(3.4)-第九章 層次分析數(shù)學建模

層次分析模型（AHP）第九章層次分析法1.層次分析模型2.層次分析法的改進3.殘缺判斷與群組決策第一節(jié)一、層次分析法的簡介及模型背景二、層次分析法的基本原理與步驟層次分析模型

第九章三、層次分析法的應用四、特征向量W計算方法總結1.層次分析法的簡介層次分析法發(fā)展的目的是將復雜的問題系統(tǒng)化，由不同層面給予層級分解，并透過量化的運算，找到脈絡后加以綜合評估。AHP的特點是在對復雜得決策問題的本質(zhì)、影響因素、內(nèi)在關系等進行深入分析的基礎上，利用較少的定量信息使決策的思維過程數(shù)學化，從而為多目標、多準則或無結構特性的復雜問題提供簡便的決策方法，是對難于完全定量的復雜系統(tǒng)作出決策的模型和方法。這是一種實用的多準則決策方法，能夠統(tǒng)一處理決策中的定性和定量因素，具有高度的邏輯性、系統(tǒng)性、簡潔性和實用性等優(yōu)點。

一、層次分析法的簡介及模型背景

2.層次分析法的模型背景

人們在生活中常常會面臨許多的決策，存在著很多需要考慮的因素，這些因素的重要性、影響力或者優(yōu)先程度難以量化，人的主觀選擇會起著相當主要的作用，給用一般的數(shù)學方法解決問題帶來了本質(zhì)上的困難。我們引入了層次分析法，它不僅可以用于工程技術、經(jīng)濟管理、社會生活中的決策過程，而且可以用來分析和預報，如能源系統(tǒng)分析、科研成果評價、科研管理以及社會經(jīng)濟結構分析等。解決方法層次分析法二、層次分析法的基本原理與步驟1.使用對象系統(tǒng)由相互關聯(lián)、相互制約的眾多因素構成的復雜而往往缺少定量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)。

2.建模步驟①建立層次結構模型；

②構造判斷（成對比較）矩陣；

③層次單排序及一致性檢驗；

④層次總排序及一致性檢驗。

①層次結構模型的建立與特點

應用AHP分析決策問題時，首先要把問題條理化、層次化，構造出一個有層次的結構模型。在這個模型下，復雜問題被分解為元素的組成部分。這些元素又按其屬性及關系形成若干層次。上一層次的元素作為準則對下一層次有關元素起支配作用。

這些層次可以分為三類：目標層：這一層次中只有一個元素，一般它是分析問題的預定目標或理想結果，因此也稱為目標層；準則層：這一層次中包含了為實現(xiàn)目標所涉及的中間環(huán)節(jié)，它可以由若干個層次組成，包括所需考慮的準則、子準則，因此也稱為準則層；方案層：這一層次包括了為實現(xiàn)目標可供選擇的各種措施、決策方案等，因此也稱為措施層或方案層。

建立層次結構模型具體層次結構如圖9.1所示：目標層決策層準則層

準則1準則2準則3準則m方案層方案1方案2方案n

不同層次之間的連線表示其作用關系，同層次因素之間無連線，表示它們互相獨立，成為內(nèi)部獨立。上述各層次之間的支配關系不一定是完全的，即可存在某個元素只與下一層次的部分元素有聯(lián)系，上層元素對下層元素具有分配（或包含）關系，而下層對上層無支配關系，成為遞階層次結構。當某個層次包含因素較多時（如超過9個），可將該層次劃分為若干層次。······

結合一個實例來說明遞階層次結構的建立引例假期旅游有3個旅游勝地供你選擇，試確定一個最佳地點。在此問題中，你會根據(jù)諸如景色、費用、居住、飲食和旅途條件等一些準則去反復比較3個侯選地點?？梢越⑷鐖D1的層次結構模型。目標層選擇旅游地景色費用居住飲食旅途

準則層

方案層

②

構造判斷（成對比較）矩陣

在確定影響某因素的諸因子在該因素中所占的比重時，遇到的主要困難是這些比重常常不易定量化。此外，當影響某因素的因子較多時，直接考慮各因子對該因素有多大程度的影響時，常常會因考慮不周全、顧此失彼而使決策者提出與他實際認為的重要性程度不相一致的數(shù)據(jù)，甚至有可能提出一組隱含矛盾的數(shù)據(jù)。為解決此問題，我們可以做出如下假設：將一塊重為1千克的石塊砸成n小塊，你可以精確稱出它們的重量，設為，現(xiàn)在，請人估計這n小塊的重量占總重量的比例（不能讓他知道各小石塊的重量），此人不僅很難給出精確的比值，而且完全可能因顧此失彼而提供彼此矛盾的數(shù)據(jù)。

構造判斷（成對比較）矩陣

目的：比較n個因子對某因素Z影響的大小。具體步驟：每次取兩個因子和，以表示和對Z的影響大小之比，全部比較結果用矩陣表示，稱A為Z-X之間的成對比較判斷矩陣（簡稱判斷矩陣）。容易看出，若與對Z的影響之比為，則與對Z的影響之比應為：互反矩陣：若矩陣滿足

(i)>0

,

(ii)則稱之為互反矩陣（易見）

如何確定？

引用數(shù)字1~9及其倒數(shù)作為標度1~9標度的含義:標度含義1表示兩因素相比，具有同樣的重要性3表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素稍微重要5表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素明顯重要7表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素強烈重要9表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素極端重要2,4,6,8上述兩相鄰判斷的中值倒數(shù)因素i與j比較的判斷矩陣，則因素j與i比較的判斷矩陣表9.1判斷矩陣元素的標度方法一般作次兩兩判斷是必要的。有人認為把所有元素都和某個元素比較，即只作次比較就可以了。這種作法的弊病在于，任何一個判斷的失誤均可導致不合理的排序，而個別判斷的失誤對于難以定量的系統(tǒng)往往是難以避免的。進行次比較可以提供更多的信息，通過各種不同角度的反復比較，從而導出一個合理的排序。說明③層次單排序及一致性檢驗

層次單排序：判斷矩陣A對應于最大特征值

特征向量W，經(jīng)歸一化后即為同一層次相應因素對于上一層次某因素相對重要性的排序權值，這一過程稱為層次單排序。一致矩陣：(i)矩陣A的元素滿足：(ii)矩陣A為正互反矩陣。那我們怎樣判斷是否接受矩陣A呢？

檢驗構造出來的（正互反）判斷矩陣A是否嚴重地非一致

定理儲備

定理1正互反矩陣A的最大特征根必為正實數(shù)，其對應特征向量的所有分量均為正實數(shù)。A的其余特征值的模均嚴格小于。定理2若A為一致矩陣，則（i）A必為正互反矩陣；（ii）A的轉(zhuǎn)置矩陣AT也是一致矩陣；（iii）A的任意兩行成比例，比例因子大于零，從而rank(A)=1（同樣，A的任意兩列也成比例）。（iv）A的最大特征值=n，其中n為矩陣A的階。A的其余特征根均為0。

（v）若A的最大特征值對應的特征向量為，則，即：

定理3：n階正互反矩陣是一致陣，當且僅當.

存在的問題：

其實大部分矩陣都不是一致矩陣，比如我們可以仔細觀察矩陣A，可以發(fā)現(xiàn)，既然與之比為1:1，與之比為1:1，那么與之比也應該是1:1，而不是2:1，才能說明成對比較矩陣是正確的，故說明成對比較矩陣具有不完善的地方，即矩陣具有不一致性。然而，n個元素要作

次成對比較，全部一致的要求實現(xiàn)起來太麻煩了。解決方法：為了能檢驗成對比較矩陣的一致性，并且對不一致的地方作出修改完善，我們來討論其一致性檢驗。

檢驗判斷矩陣

的一致性（i）計算一致性指標CI:（ii）查找相應的平均隨機一致性指標RI,對RI

的值如表2所示:表9.2平均隨機一致性指標值（ⅲ）計算一致性比例CR:當CR<0.10時，認為判斷矩陣的一致性是可以接受的，否則應對判斷矩陣作適當修正。階數(shù)123456789

000.580.91.121.241.321.411.45④層次總排序及一致性檢驗利用同一層次中所有層次單排序的結果，就可計算針對上一層次而言本層次所有元素重要的權值，這就是層次總排序，需要從上至下逐層進行。層次A和層次B的層次總排序權值計算表如下：層次A層次B層次總排序權值表9.4層次A和層次B的層次總排序權值

計算與層次單排序的檢驗量目的：為評價層次總排序的計算結果的一致性如何，層次總排序一致性比率：其中：（層次總排序一致性指標）

（層次總排序隨機一致性指標）當時，認為層次總排序的結果具有滿意的一致性。

三、層次分析法的應用例題：某單位擬從三名干部中選拔一名領導，選拔的標準有政策水平、工作作風、業(yè)務知識、口才、寫作能力和健康狀況。下面用層次分析法對三人進行綜合評估、量化排序。1.建立層次結構模型目標層準則層方案層選拔領導干部健康狀況業(yè)務知識寫作能力口才政策水平工作作風圖9.2選拔領導干部問題層次結構模型示意圖2.構造判斷（成對比較）矩陣如果用依次表示健康狀況、業(yè)務知識、寫作能力、口才、政策水平、工作作風6個準則，設某人用成對比較法得到的成對比較矩陣為：3.層次單排序及其一致性檢驗由“選拔領導干部”的成對比較矩陣可知，A的最大特征值為其相應的特征向量為：

其一致性指標：查表可知平均隨機一致性指標：一致性比率：故得：矩陣A通過一致性檢驗。以上，我們給出了準則層對目標層的特征向量，記做用同樣的方法構造方案層對準則層的每一個準則的成對比較陣，不妨設它們?yōu)樘卣髦到】禒顩r業(yè)務知識寫作能力口才政策水平工作作風3.023.053.563.063.003.21由第三層的成對比較矩陣計算出最大特征根，特征向量，結果列入下表：表9.3各成對比較矩陣的最大特征值其對應的特征向量作為列向量構成的矩陣為經(jīng)計算，均可通過一致性檢驗。4.層次總排序及其一致性檢驗通過以上綜合可算出：解得即在3人中應選擇權重最大的對應的候選人擔任領導職務。此例題數(shù)據(jù)實現(xiàn)的主要程序如下：clear,clc;A=[111411/2;112411/2;11/21531/2;1/41/41/511/31/3;111/3311;222311];%成對比較矩陣[x,y]=eig(A);eigenvalue=diag(y);m=max(eigenvalue);lamda=mn=find(m==eigenvalue);%找到最大特征值對應的下標y_lamda=x(:,n)%最大特征值對應的特征向量s=sum(y_lamda);W2=y_lamda./s后面計算其他的程序同上%層次總排序W3=[W13W23W33W43W53W63];W=W3*W2%W2為準則層對目標層的特征向量，W3為方案層對準則層的特征向量

%判斷矩陣的一致性%層次單排序的一致性檢驗N=size(A,1);CI=(lamda-N)/(N-1)

if(N==1)RI=0.00elseif(N==2)RI=0.00elseif(N==3)RI=0.58elseif(N==4)N==4RI=0.90elseif(N==5)RI=1.12

elseif(N==6)RI=1.24elseif(N==7)RI=1.32elseif(N==8)RI=1.41elseif(N==9)RI=1.45elseif(N==10)RI=1.49elseif(N==11)RI=1.51endCR=CI/RI%層次總排序的一致性檢驗Lamda=[lamda1lamda2lamda3lamda4lamda5lamda6];N=size(B1,1);CI1=(Lamda-N)/(N-1);CI=sum(CI1.*W2')RI=sum(0.58*W2')CR=CI/RI

四、特征向量W計算方法總結1.幾何平均法（方根法）計算步驟:(1)A的元素按行相乘的一新向量；(2)將新向量的每個分量開n次方；(3)將所得的向量歸一化即為特征向量W。2.算數(shù)平均法（求和法）由于判斷矩陣A中的每一列都近似的反映了權值的分配情形，故可采用全部列向量的算術平均值來估計W，即計算步驟:(1)A的元素按列歸一化，即求;(2)將歸一化后的各列相加；(3)將相加后的向量除以n即得特征向量W。2.最小二乘法用擬合方法確定特征向量W，使殘差和平方和最小。即求解如下模型：第二節(jié)層次分析法的改進一、未改進的AHP二、改進的AHP三、結論一、未改進的AHP1.存在的問題及解決方法①存在的問題：在實際問題中，一般都憑借著大致的估計來調(diào)整判斷矩陣，雖然往往行之有效，但畢竟帶有盲目性，并且不能排除經(jīng)過調(diào)整才能通過一致性檢驗的可能性。開始②解決方法：利用最優(yōu)傳遞矩陣的概念，對AHP進行改進。原始的AHP流程圖如右：沒有通過構造判斷矩陣求A的最大特征值及對應的特征向量一致性檢驗結束通過沒有通過2.定義及定理設定義2

若矩陣A的元素滿足，則稱A為互反矩陣；若矩陣B的元素，則稱B為反對稱矩陣。定義3A是互反矩陣，若，則稱A是一致的；若B是反對稱陣，且，則稱B是傳遞的。顯然，若A是一直陣，則

是傳遞的，反之，若B是傳遞陣，則是一致的。

定義4若存在傳遞矩陣C，且使最小，則稱C為B的最優(yōu)傳遞陣。顯然若A是互反矩陣，，C為B的最優(yōu)傳遞陣，那么可以認為是A的一個擬優(yōu)一致陣。定理3若B是反對稱陣，則B的最優(yōu)傳遞陣C滿足二、改進的AHP改進的AHP流程圖如下：開始構造判斷矩陣

求的特征向量結束用方根法求的特征值出于以下考慮：首先因為判斷矩陣本身有相當?shù)恼`差范圍；其次方根法可在一定的范圍內(nèi)，使擬優(yōu)的特征值更接近于最優(yōu)的特征值。三、實例分析設為某目標的五個指標，它們之間構造的判斷矩陣為第一步：利用，得到對應的反對稱矩陣B如上：第二步：根據(jù)定理3，得到矩陣B的最優(yōu)傳遞矩陣C和相應擬優(yōu)一致陣分別為:第三步：用方根法求矩陣的特征向量為利用歸一化后，得各指標權重為為與原始AHP進行對比，將結果列于表9.7，如下所示：表9.7原始與改進的AHP結果對比從表9.7可以看出，兩種方法求出的特征向量中，相對于其他的幾個權值來講，變動較大，實際上，觀察矩陣A

時，會發(fā)現(xiàn)其顯示出不一致性，我們會綜合考慮幾個方面，修改。從C矩陣的構成上來看，改進的AHP是綜合考慮了與所有其他指標的關系后，再綜合調(diào)整的，改進的AHP實際上是在原始的AHP中設置了一個智能調(diào)整器。四、結論將人工給定的判斷矩陣A，通過一個調(diào)整器，得到擬優(yōu)意義下的一致陣，直接求出權值，不需要進行一致性檢驗，從理論證明到大量的上機驗算說明這種方法可以調(diào)整人們認識上的不一致，并不能形成有效的原始判斷矩陣，如何在最優(yōu)意義下調(diào)整人們認識上的不一致，以及如何通過某些信息，機械化、智能化地有效的判斷矩陣是值得深入研究的課題。第三節(jié)殘缺判斷與群組決策一、殘缺判斷的處理方法二、群組決策一、殘缺判斷的處理方法殘缺判斷處理方法：為解決層次很多，因素復雜的判斷量很大的問題，充分利用殘缺判斷矩陣中的剩余信息，提高排序的可靠性，提出殘缺判斷處理方法?？山邮軛l件的的引入：一個矩陣的殘缺程度對排序的正確性是有明顯影響的，信息越少，排序的隨意性越大。要能夠進行排序，必須對殘缺程度及其位置有一些限制，故要研究什么樣的殘缺矩陣是“可接受的”，一個可接受的殘缺判斷應如何用于排序以及如何進行一致性檢驗等。1.殘缺判斷可接受的條件處理殘缺判斷的出發(fā)點是，當缺少某個元素的直接信息時，希望最終通過間接的判斷獲得。例如，元素可以通過獲得，也可以通過獲得。如果這種