2023-2024學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市赤峰第四中學(xué)分校高二下學(xué)期第一次月考（4月）數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市赤峰第四中學(xué)分校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考（4月）數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式求解即可.【詳解】，A正確；，B不正確；，C不正確；，D不正確.故選：A2．2023世界科幻大會在成都舉辦，主題場館以自由?擴(kuò)散?無界的未來建筑形象詮釋科學(xué)與科幻主題，提取古蜀文化中神秘“古蜀之眼（黃金面具）”融入“星云”屋頂造型，建筑首層圍繞共享中庭設(shè)置了劇場?主題展區(qū)及博物館三大主題空間.現(xiàn)將4名志愿者安排到這三個主題空間進(jìn)行志愿服務(wù)，則每個主題空間都有志愿者的不同的安排方式有（

）A．6種 B．18種 C．24種 D．36種【答案】D【分析】根據(jù)已知條件先分組再分配.【詳解】首先根據(jù)題意將志愿者分成三組有種分法，安排到三個主題空間有種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的安排方式有種.故選：D.3．已知曲線過點，則該曲線在處的切線的方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由曲線上的一點坐標(biāo)求得參數(shù)m，在有導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，最后由直線的點斜式方程表示直線方程即可.【詳解】因為曲線過點，所以，解得，即，所以，從而切線斜率為，所以過點的切線的方程為，即.故選：D【點睛】本題考查由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的方程，屬于基礎(chǔ)題.4．若，則（

）A． B．16 C．15 D．1【答案】B【分析】利用賦值法可得答案.【詳解】因為，令得.故選：B5．“”是“函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．即不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)單調(diào)性得到恒成立，計算得到，根據(jù)范圍的大小關(guān)系得到答案.【詳解】函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)，故恒成立.即恒成立，，故.故“”是“函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B6．小明將1，4，0，3，2，2這六個數(shù)字的一種排列設(shè)為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個2之間只有一個數(shù)字，且1與4相鄰，則可以設(shè)置的密碼種數(shù)為（

）A．48 B．32 C．24 D．16【答案】C【分析】根據(jù)相鄰問題用捆綁法和不相鄰問題用插空法即可求解.【詳解】1與4相鄰，共有種排法，兩個2之間插入1個數(shù)，共有種排法，再把組合好的數(shù)全排列，共有種排法，則總共有種密碼．故選：C7．若函數(shù)在上存在零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由分離參數(shù)得，引入函數(shù)，確定在上的單調(diào)性，值域，從而可得的范圍．【詳解】令，則，設(shè)，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，而當(dāng)時，，且，故實數(shù)的取值范圍為，故選：C.8．中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究，設(shè)為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記作：，若，，則b的值可以是（

）A．2024 B．2022 C．2020 D．2088【答案】D【分析】根據(jù)二項式定理得到，進(jìn)而得到，依次判斷四個選項，得到D正確.【詳解】，故，故，，，，，ABC錯誤，D正確.故選：D二、多選題9．已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的大致圖像如圖所示．則下列敘述正確的是（

）A．B．函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減C．的極值點為D．的極大值為【答案】BC【分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系和極值、極值點的定義，結(jié)合圖形，對各個選項逐一分析判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性知，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，由圖知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，故選項A錯誤，又，，所以選項B正確，對于選項C，由圖知，，且兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值異號，所以選項C正確，對于選項D，由圖知，所以不是極值，所以選項D錯誤，故選：BC.10．楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家、教育家．楊輝三角是楊輝的一項重要研究成果，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，楊輝三角中蘊(yùn)藏了許多優(yōu)美的規(guī)律．如圖是一個11階楊輝三角：（

）A．第行中從右到左的第個數(shù)是B．第行中從左到右的第個數(shù)是，C．若第行中從左到右第與第個數(shù)的比為，則D．階(包括階)楊輝三角的所有數(shù)的和為；【答案】CD【分析】根據(jù)條件，利用二項式定理及二項式系數(shù)的性質(zhì)，逐一對各個選項分析判斷，即可求出結(jié)果.【詳解】對于選項A，根據(jù)圖象及二項式定理知，第行中從右到左的第個數(shù)是，所以選項A錯誤，對于選項B，根據(jù)圖象及二項式定理知，第行中從左到右的第個數(shù)是，所以選項B錯誤，對于選項C，由題知，得到，整理得到，解得，所以選項C正確，對于選項D，由二項式系數(shù)的性質(zhì)知，第行各數(shù)的和為，所以階(包括階)楊輝三角的所有數(shù)的和為，所以選項D正確，故選：CD.11．已知函數(shù)的定義域為，則（

）A．為奇函數(shù)B．在上單調(diào)遞減C．恰有2個極值點D．有且僅有2個極大值點【答案】ABD【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義，即可判斷A；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的正負(fù)，即可判斷B；利用導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，即可判斷CD.【詳解】函數(shù)的定義域為，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故A正確；，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B正確；顯然，當(dāng)時，令，即，得，分別作出和在的圖象，由圖可知，這兩個函數(shù)的圖象在區(qū)間上共有4個公共點，且圖象在這些公共點處都不相切，故在區(qū)間上的極值點的個數(shù)為4，有2個極大值點，故C錯誤，D正確.故選：ABD三、填空題12．已知，的導(dǎo)函數(shù)分別為，且，則．【答案】【分析】根據(jù)題意，求得，令，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，令，可得.故答案為：.13．在新的高考改革方案中規(guī)定：每位考生的高考成績是按照3（語文、數(shù)學(xué)、英語）+2（物理、歷史）選1+4（化學(xué)、生物、地理、政治）選2的模式設(shè)置的，則在選考的科目中甲、乙兩位同學(xué)恰有兩科相同的概率為.【答案】【分析】先計算出甲、乙兩位同學(xué)選考的總數(shù)，再分兩種情況求出甲、乙兩位同學(xué)恰有兩科相同的總數(shù)，利用古典概型求概率公式進(jìn)行求解.【詳解】由題意得出甲、乙兩位同學(xué)選考的總數(shù)為種，若相同的科目為4選2的科目，從4科中選2科，有種選擇，則2選1兩人選擇不同，由種選擇，共有種；若相同的科目為2選1和4選2中的各1個，從4科中先選出1科相同的，有種選擇，甲乙再分別從剩余3科中選擇1個不同的，有種選擇，再從2選1中選擇一科相同的，有種選擇，共有種，所以所求概率為.故答案為：.14．對于且這類函數(shù)的求導(dǎo)、可以使用下面的方式進(jìn)行：第一步：；第二步：；第三步：；第四步：根據(jù)框內(nèi)的信息.則函數(shù)的導(dǎo)數(shù).【答案】【分析】根據(jù)信息，兩邊取以的底的對數(shù)，得到，兩邊同時對求導(dǎo)，再利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，故可得，所以，即，所以.故答案為：四、解答題15．已知函數(shù)（，）的圖象過點，且．(1)求，的值；(2)求曲線過點的切線方程．【答案】(1)，．(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得，由，可得，聯(lián)立即可得解；（2）由可設(shè)曲線上的切點為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率為，利用點斜式可得切線方程，帶入點，即可得解.【詳解】（1）因為函數(shù)的圖象過點，所以①．又，，所以②，由①②解得，．（2）由（1）知，設(shè)所求切線在曲線上的切點為，則，所以切線方程為，又切線過點，所以，可得，，，解得，所以切點為，切線方程為．故曲線過點的切線方程為．16．用0，1，2，3，4這五個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的：（1）三位偶數(shù)有多少個？（2）能被3整除的三位數(shù)有多少個？（3）可以組成多少個比210大的三位數(shù)？【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）考慮個位是時，個位是時，個位是時，三種情況計算得到答案.（2）能被3整除的三位數(shù)的數(shù)字組成共有：；；；四種情況，分別計算得到答案.（3）考慮百位是時，百位是時，百位是時，三種情況，分別計算得到答案.【詳解】（1）個位是時，有個；個位是時，有個；個位是時，有個.故共有個三位偶數(shù).（2）能被3整除的三位數(shù)的數(shù)字組成共有：；；；四種情況.共有：個.（3）當(dāng)百位是時，共有個；當(dāng)百位是時，共有個；當(dāng)百位是時，共有個；故共有個.【點睛】本題考查了排列組合的應(yīng)用，分類計算是常用的數(shù)學(xué)方法，需要熟練掌握.17．請你設(shè)計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設(shè)AE=FB=x（1）若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S（cm）最大，試問x應(yīng)取何值？（2）若廣告商要求包裝盒容積V（cm）最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值．【答案】（1）x=15cm（2）【詳解】試題分析：（1）先設(shè)包裝盒的高為，底面邊長為，寫出，與的關(guān)系式，并注明的取值范圍，再利用側(cè)面積公式表示出包裝盒側(cè)面積關(guān)于的函數(shù)解析式，最后求出何時它取得最大值即可；（2）利用體積公式表示出包裝盒容積關(guān)于的函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)知識求出何時它取得的最大值即可．設(shè)包裝盒的高為，底面邊長為由已知得（1）∵∴當(dāng)時，取得最大值（2）根據(jù)題意有∴．由得，(舍)或．∴當(dāng)時；當(dāng)時∴當(dāng)時取得極大值，也是最大值，此時包裝盒的高與底面邊長的比值為即包裝盒的高與底面邊長的比值為．考點：1．函數(shù)的應(yīng)用問題；2．函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)；3．二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)．18．已知的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為32.（1）求的值；（2）求的展開式中的系數(shù)；（3）求展開式中的常數(shù)項.【答案】（1）5；（2）80；（3）.【分析】（1）由二項式系數(shù)的性質(zhì)：即可求解；（2）先求出通項為，然后令即可求解；（3）根據(jù)多項式乘法法則及（2）中通項，令和，即可求解.【詳解】解：（1）由題意，結(jié)合二項式系數(shù)的性質(zhì)可得，解得；（2）由（1）得，所以的通項，令，得，所以的展開式中的系數(shù)為；（3）由（2）知，的展開式的通項，令，得；令，得，故展開式中的常數(shù)項為.19．函數(shù).(1)函數(shù)的單調(diào)性；(2)數(shù)在區(qū)間上的最小值．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求出的定義域，對實數(shù)a的取值進(jìn)行分類討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號變化，由此可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）對正實數(shù)a的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，由此可求得結(jié)果.【詳解】（1）因為的定義域為，且，又，當(dāng)，即時，當(dāng)時，當(dāng)時，所以函數(shù)在上