江蘇省南通市2012屆高三數(shù)學(xué)學(xué)科基地密卷(一)

江蘇省南通市2012屆高三數(shù)學(xué)學(xué)科基地密卷(一)2012屆南通市數(shù)學(xué)學(xué)科基地密卷(一)數(shù)學(xué)I注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1．本試卷共4頁，包含填空題（第1題——第14題）、解答題（第15題——第20題）．本卷滿分160分，考試時間為120分鐘．考試結(jié)束后，請將答題卡交回．2．答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請在答題卡上按照順序在對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效．作答必須用0．5毫米黑色墨水的簽字筆．請注意字體工整，筆跡清楚．4．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．5．請保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損．一律不準使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆．一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．請把答案填寫在答卷紙的相應(yīng)位置上．1．,,若對應(yīng)點在第二象限,則m的取值范圍為▲．2.已知全集，集合，則中最大的元素是▲．3．已知，若函數(shù)的最小正周期是2,則▲．4.執(zhí)行以下語句后,打印紙上打印出的結(jié)果應(yīng)是:▲．WhileWhile<10EndWhilePrint“”5．已知函數(shù)，，則的單調(diào)減區(qū)間是▲．6．在數(shù)軸上區(qū)間內(nèi)，任取三個點，則它們的坐標滿足不等式：的概率為▲．7．P為拋物線上任意一點，P在軸上的射影為Q，（Ⅰ）求動點的軌跡方程；（Ⅱ）若，設(shè)直線過點，且與軌跡交于、兩點，直線與交于點．試問：當直線在變化時，點是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條定直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由．18．(本題滿分16分)如圖所示：一吊燈的下圓環(huán)直徑為4m，圓心為O，通過細繩懸掛在天花板上，圓環(huán)呈水平狀態(tài)，并且與天花板的距離為2m，在圓環(huán)上設(shè)置三個等分點A1，A2，A3。點C為上一點（不包含端點O、B），同時點C與點A1，A2，A3，B均用細繩相連接，且細繩CA1，CA2，CA3的長度相等。設(shè)細繩的總長為（1）設(shè)∠CA1O=(rad)，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式；（2）請你設(shè)計，當角θ正弦值的大小是多少時，細繩總長y最小，并指明此時BC應(yīng)為多長。BBA1A2COA319．(本題滿分16分)已知，數(shù)列有（常數(shù)），對任意的正整數(shù)，并有滿足。（1）求的值；（2）試確定數(shù)列是不是等差數(shù)列，若是，求出其通項公式。若不是，說明理由；（3）令，是否存在正整數(shù)M，使不等式恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存在，說明理由。20．(本小題滿分16分)已知函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若關(guān)于的不等式對一切都成立，求范圍；(3)某同學(xué)發(fā)現(xiàn)：總存在正實數(shù)使，試問：他的判斷是否正確；若正確，請寫出的范圍；不正確說明理由．數(shù)學(xué)Ⅱ（附加題）23．【必做題】本題滿分10分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1．（矩陣與變換）求矩陣M=的特征值及其對應(yīng)的特征向量.2.（坐標系與參數(shù)方程）在平面直角坐標系中，橢圓C的參數(shù)方程為，其中為參數(shù).以O(shè)為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為.求橢圓C上的點到直線l距離的最大值和最小值.二．[必做題]每小題10分，共計20分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．3.如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，⊥AC，M是的中點，N是BC的中點，點P在直線上，且滿足.（Ⅰ）當取何值時，直線PN與平面ABC所成的角最大？PNMABC（PNMABC4.已知數(shù)列滿足：.（Ⅰ）求證：使；（Ⅱ）求的末位數(shù)字.數(shù)學(xué)參考答案1.2.33.－14.285.6.的實質(zhì)是點在點之間，故考慮它們的排列順序可得答案為7.解析：焦點=,而的最小值是8.(3)(4)9.210當離圓最遠時最小，此時點坐標為：記，則，計算得=11.，12.設(shè)點的坐標為，∵，∴．整理，得（），發(fā)現(xiàn)動點M的軌跡方程是橢圓，其焦點恰為兩點，所以13.若則不符合題意，若則于是，亦可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立展開討論。14.由于在上是減函數(shù)，所以關(guān)于的方程在上有兩個不同實根。通過換元結(jié)合圖象可得15．解；（1）設(shè)f(x)圖象上的兩點為A(－x,y1）、B(2＋x,y2），因為eq\f((－x)＋(2＋x),2)=1f(－x)=f(2＋x)，所以y1=y2由x的任意性得f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，∴x≥1時，f(x)是增函數(shù)；x≤1時，f(x)是減函數(shù)。（2）∵eq\o(\s\up6(→),a)·eq\o(\s\up6(→),b)=（sinx，2）·（2sinx,eq\f(1,2)）=2sin2x＋1≥1，eq\o(\s\up6(→),c)·eq\o(\s\up6(→),d)=（cos2x，1）·(1,2)=cos2x＋2≥1，∵f(x)在是[1，+∞）上為增函數(shù)，∴f(eq\o(\s\up6(→),a)·eq\o(\s\up6(→),b))＞f(eq\o(\s\up6(→),c)·eq\o(\s\up6(→),d))f(2sin2x＋1)＞f(cos2x＋2)2sin2x＋1＞cos2x＋21－cos2x＋1＞cos2x＋2cos2x＜02kπ＋＜2x＜2kπ＋,k∈zkπ＋＜x＜kπ＋,k∈z∵0≤x≤π∴＜x＜綜上所述，不等式f(eq\o(\s\up6(→),a)·eq\o(\s\up6(→),b))＞f(eq\o(\s\up6(→),c)·eq\o(\s\up6(→),d))的解集是：{x|＜x＜}。16．解：(Ⅰ)證明：∵，∴.又∵,是的中點，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴.∵平面，平面，∴平面.(Ⅱ)證明：∵平面，平面，∴，又，平面，∴平面.過作交于，則平面.∵平面，∴.∵，∴四邊形平行四邊形，∴，∴，又，∴四邊形為正方形，∴，又平面，平面,∴⊥平面.∵平面,∴.(Ⅲ)∵平面，，∴平面，由（2）知四邊形為正方形，∴.∴，17．解法一：（Ⅰ）由題意知：，又∵，∴動點必在以為焦點，長軸長為4的橢圓，∴，又∵，． ∴橢圓的方程為．（Ⅱ）由題意，可設(shè)直線為：．取得，直線的方程是直線的方程是交點為 若，由對稱性可知交點為若點在同一條直線上，則直線只能為．②以下證明對于任意的直線與直線的交點均在直線上．事實上，由，得即，記，則．設(shè)與交于點由得設(shè)與交于點由得， ∴，即與重合，這說明，當變化時，點恒在定直線上．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）取得，直線的方程是直線的方程是交點為取得，直線的方程是直線的方程是交點為∴若交點在同一條直線上，則直線只能為．以下證明對于任意的直線與直線的交點均在直線上．事實上，由，得即，記，則．的方程是的方程是消去得…… ①以下用分析法證明時，①式恒成立。要證明①式恒成立，只需證明即證即證……………… ②∵∴②式恒成立．這說明，當變化時，點恒在定直線上．解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由，得即．記，則．的方程是的方程是 由得 即 ．這說明，當變化時，點恒在定直線上．18.（Ⅰ）解：在△COA1中，BA1A2COBA1A2COA3=（）……7分（Ⅱ），令，則………………12分當時，；時，，∵在上是增函數(shù)∴當角滿足時，y最小，最小為；此時BCm…16分19解：（1）由已知，得，∴（2）由得則，∴，即，于是有，并且有，∴即，而是正整數(shù)，則對任意都有，∴數(shù)列是等差數(shù)列，其通項公式是。（3）∵∴；由是正整數(shù)可得，故存在最小的正整數(shù)M=3，使不等式恒成立。20．（1）定義域∴∴在遞增，遞減（2）由題eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)∴時，時，時，數(shù)學(xué)Ⅱ（附加題）參考答案1．解：矩陣M的特征多項式為=.令得矩陣M的特征值為－1和3.當所以矩陣M的屬于特征值－1的一個特征向量為.當所以矩陣M的屬于特征值3的一個特征向量為.2．解：直線l的普通方程為：，設(shè)橢圓C上的點到直線l距離為.∴當時，，當時，.3．解：（1）以