2023-2024學(xué)年保定市一中高一數(shù)學(xué)（下）期中考試卷附答案解析

2023-2024學(xué)年保定市一中高一數(shù)學(xué)（下）期中考試卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘2024年4月第Ⅰ卷選擇題一、單選題（本大題有8個(gè)小題，每小題5分，共40分）1．若是第一象限角，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．B．C． D．2．定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C．0 D．3．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則的值為（

）A．-1 B．-2 C．2 D．14．函數(shù)在上單調(diào)遞減的一個(gè)充分不必要條件是（

）A．B．C． D．5．已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．7．已知正實(shí)數(shù)滿足則（

）A． B． C． D．8．已知是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)，且時(shí)，恒成立，，則滿足的m的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題有3個(gè)小題，每小題6分，共18分，全部選對得6分，有錯(cuò)選或不選得0分）9．已知，，則（

）A． B．C． D．10．函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，則（

）A． B．C． D．11．定義在R上的函數(shù)（且，），若存在實(shí)數(shù)m使得不等式恒成立，則下列敘述正確的是（

）A．若，，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為B．若，，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為C．若，，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為D．若，，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為第Ⅱ卷非選擇題三、填空題（本題共3題，每題5分，共15分）12．已知，則.13．已知函數(shù)，，若對任意的，總存在使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．14．已知函數(shù)，下列四個(gè)命題正確的是．（只填序號(hào)）①函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；②若，其中，，，則；③若的值域?yàn)椋瑒t；④若，則.四、解答題（本題共5題，共77分）.15．已知函數(shù)(1)求的值；(2)若，求的值．16．我國發(fā)射的天宮一號(hào)飛行器需要建造隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本是6萬元，天宮一號(hào)每年的能源消耗費(fèi)用（萬元）與隔熱層厚度（厘米）滿足關(guān)系式：，若無隔熱層，則每年能源消耗費(fèi)用為5萬元，設(shè)為隔熱層建造費(fèi)用與使用20年的能源消耗費(fèi)用之和.(1)求值和的表達(dá)式；(2)當(dāng)隔熱層修建多少厘米厚時(shí)，最??？請說明理由并求出的最小值.17．在單位圓中，銳角的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，連接圓心和得到射線，將射線繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與單位圓相交于點(diǎn)，其中.(1)求的值；(2)記點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，若，求的值.18．已知二次函數(shù)同時(shí)滿足以下條件：①，②，③．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，，求：①的最小值；②討論關(guān)于m的方程的解的個(gè)數(shù)．19．已知函數(shù)，在時(shí)最大值為2，最小值為1．設(shè)．(1)求實(shí)數(shù)，的值；(2)若存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．1．C【分析】根據(jù)的范圍求得是第一?三象限角，分類討論，根據(jù)三角函數(shù)符號(hào)即可判斷.【詳解】因?yàn)樵诘谝幌笙?，所以，，所以，，所以是第?三象限角，當(dāng)是第一象限角時(shí)，，，，；當(dāng)是第三象限角時(shí)，，，，；綜上，一定成立.故選：C2．A【分析】根據(jù)函數(shù)滿足遞推求解即可.【詳解】根據(jù)題意，有.故選：A3．B【分析】由題意求出函數(shù)的周期，再利用奇偶性代入求值即可.【詳解】由題意知，則，即，所以，即，所以函數(shù)的周期為，所以，故選：B4．A【分析】先將命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為研究在上的的性質(zhì)，然后分類討論即知使得命題成立的充要條件是，最后比較選項(xiàng)即可得出答案.【詳解】由于是定義在上的遞減函數(shù)，故命題等價(jià)于在上單調(diào)遞增且取值恒為正.若，則，從而在上取值不恒為正，不滿足條件；若，則對任意都有，且由知對任意都有.故在上單調(diào)遞增且取值恒為正，滿足條件.所以使得原命題成立的充分必要條件是，從而觀察選項(xiàng)可知A是充分不必要條件，B是充要條件，C，D是既不充分也不必要條件.故選：A.5．A【分析】判斷的奇偶性和單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解不等式即可.【詳解】，定義域?yàn)?，又，故為偶函?shù)；又當(dāng)時(shí)，均為單調(diào)增函數(shù)，故為上的單調(diào)增函數(shù)；又，故當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)為上的單調(diào)增函數(shù)，故時(shí)，為單調(diào)減函數(shù)；，即，則，即，，也即，解得.故選：A.6．A【分析】利用在上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用在上的單調(diào)性排除D，從而得解.【詳解】對于B，當(dāng)時(shí)，，易知，，則，不滿足圖象，故B錯(cuò)誤；對于C，，定義域?yàn)?，又，則的圖象關(guān)于軸對稱，故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)，，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤；檢驗(yàn)選項(xiàng)A，滿足圖中性質(zhì)，故A正確.故選：A.7．B【分析】將題設(shè)條件等價(jià)變形為進(jìn)行放縮移項(xiàng)得到構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性即可得到.【詳解】由可得因，則有即（*）設(shè)，則（*）即，因在上為增函數(shù)，故可得：.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)條件中指對數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，通過湊項(xiàng)、放縮，使之出現(xiàn)相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，進(jìn)行構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性得到大小關(guān)系.8．D【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性來求得m的取值范圍.【詳解】設(shè)，由，得，所以，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)槭嵌x在R上的偶函數(shù)，所以，所以對任意的，，所以，函數(shù)為上的偶函數(shù)，且，由，可得，即，即，所以，解得，故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：形如的已知條件，往往是給出函數(shù)的單調(diào)性，可以利用函數(shù)單調(diào)性的定義來進(jìn)行求解.利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性來求解不等式，可將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式的形式，然后結(jié)合單調(diào)性、奇偶性去掉函數(shù)符號(hào)，再解不等式來求得答案.9．AD【分析】由條件平方后，可得，再求出后可得.【詳解】，，，故A正確B錯(cuò)誤；由，所以，，又，所以，故C錯(cuò)誤D正確.故選：AD10．BCD【分析】將題目條件等價(jià)轉(zhuǎn)化為，然后即可給出選項(xiàng)A的反例，并使用放縮法證明B，C，D選項(xiàng)正確.【詳解】設(shè)，則對任意都有，這得到.由恒為常值，知，，所以，，故點(diǎn)的坐標(biāo)是.而點(diǎn)在直線上，故條件即為.對于A，取，則此時(shí)，故A錯(cuò)誤；對于B，有，故B正確；對于C，有，故C正確；對于D，有，故D正確.故選：BCD.11．BD【分析】先判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再分和討論的單調(diào)性，分和討論函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷得出的單調(diào)性，利用單調(diào)性將進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化成含參數(shù)的不等式，求解即得.【詳解】對于函數(shù)，因，則函數(shù)是奇函數(shù).不妨設(shè)，則，對于A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)，因，則在R上也是增函數(shù)，故在R上也是增函數(shù).由，則，即（*），①當(dāng)時(shí)，此時(shí)恒成立；②當(dāng)時(shí)，由（*）可得，解得，綜上可知，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)為減函數(shù)，因，則在R上也是減函數(shù)，故在R上是增函數(shù)，由A項(xiàng)分析可得，恒成立可得，，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)，因，則在R上是減函數(shù)，故在R上是減函數(shù)，由，則，即（*），①當(dāng)時(shí)，無解；②當(dāng)時(shí)，由（*）可得，解得或，綜上可知，，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)為減函數(shù)，因，則在R上也是增函數(shù)，故在R上是減函數(shù)，由C項(xiàng)分析可得，恒成立可得，，故D項(xiàng)正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：一般先考慮函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)參數(shù)分類判斷，構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性去掉抽象函數(shù)的符號(hào)，將其化成含參數(shù)的不等式恒成立問題，再對參數(shù)分類討論不等式解的情況即得.12．【分析】根據(jù)條件，利用誘導(dǎo)公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：.13．【解析】根據(jù)任意的，總存在使得成立，問題轉(zhuǎn)化為的值域是值域的子集，故只需分別求出兩個(gè)函數(shù)的值域，利用子集關(guān)系建立不等式，即可求出a的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，所以函數(shù)的值域?yàn)椋驗(yàn)閷θ我獾?，總存在使得成立，故的值域是值域的子集，對，，?dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，所以解得，又，所以，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查等式型雙變量存在性和任意性混搭問題，對于形如“任意的，都存在，使得成立”此類問題“等價(jià)轉(zhuǎn)化”策略是利用的值域是值域的子集來求解參數(shù)的范圍．14．①②④【分析】對于①，使用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解方法即可；對于②，由的單調(diào)性即可得到，從而得出結(jié)論；對于③，直接給出作為反例；對于④，利用的表達(dá)式可直接證明結(jié)論成立.【詳解】對于①，由于定義在上且單調(diào)遞減，的單調(diào)遞減區(qū)間是.故可解不等式組得到，從而的單調(diào)遞增區(qū)間是，①正確；對于②，由及單調(diào)遞減，知，而，故，即.代入表達(dá)式得，即，所以，②正確；對于③，由于當(dāng)時(shí)有，而對任意實(shí)數(shù)，取就有.所以時(shí)亦有的值域?yàn)?，從而原條件并不能推出，③錯(cuò)誤；對于④，若，注意到等價(jià)于，而這又等價(jià)于，即，即.而顯然成立，故④正確.故答案為：①②④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于對數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，尤其是單調(diào)性和運(yùn)算法則.15．(1)(2)【分析】（1）先由誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡，再由商數(shù)關(guān)系求值即可.（2）求出，再化為齊次式，化弦為切，代入求值.【詳解】（1），所以.（2）因?yàn)?，原?.16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)關(guān)系式：無隔熱層，則每年能源消耗費(fèi)用為萬元，可求值，利用為隔熱層建造費(fèi)用與使用年的能源消耗費(fèi)用之和，可求函數(shù)關(guān)系式；（2）利用基本不等式，即可求得函數(shù)的最小值．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，,則，故，所以;（2）由，，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，故時(shí)，即隔熱層修建厘米厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小，最小值為萬元.17．(1)1(2)【分析】（1）由題意可得，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式化簡、求解；（2）由題意可得：，進(jìn)而可知，根據(jù)同角三角關(guān)系結(jié)合三角恒等變換分析求解.【詳解】（1）由于點(diǎn)在單位圓上，且是銳角，可得，所以，所以；（2）由（1）可知，且為銳角，可得，根據(jù)三角函數(shù)定義可得：，因?yàn)?，且，因此，所以所?18．(1)(2)①；②答案見解析【分析】（1）由得，對稱軸為，然后設(shè)，利用另外兩個(gè)條件列出方程組求解即得；（2）①根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的關(guān)系分類討論研究最小值；②根據(jù)①中求得的函數(shù)的解析式，分析各段上的函數(shù)值的正負(fù)，從而得到函數(shù)的解析式，畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合方法討論方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).【詳解】（1）（1）由得，對稱軸為，設(shè)，∴，得，∴．（2）（2）①，，對稱軸，ⅰ當(dāng)即時(shí)，在單調(diào)遞增，，ⅱ即時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴，ⅲ當(dāng)即時(shí)，在單調(diào)遞減，，綜上：②畫出函數(shù)的圖象圖下圖所示：

利用圖象的翻轉(zhuǎn)變換得到函數(shù)的圖象如圖所示：

方程的根的個(gè)數(shù)為函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由圖象可知：當(dāng)時(shí)，方程無解；當(dāng)時(shí)，方程有4個(gè)解；當(dāng)或時(shí)，方程有2個(gè)解；當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)解.19．(1)，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及最值，即可求得，（2）利用換元法可得滿足不等式，即可，再利用二次函數(shù)單調(diào)性求得實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）根據(jù)題意由方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，，利用韋達(dá)定理即可求得