔〕處的切線的斜率。因此，如果在點可導(dǎo)，那么曲線在點〔〕處的切線方程為。5.導(dǎo)數(shù)是一個局部概念，它只與函數(shù)在及其附近的函數(shù)值有關(guān)，與無關(guān)。6.在定義式中，設(shè)，那么，當(dāng)趨近于0時，趨近于，因此，導(dǎo)數(shù)的定義式可寫成。7.假設(shè)極限不存在，那么稱函數(shù)在點處不可導(dǎo)。8.假設(shè)在可導(dǎo)，那么曲線在點〔〕有切線存在。反之不然，假設(shè)曲線在點〔〕有切線，函數(shù)在不一定可導(dǎo)，并且，假設(shè)函數(shù)在不可導(dǎo)，曲線在點〔〕也可能有切線。一般地，，其中為常數(shù)。特別地，。如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點處都有導(dǎo)數(shù)，此時對于每一個，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)，從而構(gòu)成了一個新的函數(shù)。稱這個函數(shù)為函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，也可記作，即＝＝函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)在開區(qū)間上導(dǎo)數(shù)在處的函數(shù)值，即＝。所以函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)也記作。注：1.如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)每一點都有導(dǎo)數(shù)，那么稱函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。2.導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)都稱為導(dǎo)數(shù)，這要加以區(qū)分：求一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就是求導(dǎo)函數(shù)；求一個函數(shù)在給定點的導(dǎo)數(shù)，就是求導(dǎo)函數(shù)值。它們之間的關(guān)系是函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在點的函數(shù)值。3.求導(dǎo)函數(shù)時，只需將求導(dǎo)數(shù)式中的換成就可，即＝4.由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的極限方法是：〔1〕.求函數(shù)的改變量?！?〕.求平均變化率?！?〕.取極限，得導(dǎo)數(shù)＝。例1.求在＝－3處的導(dǎo)數(shù)。例2.函數(shù)〔1〕求。〔2〕求函數(shù)在＝2處的導(dǎo)數(shù)。補充兩個內(nèi)容:〔1〕洛必達(dá)法那么;〔2〕阿基米德法1用洛必達(dá)法那么求以下極限(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)解(1)(2)(3)(4)(5)(6)(注當(dāng)x0時(7)(8)因為而所以(9)因為而所以極限是微積分的基石戰(zhàn)國時代哲學(xué)家莊周所著的《莊子·天下篇》引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！薄?〕求第天剩余的木棒長度(尺)，并分析變化趨勢；〔2〕求前天截下的木棒的總長度(尺)，并分析變化趨勢。一般地，如果當(dāng)項數(shù)無限增大時，無窮數(shù)列的項無限趨近于某個常數(shù)A〔即無限趨近于0〕，那么就說數(shù)列的極限是A，記作注：①上式讀作“當(dāng)趨向于無窮大時，的極限等于A”。“∞”表示“趨向于無窮大”，即無限增大的意思。有時也記作當(dāng)∞時，A②引例中的兩個數(shù)列的極限可分別表示為_____________________，____________________例1：判斷以下數(shù)列是否有極限，假設(shè)有，寫出極限；假設(shè)沒有，說明理由〔1〕1，，，…，，…；〔2〕，，，…，，…；〔3〕－2，－2，－2，…，－2，…；〔4〕－0.1，0.01，－0.001，…，，…；〔5〕－1,1，－1，…，，…；注：幾個重要極限：〔1〕〔2〕〔C是常數(shù)〕〔3〕無窮等比數(shù)列〔〕的極限是0，即：一般地，當(dāng)自變量取正值且無限增大時，如果函數(shù)的值無限趨近于一個常數(shù)A，就說當(dāng)趨向于正無窮大時，函數(shù)的極限是A，記作：,也可以記作，當(dāng)時，例2：判斷以下函數(shù)的極限：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕練習(xí)1、判斷以下數(shù)列是否有極限，假設(shè)有，寫出極限〔1〕1，，，…，，…；〔2〕7，7，7，…，7，…；〔3〕；〔4〕2，4，6，8，…，2n，…；〔5〕0.1，0.01，0.001，…，，…；〔6〕0，…，，…；〔7〕…，，…；〔8〕…，，…；〔9〕－2,0，－2，…，,…，2、判斷以下函數(shù)的極限：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕對于函數(shù)極限有如下的運算法那么：如果，那么說明：當(dāng)C是常數(shù)，n是正整數(shù)時，這些法那么對于的情況仍然適用.例1求 例2求 例3求例4求總結(jié)：例5求練習(xí)〔利用函數(shù)的極限法那么求以下函數(shù)極限〕〔1〕；〔2〕〔3〕；〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕數(shù)列極限的運算法那么與函數(shù)極限的運算法那么類似：如果那么推廣：上面法那么可以推廣到有限多個數(shù)列的情況。例如，假設(shè)，，有極限，那么：特別地，如果C是常數(shù)，那么例1.，求例2.求以下極限：〔1〕；〔2〕例3.求以下有限：〔1〕〔2〕分析：〔1〕〔2〕當(dāng)無限增大時，分式的分子、分母都無限增大，分子、分母都沒有極限，上面的極限運算法那么不能直接運用。例4.求以下極限：〔1〕〔2〕練習(xí)1.，求以下極限〔1〕；〔2〕2.求以下極限〔1〕；〔2〕； 〔3〕；〔4〕。3.求以下極限:(1).(2).(3).〔4〕〔5〕〔6〕.求無窮等比數(shù)列各項的和1、等比數(shù)列的前n項和公式是_________________________________________________2、設(shè)AB是長為1的一條線段，等分AB得到分點A1，再等分線段A1B得到分點A2，如此無限繼續(xù)下去，線段AA1，A1A2，…，An－1An，…的長度構(gòu)成數(shù)列①可以看到，隨著分點的增多，點An越來越接近點B，由此可以猜測，當(dāng)n無窮大時，AA1+A1A2+…+An－1An的極限是________.下面來驗證猜測的正確性，并加以推廣1、等比數(shù)列的前n項和公式是_________________________________________________2、設(shè)AB是長為1的一條線段，等分AB得到分點A1，再等分線段A1B得到分點A2，如此無限繼續(xù)下去，線段AA1，A1A2，…，An－1An，…的長度構(gòu)成數(shù)列①可以看到，隨著分點的增多，點An越來越接近點B，由此可以猜測，當(dāng)n無窮大時，AA1+A1A2+…+An