(講)第十四章-整式的乘法與因式分解復習

第十五章整式的乘除與因式分解復習本章知識導引整式整式的概念單項式多項式系數(shù)次數(shù)項次數(shù)整式的運算整式乘法互逆運算整式除法因式分解概念方法同類項合并同類項整式加減冪的運算單項式乘單項式單項式乘多項式多項式乘多項式乘法公式提公因式法公式琺互逆變形一、整式的有關概念1、單項式：數(shù)與字母乘積，這樣的代數(shù)式叫單項式。單獨的一個數(shù)或字母也是單項式。2、單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)。3、單項式的次數(shù)：單項式中所有的字母的指數(shù)和。4、多項式：幾個單項式的和叫多項式。5、多項式的項及次數(shù)：組成多項式中的單項式叫多項式的項，多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做這個多項式的次數(shù)。特別注意，多項式的次數(shù)不是組成多項式的所有字母指數(shù)和?。?！6、整式：單項式與多項式統(tǒng)稱整式?！卜帜负凶帜傅拇鷶?shù)式不是整式〕二、整式的運算〔一〕整式的加減法根本步驟：去括號，合并同類項。1、同底數(shù)冪的乘法法那么：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。數(shù)學符號表示：〔其中m、n為正整數(shù)〕〔二〕整式的乘法練習：判斷以下各式是否正確。2、冪的乘方法那么：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。數(shù)學符號表示：〔其中m、n為正整數(shù)〕練習：判斷以下各式是否正確?！财渲衜、n、P為正整數(shù)〕3、積的乘方法那么：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。符號表示：練習：計算以下各式。4.單項式與單項式相乘的法那么：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，那么連同它的指數(shù)作為積的一個因式。計算：解：==相同字母的指數(shù)的和作為積里這個字母的指數(shù)只在一個單項式里含有的字母連同它的指數(shù)作為積的一個因式各因式系數(shù)的積作為積的系數(shù)(1)3x2y

?(-2xy3);(2)(-5a2b3)?

(-4b2c)2(3)

解:(1)

原式=[3×(-2)](x2?x)(yy3)=-6x3y4(2)原式=(-5a2b3)?〔16b4c2〕=[(-5)×16]a2(b3?b4)c2=-80a2b7c2變式鞏固、點撥釋疑例1計算：

(3)

原式=5(m2?m)(n3n)(tt2)=5m3n4t35、單項式與多項式相乘的法那么:單項式與多項式相乘,只要將單項式分別乘以多項式的各項,再將所得的積相加.=單項式與多項式相乘八年級數(shù)學第十四章整式的乘法②

再把所得的積相加。①用單項式分別去乘多項式的每一項；運算時要注意哪些問題？①不能漏乘:即單項式要乘遍多項式的每一項.②去括號時注意符號確實定.

例1計算：（1）（2）)()3(nmm+--)6()1325)(4(32aaa-×+-單項式與多項式相乘先化簡再求值:深入探索----算一算單項式與多項式相乘八年級數(shù)學第十四章整式的乘法繼續(xù)探索----試一試單項式與多項式相乘八年級數(shù)學第十四章整式的乘法法那么：多項式與多項式相乘,先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項,再把所得的積相加.(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn(a+b)(m+n)=

a(m+n)+b(m+na(m+n)+b(m+n)6.多項式與多項式相乘：=am+an+bm+bn〔1〕、平方差公式即兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。這個公式叫〔乘法的〕平方差公式說明：平方差公式是根據(jù)多項式乘以多項式得到的，它是兩個數(shù)的和與同樣的兩個數(shù)的差的積的形式。7.乘法公式：一般的，我們有：

1、205×1952、(3x+2)(3x-2)3、(-x+2y)(-x-2y)4、

(x+y+z)(x+y-z)〔2〕、完全平方公式法那么：兩數(shù)和〔或差〕的平方，等于它們的平方和，加上〔或減去〕它們的積的2倍。一般的，我們有：探索與創(chuàng)新題例4假設9x2+kxy+36y2是完全平方式，那么k=—分析:完全平方式是形如：a2±2ab+b2即兩數(shù)的平方和與這兩個數(shù)乘積的2倍的和(或差).∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2∴±kxy=2·3x·6y=36xy∴k=±36做一做假設x2+(k+3)x+9是完全平方式，那么k=___k=3或k=-9注意：〔1〕(a-b)=-(b-a)(2)〔a-b)2=(b-a)2(3)(-a-b)2=(a+b)2(4)(a-b)3=-(b-a)38.添括號的法那么：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都要改變符號?！?〕、同底數(shù)冪的除法即：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。一般地，我們有（其中a≠0，m、n為正整數(shù),并且m＞n）9.整式的除法：即任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1(2)規(guī)定單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，那么連同它的指數(shù)作為商的一個因式。(3)單項式除以單項式的法那么理解商式＝系數(shù)?同底的冪

?被除式里單獨有的冪底數(shù)不變，指數(shù)相減。保存在商里作為因式。計算:〔1〕10ab3÷(－5ab);〔2〕－18a2b3÷6ab2〔3〕(a＋b)m;〔4〕2xy(2x＋y).-2b2-3abam+bm4x2y+2xy2〔4〕多項式除以單項式的法那么：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。例1〔a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m(m≠0)即例2(a+ab)÷a;

解:原式=a÷a+ab÷a=1+b用多項式的每一項分別除以單項式

例3(4x2y+2xy2)÷2xy解:原式=4x2y÷2xy+2xy2÷2xy=2x+y多項式的每一項分別除以單項式例4[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x解:原式=(x2+2xy+y2-2xy-y2-8x)÷2x=(x2-8x)÷2x=x2÷2x-8x÷2x=0.5x-4多項式的每一項分別除以單項式有乘方,先算乘方合并10分解因式定義把一個多項式化成幾個整式的積的形式，象這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解或分解因式。與整式乘法的關系：互為逆過程，互逆關系方法提公因式法公式法步驟一提：提公因式二用：運用公式三查：檢查因式分解的結果是否正確〔徹底性〕平方差公式

a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2〔1〕提公因式法：

公因式：一個多項式的各項都含有的公共的因式，叫做這個多項式各項的公因式

找公因式：找各項系數(shù)的最大公約數(shù)與各項都含有的字母的最低次冪的積。

.提公因式法：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，作為多項式的一個因式，然后用原多項式的每一項除以這個公因式，所得的商作為另一個因式，將多項式寫成因式乘積的形式，這種因式分解的方法提公因式法?！纠?】把8a3b2+12ab3c分解因式.分析：找公因式1.系數(shù)的最大公約數(shù)

42.找相同字母aｂ3.相同字母的最低指數(shù)a1b2

公因式為：4ab2【解析】8a3b2+12ab3c

=4ab2?2a2+4ab2?3bc

=4ab2(2a2+3bc).【例題】【解析】a〔x－3〕+2b〔x－3〕=(x－3)(a+2b).【例2】把a〔x－3〕+2b〔x－3〕分解因式.分析：這個多項式整體而言可分為兩大項，即a(x－3)與2b(x－3)，每項中都含有〔x－3〕,因此可以把(x－3)作為公因式提出來.1.填空請在以下各式等號右邊的括號前填入“+”或“－”號，使等式成立:〔1〕2－a=______〔a－2〕;〔2〕y－x=_____〔x－y〕;〔3〕b+a=______〔a+b〕;〔4〕〔b－a〕2=_____〔a－b〕2;〔5〕－m－n=_____〔m+n〕;〔6〕－s2+t2=_____〔s2－t2〕.--++--2.〔蘇州·中考〕分解因式a2－a=．【解析】a2－a=a(a-1).答案：a(a-1)3.〔鹽城·中考〕因式分解

【解析】用提公因式法因式分解：答案：2a(a-2)

〔2〕利用平方差公式分解因式a2－b2=〔a+b)(a-b)能用平方差公式分解因式的多項式的特點：〔1〕一個二項式.〔2〕每項都可以化成整式的平方.〔3〕整體來看是兩個整式的平方差.兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積.【例1】把以下各式分解因式：〔1〕25－16x2.〔2〕9a2－b2.【解析】〔1〕25－16x2=52－〔4x〕2=〔5+4x)(5－4x〕.〔2〕9a2－b2=〔3a〕2－〔b〕2=〔3a+b)(3a－b〕.【例題】【例2】把以下各式分解因式:〔1〕9〔m+n〕2－〔m－n〕2.〔2〕2x3－8x.【解析】〔1〕9〔m+n〕2－〔m－n〕2=［3〔m+n〕］2－(m－n)2=[3(m+n)+(m－n)][3(m+n)－(m－n)]=〔3m+3n+m－n)(3m+3n－m+n〕=〔4m+2n)(2m+4n〕=4〔2m+n)(m+2n〕.〔2〕2x3－8x=2x〔x2－4〕=2x〔x+2)(x－2〕.有公因式時，先提公因式，再考慮用公式.1.〔杭州·中考〕分解因式m3–4m=.【解析】m3

–4m=m(m+2)(m-2).

答案：m(m+2)(m-2)2.(江西·中考)因式分解:2a2－8＝___________.【解析】

原式=答案：3.(珠海·中考)因式分解:=______.【解析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式；即ax2-ay2=a〔x2－y2〕=a〔x+y〕〔x－y〕答案:a(x+y)(x－y)4.〔東陽·中考〕因式分解：x3-x=___.【解析】x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1).答案:x(x+1)(x-1)5.〔鹽城·中考〕因式分解:=______.

【解析】原式=〔x+3〕(x-3).答案:〔x+3〕(x-3)〔3)利用完全平方公式分解因式a2+2ab+b2=〔a+b〕2；a2－2ab+b2=〔a－b〕2.完全平方公式的兩個特點：多項式有三項.其中兩項同號，且都可以寫成某數(shù)或式的平方，另一項那么是這兩數(shù)或式的乘積的2倍，符號可正可負.

即兩個數(shù)的平方和加上〔或減去〕這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和〔或差〕的平方.以下各式是不是完全平方式？〔1〕a2－4a+4;〔2〕x2+4x+4y2;〔3〕4a2+4ab+b2;〔4〕a2－ab+b2;〔5〕x2－6x－9;〔6〕a2+a+0.25.是〔2〕不是，因為4x不是x與2y乘積的2倍.是〔4〕不是，ab不是a與b乘積的2倍.〔5〕不是，x2與－9的符號不統(tǒng)一.是【跟蹤訓練】【例1】把以下完全平方式分解因式：〔1〕x2+14x+49;〔2〕(m+n)2－6〔m+n〕+9.【解析】〔1〕x2+14x+49=x2+2×7x+72=〔x+7〕2.〔2〕(m+n)2－6(m+n)+9=〔m+n〕2－2×〔m+n〕×3+32=［〔m+n〕－3］2=〔m+n－3〕2.【例題】【例2】把以下各式分解因式：〔1〕3ax2+6axy+3ay2;〔2〕－x2－4y2+4xy.【解析】〔1〕3ax2+6axy+3ay2=3a〔x2+2xy+y2〕=3a〔x+y〕2.〔2〕－x2－4y2+4xy=－〔x2－4xy+4y2〕=－［x2－2·x·2y+〔2y〕2］=－〔x－2y〕2.先提公因式3a寫成兩數(shù)或式的平方的兩項先變成正號1.〔眉山·中考〕把代數(shù)式分解因式，以下結果

中正確的選項是〔〕

A．B．C．D．【解析】選D.=m〔x2－6x＋9)=m(x－3)2.2.〔常德·中考〕分解因式：【解析】原式是一個完全平方式，所以x2+6x+9=

答案：

3.〔杭州·中考〕因式分解：9x2－y2－4y－4＝_____．【解析】9x2－y2－4y－4=9x2－〔y2+4y+4〕=答案：4.〔黃岡·中考〕分解因式：2a2–4a+2.【解析】2a2–4a+2=2〔a2–2a+1〕=2〔a–1〕25.計算:7652×17－2352×17.

【解析】7652×17－2352×17=17(7652－2352)=17(765+235)(765－235)=17×1000×530=9010000.6.20132+2013能被2014整除嗎?【解析】∵20132+2013=2013(2013+1)=2013×2014∴20132+2013能被2014整除.海闊憑魚躍，天高任鳥飛。知識點1因式分解的定義把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。X2-1(X+1)(X-1)因式分解整式乘法知識點2提公因式法多項式ma+mb+mc中的各項都有一個公共的因式m,我們把因式m叫做這個多項式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成兩個因式乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式m，另一個因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像這種分解因式的方法叫做提公因式法.例如：x2–x=x(x-1)，

8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1)x2a探究交流以下變形是否是因式分解？為什么?(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；(2)x2-2x+3=(x-1)2+2；(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.提公因式錯誤，可以用整式乘法檢驗其真?zhèn)?不滿足因式分解的含義因式分解是恒等變形而此題不恒等.是整式乘法.典例剖析例1用提公因式法將以下各式因式分解.(1)-x3z+x4y；(2)3x(a-b)+2y(b-a)解：(1)-x3z+x4y=x3(-z+xy).(2)3x(a-b)+2y(b-a)=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y)x3+(b-a)-(a-b)(a-b)小結運用提公因式法分解因式時，要注意以下問題：

(1)因式分解的結果每個括號內(nèi)如有同類項要合并，而且每個括號內(nèi)不能再分解.如：(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y)=(x+y)[(7m-8n)-(3m-2n)]=(x+y)(4m-6n).=2(x+y)(2m-3n).

(2)如果出現(xiàn)像(2)小題需統(tǒng)一時，首先統(tǒng)一,盡可能使統(tǒng)一的個數(shù)少，這時注意到(a-b)n=(b-a)n(n為偶數(shù))例如：分解因式a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2.此題既可以把(x-y)統(tǒng)一成(y-x)，也可以把(y-x)統(tǒng)一成(x-y),但比較而言把(x-y)化成(y-x)比較簡便，因為(x-y)2=(y-x)2.a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2=a(y-x)2+b(y-x)3+c(y-x)2=(y-x)2[a+b(y-x)+c]=(y-x)2(a+by-bx+c).

(3)因式分解最后如果有同底數(shù)冪，要寫成冪的形式.例如：(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)=(a-2b)[(7a-8b)+(a-8b)]=(a-2b)(8a-16b)=8(a-2b)(a-2b)=8(a-2b)2.做一做把以下各式分解因式.(1)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)；

(2)4p(1-q)3+2(q-1)2；2(2a+b)22(1-q)2(2p-2pq+1)或2(q-1)2(2p-2pq+1)(2)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式.例如：4x2-12xy+9y2=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.知識點3公式法(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).探究交流以下變形是否正確？為什么？(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；(3)x2-2x-1=(x-1)2.目前在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解.不是完全平方式，不能進行分解不是完全平方式，不能進行分解例2把以下各式分解因式.(1)(a+b)2-4a2；(2)1-10x+25x2；(3)(m+n)2-6(m+n)+9解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2做一做把以下各式分解因式.(1)(x2+4)2-2(x2+4)+1；(2)(x+y)2-4(x+y-1).(1)(x2+3)2(2)(x+y-2)2(2)1-10x+25x2(3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.=(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a)=(1-5x)2=1-10x+(5x)24a2(2a)2+2a-2a25x2(5x)2綜合運用例3分解因式.(1)x