量子力學(xué)課后習(xí)題答案

第一章緒論

1.1.由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：線T=b,8=2.9x10-3〃?.。。。

證明：由普朗克黑體輻射公式：

J8成/]

麗=—5—~—八，

ekT-1

及丫二力、dv=—dA,得

_8煙。1

P入~后'

e擊-1

令x=&L,再由3=o,得人所滿足的超越方程為

AkT"

xex

5=

eA—1

he八

用圖解法求得x=4.97,即得-----=4.97,將數(shù)據(jù)代入求得4“T=b,/?=2.9xlO-3moC

5

1.2.在0K附近，鈉的價電子能量約為3eV,求deBroglie波長.

〃力0

解：2=—=^=?7.O9xlO'lom=7.O9A

pyl2tnE

#

3

1.3.氮原子的動能為E=]&T,求T=1K時氮原子的deBroglie波長。

八

hhh-,0o

解：A=-=t=z?12.63x10m=12.63A

py]2mEyl3mkT

其中m=4.003xl.66xl0-27卜8，左=1.38x10-23JK-1

#

1.4利用玻爾一索末菲量子化條件，求：

(1)一維諧振子的能量。

(2)在均勻磁場中作圓周運動的電子的軌道半徑。

已知外磁場B=10T,玻爾磁子〃B=8923x1()-23J.T-1,求動能的量子化間隔AE,并與T=4K及

T=100K的熱運動能量相比較。

解：(1)方法1：諧振子的能量E=〃療/

2〃2

P2

可以化為

的平面運動，軌道為橢圓，兩半軸分別為a,相空間面積為

r,,2TIEE,八1△

qpaq=mib=---=—=nh,n=0,1,2,???

JCDv

所以，能量E=匕〃=0,1,2,…

方法2：?維諧振子的運動方程為4"+。2夕=。，其解為

q=Asin（"+0）

速度為<=A69cos（初+0）,動量為p=第'=A〃刃cos（初+0），則相積分為

2(宿)

jpdq=A246y2fcos￡(1+cos69Z+dt="1-nh,n=0,1,2,--?

A2JUCO2nh

E=---------=—=nhv,n=0,1,2,???

2T

2

（2）設(shè)磁場垂直于電子運動方向，受洛侖茲力作用作勻速圓周運動。由"8=竺得1

ReB

再由量子化條件,pdq=皿/=123、…，以（p,Ps=的二eBR2分別表示廣義坐標(biāo)和相應(yīng)的

廣義動量，所以相積分為

p^dcp=1P^dcp=IjifjRv-IrnBR2=nh,n=1,2,-??,山此得半徑為R色,〃=1,2,…。

eB

2

電子的動能為E=eBR|='e‘B23=II〃BB

?2//eB

動能間隔為AE=M=9x10-23j

熱運動能量（因是平面運動，兩個自由度）為E=*T,所以當(dāng)T=4K時，E=4.52xlO-23J；當(dāng)T=100K

時，E=1.38x10-211

1.5兩個光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對:如果兩個光子的能量相等，問要實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，光子

波長最大是多少？

「卜

解：轉(zhuǎn)化條件為//UN4c2,其中人為電子的靜止質(zhì)量，而u=—,所以/IW——，即有

丸LC

hA696x1（尸4o

4ax='-=4=一ifx0.024A（電子的康普頓波長）。

m11JXLCc9.1X10-3J1x3xio8

第二章波函數(shù)和薛定謂方程

2.1.證明在定態(tài)中，幾率流與時間無關(guān)。

證：對于定態(tài)，可令

/（亍，t）=〃（f）f（t）

———Et

=)e''

2m

i力—Et-Et—Et-Et

=-----[^(f)e力V(〃(f)eh)*-〃*(f)ehV(〃(f)eh)]

2m

訪

=—Mf)V^*(r)-^(?)V^(f)]

2m

可見7與f無關(guān)。

2.2由下列定態(tài)波函數(shù)計算幾率流密度：

(1)5/,=4加L-而

(2)5/2

從所得結(jié)果說明由表示向外傳播的球面波,憶表示向內(nèi)（即向原點）傳播的球面波。

解：Z和了2只有r分量

1d

在球坐標(biāo)中V=K—+e.-—+e

°%r80「rsin6加

—?1fl**

(1)4=「(〃尸〃|一〃|

2m

=也［_Le而g(J_e而)我)

2mrdrrrdrr

ihr1z1.,1、1.1.7I、1-

=?。垡?一一爹一ikf一一(一一-+ik-)］r()

2mrrrrrr

hk_hk_

=-mrT?=~mr~

了?與亍同向。表示向外傳播的球面波。

—?**

⑵J2=—(^2V匕，2▽“)

2m

tik_hk

L°=mr3

可見，了2與『反向。表示向內(nèi)(即向原點)傳播的球面波。

補充：設(shè)〃(x)=e依，粒子的位置幾率分布如何？這個波函數(shù)能否歸一化?

,/\i//^i//dx=00

波函數(shù)不能按1帆(x)/dx=1方式歸一化。

其相對位置幾率分布函數(shù)為

口=帆「=1表示粒子在空間各處出現(xiàn)的幾率相同。

2.3一粒子在一維勢場

oo,x<0

U(x)=<0,0<x<a

oo,x>a

中運動，求粒子的能級和對應(yīng)的波函數(shù)。

解：U(x)與r無關(guān)，是定態(tài)問題。其定態(tài)s—方程

---"rr”(%)+U(x)〃(x)=E〃(x)

2mclx

在各區(qū)域的具體形式為

韜d2

I：x<0--------(x)+U(x)^,(x)=E(%)①

2mdx~

力2d2

II:0<X<?-------7〃2(X)=E匕(x)②

2mdx~

力2d1

III：x>a------7k(x)+U(x)-3(x)=E,3(X)③

2mdx

由于(1)、(3)方程中，由于U(x)=oo,要等式成立，必須

5（x）=0

〃2（X）=0

即粒子不能運動到勢阱以外的地方去。

d2i//(x)+2mE

方程（2）可變?yōu)?匕(x)=0

dx2力2

2mE

令公，得

+k2i//(x)=0

dx22

其解為〃2（幻=Asin依+BcosH④

根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件確定系數(shù)A,B,由連續(xù)性條件，得

夕2（。）=%（。）⑤

“23）=“3（。）⑥

⑤=8=0

⑥=>Asin攵。=0

??,Aw0

sinka=0

=>ka=n7i(〃=1,2,3,…)

./、4?〃乃

..3r2(1)=Asm——x

a

由歸一化條件

2dx=\

22

得Afsin^-xdx=1

J)a

m兀

由「in%*sin——xdx=

aa

2

nA

a

2,〃)

；，2（X）--sin——x

Vaa

2mE

k2

h2

.2方2

=>E〃:--n2(n=1,2,3,…)可見E是量子化的。

2ma-

對應(yīng)于E“的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為

2.nrc-Er

—sin——xeh0<x<a

%(x,f)=<aa

0,x<a,x>a

1

2.4.證明（2.6-14）式中的歸一化常數(shù)是H

y[a

Asin(x+a),Ixl<a

證：W“=’a

0,|x|>a

由歸一化，得

1=j帆“|dx=￡A,2sin2—(x+a)dx

U1

A'2-[1-cos-(x+a)]dx

。2a

A'2njr、，

工cos——(zx+a)ax

~T

2i-aa

.,2A"a.n7r,、

Aa------------sin—(X+4)

2n兀a-a

=A,2a

...歸一化常數(shù)4=聲

2.5求一維諧振子處在激發(fā)態(tài)時幾率最大的位置。

*a一?2^2

解:解X)―尸?2axe2

2&

幼(x)=帆(x)/=2?a?x%-。，

_2a''2^,-aV

=--j=-,X€

幽魚=軍心-202/峻1

dx&

令d%(x)=o,得x=ox=±-x=±oo

dxa

由q(x)的表達(dá)式可知，x=0,x=±8時，他(x)=0。顯然不是最大幾率的位置。

而d"x)_2a[(2一6a2x2)_2a2x(2x一2a2)]e

dx~

2?4x4)]e-aV

"“產(chǎn)=—2隼，＜0,可見x=±'=±匹是所求幾率最大的位置。

dx=+,J乃ea\RCD

X~~2

2.6在一維勢場中運動的粒子，勢能對原點對稱：U(-x)=U(x),證明粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的

宇稱。

證：在一維勢場中運動的粒子的定態(tài)S-方程為

力2d2

~~—--yy/M+U(xMx)=E^(x)①

2〃ax'

方2d2

將式中的x以(-x)代換，得-------^(-%)+u(-x)?/(-x)=E②

2〃dxr~

力2d2

利用U(-x)=U(x),得---------〃(一x)+U(x)〃(-x)=E以-x)③

2〃dx'

比較①、③式可知，〃(-X)和材(X)都是描寫在同一勢場作用下的粒子狀態(tài)的波函數(shù)。由于它們描寫

的是同一個狀態(tài)，因此“(-X)和"(X)之間只能相差一個常數(shù)C。方程①、③可相互進(jìn)行空間反演

(xc-x)而得其對方，由①經(jīng)Xf-X反演，可得③，

④

由③再經(jīng)-xfx反演，可得①，反演步驟與上完全相同，即是完全等價的。

=>甲(x)=C甲(一X)⑤

④乘⑤，得〃(x)〃(-x)=c?〃(x)〃(一X),可見，c?=l,所以c=±l

當(dāng)c=+l時，以一x)=Hx),=〃(x)具有偶宇稱，

當(dāng)c=—l時，/(-x)=-“(x),n"(x)具有奇宇稱，

當(dāng)勢場滿足U(-x)=U(x)時，粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。

2.7一粒子在一維勢阱中

U0>0,|x|>a

u(x)=<

0,|小a

運動，求束縛態(tài)(0<￡<?！?的能級所滿足的方程。

解：粒子所滿足的S-方程為

方2.2

—T叭x)+U(x)〃(x)=E〃(x)

2〃dx

按勢能U(x)的形式分區(qū)域的具體形式為

力2d2

I：一丁丁〃i(x)+U0%(x)=E%(x)一oo<x<a①

2〃dx

力2d2

II：----〃2(X)=E〃2(X)-a<x<a②

2〃d7xT

力2d2

in：一.」，T3(X)+U13(X)=E〃3(X)a<x<co(3)

2〃dx0

整理后，得

“2MU°-E)

I：5------------乙=0④

tr

II：.川+絲益,=0

⑤

2h-2

III：._2〃(4-石)憶二0⑥

h~

2"(U「E)

*?一方22方2

則

I：叫=0?

II：.心-k；i//2-0⑧

III：叫-k；弧=。⑨

各方程的解為

kx

乙=Ae%+Be'

匕=Csink2x+Dcosk2x

憶=Ee+k'x+Fe%

由波函數(shù)的有限性，有

W、(-8)有限=>4=0

憶(00)有限=>E=0

因此

%=Bek*x

“3=Fe-bx

由波函數(shù)的連續(xù)性，有

-k,a

i//}(-a)=^2(-a),=>Be=-Csink2a+Dcosk2a(10)

.(一a)=k]Be/a=k2Ccosk2a+k2Dsink2a(11)

k,a

%(a)="3(a),=>Csink2a+Dcosk2a=Fe~(12)

歸(a)=.；(a),nk2Ccosk2a-k2Dsink2a=-kjFe-^(13)

整理(10)、(11)、(12)、(13)式,并合并成方程組,得

k,a

e~B+sink2aC-cosk2aD+0=0

kia

k(e-B-k2cosk2aC-k2sink2aD+0=0

-k,a

0+sink2aC+cosk2aD-eF=0

0+k2cosk2aC-k2sink2aD+=0

解此方程即可得出B、C、D、F,進(jìn)而得出波函數(shù)的具體形式，要方程組有非零解，必須

e、sink2a-cosk2a0

1,a

k.e-k2cosk2a-k2sink2a0

-kja=0

0sink2acosk2ae

0k2cosk2a-k2sink2ak〕Be禺a(chǎn)

-k2cosk2a-k2sink2a0

e*ak,a

0=sink2acosk2a-e-—

-k,a

k2cosk2a-k?sink2ak1e

sink2a-cosk2a0

kak,a=

-kle-'sink2acosk2a-e-

k,a

k2cosk2a-k2sink2ak,e-

2

cosk2a+k：e"sink2acosk2a4-

-k,a2-12

+k1k2esink2a+k^e"'sink2acosk2a]-

kiakiak,a2

-k1e-[kIe-sink2acosk2a+k2e~cosk2a+

-k,ak,a2

+k1esink2acosk2a-k2esink2a]

2k,a

=e-[-2k]k2cos2k2a+k：sin2k2a-kJsin2k2a]

=e-k^)sin2k2a-2kjk2cos2k2a]

???產(chǎn)。。o

2

(k；-^j)sin2k2a-2klk2cos2k2a=0

即(心-左；)吆2的。-2匕七=0為所求束縛態(tài)能級所滿足的方程。

方法二：接(13)式

kk

-Csinka4-Dcoska=—Ceoska+—Dsinka

929kl?k,9

k,k

Csinka+Dcoska=——-Ccoska+—7Dsinka

22%2k[2

k、鼠

上?cosga+sin/a-smka-cosfc?

k]k[22

kk]

—2cosA：a+sinA：a-(—sinfca-cosA:?)

kj22ki22

-(—cosfca+sinA:6t)(—sinfca-cos^a)

k]22k?22

kk

-(—cosk2a+sink2a)(—sink2a-cosA2a)=0

(―cosAr2a+sinA2?)(—sinfc2?-cosA：2a)=0

k[kx

k?kk

號sinA2。cosA2。+—sin2ka----cos2ka-sinkacoska=0

k?k]2kj222

A22k

(-1+g)sin2k2a------cos2Jt2?=0

k\%

(k；-A：)sin242a—2k]A2cos242a=0

另一解法：

k,a

(11)-(13)=>2k2Dsmk2a=k}e-(B+F)

-ka

(10)+(12)n2Dcosk2a=e'(B+F)

(11)-(13),,,

----------=>k,tgk,a=k,(a)

(10)+(12)221

(11)+(13)=>2k2Ccosk2a=-ki(F

(12)-(10)=>2Csink2a=(F-B)e-ik,a

(11)+(13)一，心,

--------------=>kyCtgkra=-k、

(⑵-(10)

令=k2a,r]=k2a,則

(c)

或Jctgj=-n(d)

2

2//U()a

J?+〃2=(k；+k；)(f)

-記-

合并(a)、(b)：

…24622tgk2a

也2“=pqp利用tg2k2a

2

?v2*v?l-tgk2a

2-7?粒子在一維勢阱

U0>0,|x|>a

U(x)=<

0,|x|<a

中運動，求束縛態(tài)(O<E<Uo)的能級所滿足的方程。

解：(最簡方法-平移坐標(biāo)軸法)

力2

I：一丁叫+U<W\=EW[(xWO)

2〃

方2

II：一丁河=后外(0<X<2a)

2〃

力2

HI：—丁M+UO“3=E，3(x》2a)

2〃

2p(U0-E)

%^%=0

+管-2=°

2JU(UQ-E)

r3匕=0

方2

k?==0(1)k：=2〃(U0-E)//

■+kM=0⑵k；=2〃E/%2束縛態(tài)OVEVU。

歸一kM=0⑶

=Ae+k,x+Be~k,x

%=CsinA2x+Dcosfc2x

+kxkx

^3=Ee'+Fe-'

%(-0°淆限=3=0

-3(8)有限=>E=0

因此

/.W\=Ae*x

-3=Fe~k'x

由波函數(shù)的連續(xù)性，有

g(0)=k(0),nA=D(4)

^(0)=^(0),=>k,A=k2C(5)

1a

^2(2a)=”；(2a),nk2Ccos2k2a-k2Dsin2k2a=一k|Fe-2k(6)

匕(2a)=憶(2a),=>Csin2k?a+Deos2k2a=Fe-2k,a(7)

⑺代入⑹

Csin2k,a+Dcos2A2a=——-Ccos2k2a+—Osin2k2a

%kx一

利用⑷、(5),得

2.8分子間的范德瓦耳斯力所產(chǎn)生的勢能可以近似表示為

00,x<0,

-Asin2k2a+Acos2k2a=-Acos2k2a+—Dsin2k2a

u,0<x<ak-,k

U(x)=<09i

_q,a<x<b,

71[(--乜)sin2k2a+2cos2k2a]=0

*，h<x,k?k、

求束縛態(tài)的能級所滿足的方程。???Aw0

解：勢能曲線如圖示，分成四個區(qū)域求解。kk

定態(tài)S-方程為(------)sin2k2a+2cos2k=0

Ar2j

方2.2

----7T-(X)+U(x)些(x)=E科(x)兩邊乘上(-匕七)即得

2〃dx

2

對各區(qū)域的具體形式為(k；-Z：j)sin2k2a-2kcos2k2a=0

方2

I：------+-Ei//1(x<0)

2〃

方2

II：----+UoW、—E\)/、(0Wx<a)

2"

方2

III：----w3-Uw3=Ei1/3(aKxKb)

2〃

力2

IV：----w'4+0=E“4(h<x)

2〃

對于區(qū)域I,U(x)=8,粒子不可能到達(dá)此區(qū)域，故%(x)=0

而.川一2〃(氣二￡)=。

力2Y-①

“2〃(U1+E)..

憶+憶=°②

n

月+鬻九=0

③

n

對于束縛態(tài)來說，有-U<E<0

22〃(t/-E)

_左：-2=03二方02④

2_2/7((7,+￡)

%+或3=0⑤

3_方2

+左觸4=0k：=-2附韜⑥

各方程的解分別為

-2=Aek'x+Be~k,x

k=Csin%2x+Ocos七x

憶=Ee+2+F”2

由波函數(shù)的有限性，得“4(8)有限，nE=0

y/q=FeZ

由波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)，得

W、(0)=y/2(0)nB=-A

：.匕=A(e%_e知)

%3)=憶(a)=A(**-e"”)=Csin七a+0cos%2a⑦

k3

必(a)=必(a)=>A*/"+e~0)=Ck2cosk2a—Dk2sin)2a⑧

k,b

憶S)=W&(b)=>Csink2b+Dcosk2b=Fe-⑨

k>b

-wl(b)=>Ck2sink2h-Dk2cosk2b--Fkie^⑩

k,ak,a

,,rlk,Le+e~Ccosk^a-Dcosk^a

由⑦、⑧，得一-z-----廠=--------=..........-(11)

k,k

k2e—e-'CsinA：2。+DeosA2a

由⑨、⑩得(42cos426)C一優(yōu)2sinA^b)。=(一43sin42臺)。一(JCOSA：2))0

cos/2b+sinA：,Z>)Ccosk2b+sink2b)D=0(12)

kaka

人ce'+e''

令"eJ”?！?則①式變?yōu)?/singa-cosga)。+(/cosA^a+sin42。)。=0

聯(lián)立(12)、(13)得，要此方程組有非零解，必須

(—cosfc26+sin七。)(——-sinfc2Z>+cosk2b)

無3無3=0

(J3sink2a-cosk2a)(J3cosk2a-￥smk2a)

即cosA2a+si1112a)(,cos左25+sinftZ>)-(7?sink^,a-coska)-

心22

k2

?(——-sink2b+cosk2b)=0

k3

kk

^-cosk2bcosk2a-^—sink2bsink2a+J3sink2bcosk2a+

土3的

kk

+smk1bsmk1a+p-smk2bsink2a-----sink2bcosk2a)-

43卜③

一^cosA：26sinJl2a+cosA：2&cosA：2a=0

sink^S—。)(0-----)4-cosAr2(6-a)((^—+X)=0

k3的

tgk[(b-a)=(1+JB)卜:—B)

把夕代入即得

k

J\2N+C—AM、lk2%N十％

t5gky2ib-^z)=(1H-------k-i—a—--a)/(-------------——--)

k3e-e^/k3k2i-e如

此即為所要求的束縛態(tài)能級所滿足的方程。

#

附：從方程⑩之后也可以直接用行列式求解。見附頁。

kaka

(e'-e-')-sink2a-cosk2a0

(ek'a+e-k'a)k-kcoskaksinka0

22222=0

kya

0sink2bcosk2b-e~

kjfl

0k2cosk2b-k2sink2bk3e~

一A?cos&2a42§也上2。0

0=(ek'a-e-k'a)sink2bcosk2b-e~kya—

kitt

k2cosk2b-k2smk2bk3e~

-sink2a-cosk2a0

一號(/e+?如)=sink2bcosk2b-e~kya

kya

k2cosk2b-k2sink2bk3e~

kx(lkiakya

=(『得-e~)C-k2k3e~cosk2acosk2b-k\e~sXnk2a

kya

cosk2b-k2k3esink2asink2b-k^e~cosA：2asink2b)

kbkbkibkyb

-kx(e'+e~')Ck2k3e"sincosk2b-k2e~cosk2a

cos女25+七*“*cos^2asink2b+k2esin^2asin^26))

kaka

=(e'-e-')[-k2k3cosk2(b-a)+k\sinJt2(Z>

kaka

-(e'-e-')肉的sink2(b-a)+*,jt2cosJt2(b

ka

=e'[-(*,+k3)k2cosA2s-a)+(只一kgsink式b

lcttk>h

e~'[(kl-k3)k2cosk2(b—a)+(k；+klki)sink2(b-a)]e^

=0

[-(々]+3此2+優(yōu)；-*g左2(5-a)kA"

kib

_[(儲-k3)k2+(k；4-k1k3)tgk2(b-a]\e~=0

2ka

Kk；一k#3)e2Aw-七十k#3)Vgk2(b-a)-(ki+k.)k2e'

-(k[一k3)k2=0

此即為所求方程。

第三章力學(xué)量的算符表示

a2x2j

3.1-維諧振子處在基態(tài)〃(x),求:

⑴勢能的平均值。=一4。2工2；

2

⑵動能的平均值方=2;；

2H

(3)動量的幾率分布函數(shù)。

解：⑴U=

12ac16121

產(chǎn)—^=-2—―-——=-/JCD——-

&2~6ra22a~4/JCD

1-3-5..(2n-1)hr

=一方0^x2ne-ai'12dx=

42"+'aa

(2)a=《=9-]

242〃

a1聲--a2x2d2——1a-2x~2

-42dx

ah2

~i=——a2[(\-a2x2)e~a2x2dx

品2〃

a方2r一〃？

—^=-a~2r\edx-a9-W-^dx]

品2以L■00

ah2

—j=——a2-a2

J乃2//a

ah2&力22方2曄

—；=——a2----=——a=-----------

N兀2〃2a4〃4〃力

1.

=-rico

4

—-111

或T=E-U=—hco——hco=—hco

244

(3)c(p)=J匕,(x)〃(x)dx

二器ija--a2x2-Lpx

-r=e2ehdx

小九

1Ia儼一1，—PX

F借口eix

二會帶L_、2(升史)2__

e2a””#dx

=—回《KO-ia2(X+Jy-)2

a"[e2?f<dx

J2討V在

=;序一，亍電6]_^e-源

A/2助vaVah^ji

動量幾率分布函數(shù)為

上

212

<y(p)=|c(p)一=——『-eatr

ah7兀

#

3.2.氫原子處在基態(tài)y/(r,0,夕)=2.——e~r,a<),求：

2

(l)r的平均值；(2)勢能-J的平均值；(3)最可幾半徑；(4)動能的平均值;

r

(5)動量的兒率分布函數(shù)0

解：(1)7=/廠|材(廠,6,0)『dr=|re~2rfa()r2s\n0drdOd(p

MC討

=4“產(chǎn)”fxne-axdx=,

an+'

43!3

一汩「于。

2,i

(2)U=(--)=----r「「Le-2〃"°r2sined“ede

r乃斯川⑷r

=^-y,『￡e~2r,aQrsin0drddd(p

九a。

a()

4e21e2

斯(21ao

UoJ

⑶電子出現(xiàn)在r+dr球殼內(nèi)出現(xiàn)的幾率為

a)(r)dr=1[^(r,0,(p)]2r2sin0drd0d(p=±e-2r,a<>r2clr

a5

a>(r)=la°r2

?()

包=3(2-2，)-““。

dra；aQ

人da)(r)八八

令------=0,=>Tj=0,r=oo,r=a

dr230

當(dāng)八=o,R=00時，①&)=0為幾率最小位置

d2a)(r)4(2-包r+3r2)e-2〃"。

2

dro()〃0〃0

d%(r)8

e"2<0

dr2a；

Ir=a()

r=a0是最可幾半徑。

——(r2——)+--------—(sin0——)+——；---------

r2\_6rdrsin0d0d0sirr63夕

r/Ou2-r/au2

T=--ff[-STe-V(e)rsin0drddd(p

2")))TCCL0

=--rrr-\e-r,aa-V—[r2—(e-r/au)]r2sin3drddd(p

2〃J)」>如:r2drdr

4方~,1rr2,_,

=~~5-(---[(2r----)er/u°dr

b

2〃4ga0

_4..a；力2

2“；4424；

⑸c(p)=,具尸泌(r,，，e)dT

Iffxj1.-m--prcos0Arc

c(p)=------f---e~ra()r~dr\eTisinOdOfd(p

Q酒)"2、嬴J)」)

2〃.,pr——prcos0

2e~r°rfrJehd(-cos6)

(2成)“2J乃〃j

2〃

(2病亡2廚

0

2萬方—pr

力)dr

(2成產(chǎn)2標(biāo)1抽3*

2%力,11

--------------I----------------------1I

(2沛嚴(yán)扃ip(X_ip)2」+1p)2

。0方。0%

_14ip_4a：力4

12(1)3ip兀4力(2+()2月方乃劭(42P2+力2)2