高中數(shù)學(xué) 《數(shù)列》教案3 蘇教版必修5

高中數(shù)學(xué)《數(shù)列》教案3蘇教版必修5

數(shù)列

教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義，了解遞

推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾

項(xiàng).

(1)理解數(shù)列是按一定順序排成的一列數(shù)，其每一項(xiàng)是由其項(xiàng)

數(shù)唯一確定的.

(2)了解數(shù)列的各種表示方法，理解通項(xiàng)公式是數(shù)列第項(xiàng)與

項(xiàng)數(shù)的關(guān)系式，能根據(jù)通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的前兒項(xiàng)，并能根據(jù)給出

的一個(gè)數(shù)列的前兒項(xiàng)寫出該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

(3)已知一個(gè)數(shù)列的遞推公式及前若干項(xiàng)，便確定了數(shù)列，能

用代入法寫出數(shù)列的前幾項(xiàng).

2.通過對(duì)一列數(shù)的觀察、歸納，寫出符合條件的一個(gè)通項(xiàng)公式,

培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和抽象概括能力.

3.通過由求的過程，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度及良好的思維

習(xí)慣.

教學(xué)建議

(1)為激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列的興趣，體會(huì)數(shù)列知識(shí)在實(shí)際生活中

的作用，可由實(shí)際問題引入，從中抽象出數(shù)列要研究的問題，使學(xué)生

對(duì)所要研究的內(nèi)容心中有數(shù)，如書中所給的例子，還有物品堆放個(gè)數(shù)

的計(jì)算等.

(2)數(shù)列中蘊(yùn)含的函數(shù)思想是研究數(shù)列的指導(dǎo)思想，應(yīng)及早引

導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系.在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)數(shù)列的項(xiàng)是按一定順序

排列的，〃次序〃便是函數(shù)的自變量，相同的數(shù)組成的數(shù)列，次序不同

則就是不同的數(shù)列.函數(shù)表示法有列表法、圖象法、解析式法，類似

地，數(shù)列就有列舉法、圖示法、通項(xiàng)公式法.由于數(shù)列的自變量為正

整數(shù)，于是就有可能相鄰的兩項(xiàng)(或兒項(xiàng))有關(guān)系，從而數(shù)列就有其

特殊的表示法一遞推公式法.

(3)由數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的前兒項(xiàng)是簡單的代入法，教

師應(yīng)精心設(shè)計(jì)例題，使這一例題為寫通項(xiàng)公式作一些準(zhǔn)備，尤其是對(duì)

程度差的學(xué)生，應(yīng)多舉幾個(gè)例子，讓學(xué)生觀察歸納通項(xiàng)公式與各項(xiàng)的

結(jié)構(gòu)關(guān)系，盡量為寫通項(xiàng)公式提供幫助.

(4)由數(shù)列的前兒項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式使學(xué)生學(xué)習(xí)中的

一個(gè)難點(diǎn)，要幫助學(xué)生分析各項(xiàng)中的結(jié)構(gòu)特征(整式，分式，遞增，

遞減，擺動(dòng)等)，由學(xué)生歸納一些規(guī)律性的結(jié)論，如正負(fù)相間用來調(diào)

整等.如果學(xué)生一時(shí)不能寫出通項(xiàng)公式，可讓學(xué)生依據(jù)前幾項(xiàng)的規(guī)律,

猜想該數(shù)列的下一項(xiàng)或下幾項(xiàng)的值，以便尋求項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系.

(5)對(duì)每個(gè)數(shù)列都有求和問題，所以在本節(jié)課應(yīng)補(bǔ)充數(shù)列前項(xiàng)

和的概念，用表示的問題是重點(diǎn)問題，可先提出一個(gè)具體問題讓學(xué)

生分析與的關(guān)系，再由特殊到一般，研究其一般規(guī)律，并給出嚴(yán)格

的推理證明(強(qiáng)調(diào)的表達(dá)式是分段的)；之后再到特殊問題的解決，

舉例時(shí)要兼顧結(jié)果可合并及不可合并的情況.

(6)給出一些簡單數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以求其最大項(xiàng)或最小項(xiàng),

又是函數(shù)思想與方法的體現(xiàn)，對(duì)程度好的學(xué)生應(yīng)提出這一問題，學(xué)生

運(yùn)用函數(shù)知識(shí)是可以解決的.

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

數(shù)列的概念

教學(xué)目標(biāo)

1.通過教學(xué)使學(xué)生理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列的表示法，能夠

根據(jù)通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的項(xiàng).

2.通過數(shù)列定義的歸納概括，初步培養(yǎng)學(xué)生的觀察、抽象概括

能力；滲透函數(shù)思想.

3.通過有關(guān)數(shù)列實(shí)際應(yīng)用的介紹，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)研究數(shù)列的積

極性.

教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)是數(shù)列的定義的歸納與認(rèn)識(shí)；教學(xué)難點(diǎn)是數(shù)列與函數(shù)的

聯(lián)系與區(qū)別.

教學(xué)用具：電腦，課件(媒體資料)，投影儀，幻燈片

教學(xué)方法：講授法為主

教學(xué)過程

一.揭示課題

今天開始我們研究一個(gè)新課題.

先舉一個(gè)生活中的例子：場地上堆放了一些圓鋼，最底下的一層

有100根，在其上一層（稱作第二層）碼放了99根，第三層碼放了

98根，依此類推，問：最多可放多少層？第57層有多少根？從第1

層到第57層一共有多少根？我們不能滿足于一層層的去數(shù)，而是要

但求如何去研究，找出一般規(guī)律.實(shí)際上我們要研究的是這樣的一列

數(shù)

（板書）象這樣排好隊(duì)的數(shù)就是我們的研究對(duì)象一數(shù)列.

（板書）第三章數(shù)列

（一）數(shù)列的概念

二.講解新課

要研究數(shù)列先要知道何為數(shù)列，即先要給數(shù)列下定義，為幫助同

學(xué)概括出數(shù)列的定義，再給出幾列數(shù)：

（幻燈片）①

自然數(shù)排成一列數(shù)：

②

3個(gè)1排成一列：

③

無數(shù)個(gè)1排成一列：

④

的不足近似值，分別近似到排列起來：

⑤

正整數(shù)的倒數(shù)排成一列數(shù)：

⑥

函數(shù)當(dāng)依次取時(shí)得到一列數(shù)：

⑦

函數(shù)當(dāng)依次取時(shí)得到一列數(shù)：

⑧

請(qǐng)學(xué)生觀察8列數(shù)，說明每列數(shù)就是一個(gè)數(shù)列，數(shù)列中的每個(gè)數(shù)

都有自己的特定的位置，這樣數(shù)列就是按一定順序排成的一列數(shù).

（板書）1.數(shù)列的定義：按一定次序排成的一列數(shù)叫做數(shù)列.

為表述方便給出幾個(gè)名稱：項(xiàng)，項(xiàng)數(shù)，首項(xiàng)（以幻燈片的形式給

出）.以上述八個(gè)數(shù)列為例，讓學(xué)生練習(xí)指出某一個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)是多

少，第二項(xiàng)是多少，指出某一個(gè)數(shù)列的一些項(xiàng)的項(xiàng)數(shù).

由此可以看出，給定一個(gè)數(shù)列，應(yīng)能夠指明第一項(xiàng)是多少，第二

項(xiàng)是多少，.....，每一項(xiàng)都是確定的，即指明項(xiàng)數(shù)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)就確

定.所以數(shù)列中的每一項(xiàng)與其項(xiàng)數(shù)有著對(duì)應(yīng)關(guān)系，這與我們學(xué)過的函

數(shù)有密切關(guān)系.

（板書）2.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

數(shù)列可以看作特殊的函數(shù)，項(xiàng)數(shù)是其自變量，項(xiàng)是項(xiàng)數(shù)所對(duì)應(yīng)的

函數(shù)值，數(shù)列的定義域是正整數(shù)集，或是正整數(shù)集的有限子集.

于是我們研究數(shù)列就可借用函數(shù)的研究方法，用函數(shù)的觀點(diǎn)看待

數(shù)列.

遇到數(shù)學(xué)概念不單要下定義，還要給其數(shù)學(xué)表示，以便研究與交

流，下面探討數(shù)列的表示法.

（板書）3.數(shù)列的表示法

數(shù)列可看作特殊的函數(shù)，其表示也應(yīng)與函數(shù)的表示法有聯(lián)系，首

先請(qǐng)學(xué)生回憶函數(shù)的表示法：列表法，圖象法，解析式法.相對(duì)于列

表法表示一個(gè)函數(shù)，數(shù)列有這樣的表示法：用表示第一項(xiàng)，用表示

第一項(xiàng)，，用表示第項(xiàng)，依次寫出成為

（板書）（1）列舉法

.（如幻燈片上的例子）簡記為.

一個(gè)函數(shù)的直觀形式是其圖象，我們也可用圖形表示一個(gè)數(shù)列，

把它稱作圖示法.

（板書）（2）圖示法

啟發(fā)學(xué)生仿照函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形.具體方法是以項(xiàng)數(shù)

為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng)為縱坐標(biāo)，即以為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中做

出點(diǎn)（以前面提到的數(shù)列為例，做出一個(gè)數(shù)列的圖象），所得的數(shù)列

的圖形是一群孤立的點(diǎn)，因?yàn)闄M坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點(diǎn)都在軸

的右側(cè)，而點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于數(shù)列的項(xiàng)數(shù).從圖象中可以直觀地看到數(shù)

列的項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)由小到大變化而變化的趨勢.

有些函數(shù)可以用解析式來表示，解析式反映了一個(gè)函數(shù)的函數(shù)值

與自變量之間的數(shù)量關(guān)系，類似地有一些數(shù)列的項(xiàng)能用其項(xiàng)數(shù)的函數(shù)

式表示出來，即，這個(gè)函數(shù)式叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（板書）（3）通項(xiàng)公式法

如數(shù)列的通項(xiàng)公式為；

的通項(xiàng)公式為；

的通項(xiàng)公式為；

數(shù)列的通項(xiàng)公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第項(xiàng)，又是這

個(gè)數(shù)列中所有各項(xiàng)的一般表示.通項(xiàng)公式反映了一個(gè)數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的

函數(shù)關(guān)系，給了數(shù)列的通項(xiàng)公式，這個(gè)數(shù)列便確定了，代入項(xiàng)數(shù)就可

求出數(shù)列的每一項(xiàng).

例如，數(shù)列的通項(xiàng)公式，則.

值得注意的是，正如一個(gè)函數(shù)未必能用解析式表示一樣，不是所

有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式，即便有通項(xiàng)公式，通項(xiàng)公式也未必唯一.

除了以上三種表示法，某些數(shù)列相鄰的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)）有關(guān)系，

這個(gè)關(guān)系用一個(gè)公式來表示，叫做遞推公式.

（板書）（4）遞推公式法

如前面所舉的鋼管的例子，第層鋼管數(shù)與第層鋼管數(shù)的關(guān)系

是，再給定，便可依次求出各項(xiàng).再如數(shù)列中，，這個(gè)數(shù)列就是.

像這樣，如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)與它的

前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系用一個(gè)公式來表示，這個(gè)公式叫做這個(gè)

數(shù)列的遞推公式.遞推公式是數(shù)列所特有的表示法，它包含兩個(gè)部分,

一是遞推關(guān)系，一是初始條件，二者缺一不可.

可由學(xué)生舉例，以檢驗(yàn)學(xué)生是否理解.

三.小結(jié)

1.數(shù)列的概念

2.數(shù)列的四種表示

四.作業(yè)略

五.板書設(shè)計(jì)

數(shù)列

（一）數(shù)列的概念涉及的數(shù)列及表示

1.數(shù)列的定義

2.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

3.數(shù)列的表示法

(1)列舉法

(2)圖示法

(3)通項(xiàng)公式法

(4)遞推公式法

典型例題

例1.數(shù)列共有項(xiàng).

分析：數(shù)一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)都是從1開始的，找項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系關(guān)

鍵是找首項(xiàng)與1的關(guān)系.

解：已知數(shù)列的項(xiàng)數(shù)與數(shù)列的項(xiàng)數(shù)相同，

又，所以又與數(shù)列的項(xiàng)數(shù)相同.

因?yàn)楣灿袀€(gè)數(shù)，所以共有個(gè)數(shù).

因此有個(gè)數(shù).

說明：數(shù)清項(xiàng)數(shù)是解決數(shù)列問題的首要問題，在有窮數(shù)列中，數(shù)

列的末項(xiàng)未必是數(shù)列的第項(xiàng)，即有窮數(shù)列的項(xiàng)數(shù)未必是.一定要區(qū)

分有窮數(shù)列的末項(xiàng)與通項(xiàng).

例2.已知數(shù)列中，，對(duì)任意，，都有則.

分析：已知條件表示了無數(shù)個(gè)等式：，，，再加上這一條

件便確定了這個(gè)數(shù)列，即可遞推求出數(shù)列的各項(xiàng).

解：令，得，，.

令，得，

.令，得

令，得

說明：本題涉及了方程的思想，同時(shí)體現(xiàn)了特殊與一般的關(guān)系.也

可能有學(xué)生看出就求出了數(shù)列的通項(xiàng)公式，用代入法便可求出數(shù)列

的任意一項(xiàng)，如果希望學(xué)生看出這一結(jié)果，可將所求換成求項(xiàng)數(shù)較大

的項(xiàng).

例3.數(shù)列的通項(xiàng)公式為，表示數(shù)列的前項(xiàng)和，求.

分析：數(shù)列的每一項(xiàng)，數(shù)列的前項(xiàng)和便抵消了一些項(xiàng).

解：

說明：可以在此補(bǔ)充裂項(xiàng)求和法，當(dāng)然裂項(xiàng)法不僅僅針對(duì)分式形

式的通項(xiàng)公式，只要的形式就行.

例4.在數(shù)列中，，那么這個(gè)數(shù)列中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)

為.

分析：通過函數(shù)的取值情況來探求數(shù)列的最大項(xiàng)及最小項(xiàng).

解：函數(shù)，其圖象是由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再向上平移

1個(gè)單位得到，根據(jù)圖象可得最小，最大，即第9項(xiàng)最小，第10

項(xiàng)最大.

說明：數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)構(gòu)成特殊的函數(shù)關(guān)系，研究其最值的方法

就是求函數(shù)最值的基本方法，求函數(shù)最值的方法之一是數(shù)形結(jié)合，即

利用函數(shù)圖象來判斷最值.

例5.設(shè)數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，，且滿足：，則數(shù)列的

通項(xiàng)公式為.

分析：解決此問題有兩個(gè)思路，一是求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，由此猜

出數(shù)列的通項(xiàng)公式（因?yàn)檫@是填空題）；另一個(gè)思路是化簡已知遞推

式（因式分解，降次），使與明確，簡潔，便于尋求解決方式.

解：由已知得,,,

，?

于是有，

這個(gè)等式相乘得，由于，所以.

說明：這種方法叫做迭乘法，相類似的還有迭加法.

擴(kuò)展資料

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兔子繁殖問題與斐波那契

裴波那契（Fibonaccileonardo,約1170-1250）是意大利著名

數(shù)學(xué)家.他最重要的研究成果是在不定分析和數(shù)論方面，他的〃裴波

那契數(shù)列”成為世人們熱衷研究的問題.

保存至今的裴波那契著作有5部，其中影響最大的是1202年在

意大利出版的《算盤書》，《算盤書》中許多有趣的問題中最富成功的

問題是著名的“兔子繁殖問題〃.如果每對(duì)兔子每月繁殖一對(duì)子兔，

而子兔在出生后第二個(gè)月就有生殖能力，試問一對(duì)兔子一年能繁殖多

少對(duì)兔子？可以這樣思考：第一個(gè)月后即第二個(gè)月時(shí)，1對(duì)兔子變成

了兩對(duì)兔子，其中一對(duì)是它本身，另一對(duì)是它生下的幼兔.第三個(gè)

月時(shí)兩對(duì)兔子變成了三對(duì)一，其中一對(duì)是最初的一對(duì)、另一對(duì)是它剛生

下來的幼兔，第三對(duì)是幼兔長成的大兔子.第四個(gè)月時(shí)，三對(duì)兔子

變成了五對(duì)，第五個(gè)月時(shí)，五對(duì)兔子變成了八對(duì)，這組數(shù)可以用圖來

表示，這組數(shù)從三個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)是兩個(gè)數(shù)的和，按此方法推算，

第六個(gè)月是13對(duì)兔子，第七個(gè)月是21對(duì)兔子.....，裴波那契得到

一個(gè)數(shù)列，人們將這個(gè)數(shù)列前面加上一項(xiàng)1,成為〃裴波那契數(shù)列〃，

即：1,1,2,3,5,8,13....數(shù)列用表示有：出人意料的是，這個(gè)

數(shù)列在許多場合都會(huì)出現(xiàn),在數(shù)學(xué)的許多不同分支中都能碰到它.如

果把普遍目前數(shù)列鄰項(xiàng)之比作為一個(gè)新數(shù)列的項(xiàng)，我們得到：，可

以證明這個(gè)數(shù)列的極限是：，這是非常有名的黃金分割率，大自然

中許多現(xiàn)象總是力求接近黃金比，這個(gè)黃金比在科學(xué)中甚至藝術(shù)中

也經(jīng)常出現(xiàn).例如，寬比長的比等于黃金比時(shí)最美：黃金比在古希

臘建筑和陶瓷中可以經(jīng)常見到埋在現(xiàn)代建筑設(shè)計(jì)等方面也越來越多

地顯示出黃金比的獨(dú)特魅力.裴波那契數(shù)列的許多有趣的性質(zhì)和重

要應(yīng)用，引起了近800年數(shù)學(xué)歷史上許多學(xué)者的興趣，世界上有關(guān)裴

波那契數(shù)列的研究文獻(xiàn)多得驚人，裴波那契數(shù)列不僅是在初等數(shù)學(xué)中

引人入勝，而且它的理論已廣泛應(yīng)用，特別是在數(shù)列、運(yùn)籌學(xué)及優(yōu)化

理論方面為數(shù)學(xué)家們展開了一片施展才華的廣闊空間.

后人從裴波那契數(shù)列得到一系列的輝煌成果，但是我們不能忘

記，這些成果都是起因與裴波那契的《算盤書》中提到的兔子問題.

探究活動(dòng)

將邊長為厘米的正方形分成個(gè)邊長為1厘米的正方形，數(shù)出其

中所有正方形的個(gè)數(shù).

解：當(dāng)時(shí)，共有正方形個(gè)；當(dāng)時(shí)，共有正方形個(gè)；當(dāng)時(shí),

共有正方形個(gè)；當(dāng)時(shí)，共有正方形個(gè)；當(dāng)時(shí)，共有正方形個(gè);

歸納猜想邊長為厘米的正方形中的正方形共有個(gè).

習(xí)題精選

(1)在數(shù)列中，設(shè)，則通項(xiàng)可能是().

(A)(B)

(C)(D)

(2)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，若則的值為().

(A)12(B)9(C)8(D)6

(3)點(diǎn)，，，...，，一.是函數(shù)的圖象上的一系列點(diǎn)，其中，

試寫出數(shù)列的前5項(xiàng)，并求出的值.

(4)已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，求證這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)都等于同一個(gè)

常數(shù).

參考答案：

(1)D；(2)B；

(3),=95.

(4)提示：，.

3.2等差數(shù)列

教學(xué)目標(biāo)

1.理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，并能運(yùn)用通

項(xiàng)公式解決簡單的問題.

(1)了解公差的概念，明確一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的限定條件，

能根據(jù)定義判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，了解等差中項(xiàng)的概念；

(2)正確認(rèn)識(shí)使用等差數(shù)列的各種表示法，能靈活運(yùn)用通項(xiàng)公

式求等差數(shù)列的首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)、指定的項(xiàng)；

(3)能通過通項(xiàng)公式與圖像認(rèn)識(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)，能用圖像與

通項(xiàng)公式的關(guān)系解決某些問題.

2.通過等差數(shù)列的圖像的應(yīng)用，進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)

思想；通過等差數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)用，滲透方程思想.

3.通過等差數(shù)列概念的歸納概括，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析資料的

能力，積極思維，追求新知的創(chuàng)新意識(shí)；通過對(duì)等差數(shù)列的研究，使

學(xué)生明確等差數(shù)列與一般數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系，從而滲透特殊與一般的辯

證唯物主義觀點(diǎn).

關(guān)于等差數(shù)列的教學(xué)建議

(1)知識(shí)結(jié)構(gòu)

(2)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

①教學(xué)重點(diǎn)是等差數(shù)列的定義和對(duì)通項(xiàng)公式的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用，等差

數(shù)列是特殊的數(shù)列，定義恰恰是其特殊性、也是本質(zhì)屬性的準(zhǔn)確反映

和高度概括，準(zhǔn)確把握定義是正確認(rèn)識(shí)等差數(shù)列，解決相關(guān)問題的前

提條件.通項(xiàng)公式是項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)關(guān)系，是研究一個(gè)數(shù)列的重要工

具，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)與一次函數(shù)的解析式密切相關(guān)，通過

函數(shù)圖象研究數(shù)列性質(zhì)成為可能.

②通過不完全歸納法得出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，所以是教學(xué)中的

一個(gè)難點(diǎn)；另外，出現(xiàn)在一個(gè)等式中，運(yùn)用方程的思想，已知三個(gè)

量可以求出第四個(gè)量.由于一個(gè)公式中字母較多，學(xué)生應(yīng)用時(shí)會(huì)有一

定的困難，通項(xiàng)公式的靈活運(yùn)用是教學(xué)的有一難點(diǎn).

(3)教法建議

①本節(jié)內(nèi)容分為兩課時(shí)，一節(jié)為等差數(shù)列的定義與表示法，一節(jié)

為等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用.

②等差數(shù)列定義的引出可先給出幾組等差數(shù)列，讓學(xué)生觀察、比

較，概括共同規(guī)律，再由學(xué)生嘗試說出等差數(shù)列的定義，對(duì)程度差的

學(xué)生可以提示定義的結(jié)構(gòu)：”的數(shù)列叫做等差數(shù)列〃，由學(xué)生把

限定條件一一列舉出來，為等比數(shù)列的定義作準(zhǔn)備.如果學(xué)生給出的

定義不準(zhǔn)確，可讓學(xué)生研究討論，用符合學(xué)生的定義但不是等差數(shù)列

的數(shù)列作為反例，再由學(xué)生修改其定義，逐步完善定義.

③等差數(shù)列的定義歸納出來后，由學(xué)生舉一些等差數(shù)列的例子，

以此讓學(xué)生思考確定一個(gè)等差數(shù)列的條件.

④由學(xué)生根據(jù)一般數(shù)列的表示法嘗試表示等差數(shù)列，前提條件是

已知數(shù)列的首項(xiàng)與公差.明確指出其圖像是一條直線上的一些點(diǎn)，根

據(jù)圖像觀察項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)的變化規(guī)律；再看通項(xiàng)公式，項(xiàng)可看作項(xiàng)數(shù)的

一次型（）函數(shù)，這與其圖像的形狀相對(duì)應(yīng).

⑤有窮等差數(shù)列的末項(xiàng)與通項(xiàng)是有區(qū)別的，數(shù)列的通項(xiàng)公式是

數(shù)列第項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式，有窮等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)未必

是，即其末項(xiàng)未必是該數(shù)列的第項(xiàng)，在教學(xué)中一定要強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn).

⑥等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式推導(dǎo)離不開等差數(shù)列的性質(zhì)，所以在

本節(jié)課應(yīng)補(bǔ)充一些重要的性質(zhì)；另外可讓學(xué)生研究等差數(shù)列的子數(shù)

列，有規(guī)律的子數(shù)列會(huì)引起學(xué)生的興趣.

⑦等差數(shù)列是現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在的數(shù)列的數(shù)學(xué)模型，如教材中

的例題、習(xí)題等，還可讓學(xué)生去搜集，然后彼此交流，提出相關(guān)問題,

自己嘗試解決，為學(xué)生提供相互學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，創(chuàng)設(shè)相互研討的課堂環(huán)

境.

等差數(shù)列通項(xiàng)公式的教學(xué)設(shè)計(jì)示例

教學(xué)目標(biāo)

1.通過教與學(xué)的互動(dòng)，使學(xué)生加深對(duì)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的認(rèn)識(shí)，

能參與編擬一些簡單的問題，并解決這些問題；

2.利用通項(xiàng)公式求等差數(shù)列的項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差、首項(xiàng)，使學(xué)生進(jìn)

一步體會(huì)方程思想；

3.通過參與編題解題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)是通項(xiàng)公式的認(rèn)識(shí)；教學(xué)難點(diǎn)是對(duì)公式的靈活運(yùn)用.

教學(xué)用具

實(shí)物投影儀，多媒體軟件，電腦.

教學(xué)方法

研探式.

教學(xué)過程

一?復(fù)習(xí)提問

前一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的概念、表示法，請(qǐng)同學(xué)們回憶等

差數(shù)列的定義，其表示法都有哪些？

等差數(shù)列的概念是從相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系加以定義的，這個(gè)關(guān)系用遞

推公式來表示比較簡單，但我們要圍繞通項(xiàng)公式作進(jìn)一步的理解與應(yīng)

用.

二.主體設(shè)計(jì)

通項(xiàng)公式反映了項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的首

項(xiàng)與公差確定后，數(shù)列的每一項(xiàng)便確定了，可以求指定的項(xiàng)(即已知

求).找學(xué)生試舉一例如：〃已知等差數(shù)列中，首項(xiàng)，公差，求

這是通項(xiàng)公式的簡單應(yīng)用，由學(xué)生解答后，要求每個(gè)學(xué)生出一些運(yùn)用

等差數(shù)列通項(xiàng)公式的題目，包括正用、反用與變用，簡單、復(fù)雜，定

量、定性的均可，教師巡視將好題搜集起來，分類投影在屏幕上.

1.方程思想的運(yùn)用

(1)已知等差數(shù)列中，首項(xiàng)，公差，則一397是該數(shù)列的第

______項(xiàng).

(2)已知等差數(shù)列中，首項(xiàng)，則公差

(3)已知等差數(shù)列中，公差，則首項(xiàng)

這一類問題先由學(xué)生解決，之后教師點(diǎn)評(píng)，四個(gè)量，在一個(gè)等

式中，運(yùn)用方程的思想方法，已知其中三個(gè)量的值，可以求得第四個(gè)

里.

2.基本量方法的使用

(1)已知等差數(shù)列中，，求的值.

(2)已知等差數(shù)列中，，求.

若學(xué)生的題目只有這兩種類型，教師可以小結(jié)(最好請(qǐng)出題者、

解題者概括)：因?yàn)橐阎獥l件可以化為關(guān)于和的二元方程組，所以

這些等差數(shù)列是確定的，由和寫出通項(xiàng)公式，便可歸結(jié)為前一類問

題.解決這類問題只需把兩個(gè)條件(等式)化為關(guān)于和的二元方程

組，以求得和，和稱作基本量.

教師提出新的問題，已知等差數(shù)列的一個(gè)條件(等式)，能否確

定一個(gè)等差數(shù)列？學(xué)生回答后，教師再啟發(fā)，由這一個(gè)條件可得到關(guān)

于和的二元方程，這是一個(gè)和的制約關(guān)系，從這個(gè)關(guān)系可以得到

什么結(jié)論？舉例說明(例題可由學(xué)生或教師給出，視具體情況而定).

如：已知等差數(shù)列中，...

由條件可得即，可知，這是比較顯然的，與之相關(guān)的還能有

什么結(jié)論？若學(xué)生答不出可提示，一定得某一項(xiàng)的值么？能否與兩項(xiàng)

有關(guān)？多項(xiàng)有關(guān)？由學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，完善問題

(3)已知等差數(shù)列中，求；；；；

類似的還有

(4)已知等差數(shù)列中，求的值.

以上屬于對(duì)數(shù)列的項(xiàng)進(jìn)行定量的研究，有無定性的判斷？引出

3.研究等差數(shù)列的單調(diào)性

,考察隨項(xiàng)數(shù)的變化規(guī)律.著重考慮的情況.此時(shí)是的一

次函數(shù)，其單調(diào)性取決于的符號(hào)，由學(xué)生敘述結(jié)果.這個(gè)結(jié)果與考察

相鄰兩項(xiàng)的差所得結(jié)果是一致的.

4.研究項(xiàng)的符號(hào)

這是為研究等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值所做的準(zhǔn)備工作.可配備的

題目如

(1)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，問數(shù)列從第兒項(xiàng)開始小于0?

(2)等差數(shù)列從第項(xiàng)起以后每項(xiàng)均為負(fù)數(shù).

三.小結(jié)

1.用方程思想認(rèn)識(shí)等差數(shù)列通項(xiàng)公式；

2.用函數(shù)思想解決等差數(shù)列問題.

四.板書設(shè)計(jì)

等差數(shù)列通項(xiàng)公式L方程思想的運(yùn)用

2.基本量方法的使用

3.研究等差數(shù)列的單調(diào)性

4.研究項(xiàng)的符號(hào)

典型例題

例1.已知依次成等差數(shù)列，求證：依次成等差數(shù)列.

分析：要證三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，只需證明等式：，即證成立.

證明：成等差數(shù)列，

(設(shè)其公差為)，

又，

,成等差數(shù)列.

說明：本題實(shí)質(zhì)上是一個(gè)條件等式的證明，關(guān)鍵是條件如何使用.

這種證法引入了一個(gè)新字母，使條件與結(jié)論中的字母減少，關(guān)系明朗.

此題證法很多，不再一一列舉.

例2在等差數(shù)列中，，則().

(A)72(B)60(C)48(D)36

分析：在題目中的項(xiàng)很多，利用通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本量和.

解：設(shè)此數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，即.

說明：可以應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)：若，則，所以有==40,

故60.

例3已知是等差數(shù)列，且滿足，則等于.

分析：已知等差數(shù)列的兩項(xiàng)，等差數(shù)列便確定了，利用通項(xiàng)公式

可以求得任意一項(xiàng).數(shù)列確定后，數(shù)列的圖像也確定了，利用圖形也

可求解.

解一：設(shè)此數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，，

相減得，

解二：設(shè)數(shù)列公差為，，?故.

解三：根據(jù)等差數(shù)列的圖像可知三點(diǎn)共線，故有，即，.

說明：通項(xiàng)公式與圖像是認(rèn)識(shí)和研究等差數(shù)列的工具，它們?cè)?/p>

數(shù)和形兩個(gè)角度各有優(yōu)勢，應(yīng)將它們有機(jī)結(jié)合，適當(dāng)選擇，以利問題

解決.

例4.已知無窮等差數(shù)列，首項(xiàng)公差，依次取出項(xiàng)數(shù)被4除余

3的項(xiàng)組成數(shù)列.

(1)求和；

(2)求的通項(xiàng)公式；

(3)中的第110項(xiàng)是的第幾項(xiàng)？

分析：數(shù)列是數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列，其項(xiàng)數(shù)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，4

為公差的等差數(shù)列，由于是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列.

解：⑴，

數(shù)列中項(xiàng)數(shù)被4除余3的項(xiàng)是的第3項(xiàng)，第7項(xiàng)，第11項(xiàng),?..，

這些項(xiàng)組成一個(gè)新的等差數(shù)列(第二問中加以證明)，其首項(xiàng)，.

(2)設(shè)中的第項(xiàng)是的第項(xiàng)，即，則，是等差數(shù)列，其

通項(xiàng)公式為.

(3)設(shè)它是中的第項(xiàng)，則，則

說明：數(shù)列的項(xiàng)數(shù)相當(dāng)于函數(shù)的自變量，通項(xiàng)公式相當(dāng)于對(duì)應(yīng)法

則，對(duì)數(shù)列的研究應(yīng)很好地把握項(xiàng)數(shù)，研究數(shù)列的子數(shù)列一定要研究

二者項(xiàng)數(shù)的關(guān)系.

例5.設(shè)是等差數(shù)列，，且，.求等差數(shù)列的通項(xiàng).

分析：求通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是要確定數(shù)列的首項(xiàng)與公差.可設(shè)首項(xiàng)

為，公差為，運(yùn)用方程思想，列兩個(gè)方程，解方程組即可.

解：設(shè)首項(xiàng)為，公差為，

由已知得

由第二個(gè)方程，化簡為解得，

所以，代入第一個(gè)方程得即化簡得解得，或，所以或，

故或?

說明：方程的思想是指把數(shù)學(xué)問題所反映的數(shù)量關(guān)系用解析式的

形式表示出來，在把解析式歸結(jié)為方程，通過解方程的手段或?qū)Ψ匠?/p>

進(jìn)行研究使問題得以解決?設(shè)未知數(shù)，列方程，解方程是用方程的思

想解數(shù)列問題的重要環(huán)節(jié).

擴(kuò)展資料

與實(shí)際結(jié)合的應(yīng)用問題

(1)某露天劇場有30排座位，第一排有28個(gè)座位，后面每排

比前排多2個(gè)座位，最后一排有座位__________個(gè).(86)

(2)一架飛機(jī)在起飛時(shí)，第一秒滑行了2.3米，以后每秒都比

前一秒多滑行4.6米，又知離地前一秒滑行了66.7米，則這架飛機(jī)

滑行起飛的所用時(shí)間為秒.(15)

(3)邊數(shù)為的凸多邊形內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，如果公差是，

最大角為，則等于()

(A)9(B)12(C)16(D)9或16(A)

(4)某單位用分期付款的方式為職工購買40套住房，總房價(jià)

1150萬元.約定2002年5月1日先付款150萬元，以后每月1日都

交款50萬元，并加付此前欠款利息，月利率為1%.若交款150萬元

后的一個(gè)月開始算分期付款的第一個(gè)月，分期付款的第十個(gè)月應(yīng)交款

多少萬元？第二十個(gè)月應(yīng)交款多少萬元？(55.5萬元；50.5萬元)

(5)某企業(yè)經(jīng)技術(shù)改造后的第一年就獲得年利潤90萬元.經(jīng)預(yù)

測知道，從第二年起，每一年所獲得年利潤都比它上一年的多10萬

元.試問該企業(yè)經(jīng)技術(shù)改造后，第四年獲年利潤多少萬元？第兒年所

獲年利潤是第一年的2倍？(120萬元；10年)

探究活動(dòng)

某人準(zhǔn)備于2002年9月30日將人民幣20000元存入銀行，三年

后連本帶息取出.可選擇的定期存款方式有一年期，二年期，三年期

三種，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)存款方案，使其三年后所得利息最高.(假定三

年內(nèi)利率不變且不提前支取)

2002年9月30日銀行定期利率如下：一年期年利率為1.98%,

二年期年利率為2.25%,三年期年利率為2.52%.利息稅為20%.

參考答案：

方案一：每次存一年期，到期后連本帶利再存一年，共存三次.

2003年9月30日到期，連本帶息取出元；馬上存入，存一年

定期，2004年9月30日到期，連本帶利取出元；再存入，存一年

定期，2005年9月30日到期，連本帶利取出元.

方案二：先存一年期，再存兩年期.

2003年9月30日到期，連本帶息取出元；馬上存入，存二年

定期，2005年9月30日到期，連本帶利取出元.

方案三：先存二年期，再存一年期.

2004年9月30日到期，連本帶息取出元；再存一年期，2005

年9月30日到期，連本帶息取出元.

方案四：直接存三年定期.

2005年9月30日到期，連本帶息取出元.

比較方案四獲利最多.

習(xí)題精選

(1)有窮數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是().

(A)(B)(C)(D)

(2)在等差數(shù)列中，若，則的值().

(A)20(B)22(C)24(D)-8

(3)若是等差數(shù)列，則有下列關(guān)系確定的數(shù)列也一定是等差數(shù)列

的是().

(A)(B)

(C)(D)

(4)在等差數(shù)列中，，，則201是該數(shù)列的().

(A)第60項(xiàng)(B)第61項(xiàng)(C)第62項(xiàng)(D)第

63項(xiàng)

(5)在等差數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)插入一個(gè)數(shù)，使之成為一個(gè)新的等差

數(shù)列，則新的數(shù)列的通項(xiàng)為().

(A)(B)

(C)(D)

(6)設(shè)是公差為一2的等差數(shù)列，若，則().

(A)-182(B)-148(C)-82(D)-78

(7)設(shè)等差數(shù)列中，，是第一個(gè)比1大的項(xiàng)，則公差的取值范

圍是().

(A)(B)

(C)(D)

(8)四位正整數(shù)中，是3的倍數(shù)的數(shù)共有個(gè).

(9)夏季高山上溫度從山腳起每升高100米溫度降低，測得山腳、

山頂?shù)臏囟确謩e是、，則山的相對(duì)高度是米.

(10)等差數(shù)列中，，，則中的第項(xiàng)的值介于之間.

(11)兩個(gè)等差數(shù)列和都有100項(xiàng)，問他們共有多少個(gè)相同的項(xiàng).

(12)設(shè)正數(shù)成等差數(shù)列，且公差不等于0,

求證也成等差數(shù)列.

(13)已知是一次函數(shù)，其圖象過點(diǎn)，又成等差數(shù)列，求的值.

(14)已知數(shù)列成等差數(shù)列，且，求的值.

參考答案：

(1)D.(2)C.(3)C.(4)B.(5)A.(6)C.(7)D.(8)3000.

(9)1700.(10)10,11,12.(11)25.

(12)提示：利用等差中項(xiàng)的概念.

(13)提示：設(shè)求得=25.

(14)設(shè)，則數(shù)列是等差數(shù)列，且，解得首項(xiàng)，公差，則，于

是

3.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

教學(xué)目標(biāo)

1.掌握等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式，并能運(yùn)用公式解決簡單的問題.

(1)了解等差數(shù)列前項(xiàng)和的定義，了解逆項(xiàng)相加的原理，理解

等差數(shù)列前項(xiàng)和公式推導(dǎo)的過程，記憶公式的兩種形式；

(2)用方程思想認(rèn)識(shí)等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式，利用公式求；

等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和的公式兩套公式涉及五個(gè)字母，已知其

中三個(gè)量求另兩個(gè)值；

(3)會(huì)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和的公式研究的最值.

2.通過公式的推導(dǎo)和公式的運(yùn)用，使學(xué)生體會(huì)從特殊到一般，再

從一般到特殊的思維規(guī)律，初步形成認(rèn)識(shí)問題，解決問題的一般思路

和方法.

3.通過公式推導(dǎo)的過程教學(xué)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維靈活性與廣闊性的

訓(xùn)練，發(fā)展學(xué)生的思維水平.

4.通過公式的推導(dǎo)過程，展現(xiàn)數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美；通過有關(guān)內(nèi)容在

實(shí)際生活中的應(yīng)用，使學(xué)生再一次感受數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活

的實(shí)用性，引導(dǎo)學(xué)生要善于觀察生活，從生活中發(fā)現(xiàn)問題，并數(shù)學(xué)地

解決問題.

教學(xué)建議

(1)知識(shí)結(jié)構(gòu)

本節(jié)內(nèi)容是等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，首先通過具體

的例子給出了求等差數(shù)列前項(xiàng)和的思路，而后導(dǎo)出了一般的公式，

并加以應(yīng)用；再與等差數(shù)列通項(xiàng)公式組成方程組，共同運(yùn)用，解決有

關(guān)問題.

(2)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

教學(xué)重點(diǎn)是等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，難點(diǎn)是公式推

導(dǎo)的思路.

推導(dǎo)過程的展示體現(xiàn)了人類解決問題的一般思路，即從特殊問題

的解決中提煉一般方法，再試圖運(yùn)用這一方法解決一般情況，所以推

導(dǎo)公式的過程中所蘊(yùn)含的思想方法比公式本身更為重要.等差數(shù)列前

項(xiàng)和公式有兩種形式，應(yīng)根據(jù)條件選擇適當(dāng)?shù)男问竭M(jìn)行計(jì)算；另外反

用公式、變用公式、前項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式的綜合運(yùn)用體現(xiàn)了方程

(組)思想.

高斯算法表現(xiàn)了大數(shù)學(xué)家的智慧和巧思，對(duì)一般學(xué)生來說有很大

難度，但大多數(shù)學(xué)生都聽說過這個(gè)故事，所以難點(diǎn)在于一般等差數(shù)列

求和的思路上.

(3)教法建議

①本節(jié)內(nèi)容分為兩課時(shí)一，一節(jié)為公式推導(dǎo)及簡單應(yīng)用，一節(jié)側(cè)重

于通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式綜合運(yùn)用.

②前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，建議由具體問題引入，使學(xué)生體會(huì)問題

源于生活.

③強(qiáng)調(diào)從特殊到一般，再從一般到特殊的思考方法與研究方法.

④補(bǔ)充等差數(shù)列前項(xiàng)和的最大值、最小值問題.

⑤用梯形面積公式記憶等差數(shù)列前項(xiàng)和公式.

等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式教學(xué)設(shè)計(jì)示例

教學(xué)目標(biāo)

L通過教學(xué)使學(xué)生理解等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程，并

能用公式解決簡單的問題.

2.通過公式推導(dǎo)的教學(xué)使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)從特殊到一般，再從一

般到特殊的思想方法，通過公式的運(yùn)用體會(huì)方程的思想.

教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，難點(diǎn)是獲得推導(dǎo)

公式的思路.

教學(xué)用具

實(shí)物投影儀，多媒體軟件，電腦.

教學(xué)方法

講授法.

教學(xué)過程

一.新課引入

提出問題（播放媒體資料）：一個(gè)堆放鉛筆的V形架的最下面一

層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放

100支.這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆？（課件設(shè)計(jì)見課件展示）

問題就是（板書）〃〃

這是小學(xué)時(shí)就知道的一個(gè)故事，高斯的算法非常高明，回憶他是

怎樣算的.（由一名學(xué)生回答，再由學(xué)生討論其高明之處）高斯算法

的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100個(gè)數(shù)可以分為50組，第一個(gè)數(shù)與最后

一個(gè)數(shù)一組，第二個(gè)數(shù)與倒數(shù)第二個(gè)數(shù)一組，第三個(gè)數(shù)與倒數(shù)第三個(gè)

數(shù)一組，...，每組數(shù)的和均相等，都等于101,50個(gè)101就等于5050

了.高斯算法將加法問題轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，迅速準(zhǔn)確得到了結(jié)果.

我們希望求一般的等差數(shù)列的和，高斯算法對(duì)我們有何啟發(fā)？

講解新課

（板書）等差數(shù)列前項(xiàng)和公式

1.公式推導(dǎo)（板書）

問題（幻燈片）：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由學(xué)生討

論，研究高斯算法對(duì)一般等差數(shù)列求和的指導(dǎo)意義.

思路一：運(yùn)用基本量思想，將各項(xiàng)用和表示，得

,有以下等式

，問題是一共有多少個(gè)，似乎與的奇偶有關(guān).這個(gè)思路似乎進(jìn)行不

下去了.

思路二：

上面的等式其實(shí)就是，為回避個(gè)數(shù)問題，做一個(gè)改寫，，兩式左

右分別相加，得

于是有：.這就是倒序相加法.

思路三：受思路二的啟發(fā)，重新調(diào)整思路一，可得，于是.

于是得到了兩個(gè)公式（投影片）：和.

2.公式記憶

用梯形面積公式記憶等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，這里對(duì)圖形進(jìn)行了

割、補(bǔ)兩種處理，對(duì)應(yīng)著等差數(shù)列前項(xiàng)和的兩個(gè)公式.

3.公式的應(yīng)用

公式中含有四個(gè)量，運(yùn)用方程的思想，知三求一.

例1.求和：（1）；

（2）（結(jié)果用表示）

解題的關(guān)鍵是數(shù)清項(xiàng)數(shù)，小結(jié)數(shù)項(xiàng)數(shù)的方法.

例2.等差數(shù)列中前多少項(xiàng)的和是9900?

本題實(shí)質(zhì)是反用公式，解一個(gè)關(guān)于的一元二次函數(shù)，注意得到

的項(xiàng)數(shù)必須是正整數(shù).

三.小結(jié)

1.推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的思路；

2.公式的應(yīng)用中的數(shù)學(xué)思想.

四.板書設(shè)計(jì)

典型例題

例1.設(shè)某個(gè)等差數(shù)列共有12項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)的和為78,偶數(shù)項(xiàng)

的和為96,求這個(gè)數(shù)列的后五項(xiàng)的和.

分析：數(shù)列的后五項(xiàng)是一個(gè)等差數(shù)列，其首項(xiàng)為原數(shù)列的第八項(xiàng),

公差就是原數(shù)列的公差，所以應(yīng)先求原數(shù)列的首項(xiàng)與公差.

解：設(shè)等差數(shù)列為，其首項(xiàng)為，公差為，奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以為首

項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)

列，于是有化簡得解得故所以.即這個(gè)等差數(shù)列后五項(xiàng)的和為

125.

說明：在運(yùn)用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式時(shí)依然要運(yùn)用基本量的思想,

把已知與所求都用基本量來表示，從而使題設(shè)與結(jié)論之間的關(guān)系明朗

化.

例2.等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，若對(duì)一切正整數(shù)都

有，求的值.

分析：由、的通項(xiàng)公式可求得、的通項(xiàng)公式.

解法一：令，則當(dāng)時(shí)，有，所以

解法二：

說明：等差數(shù)列前項(xiàng)和，當(dāng)公差時(shí)，是的二次函數(shù)，且常

數(shù)項(xiàng)為0,所以等差數(shù)列前項(xiàng)和的一般形式是，解法一就運(yùn)用了

這個(gè)形式；解法二則側(cè)重等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的另一形式，是等差

數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用.

例3.把正整數(shù)以下列方法分組:(1),(2,3),(4,5,6),,

其中每組都比它的前一組多一個(gè)數(shù)，設(shè)表示第組中所有各數(shù)的和，

那么等于().

(A)1113(B)4641(C)5082(D)53361

分析：第21組共有21個(gè)數(shù)，構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，公差為1,首

項(xiàng)比第20組的最后一個(gè)數(shù)大1,所以先求前20組一共有多少個(gè)數(shù).

解：因?yàn)榈诮M有個(gè)數(shù)，所以前20組一共有個(gè)數(shù)，于是第21

組的第一個(gè)數(shù)為211,這組一共有21個(gè)數(shù)，，故選.

說明：認(rèn)真分析條件，轉(zhuǎn)化為數(shù)列的基本問題.

例4.是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，且，.求數(shù)列的前項(xiàng)和的

通項(xiàng)公式.

分析：因?yàn)椋詰?yīng)確定的首項(xiàng)及公差.

解：設(shè)的首項(xiàng)為，公差為，則，，，，由已知得解得所

以，，，

說明：本題中的條件較多，通過分析找出基本量，簡化條件，同

時(shí)明確解題方向.求數(shù)列的前項(xiàng)和使用的是裂項(xiàng)法，在第一節(jié)中

曾經(jīng)提到，在此復(fù)習(xí)為今后求極限作準(zhǔn)備.

例5.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知

(1)求公差的取值范圍；

(2)指出中哪一個(gè)值最大，并說明理由.

分析：求的取值范圍應(yīng)設(shè)法建立關(guān)于的不等式(組)；找中的

最大值可根據(jù)的函數(shù)式用函數(shù)方法解決，也可根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)的變化

情況來定.

解（1）:的首項(xiàng)為，由已知有將代入后兩個(gè)不等式，消去得.

（2）解法一：由因?yàn)椋瑒t，可知，所以中最大的是.（另

法：，得所以所以最大.）

解法二：，二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，由于，有，所以當(dāng)時(shí),

最大.

說明：根據(jù)項(xiàng)的值判斷前項(xiàng)和的最值有以下結(jié)論：

①當(dāng)時(shí)，，則最小；

②當(dāng)時(shí)，，則最大；

③當(dāng)時(shí)，,則最??；

④當(dāng)時(shí)，，,則最大.

擴(kuò)展資料

背景知識(shí)與課外閱讀

我國數(shù)列求和的概念起源很早，古書《周髀算經(jīng)》里談到〃沒日

影〃時(shí)，已出現(xiàn)了簡單的等差數(shù)列；《九章算術(shù)》中的一些問題反映出

當(dāng)時(shí)已形成了數(shù)列求和的簡單概念。

到南北朝時(shí)，張丘建始創(chuàng)等差數(shù)列求和解法。他在《張丘建算經(jīng)》

里給出了兒個(gè)等差數(shù)列問題。

例如：〃今有女子不善織布，逐日所織的布以同數(shù)遞減，初日織

五尺，末一日織一尺，計(jì)織三十日，問共織幾何？〃

原書的解法是：〃并初、末日織布數(shù)，半之，余以乘織訖日數(shù)，

即得。〃這個(gè)解法相當(dāng)于給出了等差數(shù)列的求和公式

再如：〃今有女子善織布，逐日所織的布以同數(shù)遞增，初日織五

尺，計(jì)織三十日，共織九匹三丈，問日增幾何？〃

書中給出了計(jì)算公式，這個(gè)公式等式價(jià)于現(xiàn)今中學(xué)課本里的公

式：。

探究活動(dòng)

有50人參加的一個(gè)圍棋比賽，每兩個(gè)人下一盤棋，一共下了多

少盤棋？這種問題還能以什么背景給出？

參考答案：

先考慮兩個(gè)人和，他們只下一盤棋，第三個(gè)人加入后，分別

與和各下一盤棋，此時(shí)共下了1+2盤棋.第四個(gè)人分別與前三個(gè)人

各下一盤棋，則共下了1+2+3盤棋，...，依此類推，第50個(gè)人將與

前49人各下一盤棋，此時(shí)總共下了1+2+3+...+49=1225盤棋.

還可以這樣出題：

有12支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽，每兩隊(duì)賽一場，一共賽多少場？

有40個(gè)人，每兩個(gè)人通話一次，一共打了多少個(gè)電話？

習(xí)題精選

⑴在等差數(shù)列中，公差則等于().

(A)62(B)64(C)84(D)100

(2)在等差數(shù)列中，公差，那么下列各式中與相等的是().

(A)(B)(C)(D)

(3)把正偶數(shù)以下列方法分組：(2),(4,6),(8,10,12),…，其

中每一組都比它的前一組多一個(gè)數(shù)，那么第11組的第2個(gè)數(shù)是

().

(A)114(B)134(C)132(D)112

(4)在等差數(shù)列中，

,則.

(5)等差數(shù)列的后200項(xiàng)的和等于.

(6)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則.

(7)已知數(shù)列的前項(xiàng)和,貝I」.

(8)設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則.

(9)設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，求的值.

(10)已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為2,前10項(xiàng)的和為15.

(I)記為的前項(xiàng)和，問有無最大值，若有指出是前幾項(xiàng)的

和，若沒有說明理由；

(II)記

參考答案：

(1)C(2)D(3)A(4)10(5)(6)-110

(7)(8)0(9)147(10)前18、19項(xiàng)和相等且最大；

最大.

等比數(shù)列

教學(xué)目標(biāo)

1.理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，并能運(yùn)用公

式解決簡單的問題.

(1)正確理解等比數(shù)列的定義，了解公比的概念，明確一個(gè)數(shù)

列是等比數(shù)列的限定條件，能根據(jù)定義判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，了

解等比中項(xiàng)的概念；

(2)正確認(rèn)識(shí)使用等比數(shù)列的表示法，能靈活運(yùn)用通項(xiàng)公式求

等比數(shù)列的首項(xiàng)、公比、項(xiàng)數(shù)及指定的項(xiàng)；

(3)通過通項(xiàng)公式認(rèn)識(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)，能解決某些實(shí)際問題.

2.通過對(duì)等比數(shù)列的研究，逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、歸納、猜

想等思維品質(zhì).

3.通過對(duì)等比數(shù)列概念的歸納，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的思維習(xí)

慣，以及實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度.

教學(xué)建議

教材分析

(1)知識(shí)結(jié)構(gòu)

等比數(shù)列是另一個(gè)簡單常見的數(shù)列，研究內(nèi)容可與等差數(shù)列類

比，首先歸納出等比數(shù)列的定義，導(dǎo)出通項(xiàng)公式，進(jìn)而研究圖像，又

給出等比中項(xiàng)的概念，最后是通項(xiàng)公式的應(yīng)用.

(2)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

教學(xué)重點(diǎn)是等比數(shù)列的定義和對(duì)通項(xiàng)公式的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用，教學(xué)難

點(diǎn)在于等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)和運(yùn)用.

①與等差數(shù)列一樣，等比數(shù)列也是特殊的數(shù)列，二者有許多相同

的性質(zhì)，但也有明顯的區(qū)別，可根據(jù)定義與通項(xiàng)公式得出等比數(shù)列的

特性，這些是教學(xué)的重點(diǎn).

②雖然在等差數(shù)列的學(xué)習(xí)中曾接觸過不完全歸納法，但對(duì)學(xué)生來

說仍然不熟悉;在推導(dǎo)過程中，需要學(xué)生有一定的觀察分析猜想能力;

第一項(xiàng)是否成立又須補(bǔ)充說明，所以通項(xiàng)公式的推導(dǎo)是難點(diǎn).

③對(duì)等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合研究離不開通項(xiàng)公式，因而通項(xiàng)

公式的靈活運(yùn)用既是重點(diǎn)又是難點(diǎn).

教學(xué)建議

(1)建議本節(jié)課分兩課時(shí)，一節(jié)課為等比數(shù)列的概念，一節(jié)課

為等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用.

(2)等比數(shù)列概念的引入，可給出幾個(gè)具體的例子，由學(xué)生概

括這些數(shù)列的相同特征，從而得到等比數(shù)列的定義.也可將兒個(gè)等差

數(shù)列和幾個(gè)等比數(shù)列混在一起給出，由學(xué)生將這些數(shù)列進(jìn)行分類，有

一種是按等差、等比來分的，由此對(duì)比地概括等比數(shù)列的定義.

(3)根據(jù)定義讓學(xué)生分析等比數(shù)列的公比不為0,以及每一項(xiàng)

均不為0的特性，加深對(duì)概念的理解.

(4)對(duì)比等差數(shù)列的表示法，由學(xué)生歸納等比數(shù)列的各種表示

法.啟發(fā)學(xué)生用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)通項(xiàng)公式，由通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特征畫數(shù)

列的圖象.

(5)由于有了等差數(shù)列的研究經(jīng)驗(yàn)，等比數(shù)列的研究完全可以

放手讓學(xué)生自己解決，教師只需把握課堂的節(jié)奏，作為一節(jié)課的組織

者出現(xiàn).

(6)可讓學(xué)生相互出題，解題，講題，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作

用.

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

課題：等比數(shù)列的概念

教學(xué)目標(biāo)

1.通過教學(xué)使學(xué)生理解等比數(shù)列的概念，推導(dǎo)并掌握通項(xiàng)公式.

2.使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)類比、歸納的思想，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、概括

能力.

3.培養(yǎng)學(xué)生勤于思考，實(shí)事求是的精神，及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.

教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)

重點(diǎn)、難點(diǎn)是等比數(shù)列的定義的歸納及通項(xiàng)公式的推導(dǎo).

教學(xué)用具

投影儀，多媒體軟件，電腦.

教學(xué)方法

討論、談話法.

教學(xué)過程

一、提出問題

給出以下幾組數(shù)列，將它們分類，說出分類標(biāo)準(zhǔn).（幻燈片）

①一2,1,4,7,10,13,16,19,...

②8,16,32,64,128,256,...

③1,1,1,1,1,1,1,...

④243,81,27,9,3,1,,

⑤31,29,27,25,23,21,19,...

⑥1,—1,1,—1,1,一1,1,—1,...

⑦1,-10,100,-1000,10000,-100000,...

⑧0,0,0,0,0,0,0,...

由學(xué)生發(fā)表意見（可能按項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系分為遞增數(shù)列、遞減

數(shù)列、常數(shù)數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列，也可能分為等差、等比兩類），統(tǒng)一一

種分法，其中②③④⑥⑦為有共同性質(zhì)的一類數(shù)列（學(xué)生看不出③的

情況也無妨，得出定義后再考察③是否為等比數(shù)列）.

二、講解新課

請(qǐng)學(xué)生說出數(shù)列②③④⑥⑦的共同特性，教師指出實(shí)際生活中也

有許多類似的例子，如變形蟲分裂問題.假設(shè)每經(jīng)過一個(gè)單位時(shí)間每

個(gè)變形蟲都分裂為兩個(gè)變形蟲，再假設(shè)開始有一個(gè)變形蟲，經(jīng)過一個(gè)

單位時(shí)間它分裂為兩個(gè)變形蟲，經(jīng)過兩個(gè)單位時(shí)間就有了四個(gè)變形

蟲，???，一直進(jìn)行下去，記錄下每個(gè)單位時(shí)間的變形蟲個(gè)數(shù)得到了

一列數(shù)這個(gè)數(shù)列也具有前面的兒個(gè)數(shù)列的共同特性，這是我們將要

研究的另一類數(shù)列一等比數(shù)列.（這里播放變形蟲分裂的多媒體軟件

的第一步）

等比數(shù)列（板書）

1.等比數(shù)列的定義（板書）

根據(jù)等比數(shù)列與等差數(shù)列的名字的區(qū)別與聯(lián)系，嘗試給等比數(shù)列

下定義.學(xué)生一般回答可能不夠完美，多數(shù)情況下，有了等差數(shù)列的

基礎(chǔ)是可以由學(xué)生概括出來的.教師寫出等比數(shù)列的定義，標(biāo)注出重

點(diǎn)詞語.

請(qǐng)學(xué)生指出等比數(shù)列②③④⑥⑦各自的公比，并思考有無數(shù)列既

是等差數(shù)列又是等比數(shù)列.學(xué)生通過觀察可以發(fā)現(xiàn)③是這樣的數(shù)列，

教師再追問，還有沒有其他的例子，讓學(xué)生再舉兩例.而后請(qǐng)學(xué)生概

括這類數(shù)列的一般形式，學(xué)生可能說形如的數(shù)列都滿足既是等差又

是等比數(shù)列，讓學(xué)生討論后得出結(jié)論：當(dāng)時(shí)，數(shù)列既是等差又是等

比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，它只是等差數(shù)列，而不是等比數(shù)列.教師追問理由，

引出對(duì)等比數(shù)列的認(rèn)識(shí)：

2.對(duì)定義的認(rèn)識(shí)（板書）

（1）等比數(shù)列的首項(xiàng)不為0;

（2）等比數(shù)列的每一項(xiàng)都不為0,即；

問題：一個(gè)數(shù)列各項(xiàng)均不為0是這個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列的什么條件？

（3）公比不為0.

用數(shù)學(xué)式子表示等比數(shù)列的定義.

是等比數(shù)列①.在這個(gè)式子的寫法上可能會(huì)有一些爭議，如寫

成，可讓學(xué)生研究行不行，好不好；接下來再問，能否改寫為是等

比數(shù)列？為什么不能？

式子給出了數(shù)列第項(xiàng)與第項(xiàng)的數(shù)量關(guān)系，但能否確定一個(gè)等

比數(shù)列？（不能）確定一個(gè)等比數(shù)列需要幾個(gè)條件？當(dāng)給定了首項(xiàng)及

公比后，如何求任意一項(xiàng)的值？所以要研究通項(xiàng)公式.

3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（板書）

問題：用和表示第項(xiàng).

①不完全歸納法

②疊乘法

,...,，這個(gè)式子相乘得，所以.

（板書）（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

得出通項(xiàng)公式后，讓學(xué)生思考如何認(rèn)識(shí)通項(xiàng)公式.

（板書）（2）對(duì)公式的認(rèn)識(shí)

由學(xué)生來說，最后歸結(jié)：

①函數(shù)觀點(diǎn)；

②方程思想（因在等差數(shù)列中已有認(rèn)識(shí)，此處再復(fù)習(xí)鞏固而已）.

這里強(qiáng)調(diào)方程思想解決問題.方程中有四個(gè)量，知三求一，這是

公式最簡單的應(yīng)用，請(qǐng)學(xué)生舉例(應(yīng)能編出四類問題).解題格式是

什么？(不僅要會(huì)解題，還要注意規(guī)范表述的訓(xùn)練)

如果增加一個(gè)條件，就多知道了一個(gè)量，這是公式的更高層次的

應(yīng)用，下節(jié)課再研究.同學(xué)可以試著編幾道題.

三、小結(jié)

1.本節(jié)課研究了等比數(shù)列的概念，得到了通項(xiàng)公式；

2.注意在研究內(nèi)容與方法上要與等差數(shù)列相類比；

3.用方程的思想認(rèn)識(shí)通項(xiàng)公式，并加以應(yīng)用.

四、作業(yè)(略)

五、板書設(shè)計(jì)

三.等比數(shù)列

1.等比數(shù)列的定義

2.對(duì)定義的認(rèn)識(shí)

3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

(1)公式

(2)對(duì)公式的認(rèn)識(shí)

典型例題

例1.已知為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，公比，則().

(A)

(B)

(C)

(D)與的大小關(guān)系不確定

分析：比較兩數(shù)大小用到作差比較法.

解：，

因?yàn)闉楦黜?xiàng)均為正數(shù)，所以.

當(dāng)時(shí)有，；

當(dāng)時(shí)有，也有，所以對(duì)任意正數(shù)都有，即，故選擇.

說明：通過本題的探索，復(fù)習(xí)基本量的方法，同時(shí)復(fù)習(xí)比較法的

基本思路與方法.

例2.已知三角形的三邊長成等比數(shù)列，求此等比數(shù)列的公比的

取值范圍.

分析：由三個(gè)數(shù)構(gòu)成三角形三條邊的條件建立關(guān)于公差的不等式

(組).

解：設(shè)該等比數(shù)列的公比為，一條邊長為，則三條邊長分別為.

所以有化簡得

于是公比的取值范圍是.

說明：本題是數(shù)列知識(shí)與兒何知識(shí)、不等式的解法的綜合題，正

確解答的關(guān)鍵是把問題一步一步地轉(zhuǎn)化.

例3.已知數(shù)列是由正數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列，公比，且，則等

于().

(A)(B)(C)(D)

分析：利用等比數(shù)列相鄰的三項(xiàng)之間的關(guān)系，使得變量減少.

解：,

選擇(B).

說明：本題的一般解法是基本量法，即將所求各項(xiàng)均用表示，

由已知的兩個(gè)等式求出，代入所求即可，但運(yùn)算量較大.本解法利用

的是整體代換--通過觀察發(fā)現(xiàn)項(xiàng)之間的關(guān)系，將30項(xiàng)平均分成了

10組，尋求每組中的項(xiàng)之間的關(guān)系.本題還可求得.

例4.有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)

列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和為16,第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和

為12,求這四個(gè)數(shù).

分析：解題思路是設(shè)未知數(shù)，列方程組，解方程組.

解：設(shè)這四個(gè)數(shù)依次為，于是有，

解得或故所求的四個(gè)數(shù)為0,4,8,16,或15,9,3,1.

說明：本題設(shè)未知數(shù)的方法很多，出所示解法外，還可設(shè)四個(gè)未

知數(shù)，這樣便須列四個(gè)方程.可能多數(shù)學(xué)生選擇兩個(gè)未知數(shù)，如利用

等差數(shù)列這一條件，設(shè)四個(gè)數(shù)分別為，方程較為復(fù)雜，所以要選擇

適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，使得未