福建省寧德市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題含解析

寧德市2022－2023學(xué)年度第二學(xué)期期末高一質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題本試卷有第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，考試時(shí)間120分鐘，滿分150分．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫準(zhǔn)考證號(hào)、姓名，考生要認(rèn)真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)，姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)的題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；第Ⅱ卷用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無效．第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)，則z的虛部為()A. B. C.2 D.2.一組數(shù)據(jù)從小到大排列為，平均數(shù)為5，方差為，去除，這兩個(gè)數(shù)據(jù)后，平均數(shù)為，方差為，則()A. B.C. D.3.設(shè)為兩個(gè)互斥事件，且，，則下列各式一定正確的是()A. B.C. D.4.兩條異面直線與同一平面所成的角，不可能是()A.兩個(gè)角都是直角 B.兩個(gè)角都是銳角C.兩個(gè)角都為0° D.一個(gè)角為0°，一個(gè)角為90°5.某學(xué)校高年級有300名男生，200名女生，現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣方法調(diào)查數(shù)學(xué)考試成績，抽取一個(gè)容量為60的樣本，男生平均成績?yōu)?10分，女生平均成績?yōu)?00分，那么可以推測高一年級學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績約為()A.100分 B.105分 C.106分 D.110分6.設(shè)a，b是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是()A.若，則 B.若，則C.若，則a⊥b D.若，則a⊥b7.位于某海域A處的甲船獲悉，在其正東方向相距20nmile的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨等待營救，甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知位于甲船南偏西，且與甲船相距10nmile的C處的乙船．乙船也立即朝著漁船前往營救，則＝()A. B. C. D.8.甲、乙兩人組隊(duì)參加禁毒知識(shí)競賽，每輪比賽由甲、乙各答題一次，已知甲每輪答對的概率為，乙每輪答對的概率為．在每輪活動(dòng)中，甲和乙答對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，則()A.在第一輪比賽中，恰有一人答對的概率為B.在第一輪比賽中，甲、乙都沒有答對的概率為C.在兩輪比賽中，甲、乙共答對三題的概率為D.在兩輪比賽中，甲、乙至多答對一題概率為二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分9.若復(fù)數(shù)z滿足(i為虛數(shù)單位)，則下列結(jié)論正確的是()A.z＝1＋i B. C.z共軛復(fù)數(shù) D.z是方程x2＋2x＋2＝0的一個(gè)根10.關(guān)于平面向量，下列說法正確的是()A.若，則B.在平行四邊形中，對角線與一組鄰邊滿足等式：C.若，且與的夾角為銳角，則D.若四邊形滿足，且，則四邊形為菱形11.兩個(gè)班級，每班各自隨機(jī)選出10名學(xué)生測驗(yàn)鉛球成績，以評估達(dá)標(biāo)程度，測驗(yàn)成績?nèi)缦?單位：m)：則以下說法正確的是()甲9.17.98.46.95.27.18.08.16.74.9乙8.88.57.37.16.78.49.08.77.87.9A.乙班級的平均成績比甲班級的平均成績高B.乙班級的成績比甲班級的更加集中C.甲班級成績的第40百分位數(shù)是6.9D.若達(dá)標(biāo)成績是7m，估計(jì)甲班級的達(dá)標(biāo)率約為0.612.棱長為2的正方體中，為正方形的中心，，分別是棱，的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的有()A.B.直線與平面所成角的正弦值為C.三棱錐的外接球的半徑為D.過、、的平面截該正方體所得的截面形狀是六邊形第Ⅱ卷(非選擇題共90分)三、填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置)13.復(fù)數(shù)，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第______象限．14.一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2，圓心角為的扇形，則該圓錐的表面積為___________．15.函數(shù)的部分圖像如圖所示，現(xiàn)將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度，再將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)的圖像，則______．16.我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異”．意思是：夾在兩個(gè)平行平面之間的幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．根據(jù)祖暅原理，現(xiàn)在要用打印技術(shù)制造一個(gè)零件，其在高為的水平截面的面積為，則該零件的體積為______．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知為平面向量，且．(1)若，且與垂直，求實(shí)數(shù)k的值；(2)若，且，求向量的坐標(biāo)．18.如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分別是A1B，CC1的中點(diǎn)．(1)求證：//平面ABC；(2)求證：MN⊥平面A1ABB1．19.我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，城市缺水問題較為突出．某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)合理的居民用水量標(biāo)準(zhǔn)x(單位：t)，月用水量不超過x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了了解全市居民用水量分布情況，通過抽樣，獲得了100位居民某年的月均用水量(單位：t)，將數(shù)據(jù)按照［3，4)，［4，5)，…，［8，9］分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)已知該市有60萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于7(單位：t)的人數(shù)；(3)若該市政府希望80%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x(單位：t)，估計(jì)x的值．20.一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4，從袋中不放回地隨機(jī)抽取兩次，每次取一球．記事件A：第一次取出的是2號(hào)球；事件B：兩次取出的球號(hào)碼之和為5．(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；(2)判斷事件A與事件B是否相互獨(dú)立，請說明理由；(3)兩次取出的號(hào)碼之和最可能是多少？請說明理由．21.已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．請從條件①、條件②中選擇一個(gè)條件作為已知，求：(1)A度數(shù)：(2)若c＝1，求△ABC面積的取值范圍．條件①：；條件②：△ABC的面積．22.如圖1，平面四邊形ACBD滿足AB⊥CD，AB∩CD＝O，AO＝3，BO＝1，，．將三角形ABC沿著AB翻折到三角形ABE位置，連接ED得到三棱錐E－ABD(如圖2)．(1)證明：AB⊥DE；(2)若平面ABE⊥平面ABD，M是線段DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記∠ABM，∠BAM分別為，當(dāng)取得最大值時(shí)，求二面角M－AB－D的余弦值．

寧德市2022－2023學(xué)年度第二學(xué)期期末高一質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題本試卷有第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，考試時(shí)間120分鐘，滿分150分．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫準(zhǔn)考證號(hào)、姓名，考生要認(rèn)真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)，姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)的題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；第Ⅱ卷用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無效．第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)，則z的虛部為()A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出，即可得出答案．【詳解】，則z的虛部為2．故選：C．2.一組數(shù)據(jù)從小到大排列為，平均數(shù)為5，方差為，去除，這兩個(gè)數(shù)據(jù)后，平均數(shù)為，方差為，則()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題中數(shù)據(jù)結(jié)合平均數(shù)的定義運(yùn)算求解，并根據(jù)方差的意義理解判斷.【詳解】由題意可得：，則，故，∵是波幅最大的兩個(gè)點(diǎn)的值，則去除，這兩個(gè)數(shù)據(jù)后，整體波動(dòng)性減小，故.故選：D.3.設(shè)為兩個(gè)互斥事件，且，，則下列各式一定正確的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)互斥事件的含義判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)闉閮蓚€(gè)互斥事件，，，所以，即，且.故選：B．4.兩條異面直線與同一平面所成的角，不可能是()A.兩個(gè)角都是直角 B.兩個(gè)角都是銳角C.兩個(gè)角都為0° D.一個(gè)角為0°，一個(gè)角為90°【答案】A【解析】【分析】A選項(xiàng)，可推出兩直線平行，A不可能；BCD可舉出反例.【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)兩個(gè)角均是直角時(shí)，兩直線平行，故不滿足異面，A不可能，B選項(xiàng)，如圖1，與平面所成角都時(shí)銳角，B可能，C選項(xiàng)，如圖2，與平面所成角都為，C可能，D選項(xiàng)，如圖3，直線與平面所成角為0°，直線與平面所成角為，D可能.故選：A5.某學(xué)校高年級有300名男生，200名女生，現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法調(diào)查數(shù)學(xué)考試成績，抽取一個(gè)容量為60的樣本，男生平均成績?yōu)?10分，女生平均成績?yōu)?00分，那么可以推測高一年級學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績約為()A.100分 B.105分 C.106分 D.110分【答案】C【解析】【分析】求出應(yīng)抽取男生和女生的人數(shù)，根據(jù)按比例分配分層抽樣總樣本平均數(shù)的公式計(jì)算即可.【詳解】由題意，應(yīng)抽取男生(人)，女生(人)，所以推測高一年級學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績約為(分)．故選：C.6.設(shè)a，b是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是()A.若，則 B.若，則C.若，則a⊥b D.若，則a⊥b【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間線線、線面、面面關(guān)系逐一判斷可得選項(xiàng).【詳解】對于A，若，則可能異面，故A錯(cuò)誤；對于B，若，則可能有，故B錯(cuò)誤；對于C，若，則可能有a∥b，故C錯(cuò)誤；對于D，若，則，又，則a⊥b，故D正確.故選：D.7.位于某海域A處的甲船獲悉，在其正東方向相距20nmile的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨等待營救，甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知位于甲船南偏西，且與甲船相距10nmile的C處的乙船．乙船也立即朝著漁船前往營救，則＝()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由余弦定理求得，進(jìn)而由正弦定理求得答案．【詳解】由題意，由余弦定理得，，∴，由正弦定理得，，即，解得．故選：A．8.甲、乙兩人組隊(duì)參加禁毒知識(shí)競賽，每輪比賽由甲、乙各答題一次，已知甲每輪答對的概率為，乙每輪答對的概率為．在每輪活動(dòng)中，甲和乙答對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，則()A.在第一輪比賽中，恰有一人答對的概率為B.在第一輪比賽中，甲、乙都沒有答對的概率為C.在兩輪比賽中，甲、乙共答對三題的概率為D.在兩輪比賽中，甲、乙至多答對一題的概率為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】在第一輪比賽中，甲對乙不對的概率為，乙對甲不對的概率為，甲乙都不對的概率為，所以恰有一人答對的概率為，故AB均錯(cuò)誤，在第一輪比賽中，答對一道題的概率為，答對兩道題的概率為，答對0道題的概率為，故在兩輪比賽中，甲、乙共答對三題的情況為：第一輪答對1道第二輪答對2道和第一輪答對2道第二輪答對1道，故概率為，在兩輪比賽中，甲、乙答對0道題的概率為，答對1道題的概率為，所以甲、乙至多答對一題的概率為，故C錯(cuò)，D正確,故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分9.若復(fù)數(shù)z滿足(i為虛數(shù)單位)，則下列結(jié)論正確的是()A.z＝1＋i B. C.z的共軛復(fù)數(shù) D.z是方程x2＋2x＋2＝0的一個(gè)根【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算化簡，然后對選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)?，即，所以，解得，所以，，，故AB正確，C錯(cuò)誤；將代入方程可得，故D錯(cuò)誤；故選：AB10.關(guān)于平面向量，下列說法正確的是()A.若，則B.在平行四邊形中，對角線與一組鄰邊滿足等式：C.若，且與的夾角為銳角，則D.若四邊形滿足，且，則四邊形為菱形【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，即可判斷A，由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算即可判斷B，由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷C，由平面向量的幾何意義即可判斷D.【詳解】對于A，若，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則與的關(guān)系不確定，故錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危覍蔷€為，則，，所以，故正確；對于C，若，且與夾角為銳角，則，即，故錯(cuò)誤；對于D，若，則，即四邊形為平行四邊形，又，則，則四邊形為菱形，故正確；故選：BD11.兩個(gè)班級，每班各自隨機(jī)選出10名學(xué)生測驗(yàn)鉛球成績，以評估達(dá)標(biāo)程度，測驗(yàn)成績?nèi)缦?單位：m)：則以下說法正確的是()甲9.17.98.46.95.27.18.08.16.74.9乙8.88.57.37.16.78.49.08.77.87.9A.乙班級的平均成績比甲班級的平均成績高B.乙班級的成績比甲班級的更加集中C.甲班級成績的第40百分位數(shù)是6.9D.若達(dá)標(biāo)成績是7m，估計(jì)甲班級的達(dá)標(biāo)率約為0.6【答案】ABD【解析】【分析】計(jì)算出甲班級，乙班級的平均成績，可判斷A；計(jì)算出甲班級，乙班級成績的方差，可判斷B；利用百分位數(shù)概念求解可判斷C；甲班級選出的10名學(xué)生有6人達(dá)標(biāo)，可估計(jì)甲班級的達(dá)標(biāo)率約為0.6，可判斷D.【詳解】甲班級的平均成績，乙班級的平均成績，，故A正確；甲班級成績的方差，乙班級成績的方差，，故B正確；甲班級的成績由小到大排列：4.9，5.2，6.7，6.9，7.1，7.9，8.0，8.1，8.4，9.1，∵10×40%＝4，∴甲班級成績的第40百分位數(shù)是，故C錯(cuò)誤；若達(dá)標(biāo)成績是7m，甲班級選出的10名學(xué)生有6人達(dá)標(biāo)，所以，估計(jì)甲班級的達(dá)標(biāo)率約為0.6，故D正確.故選：ABD.12.棱長為2的正方體中，為正方形的中心，，分別是棱，的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的有()A.B.直線與平面所成角的正弦值為C.三棱錐的外接球的半徑為D.過、、的平面截該正方體所得的截面形狀是六邊形【答案】AC【解析】【分析】利用勾股定理逆定理判斷A，取的中點(diǎn)，連接、，則為直線與平面所成角，即可判斷B，三棱錐的外接球即為以、、為長、寬、高的長方體的外接球，即可判斷C，作出截面圖，即可判斷D.【詳解】對于A：因?yàn)椋?，，所以，即，故A正確；對于B：取的中點(diǎn)，連接、，由是棱的中點(diǎn)，所以，又平面，所以平面，所以為直線與平面所成角，所以，即直線與平面所成角的正弦值為，故B錯(cuò)誤；對于C：因?yàn)?，，，所以三棱錐外接球即為以、、為長、寬、高的長方體的外接球，長方體的體對角線即為外接球的直徑，設(shè)外接球的半徑為，則，所以，故三棱錐的外接球的半徑為，即C正確；對于D：延長交的延長線于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接、，則五邊形即為過、、的平面截該正方體所得的截面，其中，，所以，，取的中點(diǎn)，連接，則，所以，所以，即為靠近的四等分點(diǎn)，又，所以，所以，即為靠近的四等分點(diǎn)，又，所以，所以，即為靠近的四等分點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；故選：AC第Ⅱ卷(非選擇題共90分)三、填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置)13.復(fù)數(shù)，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第______象限．【答案】一【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可化簡復(fù)數(shù)，進(jìn)而得對應(yīng)點(diǎn)，即可求解.【詳解】由，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)為，故點(diǎn)在第一象限，故答案為：一14.一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2，圓心角為的扇形，則該圓錐的表面積為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，求得圓錐的底面圓的半徑，結(jié)合圓錐的側(cè)面積公式即可求解．【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，由題意可得：，解得，所以圓錐的表面積為．故答案為：.15.函數(shù)的部分圖像如圖所示，現(xiàn)將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度，再將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)的圖像，則______．【答案】【解析】【分析】由圖可知，，，從而求得，根據(jù)是函數(shù)在軸右側(cè)的第二個(gè)零點(diǎn)，代入運(yùn)算可得，進(jìn)而知的值，再由函數(shù)圖象的伸縮與平移變換法則求解．【詳解】由圖可知，，因?yàn)?，所以，即，又，所以，所以，由圖知，是函數(shù)在軸右側(cè)的第二個(gè)零點(diǎn)，所以，即，所以，將其圖象向左平移個(gè)單位長度，可得，再將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到．故答案為：．16.我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異”．意思是：夾在兩個(gè)平行平面之間的幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．根據(jù)祖暅原理，現(xiàn)在要用打印技術(shù)制造一個(gè)零件，其在高為的水平截面的面積為，則該零件的體積為______．【答案】【解析】【分析】該零件在高為的水平截面的面積為，總與一個(gè)半徑為3的半球在高為處的水平截面面積相等，由祖暅原理即可求解．【詳解】該零件在高為的水平截面的面積為，總與一個(gè)半徑為3的半球在高為處的水平截面面積相等，由祖暅原理，該零件的體積即為半球的體積．故答案為：．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知為平面向量，且．(1)若，且與垂直，求實(shí)數(shù)k的值；(2)若，且，求向量的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)利用向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示，向量垂直的坐標(biāo)表示列出方程，求解作答.(2)利用向量共線設(shè)出的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)求模列式計(jì)算作答.【小問1詳解】因?yàn)?，則，因?yàn)榕c垂直，于，即，解得.所以．【小問2詳解】由，設(shè)，而，則，解得，所以或．18.如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分別是A1B，CC1的中點(diǎn)．(1)求證：//平面ABC；(2)求證：MN⊥平面A1ABB1．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】(1)設(shè)AB的中點(diǎn)為D，連接MD，CD，由線面垂直的判定定理可證；(2)由線面垂直的判定定理先得CD⊥平面A1ABB1，再由(1)可證.【小問1詳解】設(shè)AB的中點(diǎn)為D，連接MD，CD．因?yàn)镸，D分別為A1B，AB的中點(diǎn)，所以．又因?yàn)槿庵鵄BC－A1B1C1為正三棱柱且N為CC1的中點(diǎn)，所以又所以，所以四邊形CDMN是平行四邊形，所以．又因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以//平面ABC．【小問2詳解】因?yàn)槿庵鵄BC－A1B1C1為正三棱柱，所以A1A⊥平面ABC，又因?yàn)槠矫鍭BC，所以A1A⊥CD．因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)且△ABC為等邊三角形，所以CD⊥AB．平面A1ABB1，平面A1ABB1，A1A∩AB＝A，所以CD⊥平面A1ABB1，又因?yàn)?，所以MN⊥平面A1ABB1．19.我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，城市缺水問題較為突出．某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)合理的居民用水量標(biāo)準(zhǔn)x(單位：t)，月用水量不超過x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了了解全市居民用水量分布情況，通過抽樣，獲得了100位居民某年的月均用水量(單位：t)，將數(shù)據(jù)按照［3，4)，［4，5)，…，［8，9］分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)已知該市有60萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于7(單位：t)的人數(shù)；(3)若該市政府希望80%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x(單位：t)，估計(jì)x的值．【答案】(1)0.35(2)15(萬)(3)x＝7.25【解析】【分析】(1)根據(jù)頻率之和為1即可求解，(2)根據(jù)頻率乘以總數(shù)即可求解，(3)根據(jù)頻率之和為0.8即可求解.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可得，解得【小問2詳解】由頻率分布直方圖知，月均用水量不低于7噸的頻率為由此估計(jì)全市60萬居民中月均用水量不低于7噸的人數(shù)為(萬)．【小問3詳解】因?yàn)榍八慕M的頻率之和為又前五組的頻率之和為所以．由，解得因此，估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為時(shí)，的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)．20.一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同4個(gè)球，標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4，從袋中不放回地隨機(jī)抽取兩次，每次取一球．記事件A：第一次取出的是2號(hào)球；事件B：兩次取出的球號(hào)碼之和為5．(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；(2)判斷事件A與事件B是否相互獨(dú)立，請說明理由；(3)兩次取出的號(hào)碼之和最可能是多少？請說明理由．【答案】(1)答案見解析(2)事件A與事件B是相互獨(dú)立，理由見解析(3)兩次取出號(hào)碼之和最有可能是5，理由見解析【解析】【分析】(1)用數(shù)組表示可能的結(jié)果,即可得出試驗(yàn)樣本空間；(2)利用獨(dú)立事件的定義判斷；(3)兩次取出的號(hào)碼之和的有：3，4，5，6，7，求出對應(yīng)的概率比較即可得出答案．【小問1詳解】用數(shù)組表示可能的結(jié)果，表示第一次抽到球的標(biāo)號(hào)，表示第二次抽到球的標(biāo)號(hào)，則試驗(yàn)樣本空間為．【小問2詳解】，，．所以．因?yàn)?，所以事件A與事件B是相互獨(dú)立．【小問3詳解】兩次取出的號(hào)碼之和的有：3，4，5，6，7．分別記作事件：C，D，E，F(xiàn)，G．則．．因．所以兩次取出號(hào)碼之和最有可能是5．21.已知銳角